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    2020届四川省遂宁市高三上学期零诊考试 数学理

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    遂宁市高中2020届零诊考试

    数学(理科)试题

    本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。总分150分。考试时间120分钟。

    (选择题,满分60分)

    注意事项:

    1.答题前,考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。

    2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。

    3.考试结束后,将答题卡收回。

     

    一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。

    1已知集合

    A                           B       

    C                         D

    2若复数满足是虚数单位),则

    A                              B          

    C                              D

    3已知为第二象限角,,则

    A.                             B.           

    C.                             D.

    4在等差数列中,是其前项和,则

    A                             B         

    C                             D

    5函数的图象大致为

                

    A                                  B

                  

    C D

    6宋元时期,中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有九韶、李、杨、朱世杰四大家,朱世杰就是其中之一。朱世杰是一位平民数学家和数学教育家。朱世杰平生勤力研习《九章算术》,旁通其它各种算法,成为元代著名数学家。他全面继承了前人数学成果,既吸收了北方的天元术,又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀,在此基础上进行了创造性的研究,写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启蒙》,其中有关于松竹并生的问题:松长四尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等。如图,是源于其思想的一个程序框图。若输入的分别为,则输出的

    A2                               B3   

    C4                               D5

    7 已知等比数列中,公比为,且成等差数列,又,数列的前项和为,则

    A                              B         

    C                              D

    8设函数,若函数的图象在

    处的切线与直线平行,则的最小值为

    A                                B       

    C                          D

    9如图所示,函数的图象过点,若将的图象上所有点向右平移个单位长度,然后再向上平移个单位长度,所得图象对应的函数为,则

     

     

     

     

    A B

    C D

    10若函数是定义在上的奇函数,则满足的实数的取值范围是

    A                          B

    C                          D

    11如图,在中,

    ,若

    的值为

    A                             B         

    C                              D

    12.定义在上的函数满足为函数的导函数),,则关于的不等式 的解集为

    A                           B   

    C                         D

     

     

     

    (非选择题,满分90分)

    注意事项:

    1.请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第卷答题卡上作答,不能答在此试卷上。

    2.试卷中横线及框内注有“▲”的地方,是需要你在第卷答题卡上作答。

     

    本卷包括必考题和选考题两部分。第13题至第21题为必考题,每个试题考生都答;第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

     

     

    二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分。

    13已知是互相垂直的单位向量向量,    

    14.已知函数的导函数为,且满足关系式,则的值等于   

    15.已知外接圆的半径为,内角对应的边分别为,若,则的值为   

    16对于函数,若在定义域内存在实数满足,则称函数倒戈函数。设为其定义域上的倒戈函数,则实数的取值范围是   

     

     

     

     

     

    三、解答题:本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

    17.(本小题满分12分)

    已知函数

    1)求的值

    2求函数的定义域

    ,且,求实数的取值范围.

     

     

    18.(本小题满分12分)

    已知等比数列的前项和为,且

    1)求等比数列的通项公式;

    2)若数列为递增数列,数列是等差数列,且;数列的前项和,求

     

     

    19.(本小题满分12分)

    设函数,且

    1)求函数的极大值和极小值;

    2)若函数,且过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围.

     

     

    20.(本小题满分12分)

    已知向量,向量

    ,函数,直线是函数图象的一条对称轴。

    1)求函数的解析式及单调递增区间;

    2)设的内角的对边分别为,且,又已知),锐角满足,求的值.

     

     

    21.(本小题满分12分)

    已知函数

    1)讨论函数的单调性

    2)若函数有两个极值点。且不等式恒成立,求实数的取值范围.

     

     

    请考生在第2223两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

     

    22.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程

    在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数)。以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为直线的极坐标方程为.

    1求:曲线的普通方程曲线与直线交点的直角坐标;

    2)设点的极坐标为,点是曲线上的点,求面积的最大值.

     

     

    23.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲

    已知函数

    1)解不等式:

    2)若函数与函数的图象恒有公共点,求实数的取值范围.

     

     

    遂宁市高中2020届零诊考试数学(理科)试题参考答案及评分意见

    一、选择题

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    答案

    B

    B

    C

    D

    A

    C

    A

    D

    A

    A

    C

    D

    二、填空题

    13. 0        14.        15.        16.

    三、简答题

    17. (1)因为,所以

    的值为   ……………………………………………4分

    (2)由题意有,所以  …………8分

    可有,即的取值范围是…………12分

    18. 1)等比数列中有,则,所以……………2分

    因为,所以,所以

    时,,此时……4分时,,此时………6分

    2)因为数列为递增数列,所以,数列是等差数列,

    ,公差为,则有,所以

    所以,即…………………8分

    所以

    所以

    上两式相减得…………………………10分

      …………………………………………………………12分

    19. 1)因为,所以 ………2分

    ,则………………………….3分

    ;由

    所以的单调递增区间为;单调递减区间为

    …………………………6分

    2)过点向曲线作切线,设切点为,则由(1)知,故,则切线方程为

    把点代入整理得…………………………8分

    因为过点可作曲线的三条切线,所以方程有三个不同的实数根。

    极大

    极小

    ;.的变化情况如下表

    有极大值有极小值. …………………10分  

    的简图知,当且仅当

    函数 有三个不同零点,过点可作三条不同切线。所以若过点可作曲线的三条不同切线,则的取值范围是.  …………………………………………………12分

    20. (1)     ……………2分

    直线是函数图象的一条对称轴,

      .  ……………4

    ,得

    单调递增区间为   ……………6分

    (2),得,所以 ……………8分

    ,所以,即,因为为锐角,所以,所以  ……………9分

    ,所以由正弦定理得.               ……………10

    由余弦定理,得,即.    

    ①②解得,所以                        ……………12分

    21. 1)因为,所以………1分

    时,是常数函数,不具备单调性;

    时,由;由

    故此时单调递增,在单调递减

    时,由;由

    故此时单调递减,在单调递增。………………………4分

    2)因为

    所以  …………………………………………5分

    由题意有两个不同的正根,即有两个不同的正根,

    ……………………………………………7分

    不等式恒成立等价于

    恒成立

                    

    所以    …………………………………10分

    ),则

    所以上单调递减, ……………………………11分

    所以,所以 ……………………………………12分

    22. (1)因为,又,所以

    即曲线的普通方程为             …………………2分

    得曲线的直角坐标方程为,又直线的直角坐标方程为,所以,所以曲线与直线的交点的直角坐标为…………………5分

    2)设,又由曲线的普通方程为得其极坐标方程.

    的面积

           …………………8分

    所以当时,         …………………10分

    23.  (1),即

    解得,即

    所以原不等式的解集为…………………………………5分

    2)因为函数单调递增,所以

    因为 处取得最大值……8分

    要使函数与函数的图象恒有公共点,则须,即,故实数的取值范围是  …………10分

     

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