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    2020届四省八校高三第三次教学质量检测考试数学(文)试题(解析版)

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    2020届四省八校高三第三次教学质量检测考试数学(文)试题

     

     

    一、单选题

    1.已知集合,则   

    A B C D

    【答案】C

    【解析】先解绝对值不等式化简集合的表示,再根据集合并集的定义,结合数轴进行运算即可.

    【详解】

    .

    故选:C

    【点睛】

    本题考查了集合并集的定义,考查了解绝对值不等式,考查了数学运算能力.

    2.在复平面内,与复数对应的点位于(  

    A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限

    【答案】D

    【解析】应用复数除法的运算法则,简化复数,最后确定复数对应的点的位置.

    【详解】

    ,复数对应的点为,它在第四象限,故本题选D.

    【点睛】

    本题考查通过复数的除法运算法则,化简后判断复数对应的点的位置.

    3.已知向量,若,则向量的夹角为(   

    A B C D

    【答案】D

    【解析】运用平面向量数量积的坐标表示的夹角公式直接运算求解即可.

    【详解】

    ,又.

    故选:D

    【点睛】

    本题考查了平面向量数量积的坐标表示的夹角公式,考查了数学运算能力.

    4.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率是,两人和棋的概率是,则乙不输的概率是(   

    A B C D

    【答案】C

    【解析】根据事件的和事件概率直接求解即可.

    【详解】

    由题意可知,乙获胜的概率为,则乙不输的概率为.

    故选:C

    【点睛】

    本题考查了和事件概率公式,属于基础题.

    5.实验机构对人体脂肪百分比和年龄(岁)的关系进行了研究,通过样本数据,求得回归方程,有下列说法:某人年龄为40岁,有较大的可能性估计他的体内脂肪含量约年龄每增加一岁,人体脂肪百分比就增加人体脂肪百分比和年龄(岁)成正相关.上述三种说法中正确的有(   

    A3 B2 C1 D0

    【答案】B

    【解析】根据代入求值、以及回归直线方程斜率的意义可以判断三种说法的正确性,选出正确答案.

    【详解】

    ,故正确;年龄每增加一岁,人体脂肪百分比增加约,故错误;因为,所以正确.

    故选:B

    【点睛】

    本题考查了线性回归方程的斜率的意义,属于基础题.

    6.校学生会调查有关本学期学生活动计划的意见,打算在全校范围内抽取部分同学作为样本,该校有高一学生1000人,高二学生800人,高三学生600人,若利用分层抽样,在高一学生中抽取100人,则应在高二学生中抽取(   

    A100 B80 C600 D240

    【答案】B

    【解析】根据分层抽样的方法,根据抽样比列方程,求解方程即可.

    【详解】

    设在高二抽取人,由,可知.

    故选:B

    【点睛】

    本题考查了分层抽样的方法,属于基础题.

    7.执行如图所示的程序框图,输出的值为(   

    A45 B15 C5 D135

    【答案】A

    【解析】根据程序框图判断执行的功能,然后计算求值即可.

    【详解】

    该程序框图是利用辗转相除法求225135的最大公约数,225135的最大公约数是45.

    故选:A

    【点睛】

    本题考查了辗转相除求两个正整数最大公约数,考查了循环结构,考查了判断程序框图功能的能力.

    8.在平面直角坐标系中,过点的直线与圆相切,且直线与圆相交于两点,则   

    A B C2 D

    【答案】B

    【解析】根据直线与圆的相切关系可以求出直线方程,再利用弦长公式,结合点到直线距离公式可以求出.

    【详解】

    根据题意易知直线,因直线两点,故,圆心的距离..

    故选:B

    【点睛】

    本题考查了直线与圆的位置关系,考查了圆弦长的计算,考查了数学运算能力.

    9.若在区间上是增函数,则的最大值为(   

    A B C D

    【答案】A

    【解析】利用二倍角的余弦公式、正弦公式、辅助角公式化简函数的解析式,再根据正弦型函数的单调性结合题意求出的最大值

    【详解】

    求得的增区间为

    由题有

    的最大值为.

    故选:A

    【点睛】

    本题考查了二倍角的正弦公式、余弦公式、辅助角公式,考查了已知正弦型函数在区间上的单调性求参数问题,考查了数学运算能力.

    10.动直线过定点,动直线过定点,若动直线交于点(异于点),且,则满足题意的点的个数为(   

    A0 B1 C2 D3

    【答案】C

    【解析】先判断两条直线所过的定点,再判断两直线的位置关系,可以判断出点的轨迹方程,再结合已知可以确定满足题意的点的个数

    【详解】

    由题意得:直线恒过,直线恒过于点

    则点在以线段为直径的圆上(除去点),又上,的交点,

    由于相交,故满足题意的点共有2个(点均不在上,从而这四个点不可能是.

    故选:C

    【点睛】

    本题考查了直线过定点问题,考查了两直线的位置关系,考查了求点的轨迹,考查了推理论证能力.

    11.已知函数,过点可作两条直线与的图象相切,则的取值范围是(   

    A B C D

    【答案】B

    【解析】对函数求导,求出函数切线方程,由题意可以转化为方程与两个不相等的正根,通过构造函数,利用新构造函数的导数,判断单调性最后求出的取值范围.

    【详解】

    由题意得,,设切点为,切线斜率为,切线方程为:,因为切线过点,所以,即.由于过点可作两条直线与的图象相切,所以方程有两个不相等的正根,令,所以上单减,上单增,且,因为时,时,,结合的图象,可知时满足题意.

    故选:B

    【点睛】

    本题考查了导数的几何意义,考查了求函数的切线方程,考查了已知方程根的情况求参问题.

    12.已知点为坐标原点,点是椭圆的左焦点,点分别为椭圆的左、右顶点和上顶点.为椭圆上一点,且轴,直线交线段于点,若直线交线段于点,且,则椭圆的离心率的取值范围是(   

    A B C D

    【答案】A

    【解析】在图中可以找到两对相似三角形,这样可以得到比例式子,根据题中所给的已知,可以求出椭圆的离心率的取值范围.

    【详解】

    如图可知:

    ,由

    .

    【点睛】

    本题考查了相似三角形的性质定理,考查了不等式的性质,考查了求椭圆离心率的取值范围,考查了数学运算能力.

     

     

    二、填空题

    13.抛物线的焦点为,过点的直线与抛物线交于两点,若,则点的坐标为______.

    【答案】

    【解析】根据抛物线的定义和抛物线的方程可以直接求出点的坐标.

    【详解】

    解析:,代入,即.

    故答案为:

    【点睛】

    本题考查了抛物线的定义,考查了数学运算能力.

    14.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两人进入高三后5次数学模拟考试的成绩(百分制),现对这两人的成绩有如下评价:甲的平均成绩高于乙的平均成绩;乙的成绩的极差为4甲的成绩的众数为91甲的成绩的标准差大于乙的成绩的标准差.以上评价中正确的有______(填序号).

    【答案】②③④

    【解析】根据茎叶图可以求出甲、乙两人的平均数、标准差,极差、众数的定义,可以判断出哪些评价是正确的.

    【详解】

    ,故错误;正确;正确;甲、乙的成绩标准差分别为,故正确.

    故答案为:②③④

    【点睛】

    本题考查了根据茎叶图求平均数、极差、标准差、众数,考查了数学运算能力.

    15.双曲线的两条渐近线分别为,点为其一个焦点,若点关于直线的对称点在直线上,则该双曲线的焦距为______.

    【答案】8

    【解析】根据题意结合双曲线的对称性可以求出其中一条渐近线的斜率,最后可以求出双曲线的焦距.

    【详解】

    如图:设关于的对称点为,则

    又由双曲线性质:

    焦距为.

    【点睛】

    本题考查了求双曲线的焦距,考查了双曲线的对称性,考查了数学运算能力.

    16201911日新修订的个税法正式实施,规定:公民全月工资、薪金所得不超过5000元的部分不必纳税,超过5000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算(预扣):

    全月应缴纳所得额

    税率

    不超过3000元的部分

    超过3000元至12000元的部分

    超过12000元至25000元的部分

     

    国家在实施新个税时,考虑到纳税人的实际情况,实施了《个人所得税税前专项附加扣税暂行办法》,具体如下表:

    项目

    每月税前抵扣金额(元)

    说明

    子女教育

    1000

    一年按12月计算,可扣12000

    继续教育

    400

    一年可扣除4800元,若是进行技能职业教育或者专业技术职业资格教育一年可扣除3600

    大病医疗

    5000

    一年最高抵扣金额为60000

    住房贷款利息

    1000

    一年可扣除12000元,若夫妻双方在同一城市工作,可以选择一方来扣除

    住房租金

    1500/1000/800

    扣除金额需要根据城市而定

    赡养老人

    2000

    一年可扣除24000元,若不是独生子女,子女平均扣除.赡养老人年龄需要在60周岁及以上

     

    老李本人为独生子女,家里有70岁的老人需要赡养,有一个女儿正读高三,他每月还需缴纳住房贷款2734.201911月老李工资,薪金所得为20000元,按照《个人所得税税前专项附加扣税暂行办法》,则老李应缴纳税款(预扣)为______.

    【答案】890

    【解析】由题意首先确定老李需要纳税的钱数,然后结合税率计算需要缴纳的个人所得税即可.

    【详解】

    根据题意,老李应纳税的工资、薪金为元,

    其中应纳税额所得额为.

    缴纳的个人所得税(预扣)为元,

    故答案为:890

    【点睛】

    本题主要考查信息处理题的解法,实际问题的数学建模等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

     

    三、解答题

    17.已知正项数列的前项和为,且满足:.

    1)求的通项公式;

    2)设数列,求的前项和.

    【答案】12

    【解析】1)先求出首项,对递推公式再递推一步,两个式子相减,最后可以判断出数列是等差数列,最后求出通项公式即可;

    2)利用错位相减法可以求出的前项和.

    【详解】

    1)当时,,解得:

    时,

    整理可得:

    数列2为首项,4为公差的等差数列,

    .

    2)由(1)知,.

    .

    【点睛】

    本题考查了利用递推公式判断一个数列是等差数列,考查了错位相减法求数列的和,考查了数学运算能力.

    18.孔子曰:温故而知新.数学学科的学习也是如此.为了调查数学成绩与及时复习之间的关系,某校志愿者展开了积极的调查活动:从高三年级640名学生中按系统抽样抽取40名学生进行问卷调查,所得信息如下:

     

    数学成绩优秀(人数)

    数学成绩合格(人数)

    及时复习(人数)

    20

    4

    不及时复习(人数)

    10

    6

     

    1)张军是640名学生中的一名,他被抽中进行问卷调查的概率是多少(用分数作答);

    2)根据以上数据,运用独立性检验的基本思想,研究数学成绩与及时复习的相关性.

    参考公式:,其中为样本容量

    临界值表:

    0.25

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    1.323

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

     

     

    【答案】12)有的把握认为数学成绩与及时复习有关

    【解析】1)根据概率定义直接求解即可;

    2)根据列联表,利用所给的公式求出的值,最后根据临界表,做出判断.

    【详解】

    解析:(1

    2)由题可得如下列联表

     

    优秀

    合格

    合计

    及时复习

    20

    4

    24

    不及时复习

    10

    6

    16

    合计

    30

    10

    40

     

     

    根据列联表中的数据,可得随机变量的观测值

    因为,所以有的把握认为数学成绩与及时复习有关.

    【点睛】

    本题考查了古典概型概率公式,考查利用对实际问题做出判断,考查了数学运算能力.

    19.在中,内角所对的边长分别为,且满足.

    1)求角的大小;

    2)求的值.

    【答案】12

    【解析】1)根据正弦定理和余弦定理求出角的大小;

    2)根据正弦定理求出的值,再通过判断,利用同角的三角函数之间的关系求出,最后求出的值,最后利用二角差的正弦公式求出的值.

    【详解】

    解析:(1)由正弦定理得

    又由余弦定理有

    .

    2)由正弦定理有

    ,由,从而

    .

    【点睛】

    本题考查了正弦定理和余弦定理的综合运用,考查了二角差的正弦公式,考查了同角的三角函数关系式,考查了数学运算能力.

    20.已知函数.

    1)若,求的极值;

    2)若上恒成立,求实数的取值范围.

    【答案】1的极小值为,无极大值(2

    【解析】1)对函数进行求导,判断函数的单调性,最后根据极值的定义求出极值即可;

    2)进行常变量分离,构造函数,求出新函数的导数,以及它的单调性,求出最值,最后求出实数的取值范围.

    【详解】

    解析:(1)令,(其中),解得.

    时,;当时,

    所以上单减,上单增,

    从而时取得极小值为,无极大值.

    2)若上恒成立,即上恒成立,

    ,则

    ,则

    时,恒成立,

    单调递减,因此,即

    故函数单调递减,则,故.

    【点睛】

    本题考查了利用导数求函数的极值和最值,考查不等式恒成立问题,考查了常变量分离法、构造函数法.

    21.在平面直角坐标系中,,动点满足:直线与直线的斜率之积恒为,记动点的轨迹为曲线.

    1)求曲线的方程;

    2)若点位于第一象限,过点分别作直线,直线,直线交于点.

    若点的横坐标为-1,求点的坐标;

    直线与曲线交于点,且,求的取值范围.

    【答案】12的坐标为

    【解析】1)设出动点坐标,根据斜率公式,结合已知可以直接得到曲线的方程;

    2设直线的方程根据已知,可以得到的直线方程,解方程组求出的坐标,再判断已知的两直线所过的定点,最后求出的坐标;

    直线与曲线的方程联立,根据所给的向量式子,结合根与系数关系最后可以求出的取值范围.

    【详解】

    解析:(1)设动点,由

    .

    2设直线

    位于第一象限得

    则由

    联立

    由题易得直线的方程分别为:.

    解得其交点的坐标为,由,解得

    .

    由此可得点的坐标为.

    联立

    由根与系数的关系有.

    .

    因为.

    【点睛】

    本题考查了直接法求轨迹,考查了直线与椭圆的位置关系,考查了数学运算能力.

    22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),曲线的参数方程为为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

    1)求曲线的极坐标方程;

    2)极坐标方程为的射线与曲线分别交于点(且点均异于极点),求的值.

    【答案】1的极坐标方程为的极坐标方程为2

    【解析】1)根据同角的三角函数关系式把曲线、曲线的参数方程化为普通方程,再利用极坐标和直角坐标之间的关系求出曲线的极坐标方程;

    2)根据求出点、点极坐标,最后求出的值.

    【详解】

    解析:(1的普通方程为,极坐标方程为

    的普通方程为,极坐标方程为.

    2)根据题意,点极坐标为点极坐标

    .

    【点睛】

    本题考查了参数方程化为普通方程再化为极坐标方程的过程,考查了极坐标下极径的意义,考查了数学运算能力.

    23.已知函数.

    1)求不等式的解集;

    2)若正数满足,求的最小值.

    【答案】12

    【解析】(1)由题意零点分段求解绝对值不等式即可;

    (2)由题意结合题中所给的式子的特点利用柯西不等式求解其最值即可.

    【详解】

    1)化简得.

    时,,由,即

    解得,又,所以

    时,,由,即

    解得,又,所以

    时,不满足,此时不等式无解;

    综上,不等式的解集为:.

    2)由于,故

    由柯西不等式:

    上式

    .

    当且仅当时,等号成立.

    所以的最小值为.

    【点睛】

    本题主要考查绝对值不等式的解法,柯西不等式求最值的方法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

     

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