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2020_2021学年高中数学课时分层作业22方程的根与函数的零点新人教A版必修1

试卷
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课时分层作业(二十二) 方程的根与函数的零点

(建议用时:60分钟)

一、选择题

1.函数yx2bx+1有一个零点,则b的值为(  )

A.2   B.-2

C.±2 D.3

C [因为函数有一个零点,所以Δb2-4=0,所以b=±2.]

2.函数f(x)=2x的零点所在的区间是(  )

A.(1,+∞)   B.

C.   D.

B [由f(x)=2x,得f=2-2<0,f(1)=2-1=1>0,

f·f(1)<0.

∴零点所在区间为.]

3.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为(  )

A.,0 B.-2,0

C. D.0

D [当x≤1时,由f(x)=0,得2x-1=0,所以x=0;当x>1时,由f(x)=0,得1+log2x=0,所以x,不成立,所以函数的零点为0,故选D.]

4.函数f(x)=ax2bxc,若f(1)>0,f(2)<0,则f(x)在(1,2)上的零点(  )

A.至多有一个 B.有一个或两个

C.有且仅有一个 D.一个也没有

C [若a=0,则f(x)=ax2bxc是一次函数,由已知f(1)·f(2)<0,得只有一个零点;若a≠0,则f(x)=ax2bxc为二次函数,若有两个零点,则应有f(1)·f(2)>0,与已知矛盾.故仅有一个零点.]

5.若a<b<c,则函数f(x)=(xa)(xb)+(xb)(xc)+(xc)·(xa)的两个零点分别位于区间(  )

A.(bc)和(c,+∞)内 B.(-∞,a)和(ab)内

C.(ab)和(bc)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内

C [∵a<b<c

f(a)=(ab)(ac)>0,

f(b)=(bc)(ba)<0,

f(c)=(ca)(cb)>0,

f(x)的零点分别位于(ab)和(bc)内.]

二、填空题

6函数f(x)=的零点是________.

1 [令f(x)=0,即=0,即x-1=0或ln x=0,∴x=1,故函数f(x)的零点为1.]

7.设x0是方程ln xx=4的根,且x0∈(kk+1),kZ,则k=________.

2 [令f(x)=ln xx-4,

f(x)在(0,+∞)上递增,

f(2)=ln 2+2-4<0,f(3)=ln 3-1>0,

f(x)在(2,3)内有解,∴k=2.]

8.函数f(x)=x2-2xa在区间(-2,0)和(2,3)内各有一个零点,则实数a的取值范围是________.

(-3,0) [函数f(x)=x2-2xa在区间(-2,0)和(2,3)内各有一个零点,由二次函数图象的性质,知解得-3<a<0.]

三、解答题

9判断函数f(x)=ln xx2-3的零点的个数.

[解] 法一(图象法):函数对应的方程为ln xx2-3=0,所以原函数零点的个数即为函数y=ln xy=3-x2的图象交点个数.

在同一坐标系下,作出两函数的图象(如图).

由图象知,函数y=3-x2y=ln x的图象只有一个交点,从而ln xx2-3=0有一个根,

即函数y=ln xx2-3有一个零点.

法二(判定定理法):由于f(1)=ln 1+12-3=-2<0,

f(2)=ln 2+22-3=ln 2+1>0,

f(1)·f(2)<0,又f(x)=ln xx2-3的图象在(1,2)上是不间断的,所以f(x)在(1,2)上必有零点,

f(x)在(0,+∞)上是递增的,所以零点只有一个.

10.若函数f(x)=ax2x-1有且仅有一个负零点,求实数a的取值范围.

[解] ①当a=0时,由f(x)=-x-1=0得x=-1,符合题意;

②当a>0时,函数f(x)=ax2x-1为开口向上的抛物线,且f(0)=-1<0,对称轴x>0,所以f(x)必有一个负实根,符合题意;

③当a<0时,x<0,f(0)=-1<0,所以Δ=1+4a=0,即a=-

此时f(x)=-x2x-1=

=0,

所以x=-2,符合题意.综上所述,a的取值范围是a≥0或a=-.

1.若函数f(x)=x2axb的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2ax-1的零点是(  )

A.-1和 B.1和-

C. D.-

B [∵函数f(x)=x2axb的两个零点是2和3,

g(x)=6x2-5x-1,

g(x)的零点为1和-,故选B.]

2.已知函数f(x)=g(x)=f(x)+xa.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是(  )

A.[-1,0) B.[0,+∞)

C.[-1,+∞) D.[1,+∞)

C [函数g(x)=f(x)+xa存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-xa有2个不同的实根,即函数f(x)的图象与直线y=-xa有2个交点,作出直线y=-xa与函数f(x)的图象,如图所示,

由图可知,-a≤1,解得a≥-1,故选C.]

3.若方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则实数a的取值范围是________.

(0,4) [由|x2-4x|-a=0,得a=|x2-4x|,作出函数y=|x2-4x|的图象,则由图象可知,要使方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则0<a<4.]

4.已知函数f(x)=3xxg(x)=log3x+2,h(x)=log3xx的零点依次为abc,则abc的大小关系是________.

abc [画出函数y=3xy=log3xy=-xy=-2的图象,如图所示,

观察图象可知,函数f(x)=3xxg(x)=log3x+2,h(x)=log3xx的零点依次是点ABC的横坐标,由图象可知abc.]

5.已知函数f(x)=x2bx+3.

(1)若f(0)=f(4),求函数f(x)的零点;

(2)若函数f(x)一个零点大于1,另一个零点小于1,求b的取值范围.

[解] (1)由f(0)=f(4)得3=16-4b+3,即b=4,所以f(x)=x2-4x+3,令f(x)=0,

x2-4x+3=0得x1=3,x2=1,

所以f(x)的零点是1和3.

(2)因为f(x)的零点一个大于1,另一个小于1,如图.

f(1)<0,即1-b+3<0,所以b>4.

b的取值范围为(4,+∞).

 

 

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