2020届云南省陆良县高三毕业班第二次教学质量摸底考试数学（理）试题（解析版）
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一、单选题
1．已知集合则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】计算，再计算得到答案.
【详解】
，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了并集的计算，意在考查学生的计算能力.
2．复数在复平面内表示的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】化简得到，得到答案.
【详解】
，对应的点在第二象限.
故选：.
【点睛】
本题考查了复数对应象限，意在考查学生的运算能力.
3．已知为等差数列，若，则（ ）
A．24 B．27 C．36 D．54
【答案】C
【解析】计算得到，根据得到答案.
【详解】
，故，.
故选：.
【点睛】
本题考查了根据等差数列性质求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
4．已知双曲线的离心率为，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．9
【答案】A
【解析】直接根据双曲线离心率公式计算得到答案.
【详解】
双曲线的离心率为，解得.
故选：.
【点睛】
本题考查了根据双曲线的离心率求参数，意在考查学生对于双曲线离心率的理解.
5．向如图的正方形内随机投掷一质点，则该质点落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据定积分计算阴影部分面积为，得到答案.
【详解】
阴影部分的面积为：，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了定积分和几何概型，意在考查学生的综合应用能力.
6．已知向量与向量的夹角为，，，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】平方得到，解得答案.
【详解】
，故，
解得或（舍去）.
故选：.
【点睛】
本题考查了向量模的计算，意在考查学生的计算能力.
7．的展开式中的常数项是（ ）
A．-120 B．-60 C．60 D．120
【答案】C
【解析】直接根据二项式定理计算得到答案.
【详解】
的展开式通项为：，
取得到常数项为：.
故选：.
【点睛】
本题考查了二项式定理求常数，意在考查学生的计算能力和应用能力.
8．将函数的图像横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个长度单位，得到的函数图像的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意得到，计算得到答案.
【详解】
根据题意得到的函数为，取得到.
当时，满足条件.
故选：.
【点睛】
本题考查了三角函数的平移伸缩变换，对称轴，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
9．执行如图所示的程序框图，若输出的S为，则判断框中应填（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据程序框图计算得到，计算得到答案.
【详解】
根据程序框图知：
，解得.
故选：.
【点睛】
本题考查了程序框图的条件，理解程序框图的意义是解题的关键.
10．已知函数 ，若，则实数取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】画出函数图像得到函数单调性，计算得到答案.
【详解】
画出函数图像知：函数单调递增，，故，解得.
故选：.
【点睛】
本题考查了分段函数的单调性，根据单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
11．若，函数在R上是增函数，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】分别计算得到和，根据范围大小得到答案.
【详解】
，则，解得；
函数在R上是增函数，则恒成立，
故，即.
则是的充分不必要条件.
故选：.
【点睛】
本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的综合应用能力.
12．已知椭圆的两个焦点为，为椭圆上一点，.若的内切圆面积为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】计算得到，，化简得到，解得答案.
【详解】
根据勾股定理得到：，即；
的内切圆面积为，故.
根据等面积法得到：，故.
故，即，解得或（舍去）.
故选：
【点睛】
本题考查了椭圆离心率的计算，意在考查学生的综合应用能力.
二、填空题
13．若随机变量，且，则__________.
【答案】0.1
【解析】直接利用正态分布的对称性得到答案.
【详解】
随机变量，故，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了利用正态分布求概率，意在考查学生对于正态分布性质的灵活运用.
14．设变量x，y满足约束条件，则的最小值为_________.
【答案】-2
【解析】画出可行域和目标函数，根据平移得到答案.
【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，根据图像知：
当时，有最小值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
15．若是第二象限的角，且，则___________.
【答案】
【解析】计算，得到，，得到答案.
【详解】
，是第二象限的角，故，.
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了三角恒等变换求值，意在考查学生的计算能力.
16．已知是球面上的四点，且，若三棱锥的体积的最大值为，则球的体积为________________.
【答案】
【解析】计算，的外接圆半径为，得到，解得答案.
【详解】
，故，当时等号成立.
根据正弦定理：，故，即的外接圆半径为.
，故.
故球体积为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
三、解答题
17．在△ ABC中，为锐角，角A、B、C的对边分别为、、，是外接圆半径，已知向量，且.
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，△ ABC的面积为，求的值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）化简得到，利用正弦定理计算得到答案.
（Ⅱ）根据面积公式得到，利用余弦定理得到，再根据正弦定理得到，计算得到答案.
【详解】
（Ⅰ）由得．
由正弦定理可得，即，是锐角，.
（Ⅱ）由，，可得.
所以，即.
，又，，
即．
【点睛】
本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，和差公式，意在考查学生的综合应用能力.
18．普通高中国家助学金，用于资助家庭困难的在校高中生.在本地，助学金分一等和二等两类，一等助学金每学期1250元，二等助学金每学期750元，并规定：属于农村建档立卡户的学生评一等助学金.某班有10名获得助学金的贫困学生，其中有3名属于农村建档立卡户，这10名学生中有4名获一等助学金，另6名获二等助学金.现从这10名学生中任选3名参加座谈会.
（Ⅰ）若事件A表示“选出的3名同学既有建档立卡户学生，又有非建档立卡户学生”，求A的概率；
（Ⅱ）设X为选出的3名同学一学期获助学金的总金额，求随机变量X的分布列和数学期望．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列见解析，期望为2850
【解析】（Ⅰ）直接计算得到答案.
（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为2250，2750，3250，3750，计算概率得到分布列，计算数学期望得到答案.
【详解】
（Ⅰ）由题意：
（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为2250，2750，3250，3750，
，，
，.
所以随机变量X的分布列是
X | 2250 | 2750 | 3250 | 3750 |
P |
所以．
【点睛】
本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的综合应用能力.
19．如图的几何体中，．底面是正三角形，．四边形是矩形，且平面底面．
（Ⅰ）在上运动，当在何处时，有平面，并且说明理由；
（Ⅱ）当平面时，求二面角余弦值．
【答案】（Ⅰ）当为 中点时，有平面，理由见解析（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）当为中点时，平面，证明得到答案.
（Ⅱ）如图所示，作于，于，连接，确定为二面角的平面角，计算得到答案.
【详解】
（Ⅰ）当为中点时，平面.
如图所示：连接交于，连接，
则为中点，为中点，则，平面，故平面.
（Ⅱ）如图所示：作于，于，连接.
平面底面，，故平面，
，故为二面角的平面角.
计算得到：，，故，.
【点睛】
本题考查了根据线面平行确定点的位置，二面角的计算，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
20．已知为抛物线上一点，点到直线的最小距离为．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过点（1，0）作两条互相垂直的直线，与抛物线C分别交于，求四边形的面积的最小值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）设，计算得到，计算得到答案.
（Ⅱ）设交抛物线于，交抛物线于，计算得到，得到答案.
【详解】
（1）设，则点到直线的距离，
若，则不合题意，
所以即，当时，，解得.
即抛物线的方程为；
（2）因为抛物线的方程为，所以（1，0）是焦点，
设交抛物线于，交抛物线于，
由题意的斜率存在且不为0，设的方程为，
由，
则，同理得，
故，
即，当且仅当时，等号成立，
所以.
【点睛】
本题考查了抛物线方程，面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
21．已知函数．
（Ⅰ）若是的极值点，确定的值；
（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）求导，根据得到答案.
（Ⅱ），讨论，，三种情况，计算得到答案.
【详解】
（Ⅰ）的定义域为，，由题意.
若，则，
当时，；当时，.
所以是极大值点，故．
（Ⅱ），
①若，则，在上单调递增，
，满足题意．
②若，则当时，，单调递增；
当时，，单调递减；此时当时，，不合题意.
③若，则时，，单调递减.
，不合题意.
综上可知，当，时，，故.
【点睛】
本题考查了函数的极值点问题，恒成立问题，转化为函数的最值问题是解题的关键.
22．在直角坐标系中，以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线、相交于点A，B．
（Ⅰ）将曲线、的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求弦AB的长.
【答案】（Ⅰ）的直角坐标方程为，的直角坐标方程为（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）直接利用极坐标方程公式化简得到答案.
（Ⅱ）圆心到直线的距离，计算得到答案.
【详解】
（1），即，
故曲线的直角坐标方程为；
曲线的直角坐标方程为.
（2）曲线表示圆心为（2，0），半径的圆，曲线表示直线，
则圆心到直线的距离，所以弦长.
【点睛】
本题考查了极坐标和直角坐标的转化，求弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.
23．已知函数，
1当时，解不等式；
2若存在，使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）当时，得，从而两边平方即可求得不等式的解集；（2）由题意，得，从而令，进而用零点分段法求得的最小值，由此求得实数的取值范围．
试题解析：（1）当时，由得，两边平方整理得，
解得或,原不等式解集为.
（2）由得,令,则,
故，从而所求实数的取值范围为.
【考点】1、绝对值不等式的解法；2、不等式恒成立问题．
