2020_2021学年高中数学课时分层作业8算法案例新人教A版必修3 练习
展开课时分层作业(八) 算法案例
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一、选择题
1．把十进制数2 018化为八进制数的末尾数字是( )
A．2 B．3
C．4 D．7
A [2 018÷8＝252……2，
252÷8＝31……4，
31÷8＝3……7，
3÷8＝0……3，
∴2 018化成8进制数是3742(8)．
十进制数2 018化为八进制数的末尾数字是2，故选A.]
2．下列关于利用更相减损术求156和72的最大公约数的说法中正确的是( )
A．都是偶数必须约简
B．可以约简，也可以不约简
C．第一步作差为156－72＝84；第二步作差为72－84＝－12
D．以上都不对
B [利用更相减损术求解两偶数的最大公约数时，约简是为了使运算更简捷，并非必须约简，A错，B对；C中第二步应为84－72＝12，故C错；D不对．]
3．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4时的值时，先算的是( )
A．4×4 B．7×4
C．4×4×4 D．7×4＋6
D [∵f(x)＝(((((7x＋6)x＋0)x＋0)x＋3)x＋0)x＋2.根据由内到外的运算顺序，结合题目知，应先算7×4＋6.]
4．三位四进制数中的最大数等于十进制数的( )
A．63 B．83
C．189 D．252
A [根据进位制的原理知四进制使用0,1,2,3这四个数字，基数为4，所以三位四进制数中的最大数为333(4)，则333(4)＝3×42＋3×41＋3＝63.]
5．用秦九韶算法计算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x，需要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为( )
A．5,4 B．5,5
C．4,4 D．4,5
D [n次多项式需进行n次乘法；若各项均不为零，则需进行n次加法，缺一项就减少一次加法运算．f(x)中无常数项，故加法次数要减少一次，为5－1＝4.故选D.]
二、填空题
6．1037与425的最大公约数是________．
17 [∵1037＝425×2＋187,425＝187×2＋51,187＝51×3＋34,51＝34×1＋17,34＝17×2.故1037与425的最大公约数是17.]
7．将三进制数2022(3)化为六进制数abc(6)，则a＋b＋c＝________.
7 [2022(3)＝2×33＋0×32＋2×31＋2×30＝62，
所以将2022(3)化为六进制数为142(6)，故a＋b＋c＝7.]
8．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝－2时的值：
①第一步，x＝－2.
第二步，f(x)＝7x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1.
第三步，输出f(x)．
②第一步，x＝－2.
第二步，f(x)＝((((7x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1.
第三步，输出f(x)．
③需要计算5次乘法，5次加法．
④需要计算9次乘法，5次加法．
以上说法中正确的是________(填序号)．
②③ [①是直接求解，并不是秦九韶算法，故①错误，②正确．对于一元n次多项式，应用秦九韶算法时最多要运用n次乘法和n次加法，故③正确，④错误．]
三、解答题
9．用两种方法术210与98的最大公约数．
[解] 法一：用辗转相除法：
210＝98×2＋14，
98＝14×7.
∴210与98的最大公约数为14.
法二：用更相减损术：
∵210与98都是偶数，用2约简得
105和49，
105－49＝56,56－49＝7，
49－7＝42,42－7＝35，
35－7＝28,28－7＝21，
21－7＝14,14－7＝7.
∴210与98的最大公约数为2×7＝14.
10．若二进制数10b1(2)和三进制数a02(3)相等，求正整数a、b.
[解] ∵10b1(2)＝1×23＋b×2＋1＝2b＋9，
a02(3)＝a×32＋2＝9a＋2
∴2b＋9＝9a＋2，即9a－2b＝7
又∵a∈{1,2}、b∈{0,1}
∴只有当a＝1，b＝1时符合．
1．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：
十六进制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
十进制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
例如，用十六进制表示：E＋D＝1B，则A×B等于( )
A．6E B．72
C．5F D．B0
A [A×B用十进制表示10×11＝110，而110＝6×16＋14，所以用16进制表示6E.]
2．运行下面的程序，当输入的数据为78,36时，输出的结果为( )
A．24 B．18
C．12 D．6
D [由程序语句，知此程序是用更相减损术求输入的两个不同正整数的最大公约数．因为78－36＝42,42－36＝6,36－6＝30,30－6＝24,24－6＝18,18－6＝12,12－6＝6，所以78和36的最大公约数为6，所以输出的结果为6，故选D.]
3．古时候，当边境有敌人来犯时，守边的官兵通过在烽火台上点火向境内报告来犯敌人数，如图所示，烽火台上点火表示数字1，未点火表示数字0，约定二进制数对应的十进制数的单位是1 000，请你计算一下，这组烽火台表示有________敌人入侵．
27 000 [由题图可知这组烽火台表示的二进制数为11 011(2)，它表示的十进制数为11 011(2)＝1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝27，由于约定二进制数对应的十进制数的单位是1 000，所以入侵的敌人的数目为27×1 000＝27 000(人)．]
4．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝________.
17 [由秦九韶算法的意义可知s＝f(x)＝((0×x＋2)x＋2)x＋5＝2x2＋2x＋5.故输出s＝f(2)＝17.]
5．用秦九韶算法，判断函数f(x)＝5x7＋x6－x3＋x＋3在区间[－1,0]内是否有零点．
[解] 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f(x)＝5x7＋x6－x3＋x＋3＝((((((5x＋1)x＋0)x＋0)x－1)x＋0)x＋1)x＋3.
当x＝－1时，v0＝5，
v1＝5×(－1)＋1＝－4，
v2＝－4×(－1)＋0＝4，
v3＝4×(－1)＋0＝－4，
v4＝－4×(－1)－1＝3，
v5＝3×(－1)＋0＝－3，
v6＝－3×(－1)＋1＝4，
v7＝4×(－1)＋3＝－1，
∴f(－1)＝－1.
又f(0)＝3，∴f(0)f(－1)<0，
由零点存在性定理，知函数f(x)在区间[－1,0]内有零点．
