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    2020届四川省遂宁市第二中学高三上学期高考模拟(三)数学(理)试卷
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    2020届四川省遂宁市第二中学高三上学期高考模拟(三)数学(理)试卷

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    2020届四川省遂宁市第二中学高三上学期高考模拟(三)数学(理)试卷
    (满分150分,考试时间120分钟)
    注意事项:
    1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
    2.作答时,务必将答案写在答题卡上,写在试卷及草稿纸上无效.
    一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.
    1.设i为虚数单位,则=
    (A)-i (B) i (C)-1 (D)1
    2.已知集合,,则=
    (A) (B) (C) (D)
    3.设a=log36,b=log310,c=e-2,则
    (A)b>a>c (B)b>c>a (C)a>c>b (D)a>b>c
    4.在的展开式中的常数项为
    (A)20 (B)15 (C)-15 (D)-20
    5.2019年11月2日,成都市青羊区开展了5种不同类型的 “垃圾分类,大家给力”社会服务活动,其中有3种活动在上午开展,2种活动在下午开展 .若小王参加了两种活动,则分别安排在上、下午的概率为
    (A) (B) (C) (D)
    6.已知是双曲线:的左焦点,则以为圆心且与渐近线相切的圆的方程为
    (A) (B)
    (C) (D)
    7.设,x∈R,则
    (A)f(x)为偶函数且在(0,+∞)上单调递减 (B)f(x)为偶函数且在(0,+∞)上单调递增
    (C)f(x)为奇函数且在(0,+∞)上单调递减 (D)f(x)为奇函数且在(0,+∞)上单调递增8.设椭圆,a>b>0,点A,B为C的左,右顶点,点P为C上一点,若∠APB=120°,则C的离心率的最小值为
    (A) (B) (C) (D)
    9.过球的一条半径的中点,作与该半径所在直线成300的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为
    (A)   (B)     (C)     (D)
    10.若函数f(x)=ex-ax与x轴相切,则实数a=
    (A) (B) (C) (D)
    11.设,,且,则
    (A) (B) (C) (D)
    12.如图,圆的半径为1,是圆上的定点,是圆上的动点,角的始边为射线,终
    边为射线,过点作直线的垂线,垂足为,将△AMP的面积表示为的函数,
    则在上的图象大致为



    (A) (B)





    (C) (D)
    二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共计20分.
    13. 已知向量,,∥,则t= .
    14.函数,的最小值为 .
    15.在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=1200,CD=3AB=3BC=,则AD的长度为 .
    16.在四面体ABCD中,DA⊥底面,侧面ABD⊥侧面BCD,BD=BC=2,,三个侧面△DAB、△DBC、△DCA的面积的平方和为,则∠ADB= .
    三、解答题:共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.
    (一)必考题:共60分.
    17.(12分)设数列的前项和为.
    (1)求的通项公式;
    (2)设,求数列的前项和.




    18. (12分)第32届夏季奥林匹克运动会(英语:Games of the XXXII Olympiad)又称2020年东京奥运会.2013年9月7日雅克·罗格宣布2020年奥运会的主办城市是东京,东京申办成功后,成为继巴黎(法国)、伦敦(英国)、洛杉矶(美国)和雅典(希腊)后的世界第5个至少两次举办夏季奥运会的城市,同时也是亚洲第一个.2018年7月22日,东京奥组委公布2020年东京奥运会吉祥物名字,蓝色吉祥物被命名为Miraitowa,寓意未来和永恒.现从甲,乙两所学校各随机抽取了名高三的学生参加了奥运知识测评(满分分),其中成绩不低于分的记为“优秀”.根据测试成绩,学生的分数(单位:分)频率分布直方图如下(左图为甲校的,右图为乙校的):

    (1)根据频率分布直方图估计乙校学生成绩的中位数.(结果保留两位小数)
    (2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为学生测试成绩是否优秀与他所在学校有关:

    非优秀
    优秀
    合计
    甲校



    乙校



    合计



    附:
    P(K2>k)







    19.(12分)图1是由△ABC,△BCD和△ABE组成的一个平面图形,其中AB=BC=CD=2,BE=,∠ABC=∠ABE=∠BCD=90°,将其沿,折起,使得与重合,连接,如图2.
    (1)证明:图2中面;
    (2)在图2中,,N分别为,的中点,求面与面所成的二面角的正弦值.


    (图一) (图二)

    20. (12分)已知点,点为直线上一动点,的垂直平分线与过且垂直于的直线交于点,设的轨迹为曲线.
    (1)求的轨迹方程;
    (2)设A,B为曲线上不同的两点, A,B,F三点不共线,,求△FAB的面积的最大值.


    21. (12分)已知函数().
    (1)证明:,并说明等号成立的条件;
    (2)设,是否存在实数,使得在其定义域恒成立?若存在,求出所有满足条件的实数的集合;若不存在,说明理由;
    (3)设(),表示不超过的最大整数,试求.



    (二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分.
    22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
    在直线坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.
    (1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
    (2)设点P在C1上,点Q在C2上,求的最小值及此时P的直角坐标.

    23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
    设,且.
    (1)证明:;
    (2)求的最大值.

    数学试题(理科)详细解答
    一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.
    1. 设i为虚数单位,则i6=
    (A)-i (B) i (C)-1 (D)1
    答案:C
    【解析】i4=1,i6=i2=-1
    故选C
    2.已知集合,,则=
    (A) (B) (C) (D)
    答案:B
    【解析】 或 ∴A∩B=(-3,-1)
    故选B
    3.设a=log36,b=log310,c=e-2,则
    (A)b>a>c (B)b>c>a (C)a>c>b (D)a>b>c
    答案:A
    【解析】 在定义域上单调递增 ∴1<a<b 又∵c<1 ∴b>a>c
    故选A
    4.在的展开式中的常数项为
    (A)20 (B)15 (C)-15 (D)-20
    答案:D
    【解析】 ∴当r=3时,T3+1=-20
    故选D
    5.2019年11月2日,成都市青羊区开展了5种不同类型的 “垃圾分类,大家给力”社会服务活动,其中有3种活动在上午开展,2种活动在下午开展 .若小王参加了两种活动,则分别安排在上、下午的概率为
    (A) (B) (C) (D)
    答案:D
    【解析】由题意知:小王一共满足的情况为 种情况,分别在上下午的有6种情况,故概率为
    故选D
    6.已知是双曲线:的左焦点,则以为圆心且与渐近线相切的圆的方程为
    (A) (B)
    (C) (D)
    答案:B
    【解析】因为焦点到渐近线的距离为b=,以为圆心且与渐近线相切的圆的方程为
    故选B
    7.设,x∈R,则
    (A)f(x)为偶函数且在(0,+∞)上单调递减 (B)f(x)为偶函数且在(0,+∞)上单调递增
    (C)f(x)为奇函数且在(0,+∞)上单调递减 (D)f(x)为奇函数且在(0,+∞)上单调递增答案:C
    【解析】∵,,∴f(x)为奇函数
    又∵y=4x+1单调递增,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减
    故选C
    8.设椭圆,a>b>0,点A,B为C的左,右顶点,点P为C上一点,若∠APB=120°,则C的离心率的最小值为
    (A) (B) (C) (D)
    答案:A
    【解析】设椭圆的上顶点为M ,则∠AMP≥120°,故,
    ∴,∴
    故选A
    9.过球的一条半径的中点,作与该半径所在直线成300的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为
    (A)   (B)     (C)     (D)
    答案:C
    【解析】设球的半径为r,∵球心到平面的距离为球的半径的,
    ∴截面的半径为,∴截面的面积为 ∵球的表面积为
    ∴所得截面的面积与球的表面积的比为
    故选C
    10.若函数f(x)=ex-ax与x轴相切,则实数a=
    (A) (B) (C) (D)
    答案:D
    【解析】设切点为(x0,0), 则,所以,故x0=1,a=e
    故选D
    11.设,,且,则
    (A) (B) (C) (D)
    答案:C
    【解析】,且,,∴
    故选C
    12.如图,圆的半径为1,是圆上的定点,是圆上的动点,角的始边为射线,终
    边为射线,过点作直线的垂线,垂足为,将△AMP的面积表示为的函数,
    则在上的图象大致为



    (A) (B)





    (C) (D)
    答案:A
    【解析】
    ∵当y=0时,sinx=0或cosx=1
    ∴x=0或π,故不选D
    又因为,所以当x=时
    故选A

    二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共计20分.
    13. 已知向量,,∥,则t= .
    答案:
    【解析】由∥得,故
    14.函数,的最小值为 .
    答案:2
    【解析】令则,y=t2-2t+3,t0=1, 故当t=1时 ymin=2
    15.在四边形ABCD中,,,则的长度为 .
    答案:6
    【解析】在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,故AC=3,∠ACB=30°所以∠ACD=90°
    在△ADC中,AC=3, ,故AD=6
    16.在四面体中,底面,侧面侧面,,三个侧面、、的面积的平方和为,则 .
    答案:
    【解析】由底面知侧面底面,结合侧面侧面有平面.故四面体三个侧面均为直角三角形.设(),则,,,.于是三个侧面的面积的平方和是,解得,所以.
    三、解答题:
    17.(12分)设数列的前项和为.
    (1)求的通项公式;
    (2)设,求数列的前项和.
    17.答案:(1)an=n,(2) Tn=(n-1)2n+1+2
    【解析】(1)∵
    ∴当n=1时,a1=S1=1 2分
    当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n 4分
    综上an=n 5分
    (2)由(1)知:an=n,故 6分

    ∴ 8分
    ∴ 10分
    ∴Tn=(n-1)2n+1+2 12分

    18. 第32届夏季奥林匹克运动会(英语:Games of the XXXII Olympiad)又称2020年东京奥运会.2013年9月7日雅克·罗格宣布2020年奥运会的主办城市是东京,东京申办成功后,成为继巴黎(法国)、伦敦(英国)、洛杉矶(美国)和雅典(希腊)后的世界第5个至少两次举办夏季奥运会的城市,同时也是亚洲第一个。2018年7月22日,东京奥组委公布2020年东京奥运会吉祥物名字,蓝色吉祥物被命名为Miraitowa,寓意未来和永恒.甲乙两所学校各随机抽取了名高三的学生参加了奥运知识测评(满分分),其中成绩不低于分的记为“优秀”。根据测试成绩,学生的分数(单位:分)频率分布直方图如下(左图为甲校,右图为乙校):

    (1)根据频率分布直方图估计乙校学生成绩的中位数.(结果保留两位小数)
    (2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为学生测试成绩是否优秀与他所在学校有关:

    非优秀
    优秀
    合计
    甲校



    乙校



    合计



    附:









    答案:(1)52.35,(2) 有的把握认为学生测试成绩是否优秀和他所在学校有关.
    【解析】(1)在乙校学生测试成绩频率分布直方图中,成绩低于分直方图面积为;成绩低于分直方图面积为。因此乙校学生测试成绩的中位数的估计值是 6分
    (2)

    非优秀
    优秀
    合计
    甲校
    62
    38
    100
    乙校
    34
    66
    100
    合计
    96
    104
    200

    。由于,因此有的把握认为学生测试成绩是否优秀和他所在学校有关 12分
    19.(12分)图1是由△ABC,△BCD和△ABE组成的一个平面图形,其中AB=BC=CD=2,BE=,∠ABC=∠ABE=∠BCD=90°,将其沿,折起,使得与重合,连接,如图2.
    (1)证明:在图2中,面;
    (2)在图2中,,N分别为,的中点,求面与面所成的二面角的正弦值.

    (图一) (图二)
    答案:(1)略,(2)
    【解析】(1)在图2中,∵AB⊥BD,AB⊥BC
    ∴AB⊥BCD ∴AB⊥CD 又∵CD⊥BC ∴CD⊥ABC 6分
    (2)以BC为x轴,BA为y轴,过B垂直ABC的直线为z轴建立坐标系,则
    A(0,2,0),B(0,0,0)C(2,0,0),D(2,0,0)M(1,1,1),N(1,0,1)
    ∴,
    设平面CMN的一个法向量为,则

    不妨令x=1,则
    又因为平面ABC的法向量,所以
    故面与面所成的二面角的正弦值 12分
    20.已知点,点为直线上一动点,的垂直平分线与过且垂直于的直线交于点,设的轨迹为曲线.
    (1)求的轨迹方程;
    (2)设A,B为曲线上不同的两点, A,B,F三点不共线,,求△FAB的面积的最大值.
    答案:(1),(2) ;
    【解析】(1)由题意,到的距离等于到的距离,因此点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线。因此的轨迹方程是. 4分
    (2)设直线的方程为,则与轴交于点().
    代入抛物线,得
    6分
    设,,则由题意,有
    ,即 7分
    因此,即,,且,
    因此 9分
    又,且. 10分
    记,且,则

    因此在与单调递增,在单调递减.
    而,故.
    故△FAB的面积的最大值 12分
    21.已知函数().
    (1)证明:,并说明等号成立的条件;
    (2)设,是否存在实数,使得在其定义域恒成立?若存在,求出所有满足条件的实数的集合;若不存在,说明理由;
    (3)设(),表示不超过的最大整数,试求.
    答案:(1)略,(2) ,(3)0.
    【解析】(1)令,则.因此在上单调递增,在上单调递减.因此,所以,当且仅当时等号成立. 3分
    (2)由题意,,于是可知在上单调递减,在上单调递增.于是.只需.由(1)可知,即,由此可知只能是,否则不符合题意.因此所求实数的集合是. 7分
    (3)由(1),取,有,
    因此,即.
    由(2),(1+x)ln(1+x),当且仅当时等号成立.
    因此当时,.取,有.
    因此,整理得,即.
    从而,因此. 12分
    22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
    在直线坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.
    (1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
    (2)设点P在C1上,点Q在C2上,求的最小值及此时P的直角坐标.
    答案:(1), (2) 的最小值为,此时.
    【解析】(1)曲线C1的参数方程为(为参数)
    将代入得:,即 3分
    由曲线C2的极坐标方程为得

    ∴,即 5分
    (2)设,则P到C2的距离为 8分
    故当时,的最小值为,此时 10分
    23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
    设,且.
    (1)证明:;
    (2)求的最大值.
    答案:(1)略 (2) .
    【证明】:
    5分
    (2)令a=2cos,b=2sin,,则
    t=a+b=2cos+ 2sin

    故,
    又∵,,对称轴为t0=1
    ∴当时,ymax= 10分


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