2020届湘赣皖十五校高三下学期第一次联考模拟数学（文）试题（解析版）
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一、单选题
1．若是虚数单位，复数满足，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】将原式变形为，然后利用复数的除法计算出即可.
【详解】
因为.
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的除法运算，难度较易.复数进行除法运算时，注意分子分母同乘以分母的共轭复数.
2．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先根据指数函数单调性求解出不等式的解集作为集合，然后根据交集概念求解出.
【详解】
，，
.
故选：B.
【点睛】
本题考查集合的交集运算，其中涉及到解指数不等式，难度较易.
3．若是任意实数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】通过的正负以及大小判断A，B，C的正确性，利用指数函数的单调性判断D.
【详解】
若，，则，故A错误；
若为负数，则不成立，故B错误；
若，则，故C错误；
因为根据在上单调递减，则，故D正确，
故选：D.
【点睛】
本题考查根据已知条件判断不等关系是否正确，其中涉及到利用指数函数单调性比较大小，难度较易.
4．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑中，平面，且，则直线与平面所成角的正切值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据条件判断出直线与平面所成角即为，然后根据线段长度即可计算出线面角的正切值.
【详解】
因为平面，所以，
又因为，所以平面，
所以直线与平面所成角即为，
又因为，所以，
故选：B.
【点睛】
本题考查线面垂直关系的判断与证明以及求解线面角的正切值，难度一般.利用几何方法求解线面角的三角函数值时，首先可考虑根据线面垂直关系作出线面角，然后再求解相关值.
5．某公司由三个部门组成，总职工人数是2000名，其中部门（一）有职工800人，部门（二）的职工人数只有总职工人数的四分之一.现用分层抽样的方法在全公司抽取60名职工，则在部门（三）中应抽取的职工人数是（ ）
A．15 B．16 C．21 D．24
【答案】C
【解析】根据已知条件先确定出分层抽样的抽样比以及部门（三）的职工人数，然后将部门（三）的职工人数乘以抽样比即可得到结果.
【详解】
因为抽样比为：且部门（三）的职工人数为：，
所以部门（三）应抽取的职工人数为：，
故选：C.
【点睛】
本题考查分层抽样的相关计算，难度较易.注意分层抽样的各层的抽样比相同.
6．下列函数中其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先分析出的定义域和值域，然后再逐项判断是否定义域和值域均相同.
【详解】
∵函数的定义域为，值域为，
A中的定义域为，故不符合；.
B中的值域为，故不符合；
C可化为，C的定义域和值域都为，故符合；
D中定义域为，故不符合.
故选：C.
【点睛】
本题考查函数定义域与值域的判断，难度较易.（1）求解对数函数的定义域时，注意对数式的真数大于零；（2）注意对数运算：且，.
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据同角的三角函数基本关系中的商数关系、平方和关系求解出，再根据条件将表示为的形式即可求出结果.
【详解】
，
又，
.
故选：A.
【点睛】
本题考查同角的三角函数的基本关系的运用，难度较易.同角的三角函数的两个基本关系：（1）商数关系：；（2）平方和关系：.
8．已知向量的重心为，则与的夹角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分别求解出和的坐标表示，然后根据坐标形式下向量的夹角公式计算出与夹角的余弦值.
【详解】
，
如图，，
.
故选：B.
【点睛】
本题考查坐标形式下向量夹角余弦值的计算，其中涉及到三角形重心的简单应用，难度较易.三角形的重心将所在中线分为的两段.
9．已知直线与圆交于两点，且，则（ ）
A．或3 B． C． D．1或
【答案】D
【解析】根据圆心到直线的距离、半弦长、圆的半径构成直角三角形的三边，由此求解的值.
【详解】
圆的方程可化为：，圆心是，半径，
设圆心到直线的距离为，，
，或.
故选：D.
【点睛】
本题考查根据直线与圆相交的弦长求解参数，难度较易.注意直线与圆相交的弦长问题中，可根据垂径定理进行分析（圆心到直线的距离、半弦长、半径构成直角三角形的三边）.
10．设函数则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作出的图象，根据图象判断对应的不等式组，由此求解出的取值范围.
【详解】
作出的图象如下图：
当时，由函数的图象可知或，
解得：.
故选：C.
【点睛】
本题考查根据分段函数的图象解不等式，主要考查了学生对函数图象的理解，难度一般.
11．在中，角所对的边分别是，如果有两组解，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】构造关于的余弦定理由此得到关于的方程组，根据三角形解的个数判断方程组解的个数，由此得到关于的不等式组，从而可求的取值范围.
【详解】
法一：设，则由余弦定理，，
，∵三角形有两组解，
∴方程有2个不同的正数根，设为，
，即；
法二：有两组解，，
所以，所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查解三角形问题中根据三角形解的个数求解参数范围，难度一般.此类问题常见解答方法：（1）作图法；（2）利用正弦定理分析求解；（3）构造一元二次方程，根据方程根的分布进行分析.
12．已知双曲线的左、右焦点分别是、，是其右支上的两点，，则该双曲线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先根据长度关系以及双曲线的定义求解出，然后利用对应的余弦定理即可求解出的值，从而双曲线的方程可求.
【详解】
设，则，
，由得，
设，
由余弦定理可知：
由①，②得，又，，
∴双曲线方程为.
故选：D.
【点睛】
本题考查双曲线方程的求解，其中涉及到互为邻补角对应的余弦定理以及双曲线的定义，对学生的转化与计算能力要求较高，难度较难.如果两个角互为邻补角，则两角的余弦值和为零.
二、填空题
13．函数在处的切线方程为__________.
【答案】
【解析】先求解出，然后计算出，再根据点斜式方程求解出切线方程.
【详解】
，
在处的切线方程为：，即.
故答案为：.
【点睛】
本题考查曲线上某点处切线方程的求解，考查学生的基本的理解与计算，难度较易.
14．函数的单调递增区间为___________.
【答案】（填或或都可以）
【解析】先利用二倍角公式以及辅助角公式将整理，然后根据单调增区间的求解公式求解出的取值范围，再根据所给范围进行取舍即可.
【详解】
，
，又，
时，，
的单调递增区间为.
故答案为：（填或或都可以）.
【点睛】
本题考查求解正弦型函数在已知区间上的单调区间，难度一般.求解的单调增区间，可采用整体替换的方式令，求解出的的取值范围即为对应的单调增区间.
15．设是数列的前项和，已知，且点在直线上，则_______.
【答案】47
【解析】先根据与的关系求解出的通项公式，然后即可求解出的值.
【详解】
①，时，②，①—②得，
又.
故答案为：.
【点睛】
本题考查数列通项求解以及前项和的计算，难度一般.已知与的等量关系，可考虑将替换为得到另一个等式，两等式作差得到与的关系，从而求解出通项公式.
16．如图，长方体中，，点为中点，为直线与平面的交点，则___________.
【答案】
【解析】作的六等分点，然后根据三点共线以及由平行对应的比列关系求解出的值即可.
【详解】
作的六等分点且
，可知
设
连接，则三点共线（∵平面平面）
，
过作交于点，
，，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查根据空间中的位置关系求解线段长度比，对学生在空间中点线面的位置关系的掌握上要求较高，难度较难.注意利用相交线被平行线所截的线段成比例去计算.
三、解答题
17．某校100位学生第一次月考考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：，.
（1）求图中的值，并根据频率分布直方图，估计这100名学生数学成绩的中位数（中位数的结果精确到0.1）；
（2）求这100名学生的平均成绩.
【答案】（1）；中位数为（2）96分
【解析】（1）根据频率之和为即可求解出的值；由中位数对应频率值为，由此列出方程求解出中位数的值；
（2）将每组数据的组中值乘以对应频率并相加，由此计算出平均数.
【详解】
（1）
解得.
又设中位数为，则有
解得.
（2）设这100名学生的平均成绩是
则
所以这100名学生的平均成绩是96分.
【点睛】
本题考查根据频率分布直方图求参数以及中位数、平均数，难度较易.（1）频率分布直方图中的参数计算，多数情况是根据频率和为求解的；（2）频率分布直方图中的中位数计算是根据对应频率为求解的；（3）频率分布直方图中的平均数是将每组数据的组中值乘以对应的频率并相加得到的.
18．已知正数数列中，，向量，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，求满足的最小值.
【答案】（1）（2）6
【解析】（1）根据向量垂直对应的数量积为得到之间的关系，由此判断出为等比数列，从而通项公式可求；
（2）先根据等比数列求和求解出，然后根据的单调性以及取值情况，分析出的取值范围，从而的最小值可求.
【详解】
（1），
即
，
，
∴数列是首项为1，公比为3的等比数列
.
（2）
.
随着的增大而增大，
所以的最小值是6.
【点睛】
本题考查向量的数量积与数列的综合，涉及到根据递推公式求解通项公式以及根据数列单调性求解参数，属于综合型问题，难度一般.
19．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面为等边三角形，.
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）取中点，通过线面垂直的判定定理证明平面，由此证明线线垂直；
（2）先根据已知条件判断出平面、平面的位置关系，再结合线段长度以及“已知平行于平面的直线上的点到平面的距离相等”求解出到平面的距离.
【详解】
（1）证明：设边中点是，连接
是等边三角形，
又由已知是等边三角形，
平面
.
（2）（方法一）△SBC是边长为2的等边三角形，
，同理，取的中点，连接，
∵，且，
又∵是中点，，，，
又∵，，且，平面，
又因为平面，所以平面平面，
又平面，平面，所以平面，
到平面的距离等于到平面的距离，
又，平面平面，所以平面，
到平面的距离为，
到平面的距离为；
（方法二）∵△SBC是边长为2的等边三角形，
，同理，又
又由（1）知平面，
又易知四棱锥是正四面体
在底面上的射影为各边中线的交点，且为的重心
在上
由勾股定理，，
又（其中为与的交点），，
，
.设点到平面的距离为
.
故点到平面的距离为.
【点睛】
本题考查由线面垂直证明线线垂直以及计算点到平面的距离，难度一般.求解点到平面的距离，除了直接作出点在平面内的射影点，根据长度计算对应点到平面的距离，还可以采用间接求解的方法：等体积法.
20．在平面直角坐标系中，已知圆，线段的中点是坐标原点，设直线的斜率分别为，且.
（1）求点的轨迹方程；
（2）设直线分别交圆于点，直线的斜率分别为，已知直线与轴交于点.问：是否存在常数，使得若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）（2）存在；
【解析】（1）设出点坐标，根据斜率关系得到关于的等式，由此得到轨迹方程；
（2）联立直线与椭圆得到点坐标，联立直线与圆得到点坐标，分别利用斜率表示出，由此确定出的值.
【详解】
（1）设，则，又，
.
，又斜率存在，
∴点的轨迹方程是.
（2）联立得
解得：
.
联立得.
解得：
，
∴存在常数，使得.
【点睛】
本题考查圆锥曲线中的轨迹方程以及探究型问题的求解，难度一般.（1）轨迹方程的两种求解方法：直接法、定义法；（2）圆锥曲线中的斜率有关的问题，多数情况下选择用坐标的形式去转化计算.
21．已知函数.
（1）当时，求的最小值；
（2）若时，，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）先分析在的单调性并确定出最小值，再根据时的取值特点，从而可分析出在上的最小值；
（2）将不等式变形，利用构造函数思想分析新函数的单调性，采用分类讨论法确定出时的取值范围.
【详解】
（1）
时时
时，的极小值为
当时，
∴当时，.
（2）问题可转化为
设
令
当时，单调递增，
当时，单调递减.
在上先增后减.
又.
①当即时，，
单调递减，又，则，不合题意；
②当即时，
Ⅰ.若，则一定存在使得.
在上单调递增，在上单调递减.
则得，而.
Ⅱ.若，则在上单调递增且，则在上恒成立.
此时.
Ⅲ.若，则
存在使得在上单调递减，又
时，，不合题意.
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到利用导数求解函数最值以及利用导数解决不等式恒成立问题，难度较难.和导数有关的不等式恒成立求解参数范围问题的求解方法：分类讨论法、参变分离法.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求和的直角坐标方程；
（2）求直线被曲线所截的弦长.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）直接消去参数得到的直角坐标方程，根据得到的直角坐标方程；
（2）根据直线参数方程中的几何意义可知，由此根据关于的一元二次方程对应的韦达定理形式，即可计算出弦长.
【详解】
（1）消去参数可得，
因为，所以；
（2）法一：∵直线经过拋物线焦点，又倾斜角是30°，
∴可设直线的参数方程是（是参数），
代入抛物线方程得.
设直线和抛物线交于两点且它们对应的参数分别为，
则
；
法二：抛物线的焦点是且在直线上，设交抛物线于
联立抛物线方程和直线方程，消得，所以，
所以.
【点睛】
本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化以及根据直线的参数方程中的几何意义求解弦长，难度一般.若直线与曲线交于两点，利用直线参数方程中的几何意义求解弦长时，注意一定有（其中是将直线的参数方程代入到曲线方程中对应得到的关于的一元二次方程的两个解）.
23．已知.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求证：.
【答案】（1）或.（2）证明见解析
【解析】（1）采用零点分段法进行分类讨论，由此求解出不等式的解集；
（2）由绝对值的三角不等式确定出的最小值（用表示），再根据对勾函数的单调性说明即可.
【详解】
（1）当时，
当时，
当时，不成立，∴
当时，.
综上得不等式的解集或.
（2）
，
令，则，而在是单调增的
∴当时，
∴当时，.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明，难度一般.（1）常见的解绝对值不等式的方法：零点分段法、图象法、几何意义法；（2）绝对值的三角不等式：，.
