2020届天津市和平区新高考数学适应性训练（二）试题（解析版）

2020届天津市和平区新高考数学适应性训练（二）试题

一、单选题

1．已知全集U=R，集合

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：因为集合

选B

2．设均为单位向量，则“”是“”的（   ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】分析：先对模平方，将等价转化为0，再根据向量垂直时数量积为零得充要关系.

详解： ，因为均为单位向量，所以 a⊥b，即“”是“”的充分必要条件.选C.

点睛：充分、必要条件的三种判断方法．

1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．

2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．

3．“十二平均律”  是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.

详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，

所以，

又，则

故选D.

点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：

（1）定义法，若（）或（）， 数列是等比数列；

（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.

4．已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】只需根据函数性质逐步得出值即可。

【详解】

因为为奇函数，∴；

又

，，又

∴，

故选C。

【点睛】

本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数。

5．已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为

A． B． C．2 D．

【答案】D

【解析】只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．

【详解】

抛物线的准线的方程为，

双曲线的渐近线方程为，

则有

∴，，，

∴．

故选D．

【点睛】

本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度．

6．甲、乙俩人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.则甲恰好比乙多击中目标2次的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】记甲恰好比乙多击中目标2次为事件，分析可得包括两个事件，①甲击中2次而乙击中0次，②甲击中3次而乙击中1次，由独立事件的概率乘法公式计算可得两个事件的概率，进而由互斥事件概率的加法公式，将其相加即可得答案．

【详解】

记甲恰好比乙多击中目标2次为事件，分析可得包括两个事件:

①甲击中2次而乙击中0次，记为事件，

②甲击中3次而乙击中1次，记为事件，

则

.

故选：A.

【点睛】

本题考查互斥事件、相互独立重复事件的概率计算，运用到二项分布求概率，属于基础题.

7．已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的有　　

，，，  ，

，，      ，

A．0个 B．1个 C．2个 D．3

【答案】B

【解析】分析：由线面垂直的几何特征，及线面垂直的第二判定定理，可判断A的真假；

根据面面平行的几何特征及线线位置关系的定义，可判断B的真假；

根据线面垂直及线线垂直的几何特征，及线面平行的判定方法，可判断C的真假；

根据面面平行的判定定理，可以判断D的真假．

详解：

由m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，若a，b相交，则可得α∥β，若a∥b，则α与β可能平行也可能相交，故（1）错误；

若m∥n，n⊥α根据线面垂直的第二判定定理可得m⊥α，故（2）正确；

若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n异面，故（3）错误；

若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故（4）错误；

故选：B．

点睛：本题以命题的真假判定为载体考查了空间线面关系的判定，熟练掌握空间线面位置关系的判定，性质及几何特征是解答的关键．对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断；还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断.

8．已知奇函数在R上是增函数，.若，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据奇函数在上是增函数可得为偶函数且在上为增函数，从而可判断的大小.

【详解】

的定义域为.

，故为偶函数.

因为为上的奇函数，故，

当时，因为为上的增函数，故.

设任意的，则，故，

故，故为上的增函数，

所以 ，而，

故，所以.

故选C.

【点睛】

本题考查函数的奇函数、单调性以及指对数的大小比较，注意奇函数与奇函数的乘积、偶函数与偶函数的乘积都是偶函数，指数对数的大小比较应利用中间数和对应函数的单调性来考虑.

9．已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】不等式为()，

当时，()式即为，，

又（时取等号），

（时取等号），

所以，

当时，()式为，，

又（当时取等号），

（当时取等号），

所以，

综上．故选A．

【考点】不等式、恒成立问题

【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围.

二、填空题

10．已知z=（a﹣i）（1+i）（a∈R，i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则a=     ．

【答案】1

【解析】z＝(a－i)(1＋i)＝a＋1＋(a－1)i，∵z在复平面内对应的点在实轴上，∴a－1＝0，从而a＝1.

11．的展开式中的系数为________用数字作答

【答案】-8

【解析】利用二项式定理展开即可得出．

【详解】

解：，

项的系数为：．

故答案为：-8．

【点睛】

本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力．

12．数列满足，，.则数列的通项公式为_____

【答案】

【解析】通过对变形可知，进而可知数列是以为首项、为公差的等差数列，可知，利用累加法计算解即得结论.

【详解】

证明：因为，

所以，

又因为，

所以是以为首项、为公差的等差数列，

得，因而有：

，

，

，

，

累加后得：

所以，

所以数列的通项公式.

【点睛】

本题考查由递推关系证明等差数列，还考查等差数列的通项公式及利用累加法求数列的通项公式，属于中等题.

13．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比__________．

【答案】

【解析】设F到直线AB的距离为d，则设AB：代入中易得，从而可得.

14．已知，且，则的最小值为_____________.

【答案】

【解析】由题意首先求得的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.

【详解】

由可知，

且：，因为对于任意，恒成立，

结合均值不等式的结论可得：.

当且仅当，即时等号成立.

综上可得的最小值为.

【点睛】

在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

15．在中，，，. 若，，且，则的值为______________.

【答案】

【解析】 ,则

.

【考点】向量的数量积

【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.

三、解答题

16．设.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.

【答案】（Ⅰ）单调递增区间是；

单调递减区间是

（Ⅱ）面积的最大值为

【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；

（Ⅱ）首先由结合（Ⅰ）的结果，确定角A的值，然后结合余弦定理求出三角形面积的最大值.

试题解析：

解：（Ⅰ）由题意知

由可得

由可得

所以函数的单调递增区间是；

单调递减区间是

（Ⅱ）由得

由题意知为锐角，所以

由余弦定理：

可得：

即：当且仅当时等号成立.

因此

所以面积的最大值为

【考点】1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.

17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点在线段上，平面，，．

（1）求证：为的中点；

（2）求二面角的大小；

（3）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】（1）设，的交点为，由线面平行性质定理得，再根据三角形中位线性质得为的中点．（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系求二面角大小（3）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求线面角大小

【详解】

（1）设，的交点为，连接．

因为平面，平面平面，所以．

因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点．

（2）取的中点，连接，．因为，所以．

又平面平面，且平面，所以平面．

因为平面，所以．因为是正方形，所以．

如图，建立空间直角坐标系，则，，，

所以，．

设平面的法向量为，则，即．

令，则，，于是．

平面的法向量为，所以．

由题知二面角为锐角，所以它的大小为．

（3）由题意知，，．

设直线与平面所成角为，则．

所以直线与平面所成角的正弦值为．

18．已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，

（1）求数列的通项公式；

（2）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.

（3）设数列的前n项和为，求证：对任意正整数n，都有成立.

【答案】（1）；（2）；（3）看解析.

【解析】（1）设等差数列的公差为，由已知，求出，即可得数列的通项公式；

（2）由（1）可得，，利用错位相减法即可得出，代入不等式对一切恒成立，对分类讨论即可得出的取值范围；

（3）当时，结论显然成立；当时，，化简证明即可.

【详解】

（1）已知等差数列中，，设公差为，由已知，

则，所以，

得的通项公式为：

即：.

（2）由（1）可得，，

则

两式相减得：

解得：.

所以不等式化为对一切恒成立，

若为偶数，则，即；

若为奇数，则，即；

综上可得：.

（3）证明：当时，结论显然成立；

当时，由（2）知，

.

所以，对任意正整数n，都有成立.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式和利用错位相减法求数列的前项和，同时考查数列和不等式的恒成立问题求参数的范围，还考查学生的转化思想和运算能力.

19．已知椭圆的离心率为，直线与椭圆的两交点间距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，设是椭圆上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交椭圆于点，若直线的斜率均存在，并分别记为，求证：为定值.

（3）在（2）的条件下，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）；（2）为定值；（3）为定值，定值为25．

【解析】（1）由椭圆的离心率公式求得，由椭圆过点，代入椭圆方程，即可求得和的值，求得椭圆方程；

（2）利用点到直线距离公式，同理求得：，则，是方程的两个不相等的实根，根据韦达定理即可求得为定值；

（3）将直线和的方程，代入椭圆方程，即可求得和点坐标，根据两点之间的距离公式，由，即可求得为定值．

【详解】

解：（1）由椭圆的离心率，则，

由直线过点，代入，解得：，则，

椭圆的标准方程：；

（2）证明：由直线，直线，

由直线为圆的切线，

，，

同理可得：，

，是方程的两个不相等的实根，

由，△，则，

由，在椭圆上，即，

，

为定值；

（3）经判断为定值，

设，，，，

联立，解得，

，

同理，得，

由，

得，

，

，

，

为定值，定值为25．

【点睛】

本题考查了椭圆的定义标准方程、直线与圆相切的性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．

20．设函数，

（1）当为自然对数的底数时，求的极小值；

（2）讨论函数零点的个数；

（3）若对任意，恒成立，求m的取值范围.

【答案】（1）2；（2）当时，函数无零点；当或时，函数有且只有一个零点；当时，函数有两个零点；（3），．

【解析】（1）时，，利用判定的增减性并求出的极小值；

（2）由函数，令，求出；设，求出的值域，讨论的取值，对应的零点情况；

（3）由，恒成立，等价于恒成立，即在上单调递减；，求出的取值范围．

【详解】

解：（1）当时，，

；

当时，，在上是减函数；

当时，，在上是增函数；

时，取得极小值为；

（2）函数，

令，得；

设，

；

当时，，在上是增函数，

当时，，在上是减函数；

是的极值点，且是极大值点，

是的最大值点，

的最大值为（1）；

又，结合的图象，如图；

可知：①当时，函数无零点；

②当时，函数有且只有一个零点；

③当时，函数有两个零点；

④当时，函数有且只有一个零点；

综上，当时，函数无零点；

当或时，函数有且只有一个零点；

当时，函数有两个零点；

（3）对任意，恒成立，

等价于恒成立；

设，

则．

在上单调递减；

在上恒成立，

，

；

对于，仅在时成立；

的取值范围是，．

【点睛】

本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题，是难题．