2020届云南省曲靖市第一中学高三二模数学（文）试题（解析版）
展开2020届云南省曲靖市第一中学高三二模数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】集合 ,
所以 ，故选B.
2．若复数（）是纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】化简复数，由它是纯虚数，求得，从而确定对应的点的坐标．
【详解】
是纯虚数，则，，
，对应点为，在第二象限．
故选：B．
【点睛】
本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题．
3．在平行四边形中，，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】根据是平行四边形得，，然后代入数量积结合即可求出结论.
【详解】
解：∵，
∴.
故选：A.
【点睛】
本题考查向量的数量积，解题时利用向量的加减法法则用表示出，再由数量积的运算律计算．
4．定义运算，则函数的图象是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【详解】
由已知新运算的意义就是取得中的最小值，
因此函数，
只有选项中的图象符合要求，故选A.
5．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,易知成等比数列,,结合等比数列的性质可求出答案.
【详解】
设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,则成等比数列,且公比,则,故,,.
故选:D.
【点睛】
本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.
6．若P是的充分不必要条件，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】【详解】
试题分析：通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可．
由p是的充分不必要条件知“若p则”为真，“若则p”为假，根据互为逆否命题的等价性知，“若q则”为真，“若则q”为假，故选B．
【考点】逻辑命题
7．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【考点】程序框图．
分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．
解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
S i 是否继续循环
循环前 1 1/
第一圈3 2 是
第二圈7 3 是
第三圈15 4 是
第四圈31 5 否
故最后当i＜5时退出，
故选B．
8．已知满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则的几何意义为点到点的斜率，利用数形结合即可得到结论.
【详解】
解：设，则的几何意义为点到点的斜率，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由图可知当过点的直线平行于轴时，此时成立；
取所有负值都成立；
当过点时，取正值中的最小值，，此时；
故的取值范围为；
故选：C.
【点睛】
本题考查简单线性规划的非线性目标函数函数问题，解题时作出可行域，利用目标函数的几何意义求解是解题关键．对于直线斜率要注意斜率不存在的直线是否存在．
9．抛物线方程为，一直线与抛物线交于两点，其弦的中点坐标为，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，，利用点差法得到，所以直线的斜率为2，又过点，再利用点斜式即可得到直线的方程.
【详解】
解：设，∴，
又，两式相减得：，
∴，
∴，
∴直线的斜率为2，又∴过点，
∴直线的方程为：，即，
故选：A.
【点睛】
本题考查直线与抛物线相交的中点弦问题，解题方法是“点差法”，即设出弦的两端点坐标，代入抛物线方程相减后可把弦所在直线斜率与中点坐标建立关系．
10．已知变量x与变量y的取值如下表所示，且，则由该数据算得的线性回归方程可能是（ ）
x | 2 | 3 | 4 | 5 |
y | 2.5 | m | n | 6.5 |
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由回归方程必过样本中心，且，以及正负相关性，代入选项即可得到结果．
【详解】
由回归方程必过样本中心，，
又，所以，由表格，可得为正相关，排除C，D；代入选项A，B，可知A满足． 故选：A．
【点睛】
本题考查回归直线方程的求法，回归直线方程的特征，属于基础题．
11．已知点，若点在曲线上运动，则面积的最小值为（ ）
A．6 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】求得直线的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得位于，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值.
【详解】
解：曲线表示以原点为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图，
直线的方程为，
可得，由圆与直线的位置关系知在时，到直线距离最短，即为，
则的面积的最小值为.
故选：B.
【点睛】
本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得．
12．f(x)是R上的偶函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)－|log5x|的零点个数为( )
A．4 B．5
C．8 D．10
【答案】B
【解析】由题意得函数的周期为2，再结合函数为偶函数可画出函数的图象，然后根据函数的图象和函数的图象的公共点的个数进行判断即可．
【详解】
∵f(x＋2)＝f(x)，
∴函数的周期为2．
由题意可得，
在同一坐标系内画出函数和的图象，如下图，
由图象得，两函数图象有5个交点，
所以函数y＝f(x)－|log5x|共有5个零点．
故选B．
【点睛】
本题考查函数的性质和函数零点的综合，解题的关键是将问题转化为函数图象公共点的个数问题出处理，画图时要结合函数的性质求解，不要忘了函数的奇偶性和周期性的应用．
二、填空题
13．函数(，且)恒过点_____.
【答案】或.
【解析】令对数的真数等于1，求得的值，即为定点的坐标.
【详解】
解：令得，或6，
此时，
所以函数过定点或，
故答案为：或.
【点睛】
本题考查对数函数的图象与性质，掌握对数函数的性质是解题关键．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6,0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线的左支上，则________.
【答案】
【解析】由定义得到，结合正弦定理角化边即可得出结论.
【详解】
由条件知，且.又在△ABC中，有(R为△ABC外接圆的半径)，从而.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了利用双曲线的定义以及正弦定理的角化边的应用，属于中档题.
15．在直三棱柱内有一个与其各面都相切的球，若，，则球的表面积为______.
【答案】
【解析】三棱柱的内切球的半径等于底面三角形的内切圆的半径，由题意求出三角形的内切圆的半径即可求解结论.
【详解】
解：由题意知内切球的半径为与底面三角形的内切圆的半径相等，
而三角形为直角三角形，，所以，
设三角形内切圆的半径为，由面积相等可得：，所以，
所以内切球的表面积，
故答案为：.
【点睛】
本题考查三棱柱内切球问题，确定内切球的半径为与底面三角形的内切圆的半径相等是解题关键．
16．在数列中，，则数列的通项公式_____.
【答案】
【解析】由题意可得，又，数列的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列，对分奇数和偶数两种情况，分别求出，从而得到数列的通项公式.
【详解】
解：∵，
∴①，②，
①﹣②得：，又∵，
∴数列的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列，
∴当为奇数时，，
当为偶数时，则为奇数，∴，
∴数列的通项公式，
故答案为：.
【点睛】
本题考查求数列的通项公式，解题关键是由已知递推关系得出，从而确定数列的奇数项成等差数列，求出通项公式后再由已知求出偶数项，要注意结果是分段函数形式．
三、解答题
17．从某高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组，第2组，…，第6组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
（1）由频率分布直方图估计该校高三年级男生身高的中位数；
（2）在这50名男生身高不低于的人中任意抽取2人，则恰有一人身高在内的概率.
【答案】（1）.（2）
【解析】（1）由频率分布直方图得频率为0.48，的频率为0.32，由此能求出中位数.
（2）在这50名男生身高不低于的人中任意抽取2人，中的学生人数为4人，中的学生人数为2人，可用列举法求出基本事件总数，恰有一人身高在内包含的基本事件个数，再由概率公式计算出概率.
【详解】
解：（1）由频率分布直方图得频率为：
，
的频率为：，
∴中位数为：.
（2）在这50名男生身高不低于的人中任意抽取2人，
中的学生人数为人，编号为，
中的学生人数为人，编号为，
任意抽取2人的所有基本事件为，，，共15个，
恰有一人身高在内包含的基本事件有，，，共8个，
∴恰有一人身高在内的概率.
【点睛】
本题考查频率分布直方图，考查中位数的概念，及古典概型，古典概型问题的关键是求出所求概率事件含有的基本事件的个数．可用列举法写出所有基本事件，然后计数．
18．已知函数.
（1）当时，求函数的值域；
（2）的角的对边分别为且，，求边上的高的最大值.
【答案】（1）.（2）
【解析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论.
（2）由题意利用余弦定理､三角形的面积公式､基本不等式求得的最大值，可得边上的高的最大值.
【详解】
解：（1）∵函数，
当时，，.
（2）中，，∴.
由余弦定理可得，当且仅当时，取等号，
即的最大值为3.
再根据，故当取得最大值3时，取得最大值为.
【点睛】
本题考查降幂公式、两角和的正弦公式，考查正弦函数的性质，余弦定理，三角形面积公式，所用公式较多，选用恰当的公式是解题关键，本题属于中档题．
19．如图1，等腰梯形中，，是的中点.将沿折起后如图2，使二面角成直二面角，设是的中点，是棱的中
点.
（1）求证：；
（2）求证：平面平面；
（3）判断能否垂直于平面，并说明理由.
【答案】（1）答案见解析.（2）答案见解析（3）与平面不垂直，理由见解析
【解析】（1）证明，只需证明平面，利用与E是等边三角形，即可证明；
（2）证明平面平面，只需证明平面，只需证明平面即可；
（3）与平面不垂直.假设平面，则，从而可证明平面，可得，这与矛盾.
【详解】
（1）证明：设中点为，连接，
∵在等腰梯形中，，，，是的中点，∴与都是等边三角形.
∴，.
∵，､平面，
∴平面.
∵平面，∴.
（2）证明：连接交于点，∵，，∴四边形是平行四边形，∴是线段的中点.
∵是的中点，∴.
∵平面，∴平面.
又∵平面，
∴平面平面.
（3）解：与平面不垂直.
证明：假设平面，则，∵平面，∴.
∵，､平面，∴平面.
∵平面，∴，这与矛盾.
∴与平面不垂直.
【点睛】
本题考查线面垂直的判定定理与性质定理，考查证明面面垂直，掌握面线面、面面垂直的判定定理与性质定理是解题关键，解题时注意定理的灵活运用，即线线垂直与线面垂直、面面垂直的相互转化.
20．
设椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线为，是上的两个动点，．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）证明：当取最小值时，与共线．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）证明见解析．
【解析】由与，得，
，的方程为．
设，
则，
由得
． ①
（Ⅰ）由，得
， ②
， ③
由①、②、③三式，消去，并求得，
故．
（Ⅱ），
当且仅当或时，取最小值，
此时，，
故与共线．
21．设函数，.
（1）求函数最大值；
（2）求证：恒成立.
【答案】（1）.（2）答案见解析
【解析】（1）先求导函数，通过导数判断单调区间，进而求最值，
（2）由（1）知函数的最大值，通过单调性求不等式另一边的最小值，进而得证.
【详解】
解：（1），
令，解之得，
当，函数单调递增；
当，函数单调递减；
∴时，取最大值，
（2）由（1）知，
而且函数在上单调递增，
∴，
∴恒成立.
【点睛】
本题考查用导数求函数的单调区间，考查用导数求函数的最值．掌握导数怀单调性的关系是解题关键．在证明不等式时，证明也是一种方法，实际上这种不等式一般是证明．
22．已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程：
（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）已知点，直线与圆相交于、两点，求的值.
【答案】（1） ： ， ：；（2）
【解析】（1）消去参数求得直线的普通方程，将两边同乘以，化简求得圆的直角坐标方程.
（2）求得直线的标准参数方程，代入圆的直角坐标方程，化简后写出韦达定理，根据直线参数的几何意义，求得的值.
【详解】
（1）消去参数，得直线的普通方程为，
将两边同乘以得，，
∴圆的直角坐标方程为；
（2）经检验点在直线上，可转化为①，
将①式代入圆的直角坐标方程为得，
化简得，
设是方程的两根，则，，
∵，∴与同号，
由的几何意义得.
【点睛】
本小题主要考查参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用直线参数的几何意义求解距离问题，属于中档题.
23．已知函数，(其中，).
（1）求函数的最小值.
（2）若，求证：.
【答案】（1）.（2）答案见解析
【解析】（1）利用绝对值不等式的性质即可求得最小值；
（2）利用分析法，只需证明，两边平方后结合即可得证.
【详解】
（1），当且仅当时取等号，
∴的最小值；
（2）证明：依题意，，
要证，即证，即证，即证，即证，又可知，成立，故原不等式成立.
【点睛】
本题考查用绝对值三角不等式求最值，考查用分析法证明不等式，在不等式不易证明时，可通过执果索因的方法寻找结论成立的充分条件，完成证明，这就是分析法．
