江苏省苏州市外国语学校2020年中考数学模拟试卷 解析版


江苏省苏州市外国语学校2020年中考数学模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．的值等于（　　）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．±2
2．截止到3月26日0时，全球感染新型冠状病毒肺炎的人数已经突破380000人，“山川异域，风月同天”，携手抗“疫”，刻不容缓．将380000用科学记数法表示为（　　）
A．0.38×106 B．3.8×105 C．38×104 D．3.8×106
3．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣2 B．x≠2 C．x≠0 D．x≠﹣2
4．下列图形中：①等边三角形；②矩形；③平行四边形；④菱形；既是中心对称图形又是轴对称图形的有（　　）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
5．在某次体育测试中，九年级（1）班的15名女生仰卧起坐的成绩如表：
成绩（次∕分钟）
44
45
46
47
48
49
人数（人）
1
1
3
3
5
2
则此次测试成绩的中位数和众数分别是（　　）
A．46，48 B．47，47 C．47，48 D．48，48
6．二次函数与y＝kx2﹣8x+8的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜2 B．k＜2且k≠0 C．k≤2 D．k≤2且k≠0
7．如图，在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是（　　）km．

A． B． C． D．2
8．轩轩和凯凯在同一个数学学习小组，在一次数学活动课上，他们各自用一张边长为12cm的正方形纸片制作了一副七巧板，并合作设计了如图所示的作品请你帮他们计算图中圈出来的三块图形的面积之和为（　　）

A．12cm2 B．24cm2 C．36cm2 D．48 cm2
9．如图，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A'BC．若反比例函数y＝的图象恰好经过A'B的中点D，则k的值是（　　）

A．19 B．16.5 C．14 D．11.5
10．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，其中有：①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝DE；④∠A＝∠EBC，四个结论，则结论一定正确的有（　　）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．计算x8÷x2的结果等于　 　．
12．在单词“BANANA随机选择一个字母，选择到的字母是“A”的概率是　 　．
13．一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为　 　．
14．因式分解：4a2﹣8a+4＝　 　．
15．如图，用一个圆心角为120°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为3cm，则这个扇形的半径是　 　cm．

16．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的腰长为2，直角顶点A在直线l：y＝2x+2上移动，且斜边BC∥x轴，当△ABC在直线l上移动时，BC的中点D（m，n），写出m关于n的关系式为　 　．

17．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE+PF＝　 　．

18．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是　 　．

三．解答题（本大题共10小题，共76分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明，作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.）
19．计算：（）﹣1﹣+|﹣2|+2sin60°．
20．解不等式组：
21．先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x＝﹣3．
22．小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉当前题的一个错误选项，然后选手在剩下选项中作答）．
（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是　 　；
（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表分析小明顺利通关的概率；
（3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”？并说明理由．
23．科技发展，社会进步，中国己进入特色社会主义新时代，为实现“两个一百年”奋斗目标和中华民族伟大复兴的中国梦，需要人人奋斗，青少年时期是良好品格形成和知识积累的黄金时期．为此，大数据平台针对部分中学生品格表现和学习状况进行调查统计绘制如下统计图表，请根据图中提供的信息解决下列问题，类别：A品格健全，成绩优异；B尊敬师长，积极进取；C自控力差，被动学习；D沉迷奢玩，消极自卑．
（1）本次调查被抽取的样本容量为　 　；
（2）“自控力差，被动学习”的同学有　 　人，并补全条形统计图；
（3）样本中D类所在扇形的圆心角为　 　度；
（4）东至县城内某中学有在校学生3330人，请估算该校D类学生人数．
24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．
（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若AC＝4，BD＝3，求△ADE的周长．

25．已知一次函数y＝kx﹣（2k+1）的图象与x轴和y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝﹣的图象分别交于C、D两点．

（1）如图1，当k＝1，点P在线段AB上（不与点A、B重合）时，过点P作x轴和y轴的垂线，垂足为M、N．当矩形OMPN的面积为2时，求出点P的位置；
（2）如图2，当k＝1时，在x轴上是否存在点E，使得以A、B、E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若某个等腰三角形的一条边长为5，另两条边长恰好是两个函数图象的交点横坐标，求k的值．
26．如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．
（1）求证：AC平分∠FAB；
（2）求证：BC2＝CE•CP；
（3）当AB＝4且＝时，求劣弧的长度．

27．如图1，在△ABC中，∠A＝30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A﹣C﹣B运动，点Q从点A出发以a（cm/s）的速度沿AB运动，P、Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为x（s）．△APQ的面积为y（cm2），y关于x的函数图象由C1、C2两段组成（其中C1、C2均为抛物线的一部分）．如图2所示．

（1）求a的值；
（2）求图2中图象C2段的函数表达式；
（3）当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积，大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积，求x的取值范围，
28．如图抛物线y＝x2+bx+c（c＜0）与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，且OB＝OC＝3，点E为线段BD上的一个动点，EF⊥x轴于F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点E，使△ECF为直角三角形？若存在，求点E的坐标；不存在，请说明理由；
（3）连接AC、BC，若点P是抛物线上的一个动点，当P运动到什么位置时，∠PCB＝∠ACO，请直接写出点P的坐标．



















参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：＝4．
故选：A．
2．解：380000＝3.8×105，
故选：B．
3．解：由题意得：x+2≠0，
解得：x≠﹣2．
故选：D．
4．解：②矩形；④菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，共2个，
故选：C．
5．解：由于一共有15个数据，
∴其中位数为第8个数据，即中位数为47，
∵48出现次数最多，有5次，
∴众数为48，
故选：C．
6．解：∵二次函数与y＝kx2﹣8x+8的图象与x轴有交点，
∴△＝b2﹣4ac＝64﹣32k≥0，k≠0，
解得：k≤2且k≠0．
故选：D．
7．解：过点C作CD⊥AB于点D，

根据题意得：∠CAD＝90°﹣60°＝30°，
∠CBD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAD＝30°，
∴∠CAB＝∠ACB，
∴BC＝AB＝3km，
在Rt△CBD中，
∴CD＝BC•sin60°＝3×（km）．
∴船C到海岸线l的距离是km．
故选：C．
8．解：如图：

小猫的头部的图形是abc，在右图中三角形h的一半与b全等，而由图中a+c+h的一半正好是正方形的四分之一，即阴影部分的面积是×12×12cm2＝36cm2，
故选：C．
9．解：作A′H⊥y轴于H．

∵∠AOB＝∠A′HB＝∠ABA′＝90°，
∴∠ABO+∠A′BH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠A′BH，
∵BA＝BA′，
∴△AOB≌△BHA′（AAS），
∴OA＝BH，OB＝A′H，
∵点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（0，6），
∴OA＝1，OB＝6，
∴BH＝OA＝1，A′H＝OB＝6，
∴OH＝5，
∴A′（6，5），
∵BD＝A′D，
∴D（3，5.5），
∵反比例函数y＝的图象经过点D，
∴k＝16.5．
故选：B．
10．解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故①、③错误；
∴∠ACD＝∠BCE，
∴∠A＝∠ADC＝（180°﹣∠ACD），∠CBE＝（180°﹣∠BCE），
∴∠A＝∠EBC，故④正确；
∵∠A+∠ABC不一定等于90°，
∴∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故②错误；
故选：A．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．解：原式＝x8﹣2＝x6，
故答案为：x6
12．解：∵单词“BANANA”中有3个A，
∴从单词“BANANA”中随机抽取一个字母为A的概率为：＝．
故答案为：．
13．解：多边形的边数：360°÷30°＝12，
则这个多边形的边数为12．
故答案为：12．
14．解：原式＝4（a2﹣2a+1）＝4（a﹣1）2，
故答案为：4（a﹣1）2
15．解：设扇形的半径为r，则＝2π×3，
解得R＝9cm．
故答案为：9．
16．解：设：AD＝a，则CD＝a，
由题意得：△ADC为等腰直角三角形，
则2a2＝4，解得：a＝，
D（m，n），则A（m，2m+2），
则2m+2﹣a＝n，
即：n＝2m+2﹣，
故答案为：n＝2m+2﹣．
17．解：连接OP，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，AC＝＝＝10，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝48，S△AOB＝S矩形ABCD＝12，OA＝OB＝5，
∴S△AOB＝S△AOP+S△BOP＝OA•PE+OB•PF＝OA（PE+PF）＝×5×（PE+PF）＝12，
∴PE+PF＝；
故答案为：．

18．解：令y＝x2﹣4＝0，则x＝±4，
故点B（4，0），
设圆的半径为r，则r＝2，
当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，
而点Q、O分别为AP、AB的中点，故OQ是△ABP的中位线，
则OE＝BP＝（BC+r）＝（+2）＝3.5，
故答案为3.5．
三．解答题（本大题共10小题，共76分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明，作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.）
19．解：原式＝2+2+2﹣+2×
＝6﹣+
＝6．
20．解：
∵解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x≥﹣2，
∴不等式组的解集是﹣2≤x＜3．
21．解：原式＝×＝，
把x＝﹣3代入得：原式＝＝＝1﹣2．
22．解：（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率＝；
故答案为；
（2）画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中两个都正确的结果数为1，所以明顺利通关的概率为；
（3）建议小明在第一题使用“求助”．理由如下：
小明将“求助”留在第一题，
画树状图为：

小明将“求助”留在第一题使用，小明顺利通关的概率＝，
因为＞，
所以建议小明在第一题使用“求助”．
23．解：（1）本次调查被抽取的样本容量为＝520÷52%＝1000，
故答案为1000．
（2）C组人数＝1000﹣280﹣520﹣30＝170（人），
条形图如图所示：

故答案为170．
（3）D类所在扇形的圆心角＝360°×＝10.8°．
故答案为10.8．
（4）该校D类学生人数3330×3%≈100（人）
24．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴AE∥CD，∠AOB＝90°．
∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，
∴∠AOB＝∠EDB，
∴DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝4，BD＝3，
∴AO＝2，DO＝1.5，AD＝CD＝＝2.5．
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE＝CD＝2.5，DE＝AC＝4，
∴△ADE的周长＝AD+AE+DE＝2.5+2.5+4＝9．

25．解：（1）当k＝1，则一次函数解析式为：y＝x﹣3，反比例函数解析式为：y＝﹣，
∵点P在线段AB上
∴设点P（a，a﹣3），a＞0，a﹣3＜0，
∴PN＝a，PM＝3﹣a，
∵矩形OMPN的面积为2，
∴a×（3﹣a）＝2，
∴a＝1或2，
∴点P（1，﹣2）或（2，﹣1）
（2）∵一次函数y＝x﹣3与x轴和y轴分别交于A、B两点，
∴点A（3，0），点B（0，﹣3）
∴OA＝3＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，AB＝3，
∵x﹣3＝﹣
∴x＝1或2，
∴点C（1，﹣2），点D（2，﹣1）
∴BC＝＝，
设点E（x，0），
∵以A、B、E为顶点的三角形与△BOC相似，且∠CBO＝∠BAE＝45°，
∴，或，
∴，或＝，
∴x＝1，或x＝﹣6，
∴点E（1，0）或（﹣6，0）
（3）∵﹣＝kx﹣（2k+1），
∴x＝1，x＝，
∴两个函数图象的交点横坐标分别为1，，
∵某个等腰三角形的一条边长为5，另两条边长恰好是两个函数图象的交点横坐标，
∴1＝，或5＝
∴k＝
26．（1）证明：∵PF是切线，
∴OC⊥PF，
∵AF⊥PF，
∴AF∥OC．
∴∠FAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACO，
∴∠FAC＝∠CAB，即AC平分∠FAB．
（2）证明：∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，
∴∠OCP＝∠CEB＝90°，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，∠BCE+∠OBC＝90°，
∴∠BCE＝∠BCP，
∵CD是直径，
∴∠CBD＝∠CBP＝90°，
∴△CBE∽△CPB，
∴＝，
∴BC2＝CE•CP；
（3）解：作BM⊥PF于M．则CE＝CM＝CF，设CE＝CM＝CF＝3a，PC＝4a，PM＝a，
∵∠MCB+∠P＝90°，∠P+∠PBM＝90°，
∴∠MCB＝∠PBM，
∵CD是直径，BM⊥PC，
∴∠CMB＝∠BMP＝90°，
∴△BMC∽△PMB，
∴＝，
∴BM2＝CM•PM＝3a2，
∴BM＝a，
∴tan∠BCM＝＝，
∴∠BCM＝30°，
∴∠OCB＝∠OBC＝∠BOC＝60°，∠BOD＝120°
∴的长＝＝π．

27．解：（1）如图1，过点P作PD⊥AB于D，

∵∠A＝30°，
∴PD＝AP＝x，
∴y＝AQ•PD＝ax•2x＝ax2，
由图象可知，当x＝1时，y＝，
∴×a×12＝，
解得，a＝1；
（2）如图2，

由（1）知，点Q的速度是1cm/s，
∵AC+BC＜2AB，而点P的速度时2cm/s，所以点P先到达B点，
作PD⊥AB于D，
由图象可知，PB＝7×2﹣2x＝14﹣2x，
PD＝PB•sinB＝（14﹣2x）•sinB，
∴y＝×AQ×PD＝x×（14﹣2x）•sinB，
∵当x＝6时，y＝，
∴×6×（14﹣2×6）•sinB＝，
解得，sinB＝，
∴y＝x×（14﹣2x）×＝﹣x2+x；
即C2段的函数表达式为y＝﹣x．
（3）x2＝﹣x2+x，
解得，x1＝0，x2＝2，
由图象可知，当x＝2时，y＝x2有最大值，最大值是×22＝2，
∴﹣x2+x＝2，
解得，x1＝2，x2＝5，
∴当2＜x＜5时，点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积，大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积．
28．解：（1）∵OB＝OC＝3，
∴点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，﹣3），
∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B，C，∴，
解得：c＝﹣3，b＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴点D坐标为（1，﹣4），
∵直线BD经过点B，D，设直线BD解析式为y＝kx+b，
则，
解得：k＝2，b＝﹣6，
∴直线BD解析式为y＝2x﹣6，
∵△ECF为直角三角形，
当∠CEF＝90°时，E点纵坐标和等于C点纵坐标，
∴点E纵坐标为﹣3，
∴点E横坐标为，
∴点E坐标为（，﹣3）；
当∠FCE＝90°时，
∵EF⊥x轴，所以易得△CFO∽FEC，
∴，即EF•OC＝CF2，＝OF2+OC2，
设OF＝m，因此F的坐标为（m，0）代入直线BD的方程y＝2x﹣6得E的坐标为（m，2m﹣6），
∴EF＝6﹣2m，
∴（6﹣2m）×3＝m2+9，解得m＝3﹣3（负值舍去），
∴点E的坐标为（3﹣3，6﹣12）
综上可得E点的坐标为（，﹣3）或（3﹣3，6﹣12）．
（3）存在2种情况：

①∠PCB＝∠ACO，
∵∠BCE＝45°，
∴tan∠BCE＝1，
∵tan∠ACO＝，
∴tan∠PCB＝，
∴tan∠PCE＝tan（∠BCE﹣∠PCB）＝＝，
∵直线PC经过点P，
∴直线PC解析式为：y＝x﹣3，
∴点P坐标为：（，﹣），
②∠P'CB＝∠ACO，
∵∠BCE＝45°，
∴tan∠BCE＝1，
∵tan∠ACO＝，
∴tan∠P'CB＝，
∴tan∠P'CE＝tan（∠BCE﹣∠P'CB）＝＝2，
∵直线PC经过点P，
∴直线PC解析式为：y＝2x﹣3，
∴点P坐标为：（4，5）．