2020届四省八校高三第三次教学质量检测考试数学（理）试题（解析版）

2020届四省八校高三第三次教学质量检测考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知某校有高一学生1000人，高二学生800人，高三学生600人，该校学生会希望调查有关本学期学生活动计划的意见，现从全体高中学生中抽取作为样本.若利用分层抽样，则应在高二学生中抽取（    ）

A．100人 B．80人 C．600人 D．240人

【答案】B

【解析】由题意结合分层抽样的定义求解需要抽取的高二学生人数即可.

【详解】

由分层抽样的定义可知，应在高二学生中抽取人数为：

.

故选：B.

【点睛】

进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：

(1) ；

(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．

2．已知复数，则在复平面内对应点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】首先化简所给的复数，然后结合化简结果即可确定其所在的象限.

【详解】

，

则在复平面内对应的点坐标为，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查复数的运算法则，复数所对应的点的坐标的确定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

3．已知命题：，，命题：，，则下列判断正确的是（    ）

A．是真命题 B．是真命题

C．是真命题 D．是假命题

【答案】A

【解析】由题意首先确定命题p,q的真假，然后判定所给的复合命题的真假即可.

【详解】

当时，，命题p为假命题；

当时，，命题q为真命题；

则：是真命题，是假命题，是假命题，是真命题.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查命题真假的判定，复合命题的运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4．在的展开式中，含的项的系数是（    ）

A．-100 B．-60 C．60 D．100

【答案】A

【解析】由题意结合排列组合和二项式的展开式特点确定含的项的系数即可.

【详解】

由题意可得：含的项为，

则含的项的系数是.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查二项式展开式系数的计算，排列组合与二项式展开式的联系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

5．已知直线：，：，若，则（    ）

A． B．1 C．-1 D．不存在

【答案】C

【解析】由题意结合直线平行的充分必要条件得到关于m的方程，解方程即可确定m的值.

【详解】

由直线平行的充分必要条件可得：且，

据此可得：.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查直线平行的充分必要条件，属于基础题.

6．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意利用对数函数的性质和作差法比较所给的数的大小即可.

【详解】

很明显，且：

，

∴，∴，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查对数的运算性质，作差法比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

7．已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于，点，为坐标原点.若的面积为1，则的值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】A

【解析】由题意首先确定渐近线方程和准线方程，然后结合三角形面积公式得到关于m的方程，解方程即可确定m的值.

【详解】

双曲线的渐近线方程为，

抛物线的准线方程为：，

联立得，，则.

由，解得，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查双曲线的渐近线方程，抛物线的性质，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

8．我国某省新高考将实行3+1+2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某校高一新生甲、乙分别选了历史、物理，若他们都对后面四科没有偏好且彼此选课互不影响，则他们选课恰有一科相同的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意首先确定所有的选课方法种数和满足题意的选课方法数，然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.

【详解】

由题意可得，所有的选课方法有种，满足题意的选课方法有种，

结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值：，

故选：B.

【点睛】

有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.

9．在直角三角形中，，，取点、，使，，那么（    ）

A．-8 B．-4 C．4 D．8

【答案】D

【解析】首先将向量均表示为以为底的线性组合形式，然后结合向量数量积的运算法则和题意整理计算即可求得最终结果.

【详解】

∵，∴，化简得，

同理可得，∵，可得，

∴，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查平面向量基本定理，平面向量数量积的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

10．若关于的方程恰有4个不相等实根，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意首先将所给的方程进行恒等变形，然后换元之后将其转化为二次函数根的分布的问题，最后求解关于实数a的不等式组即可确定实数a的取值范围.

【详解】

由题可转化为，

令，则，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

当时，，做出函数的图象如图所示，

结合题意可知：要使原方程恰有4个不相等的实数根，则，

且关于的方程在有两个不相等的实数根，

即在有两个不同的零点，则

∴，解得，表示为区间形式即.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数零点个数问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

11．已知实数，满足条件，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意首先将问题转化为定点到两个动点之间距离的问题，然后利用椭圆的定义进行等价转化，最后利用三点共线的结论即可确定满足题意的最值.

【详解】

根据题意，点在椭圆上，

且，

表示点到点和到点的距离之和，即.

其中点是椭圆的右焦点，左焦点为.，

又因为，

于是，

据此可知：的最大值为.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查等价转化的数学思想，椭圆的定义的应用，最值的求解方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

12．存在函数，满足对任意，都有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】利用函数的定义，逐一考查所给的函数，不满足题意的选项给出反例，符合题意的函数给出解析式即可.

【详解】

根据函数的定义可知，

A选项：当时，有和，因此不符合函数的定义.

B选项：当时，.于是当为偶数时，，当为奇数时，，因此不符合函数的定义.

C选项：当时，.于是当为偶数时，，当为奇数时，，因此不符合函数的定义.

D选项，由可得，满足函数的定义.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查函数的定义及其应用，属于中等题.

二、填空题

13．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是_____．

【答案】

【解析】乙不输的概率为，填.

14．有一个容量为60的样本，数据的分组及各组的频数如下图：

根据样本的频率分布估计，总体的平均数为______.（保留小数点后两位）

【答案】123.67

【解析】由题意利用平均数公式计算平均数即可.

【详解】

由题意可得，平均数为：

.

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查频率分布表的应用，平均数的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

15．已知圆：与圆：相内切，则的最小值为______.

【答案】1

【解析】首先确定两圆的圆心和半径，然后结合两圆内切的条件得到关于m,n的等量关系，最后利用基本不等式即可确定的最小值.

【详解】

：，圆心，，

：，圆心，，

圆，内切，∴，∴，∴，即，

当且仅当即时等号成立，因此的最小值为1.

故答案为：1．

【点睛】

本题主要考查圆的方程的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

16．2019年1月1日新修订的个税法正式实施，规定：公民全月工资、薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算（预扣）：

国家在实施新个税时，考虑到纳税人的实际情况，实施了《个人所得税税前专项附加扣税暂行办法》，具体如下表：

老李本人为独生子女，家里有70岁的老人需要赡养，有一个女儿正读高三，他每月还需缴纳住房贷款2734元.若2019年11月老李工资，薪金所得为20000元，按照《个人所得税税前专项附加扣税暂行办法》，则老李应缴纳税款（预扣）为______元.

【答案】890

【解析】由题意首先确定老李需要纳税的钱数，然后结合税率计算需要缴纳的个人所得税即可.

【详解】

根据题意，老李应纳税的工资、薪金为元，

其中应纳税额所得额为.

缴纳的个人所得税（预扣）为元，

故答案为：890．

【点睛】

本题主要考查信息处理题的解法，实际问题的数学建模等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

三、解答题

17．已知正项数列的前项和为，且和满足：.

（1）求的通项公式；

（2）设数列，求的前项和.

【答案】（1）（2）

【解析】(1)首先求得的值，然后结合递推关系式整理可得数列为等差数列，结合等差数列通项公式可得数列的通项公式；

(2)结合(1)的结论首先求得数列的通项公式，然后错位相减求解其前n项和即可.

【详解】

（1）当时，，解得：，

当且时，，

∴，

整理可得：，

∵，∴，∴，

∴数列以2为首项，4为公差的等差数列，

∴.

（2）由（1）知，

，

则①

则，②

由①-②得

化简得.

【点睛】

本题的核心是考查错位相减求和.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．

18．已知向量，，且函数.

（1）求的最小正周期及对称中心；

（2）在中，内角，，的对边分别为，，，角为锐角，，若，且的面积为.求的周长.

【答案】（1）最小正周期为，对称中心为，.（2）

【解析】(1)首先将函数的解析式化简为的形式，然后确定其最小正周期和对称中心即可；

(2)由题意首先求得a的值，然后利用正弦定理求得∠A的大小，最后结合余弦定理求得b+c的值即可求得三角形的周长.

【详解】

（1），

由，故最小正周期为.

由，∴，，

∴的对称中心为，.

（2）由于，

故，于是，又，解得.

，解得.故或（舍去）.

由余弦定理，则

化简得：，∴，∴，

∴三角形的周长为.

【点睛】

本题主要考查三角函数的化简与性质，正弦定理、余弦定理解三角形的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

19．为进一步优化教育质量平台，更好的服务全体师生，七天网络从甲、乙两所学校各随机抽取100名考生的某次“四省八校”数学考试成绩进行分析，分别绘制的频率分布直方图如图所示.

为了更好的测评各个学校数学学科的教学质量，该公司依据每一位考生的数学测试分数将其划分为“，，”三个不同的等级，并按照不同的等级，设置相应的对学校数学学科教学质量贡献的积分，如下表所示.

（1）用样本的频率分布估计总体的频率分布，若将甲学校考生的数学测试等级划分为“等”和“非等”两种，利用分层抽样抽取10名考生，再从这10人随机抽取3人，求3人中至少1人数学测试为“等”的概率；

（3）根据考生的数学测试分数对学校数学学科教学质量贡献的积分规则，分别记甲乙两所学校数学学科质量的人均积分为和，用样本估计总体，求和的估计值，并以此分析，你认为哪所学校本次数学教学质量更加出色？

【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）答案见解析.

【解析】(1)由题意首先确定需要抽取的人数，然后结合对立事件公式即可求得满足题意的概率值.

(2)由题意可知随机变量服从二项分布，结合二项分布的概率公式求得相应的概率值即可得到其分布列，然后求解数学期望即可；

(3)设和的估计值为和，求得其相应的值即可给出相应的结论.

【详解】

（1）由题意知抽取的10人中，数学成绩为“等”和“非等”的人数分别为2人和8人.

设从这10人随机抽取3人，求3人中至少1人数学测试为“等”的事件为，

则.

，，

，.

故.

（3）由题可知，设和的估计值为和，

（分）

（分）

则，如果仅以考生的数学测试分数对学校贡献的积分来看，本次考试，我认为乙学校本次数学测试更加出色.

【点睛】

本题主要考查频率分布直方图的应用，分布列与数学期望的计算，实际问题中的概率统计问题决策方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

20．已知抛物线：的准线经过点.

（1）求抛物线的方程；

（2）设是原点，直线恒过定点，且与抛物线交于，两点，直线与直线，分别交于点，.请问：是否存在以为直径的圆经过轴上的两个定点？若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）（2）存在，以为直径的圆经过轴上的两个定点分别为和

【解析】(1)由题意首先求得p的值，然后确定抛物线方程即可；

(2)设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理即可求得圆的方程，结合圆的方程即可确定圆是否过定点.

【详解】

（1）由于知，故抛物线：；

（2）设直线：，且，，

联立知，由韦达定理知①，②，

由于直线：，故点.直线：，故点，

故以为直径的圆的方程为，

令知，代入②知解得，.

故以为直径的圆经过轴上的两个定点分别为和.

【点睛】

(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

21．已知函数，.

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）若对恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】(1)首先求得切点坐标，然后利用导函数的几何意义求得切线的斜率即可确定切线方程；

(2)结合函数的解析式分离参数，然后构造新函数，利用导函数研究构造的新函数的最值即可确定实数a的取值范围.

【详解】

（1）当时，，，则，

又因为，则.

故切线方程为，化简得.

（2）若对恒成立，

即对恒成立，

记，则，

记，则恒成立，

则在单调递减，则，即，

故函数在单调递减，则，故.

【点睛】

导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），曲线的参数方程为（其中为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线、的极坐标方程；

（2）射线：与曲线，分别交于点，（且点，均异于原点），当时，求的最小值.

【答案】（1）的极坐标方程为，的极坐标方程为（2）

【解析】(1)由题意首先将参数方程化为直角坐标方程，然后再化为极坐标方程即可；

(2)结合(1)中的参数方程首先求得的表达式，然后结合均值不等式即可求得的最小值.

【详解】

（1）曲线的普通方程为，令，，

可得的极坐标方程为，

曲线的普通方程为，令，，

可得的极坐标方程为.

（2）联立与的极坐标方程得，

联立与的极坐标方程得，

则

（当且仅当时取等号）.

所以的最小值为.

【点睛】

本题主要考查参数方程与极坐标方程的互化，基本不等式求最值的方法，极坐标方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

23．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若正数，，满足，求的最小值.

【答案】（1）（2）

【解析】(1)由题意零点分段求解绝对值不等式即可；

(2)由题意结合题中所给的式子的特点利用柯西不等式求解其最值即可.

【详解】

（1）化简得.

①当时，，由，即，

解得，又，所以；

②当时，，由，即，

解得，又，所以；

③当时，不满足，此时不等式无解；

综上，不等式的解集为：.

（2）由于，故，

∴，

∵，∴由柯西不等式：

上式

.

当且仅当时，等号成立.

所以的最小值为.

【点睛】

本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.