考点51 不等式选讲-备战2021年高考数学(文)考点一遍过

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考点51 不等式选讲

1理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式:

1.

2.

3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:

.

2了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明.

1)柯西不等式的向量形式:

2.

3.

(此不等式通常称为平面三角不等式.

3会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形:

4会用向量递归方法讨论排序不等式.

5了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明一些简单问题.

6会用数学归纳法证明伯努利不等式:

了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立.

7会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、 柯西不等式求一些特定函数的极值.

8了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.

、不等式的求解

1绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|<a|x|>a的解集

不等式

a>0

a=0

a<0

|x|<a

{x|-a<x<a}

|x|>a

{x|x>ax<-a}

{x|xRx≠0}

R

(2)|ax+b|c(c>0)|ax+b|c(c>0)型不等式的解法

|ax+b|c-cax+bc;

|ax+b|cax+bcax+b-c.

(3)|x-a|+|x-b|c|x-a|+|x-b|c型不等式的解法

利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;

利用零点分段法求解,体现了分类讨论的思想;

通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.

2绝对值三角不等式

(1)定理1:如果a,b是实数,|a+b||a|+|b|,当且仅当ab≥0,等号成立.

(2)定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c||a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0,等号成立.

(3)推论1:||a|-|b|||a+b|.

(4)推论2:||a|-|b|||a-b|.

【技能方法】

(一)含绝对值不等式的解法

 

方法

解读

适合题型

1

公式法

利用公式|x|<a-a<x<a(a>0)|x|>ax>ax<-a(a>0)直接求解不等式

|f(x)|>g(x)|f(x)|<g(x)

2

平方法

利用不等式两边平方的技巧去掉绝对值需保证不等式两边同正或同负

|f(x)||g(x)|f(x)2g2(x)

3

零点分段法

含有两个或两个以上绝对值符号的不等式可用零点分区间法脱去绝对值符号将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式()求解

|f(x)|±|g(x)|a|f(x)|±|g(x)|a

4

几何法

利用绝对值的几何意义画出数轴将绝对值转化为数轴上两点的距离求解

|x±a|±|x±b|c

|x±a|±|x±b|c

5

图象法

在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象利用函数图象求解或通过移项构造一个函数

|f(x)|+|g(x)|a可构造y=|f(x)|+|g(x)|

-ay=|f(x)|+|g(x)|y=a

(二)含绝对值不等式的恒成立问题的解题规律

1根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值,转化为分段函数,然后利用数形结合解决.

2巧用||a|-|b|||a±b||a|+|b|求最值.

(1)|a|-|b|的范围:a±b为常数M,可利用||a|-|b|||a±b|-|M||a|-|b||M|确定范围.

(2)|a|+|b|的最小值:a±b为常数M,可利用|a|+|b||a±b|=|M|,从而确定其最小值.

3f(x)<a恒成立f(x)max<a,f(x)>a恒成立f(x)min>a.

二、不等式的证明

1基本不等式

(1)基本不等式:如果a,b>0,那么当且仅当a=b,等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.

(2)算术平均几何平均定理(基本不等式的推广):对于n个正数a1,a2,,an,它们的算术平均数不小于它们的几何平均数,,当且仅当a1=a2==an,等号成立.

2柯西不等式

(1)二维形式的柯西不等式:a,b,c,d都是实数,(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc,等号成立.

(2)柯西不等式的向量形式:α,β是两个向量,|α·β||α||β|,当且仅当α是零向量或β是零向量或存在实数k使α=kβ,等号成立.

(3)二维形式的三角不等式:x1,y1,x2,y2R,那么.

(4)一般形式的柯西不等式:a1,a2,,an,b1,b2,,bn是实数,(++)(++)≥(a1b1+a2b2++anbn)2,当且仅当ai=0bi=0(i=1,2,,n)或存在一个数k使得ai=kbi(i=1,2,,n),等号成立.

3证明不等式的基本方法

(1)比较法;

(2)综合法;

(3)分析法;

(4)反证法和放缩法.

考向一  绝对值不等式的求解

绝对值不等式的常用方法有

1)基本性质法:对.

2)平方法:两边平方去掉绝对值符号.

3)零点分区间法(或叫定义法):含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解.

4)几何法:利用绝对值的几何意义,画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点的距离求解.

5)数形结合法:在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图象求解.

典例1  解不等式

【答案】.

【解析】令,令.

时,.

时,,故解集为

时,.

综上:.

【名师点睛】本题考查绝对值不等式的解法,此类问题常用零点分段讨论法将绝对值不等式转化为不含绝对值的不等式后再求解,属于基础题.求解时,令和令,得,分三种情况分别讨论,将绝对值不等式转化为不含绝对值的不等式,求解转化后的不等式,再求解这三种情况的解集的并集可得解.

典例2  已知函数.

1)解不等式

2)若不等式有解,求实数的取值范围.

【答案】(1;(2.

【解析】(1)由已知得

时,

时,

时,,舍去.

综上得,的解集为.

2.

有解,

的取值范围是.

【名师点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的问题,涉及的知识点有应用零点分段法解绝对值不等式,根据不等式有解求参数的取值范围,属于简单题目.求解时,(1)对去绝对值符号,然后分别解不等式即可;(2)不等式有解,则只需,求出的最小值,然后解不等式即可.

 

1已知函数

1)求的解集;

2)若有两个不同的解,求的取值范围.

考向二  含绝对值不等式的恒成立问题

含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法:

1)分享参数法

运用“”可解决恒成立中的参数范围问题.

求最值的思路:利用基本不等式和不等式的相关性质解决;将函数解析式用分段函数形式表示,作出函数图象,求得最值;利用性质“”求最值.

2)更换主元法

不少含参不等式恒成立问题,若直接从主元入手非常困难或不可能解决时,可转换思维角度,将主元与参数互换,常可得到简捷的解法.

3)数形结合法

在研究曲线交点的恒成立问题时,若能数形结合,揭示问题所蕴含的几何背景,发挥形象思维和抽象思维各自的优势,可直接解决问题.

典例3  若不等式log2(|x+1|+|x-2|−m)≥2恒成立则实数m的取值范围是     . 

【答案】(−∞,-1]  

【解析】由题意可知|x+1|+|x−2|−m≥4恒成立m≤(|x+1|+|x−2|-4)min.

|x+1|+|x−2|-4≥|(x+1) (x−2)| −4=−1m1.

典例4  已知函数.

1)解不等式

2)已知,若恒成立,求实数的取值范围.

【解析】(1)不等式可化为 ①.

时,式为,解得

,①式为,解得

x > 1时,式为,无解.

综上所述,不等式的解集为

2

时,

要使不等式恒成立,只需,即

实数a取值范围是

2.设函数.

1)当时,解不等式:

2)若存在,使得,试求实数的取值范围.

考向三   不等式的证明

比较法证明不等式最常用的是差值比较法其基本步骤是作差—变形—判断差的符号—下结论.其中“变形”是证明的关键,一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式,当差式是二次三项式时,有时也可用判别式来判断差值的符号.个别题目也可用柯西不等式来证明.

 

典例5  已知函数.

1)解不等式

2)若,求证:.

【答案】(12)见解析.

【解析】(1.

时,由,解得

时,不成立;

时,由,解得

综上所述:不等式的解集为

2,即

所以

故所证不等式成立.

【名师点睛】本题考查了解绝对值不等式,不等式的证明,将绝对值不等式转化为分段函数是常用的技巧,需要灵活掌握.求解时,1)得到分段函数,分别计算不等式得到答案.2)不等式等价于,证明得到答案.

3设正数满足,求证:,并给出等号成立的条件.

1.不等式的解集为

A  B

C  D

2.函数的最小值及取得最小值时的值分别是

A1   B30

C3   D2

3.不等式无实数解,则的取值范围是

A  B

C  D

4.若abc为正数,且a+b+c=1,则++的最小值为

A9     B8

C3     D

5.已知函数,若恒成立,则的取值范围是

A  B

C  D

6.若函数的最小值3,则实数的值为

A  B 

C  D5

7.不等式的解集为___________.

8.已知不等式|2xa|+a≤6的解集为[−2,3],则实数a的值为___________.

9.若关于的不等式的解集为,则实数的取值范围为___________.

10.已知,函数在区间上的最大值是5,则的取值范围是___________.

11.若关于的不等式的解集不是,则实数的最大值是___________.

12.设函数.

1)画出函数的图象;

2)若不等式的解集非空,求实数的取值范围.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.函数的最小值为.

1)求的值;

2)若,且,求的最小值.

 

 

 

 

 

 

 

 

14.已知函数.

1)当时,求不等式的解集;

2)若关于的不等式的解集包含,求的取值集合.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.已知函数

1)当时,求不等式的解集;

2)当时,若对任意实数都成立,求的取值范围.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.已知

1)求证:

2)求证:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.已知函数.

1)求不等式的解集;

2)若函数的定义域为,求实数的取值范围.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.设函数

1)若不等式的解集为,求实数的值;

2)若,求证:对任意的实数

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.已知函数.

1)解不等式

2)若函数,若对于任意的R都存在R,使得成立,求实数a的取值范围.

 

 

 

 

 

 

 

 

1.【2019年高考全国卷文数】已知abc为正数,且满足abc=1.证明:

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.【2019年高考全国卷文数】已知

1)当时,求不等式的解集;

2)若时,,求的取值范围.

 

 

 

 

 

 

3.【2019年高考全国卷文数】,且

1)求的最小值;

2)若成立,证明:

 

 

 

 

 

 

 

4.【2019年高考江苏卷数学】,解不等式

 

 

 

 

 

 

52018年高考全国卷文数】已知

1)当时,求不等式的解集;

2)若时不等式成立,求的取值范围.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

62018年高考全国卷文数】设函数

1)当时,求不等式的解集;

2)若,求的取值范围.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.【2018年高考全国卷文数】设函数

1)画出的图像;

2)当,求的最小值.

 

 

 

 

82017年高考全国卷文数】已知函数

1)当时,求不等式的解集;

2)若不等式的解集包含[–11],求的取值范围.

 

 

 

 

 

 

 

92017年高考全国卷文数】已知.证明:

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

102017年高考全国卷文数】已知函数fx=│x+1│–│x–2│

1)求不等式fx≥1的解集;

2)若不等式的解集非空,求m的取值范围.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.【答案】(1;2.

【解析】(1)由绝对值的意义可得:

时,得:无解;

时,,解得:

时,,解得:.

综合①②③可得的解集为:.

2)若有两个不同的解,即的图象与直线有两个交点,

当直线过点时,

当直线中的第一段重合时,.

结合图象可得

【名师点睛】本题考查了绝对值的意义、数形结合的数学思想方法,难度不大,但对作图要求较高.求解时,(1)由绝对值的意义可得:,再分段求解即可;(2)采用数形结合的数学思想方法解题,分别作的图象与直线图象,观察交点个数情况,从而得出的取值范围.

2.【答案】(1;(2.

【解析】(1

所以

所以不等式的解集为.

2)即若存在,使得

因为

所以

所以的取值范围为.

【名师点睛】求解本题时,(1)由题意将不等式转化为分段函数的形式,然后分别求解相应的不等式组即可确定不等式的解集;(2)首先利用绝对值三角不等式求得的最小值,据此得到关于a的不等式即可确定实数的取值范围.

绝对值不等式的解法:

法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;

法二:利用零点分段法求解,体现了分类讨论的思想;

法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.

3【答案】见解析.

【解析】因为

所以

所以

取等号时,即

所以成立.

【名师点睛】(1)绝对值不等式常用的求解集方法:零点分段法、几何意义法、图象法;

2)利用基本不等式完成证明或者计算最值得时候一定要说明取等号的条件.对于本题分别利用得到等价变形,然后利用基本不等式证明,并给出取等号的条件.

1.【答案】D

【解析】原不等式等价于

D正确.

【名师点睛】本题考查绝对值不等式,属于基础题.求解时,讨论1的大小关系,将绝对值拿掉,再解不等式即可.

2.【答案】C

【解析】依题意,当且仅当,即时等号成立,故选C

【名师点睛】本小题主要考查绝对值不等式,以及绝对值不等式等号成立的条件,属于基础题.求解时利用绝对值不等式,求得函数的最小值,并求得对应的值.

3.【答案】C

【解析】由绝对值不等式的性质可得,

.

因为无实数解,所以.

故选C

【名师点睛】本题考查了绝对值不等式的性质,利用绝对值不等式的性质解出变量的范围是解决问题的关键.求解时,利用绝对值不等式的性质,因此得出的范围,再根据无实数解得出的范围.

4.【答案】A

【解析】

当且仅当时等号成立,故所求的最小值为,故选A

5.【答案】B

【解析】根据绝对值三角不等式,得

的最小值为

恒成立,等价于的最小值大于等于2,即

,即,故选B

【名师点睛】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用及如何在恒成立条件下确定参数a的取值范围.求解时,利用绝对值三角不等式确定的最小值;把恒成立的问题,转化为其等价条件去确定a的范围.

6.【答案】A

【解析】由,当时,,不合题意;

时,

时,.故选A

7.【答案】

【解析】

解得x2

故所求不等式的解集是(2+∞.

8.【答案】1

【解析】由|2xa|+a≤6,a6≤2xa≤6a,所以a3≤x≤3,所以a=1.

9.【答案】

【解析】由绝对值不等式的性质可得:

又关于的不等式的解集为,即恒成立,

所以只需.

故答案为:.

【名师点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题,熟记绝对值不等式的性质即可,属于常考题型.求解时先由绝对值不等式性质得到,再由题意,即可得出结果.

10.【答案】

【解析】由题可知,即,所以

又因为,所以,故

又因为,所以,解得

.

11.【答案】

【解析】不等式变形为

构造函数

时,

时,

时,.

,画出函数图象如下图所示:

因为的解集不是空集,即有解,

所以从图象可知,,即实数的最大值是3.

故答案为3.

【名师点睛】本题考查了分类讨论绝对值不等式相关问题,将不等式转化为函数,结合图象来分析参数取值是常用方法,属于基础题.求解时将不等式变形,并构造函数,对分类讨论,求得不同取值范围内解析式.画出函数图象,并根据图象求得的取值范围.

12.【答案】(1)见解析;(2.

【解析】(1函数

时,

时,

.

则函数的图象如图所示:

2)由题得,即有解.

所以

(当时取等号),

所以

,可得.

【名师点睛】本题主要考查了不等式选讲的内容,一般地,对含有绝对值的函数,采用零点分段法,即可把绝对值去掉,属于中档题.求解时,(1)去掉绝对值,再根据解析式画出图象即可.2)根据题意,将不等式的解集非空,转化为有解,由三角不等式求出的最小值,解不等式,即可得出实数得取值范围.

13.【答案】(1;(2.

【解析】(1)由题意,函数

时,函数的最小值为

时,函数的最小值

时,函数的最小值为

所以函数的最小值为,即.

2)由(1)知,,则

当且仅当,即时取等号,

所以的最小值为.

【名师点睛】本题主要考查了含绝对值函数的应用,以及利用基本不等式求最值问题,其中解答中合理去掉绝对值得到分段函数,以及准确利用基本不等式求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.求解时,(1)由题意,去掉绝对值,得到分段函数,即可求得函数的最小值,得到答案.2)由(1)知,,则,利用基本不等式,即可求得的最小值,得到答案.

14.【答案】(1;(2.

【解析】(1时,.

可解得

所以不等式的解为.

2)由上恒成立,

由于,可得(当且仅当a=1时取等号),

不等式等价于上恒成立,

上恒成立,

,可得

的取值集合为.

【名师点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法,绝对值的几何意义,恒成立问题,分离参数的方法,属于难题.求解时1时,,根据绝对值的几何意义即可求解(2)不等式的解集包含,即上恒成立,去掉绝对值号,分离参数即可求解.

15.【答案】(1;(2.

【解析】(1)当时,

,即,解得.

时,关于的不等式的解集为.

2时,

所以上是减函数,在上是增函数,

所以

由题设得,解得.

时,

所以上是减函数,在上是增函数,

所以

由题设得,解得.

综上所述,的取值范围为.

【名师点睛】本题考查绝对值函数,绝对值函数其本质就是分段函数,通过讨论绝对值里面的正负号,将绝对值去掉是解本类题的关键,属于中档题.求解时,(1)当时,,解出即可.2)讨论的取值,去掉绝对值,找到,即可求出的取值范围.

16.【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】(1

时取等号.

2

所以时取等号.

【名师点睛】本题主要考查利用均值不等式证明不等式的方法,不等式的灵活变形等知识,属于中等题.求解时,(1结合均值不等式进行整理变形即可证得题中的结论;2由题意利用均值不等式首先证得,然后结合题意即可证得题中的结论,注意等号成立的条件.

17.【答案】(1;(2.

【解析】(1)由得:

时,,解得:

时,,解得:

时,,解得:解集为.

综上所述,不等式的解集为.

2)要使函数的定义域为

只要的最小值大于即可.

(当且仅当时取等号),

,解得:.

实数的取值范围为.

【名师点睛】本题考查分类讨论求解绝对值不等式、绝对值三角不等式的应用;涉及到根据对数型复合函数的定义域求解参数范围的问题;关键是能够将问题转化为函数最值的求解问题,利用绝对值三角不等式求得最值.求解时1)分别在三种情况下去掉绝对值符号,解不等式求得结果;(2)将问题转化为最小值大于;利用绝对值三角不等式可求得,根据求得结果.

18.【答案】(1;(2)见解析.

【解析】(1)因为不等式的解集为

所以是方程的根,

所以,解得

时,的解集为,不合题意,舍去.

经验证,当时不等式的解集为,符合题意,

所以.

2)因为,即

所以对任意的实数

+

因为

所以

所以

故得证.

【名师点睛】本题考查方程的根和所对应的不等式的解集之间的关系和绝对值三角不等式的应用,属于基础题.求解时,(1)根据方程的根与所对应的不等式的解集之间的关系,建立方程求得a,注意检验所对应的解集是否满足题意;(2)利用绝对值三角不等式:,对函数进行放缩得证.

19.【答案】(1;(2.

【解析】(1.

得,

故所求解集为.

2

由(1)知

.

【名师点睛】本题考查了绝对值不等式,绝对值三角不等式和函数最值问题,是中档题.求解时,(1)利用分类讨论法去掉绝对值,从而求得不等式fx≤2的解集;(2)利用绝对值不等式化简gx≥|a1|,求出函数fx)的最小值,问题化为|a1|,求出不等式的解集即可.

1.【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】(1)因为,又,故有

所以

2)因为为正数且,故有

=24

所以

【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题,考查学生对于基本不等式的变形和应用能力,需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.

2.【答案】(1;(2

【解析】(1)当a=1时,

时,;当时,

所以,不等式的解集为

2)因为,所以

时,

所以,的取值范围是

【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式,熟记分类讨论的方法求解即可,属于常考题型.

3.【答案】(1;(2)见详解.

【解析】(1)由于

故由已知得

当且仅当x=y=–时等号成立.

所以的最小值为

2)由于

故由已知

当且仅当时等号成立.

因此的最小值为

由题设知,解得

【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式,属于柯西不等式的常见题型.

4.【答案】

【解析】x<0时,原不等式可化为,解得x<

0≤x时,原不等式可化为x+1–2x>2,即x<–1,无解;

x>时,原不等式可化为x+2x–1>2,解得x>1

综上,原不等式的解集为

【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识,考查运算求解和推理论证能力.

5.【答案】(1;(2

【解析】(1)当时,,即

故不等式的解集为

2)当成立等价于当成立.

,则当

的解集为,所以,故

综上,的取值范围为

6.【答案】(1;(2

【解析】(1)当时,

可得的解集为

2等价于

,且当时等号成立.故等价于

可得,所以的取值范围是

7.【答案】(1)图像见解析;(2的最小值为

【解析】(1的图像如图所示.

2)由(1)知,的图像与轴交点的纵坐标为,且各部分所在直线斜率的最大值为,故当且仅当时,成立,因此的最小值为

8.【答案】(1;(2

【解析】(1)当时,不等式等价于

时,式化为,无解;

时,式化为,从而

时,式化为,从而

所以的解集为

2)当时,

所以的解集包含,等价于当

的最小值必为之一,所以,得

所以的取值范围为

【名师点睛】形如(或)型的不等式主要有两种解法:

1)分段讨论法:利用绝对值号内式子对应方程的根,将数轴分为(此处设)三个部分,将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解,然后取各个不等式解集的并集.

2)图像法:作出函数的图像,结合图像求解.

9.【答案】(1)证明略;(2)证明略.

【解析】(1

2)因为

所以,因此

【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.若不等式恒等变形之后与二次函数有关,可用配方法.

10.【答案】(1;(2.

【解析】(1

时,无解;

时,由得,,解得

时,由解得

所以的解集为

2)由,而

且当时,

m的取值范围为

【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种:

法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;

法二:利用零点分段法求解,体现了分类讨论的思想;

法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.