2020届四川省遂宁市高三上学期零诊考试 数学理
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数学(理科)试题
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。总分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题,满分60分)
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
3.考试结束后,将答题卡收回。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。
1.已知集合,,
则
A. B.
C. D.
2.若复数满足(是虚数单位),则为
A. B.
C. D.
3.已知为第二象限角,,则
A. B.
C. D.
4.在等差数列中,,,是其前项和,则
A. B.
C. D.
5.函数的图象大致为
A B
C D
6.宋元时期,中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦﹝九韶﹞、李﹝冶﹞、杨﹝辉﹞、朱﹝世杰﹞四大家”,朱世杰就是其中之一。朱世杰是一位平民数学家和数学教育家。朱世杰平生勤力研习《九章算术》,旁通其它各种算法,成为元代著名数学家。他全面继承了前人数学成果,既吸收了北方的天元术,又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀,在此基础上进行了创造性的研究,写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启蒙》,其中有关于“松竹并生”的问题:松长四尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等。如图,是源于其思想的一个程序框图。若输入的,分别为,,则输出的
A.2 B.3
C.4 D.5
7. 已知等比数列中,公比为,,且,,成等差数列,又,数列的前项和为,则
A. B.
C. D.
8. 设函数,若函数的图象在
处的切线与直线平行,则的最小值为
A. B.
C. D.
9.如图所示,函数的图象过点,若将的图象上所有点向右平移个单位长度,然后再向上平移个单位长度,所得图象对应的函数为,则
A. B.
C.或 D.
10.若函数是定义在上的奇函数,则满足的实数的取值范围是
A. B.
C. D.
11.如图,在中,,
,若,
则的值为
A. B.
C. D.
12.定义在上的函数满足(为函数的导函数),,则关于的不等式 的解集为
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷(非选择题,满分90分)
注意事项:
1.请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答,不能答在此试卷上。
2.试卷中横线及框内注有“▲”的地方,是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题至第21题为必考题,每个试题考生都作答;第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分。
13.已知,是互相垂直的单位向量,向量, ,则 ▲ .
14.已知函数的导函数为,且满足关系式,则的值等于 ▲ .
15.已知外接圆的半径为,内角,,对应的边分别为,,,若,,则的值为 ▲ .
16.对于函数,若在定义域内存在实数满足,则称函数为“倒戈函数”。设且为其定义域上的“倒戈函数”,则实数的取值范围是 ▲ .
三、解答题:本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
已知函数.
(1)求的值
(2)①求函数的定义域;
②若,且,求实数的取值范围.
▲ |
18.(本小题满分12分)
已知等比数列的前项和为,且,.
(1)求等比数列的通项公式;
(2)若数列为递增数列,数列是等差数列,且,;数列的前项和为,求.
▲ |
19.(本小题满分12分)
设函数,且,,。
(1)求函数的极大值和极小值;
(2)若函数,且过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围.
▲ |
20.(本小题满分12分)
已知向量,向量
,,函数,直线是函数图象的一条对称轴。
(1)求函数的解析式及单调递增区间;
(2)设的内角,,的对边分别为,,,且,,又已知(),锐角满足,求的值.
▲ |
21.(本小题满分12分)
已知函数
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数有两个极值点,。且不等式恒成立,求实数的取值范围.
▲ |
请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数)。以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为.
(1)求:①曲线的普通方程;②曲线与直线交点的直角坐标;
(2)设点的极坐标为,点是曲线上的点,求面积的最大值.
▲ |
23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数.
(1)解不等式:
(2)若函数与函数的图象恒有公共点,求实数的取值范围.
▲ |
遂宁市高中2020届零诊考试数学(理科)试题参考答案及评分意见
一、选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | B | B | C | D | A | C | A | D | A | A | C | D |
二、填空题
13. 0 14. 15. 16.
三、简答题
17. (1)因为,所以,
即的值为 ………………………………………………4分
(2)①由题意有,所以 …………8分
②由①可有,即的取值范围是…………12分
18. (1)等比数列中有,则,所以或;……………2分
因为,所以,所以
当时,,此时;……4分当时,,此时。………6分
(2)因为数列为递增数列,所以,数列是等差数列,
且,,公差为,则有,所以,
所以,即,…………………8分
所以
所以
上两式相减得…………………………10分
即 …………………………………………………………12分
19. (1)因为,,所以 ,………2分
故,则,………………………….3分
由或;由,
所以的单调递增区间为,;单调递减区间为;
,。…………………………6分
(2)过点向曲线作切线,设切点为,则由(1)知,故,,则切线方程为,
把点代入整理得,…………………………8分
因为过点可作曲线的三条切线,所以方程有三个不同的实数根。
极大 | 极小 |
设;令或.则的变化情况如下表
当有极大值有极小值. …………………10分
由的简图知,当且仅当即,
函数 有三个不同零点,过点可作三条不同切线。所以若过点可作曲线的三条不同切线,则的取值范围是. …………………………………………………12分
20. (1) ……………2分
∵直线是函数图象的一条对称轴,∴,,
∴,,∵ ,∴ , ∴. ……………4分
由,得,
∴单调递增区间为, ……………6分
(2) 由(),得,,所以,, ……………8分
又,所以,即,因为为锐角,所以,所以,即, ……………9分
又,所以由正弦定理得. ① ……………10分
由余弦定理,得,即. ②
由①②解得,所以。 ……………12分
21. (1)因为,所以,………1分
则①当时,是常数函数,不具备单调性;
②当时,由;由。
故此时在单调递增,在单调递减
③当时,由;由。
故此时在单调递减,在单调递增。………………………4分
(2)因为
所以, …………………………………………5分
由题意有两个不同的正根,即有两个不同的正根,
则,……………………………………………7分
不等式恒成立等价于
恒成立
又
所以, …………………………………10分
令(),则,
所以在上单调递减, ……………………………11分
所以,所以 ……………………………………12分
22. (1)①因为,又,所以,
即曲线的普通方程为; …………………2分
②由得曲线的直角坐标方程为,又直线的直角坐标方程为,所以或,所以曲线与直线的交点的直角坐标为和…………………5分
(2)设,又由曲线的普通方程为得其极坐标方程.
∴的面积
…………………8分
所以当时,。 …………………10分
23. (1)由得,即或或。
解得或或,即,
所以原不等式的解集为…………………………………5分
(2)因为函数在单调递增,所以,
因为 ,在处取得最大值,……8分
要使函数与函数的图象恒有公共点,则须,即,故实数的取值范围是 …………10分