高二物理万有引力知识点讲解含同步习题和答案

万有引力整个章节的知识点讲解


高二物理

万有引力
第一节 天体运动
1. 地心说和日心说：
地心说认为：____地球__是宇宙的中心，它是___静止不动_的，太阳、月亮及其他天体都绕_______地球_______做圆周运动，日心说认为______太阳_____是宇宙的中心，它是_ ____静止不动___的，地球和所有的行星都绕____太阳_____做圆周运动。2. 开普勒行星运动定律：
（1）开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是_____椭圆_________，太阳处在_____椭圆_________的一个___ 焦点上___________。
（2）开普勒第二定律:对任意一个行星来说，它_______与太阳_______的连线在相等的时间里扫过相等的_________面积_____。
（3）开普勒第三定律：所有行星轨道的_____半长轴的三次方_____跟它的公转周期的二次方的比值都相等。即＝k，比值k是一个对于所有行星都相同的常量．

3. 练习：
A组：
1．关于日心说被人们所接受的原因是(　B　)
A．以地球为中心来研究天体的运动有很多无法解决的问题
B．以太阳为中心，许多问题都可以解决，行星运动的描述也变得简单了
C．地球是围绕太阳转的
D．太阳总是从东面升起从西面落下
2．16世纪，哥白尼根据天文观测的大量资料，经过40多年的天文观测和潜心研究，提出“日心说”的如下四个基本论点，这四个论点就目前来看存在缺陷的是(　ABC　)
A．宇宙的中心是太阳，所有行星都在绕太阳做匀速圆周运动
B．地球是绕太阳做匀速圆周运动的行星，月球是绕地球做匀速圆周运动的卫星，它绕
地球运转的同时还跟地球一起绕太阳运动
C．太阳不转动，地球每天自西向东自转一周，造成天体每天东升西落的现象
D．与日地距离相比，其他恒星离地球都十分遥远，比日地间的距离大得多
3．关于行星的运动，以下说法正确的是(　BD　)
A．行星轨道的半长轴越长，自转周期越大
B．行星轨道的半长轴越长，公转周期越大
C．水星的半长轴最短，公转周期最长
D．海王星离太阳“最远”，绕太阳运动的公转周期最长
[根据开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即a3/T2＝k.所以行星轨道的半长轴越长，公转周期就越大；行星轨道的半长轴越短，公转周期就越小．特别要注意公转周期和自转周期的区别，例如：地球的公转周期为一年，而地球的自转周期为一天．]

4．对于开普勒关于行星的运动公式a3/T2＝k，以下理解正确的是(　AD　)
A．k是一个与行星无关的常量
B．a代表行星运动的轨道半径
C．T代表行星运动的自转周期
D．T代表行星运动的公转周期
[由开普勒第三定律可知，行星运动公式＝k中的各个量a、T、k分别表示行星绕太阳做椭圆运动轨道的半长轴、行星绕太阳做椭圆运动的公转周期、一个与行星无关的常量，因此，正确选项为A、D.周期T是指公转周期，而非自转周期．]

5．某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远
日点时行星的速率为va，则过近日点时的速率为(　C　)
A．vb＝va B．vb＝va
C．vb＝va D．vb＝va
[如图所示，

A、B分别为远日点和近日点，由开普勒第二定律，行星和太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，取足够短的时间Δt，则有：
va·Δt·a＝vb·Δt·b，所以vb＝va.]

6．2006年8月24日晚，国际天文学联合会大会投票，通过了新的行星定义，冥王星被
排除在行星行列之外，太阳系行星数量将由九颗减为八颗．若将八大行星绕太阳运行的
轨道粗略地认为是圆，各星球半径和轨道半径如下表所示
行星名称
水星
金星
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
星球半径
(×106 m)
2.44
6.05
6.37
3.39
69.8
58.2
23.7
22.4
轨道半径
(×1011 m)
0.579
1.08
1.50
2.28
7.78
14.3
28.7
45.0
从表中所列数据可以估算出海王星的公转周期最接近(　　)
A．80年 B．120年
C．164年 D．200年
C　[设海王星绕太阳运行的平均轨道半径为R1，周期为T1，地球绕太阳公转的轨道半径为R2，周期为T2(T2＝1年)，由开普勒第三定律有＝，故T1＝ ·T2≈164年．]
方法总结　(1)对题目的求解应视条件而定，本题中用半径替代了半长轴，从解题结果可以进一步理解离太阳越远公转周期越大的结论．
(2)地球的公转周期是一个重要的隐含条件，可以先将太阳系中的其他行星和地球公转周期、公转半径相联系，再利用开普勒第三定律分析其他行星的运动．

7.

图1
如图1所示是行星m绕恒星M运动情况示意图，下列说法正确的是(　　)
A．速度最大点是A点
B．速度最小点是C点
C．m从A到B做减速运动
D．m从B到A做减速运动
AC　[因恒星M与行星m的连线在相同时间内扫过的面积相同，又因AM最短，故A点是轨道上的最近点，所以速度最大，因此m从A到B做减速运动，而从B到A做加速运动．故A、C选项正确．]
8．人造地球卫星运动时，其轨道半径为月球轨道半径的，由此知卫星运行周期大约是
(　　)
A．1～4天 B．4～8天
C．8～16天 D．大于16天
B　[设人造地球卫星和月球绕地球运行的周期分别为T1和T2，其轨道半径分别为R1和R2，根据开普勒第三定律有＝，则人造地球卫星的运行周期为T1＝T2＝×27天＝天≈5.2天，故选B.]
方法总结　开普勒行星运动定律也适用于人造地球卫星，圆形轨道可作为椭圆轨道的一种特殊形式；T月≈27天，这是常识，为题目的隐含条件．

B组：
1．木星绕太阳运动的周期为地球绕太阳运动周期的12倍。那么，木星绕太阳运动轨道的半长轴是地球绕太阳运动轨道半长轴的多少倍？
解析 设木星、地球绕太阳运动的周期分别为T1、T2，它们椭圆轨道的半长轴分别为a1、a2，根据开普勒第三定律有，
则。
可见，木星绕太阳运动轨道的半长轴约为地球绕太阳运动轨道半长轴的5.24倍。
2．天文学家观测到哈雷彗星绕太阳运转的周期是76年，彗星离太阳最近的距离是8.9×1010m，但它离太阳最远的距离不能测出。试根据开普勒定律计算这个最远距离。（太阳系的开普勒恒量k=3.354×1018m3/s2）
设彗星离太阳的最近距离为R1，最远距离为R2，则轨道半长轴为
   。
根据开普勒第三定律有 ，
所以彗星离太阳最远的距离是   
。
A
R
R0
B

3．飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T。如果飞船要返回地面，可在轨道上某点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相切，如图所示。如果地球半径为R0，求飞船由A点到B点所需要的时间。
设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T’，椭圆轨道的半长轴为，根据开普勒第三定律有 ，
解得 。
所以，飞船由A点到B点所需要的时间为
。

4．九大行星绕太阳运行的轨迹可粗略地认为是圆，各星球半径和轨道半径的大小如下表所示：
行星名称
水星
金星
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
冥王星
星球半径(×106m)
2.44
6.05
6.37
3.40[来源:Z#xx#k.Com]
71.5
60.3
25.6
24.8
1.15
轨道半径(×1011m)
0.579
1.08
1.50
2.28
7.78
14.3
28.7
45.0
59.1[来源:学科网]
从表中所立数据可以估算出冥王星的公转周期最接近于（ D ）
A. 4年 B. 40年 C. 140年 D. 240年

[来源:Zxxk.Com根据开普勒第三定律有  ，
从表格中查得，
故冥王星的公转周期

第二节 万有引力定律
1. 太阳与行星 ：
（1）行星绕太阳做近似匀速圆周运动，需要的向心力是由____太阳对行星的引力___提供的，由向心力的公式结合开普勒第三定律得到向心力F＝___4π2k__.由此我们可以推得太阳对不同行星的引力，与行星的质量m成_正比_，与行星和太阳间距离的二次方成_反比___，即F∝.
（2）根据牛顿第三定律，可知太阳吸引行星的同时，行星也必然吸引太阳，行星对太阳的引力与太阳的质量M成___正比__，与行星和太阳间距离的二次方成__反比__，即F′∝.
（3）太阳与行星间引力的大小与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比，即F＝_ G_，式中G为比例系数，其大小与太阳和行星的质量__无关___，太阳与行星引力的方向沿二者的__连线方向__．
2. 万有引力定律 ：
（1）自然界中任何两个物体都___相互吸引__，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与___物体的质量m1和m2的乘积____成正比、与___它们之间距离r的二次方____成反比，用公式表示即___ F＝G___．其中G叫___引力常量_，数值为__6.67×10－11 N·m2/kg2__，它是英国物理学家__卡文迪许__在实验室利用扭秤实验测得的。
（2）万有引力定律公式的适用范围：万有引力的公式适用于两个质点之间。如果距离很近，则物体不能视为质点，但是质量分布均匀的两个球体可以应用公式，此时r指的是两球球心之间的距离。当r很小趋向于零时，物体不能视为质点，万有引力定律不再适用。
（3）假定维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力真的是同一种力，同样遵从“_平方反比__”的规律，由于月球轨道半径约为地球半径(苹果到地心的距离)的60倍，所以月球轨道上一个物体受到的引力是地球上的___倍．根据牛顿第二定律，物体在月球轨道上运动时的加速度(月球__公转的向心_加速度)是它在地面附近下落时的加速度(自由落体__加速度)的__．根据牛顿时代测出的月球公转周期和轨道半径，检验的结果是__遵从相同的规律___。
3. 练习：
A组：
1．下面关于行星对太阳的引力的说法中正确的是(　　)
A．行星对太阳的引力和太阳对行星的引力是同一性质的力
B．行星对太阳的引力与太阳的质量成正比，与行星的质量无关
C．太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力
D．行星对太阳的引力大小与太阳的质量成正比，与行星距太阳的距离成反比
A　[行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是作用力和反作用力的关系，两者性质相同、大小相等、反向，所以A正确，C错误；行星与太阳间引力的大小与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比，所以B、D错误．]
2．太阳对行星的引力F与行星对太阳的引力F′大小相等，其依据是(　　)
A．牛顿第一定律 B．牛顿第二定律
C．牛顿第三定律 D．开普勒第三定律
C　[物体间力的作用是相互的，作用力和反作用力大小相等，方向相反，作用在同一条直线上，所以依据是牛顿第三定律．]
3．下面关于太阳对行星的引力的说法中正确的是(　　)
A．太阳对行星的引力等于行星做匀速圆周运动的向心力
B．太阳对行星的引力大小与行星的质量成正比，与行星和太阳间的距离成反比
C．太阳对行星的引力规律是由实验得出的
D．太阳对行星的引力规律是由开普勒定律、牛顿运动定律和行星绕太阳做匀速圆周运
动的规律推导出来的
AD　[行星围绕太阳做圆周运动的向心力是太阳对行星的引力，它的大小与行星和太阳质量的乘积成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比，所以A对，B错．太阳对行星的引力规律是由开普勒第三定律、牛顿运动定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律推导出来的，所以C错，D对．]
4．陨石落向地球是因为(　B　)
A．陨石对地球的吸引力远小于地球对陨石的吸引力，所以陨石才落向地球
B．陨石对地球的吸引力和地球对陨石的吸引力大小相等，但陨石的质量小，加速度大，
所以改变运动方向落向地球
C．太阳不再吸引陨石，所以陨石落向地球
D．陨石是在受到其他星球斥力作用下落向地球的
5．关于太阳对行星的引力，下列说法中正确的是(　　)
A．太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力，因此有F引＝m，由此可知，
太阳对行星的引力F引与太阳到行星的距离r成反比
B．太阳对行星的引力提供行星绕太阳运动的向心力，因此有F引＝m，由此可知，太
阳对行星的引力F引与行星运行速度的二次方成正比
C．太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间的距离的二次方成
反比
D．以上说法均不对
答：C　[由向心力表达式F＝mv2/r和v与T的关系式v＝2πr/T得F＝4π2mr/T2 ①根据开普勒第三定律r3/T2＝k变形得T2＝r3/k
②联立①②有F＝4π2k·m/r2
故太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比．]
6．关于太阳与行星间引力F＝，下列说法中正确的是(　　)
A．公式中的G是引力常量，是人为规定的
B．这一规律可适用于任何两物体间的引力
C．太阳与行星间的引力是一对平衡力
D．检验这一规律是否适用于其他天体的方法是比较观测结果与推理结果的吻合性
答：BD　[G值是由物体间存在的万有引力的性质决定的，而不是人为规定的，故A错误；万有引力公式适用于任意两物体间的引力作用，故B正确；太阳与行星之间的引力是一对作用力和反作用力，而不是一对平衡力，故C错误；理论推理的结果是否正确，要看根据理论推出的结果是否与观察的结果相吻合，故D正确．]
7．关于行星绕太阳运动的原因，下列说法中正确的是(　　)
A．由于行星做匀速圆周运动，故行星不受任何力的作用
B．由于行星周围存在旋转的物质
C．由于受到太阳的引力
D．除了受到太阳的吸引力，还必须受到其他力的作用
答：C　[行星绕太阳运动的原因就是太阳对行星的吸引力提供了行星做圆周运动的向心力．]
8．把行星的运动近似看作匀速圆周运动以后，开普勒第三定律可写为T2＝，m为行星质量，则可推得(　　)
A．行星所受太阳的引力为F＝k
B．行星所受太阳的引力都相同
C．行星所受太阳的引力为F＝k
D．质量越大的行星所受太阳的引力一定越大
答：C　[行星所受太阳的引力提供行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力，由公式F＝，又v＝，结合T2＝可得F＝k，故C正确，A错误；不同行星所受太阳的引力由太阳、行星的质量和行星与太阳间的距离决定，故B、D错误．]
9．一颗小行星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径是地球公转半径的4倍，则这颗小行星
的运行速率是地球运行速率的(　　)
A．4倍 B．2倍
C．0.5倍 D．16倍
C　[小行星、地球绕太阳运行的向心力分别为F1、F2，对应的速度分别为v1、v2，由向心力公式得，F1＝m1，由太阳与行星之间的相互作用规律可知，F1∝，由上述两式可得，v1∝，同理可得，v2∝，故＝，因r1＝4r2，故＝，故正确答案是C.]
方法总结　要明确小行星、地球绕太阳运行的向心力的来源．在计算比值一类的问题时，可将所计算的物理量进行化简至不同的对象间具有相同的物理量为止，这样便于解题，请结合本题认真体会．
10．已知木星质量大约是地球质量的320倍，木星绕日运行轨道的半径大约是地球绕日运行轨道半径的5.2倍，试求太阳对木星和对地球引力大小之比．

解析：设地球质量为m，则木星质量为320m，设地球绕日运行轨道半径为r，则木星绕日运行轨道半径为5.2r，则有：
太阳对地球的引力：F1＝
太阳对木星的引力：F2＝
因此引力大小之比为＝≈.
11．关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是(　　)
A．不能看做质点的两物体间不存在相互作用的引力
B．只有能看做质点的两物体间的引力才能用F＝计算
C．由F＝知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大
D．万有引力常量的大小首先是由牛顿测出来的，且等于6.67×10－11 N·m2/kg2
答：C　[任何物体间都存在相互作用的引力，故称万有引力，A错；两个质量均匀的球体间的万有引力也能用F＝来计算，B错；物体间的万有引力与它们距离r的二次方成反比，故r减小，它们间的引力增大，C对；引力常量G是由卡文迪许精确测出的，D错．]
12．对于公式F＝G理解正确的是(　　)
A．m1与m2之间的相互作用力，总是大小相等、方向相反，是一对平衡力
B．m1与m2之间的相互作用力，总是大小相等、方向相反，是一对作用力与反作用力
C．当r趋近于零时，F趋向无穷大
D．当r趋近于零时，公式不适用
答：BD　[两物体间的万有引力是一对相互作用力，而非平衡力，故A错，B对；万有引力公式F＝G只适用于质点间的万有引力计算，当r→0时，物体便不能再视为质点，公式不适用，故C错，D对．]
13．要使两物体间的万有引力减小到原来的，下列办法不可采用的是(　D　)
A．使物体的质量各减小一半，距离不变
B．使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变
C．使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变
D．使两物体间的距离和质量都减为原来的
14．关于万有引力定律的适用范围，下列说法中正确的是(　D　)
A．只适用于天体，不适用于地面上的物体
B．只适用于球形物体，不适用于其他形状的物体
C．只适用于质点，不适用于实际物体
D．适用于自然界中任何两个物体之间
15．两个大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F，若两个半径是小
铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为(　　)
A.F B．4F C.F D．16F
答：D　[小铁球间的万有引力F＝G＝
大铁球半径是小铁球半径的2倍，其质量为
小铁球m＝ρV＝ρ·πr3
大铁球M＝ρV′＝ρ·π(2r)3＝8·ρ·πr3＝8m
所以两个大铁球之间的万有引力
F′＝G＝16·＝16F.]
点评　运用万有引力定律时，要准确理解万有引力定律公式中各量的意义并能灵活运用．本题通常容易出现的错误是考虑两球球心距离的变化而忽略球体半径变化而引起的质量变化，从而导致错误．
16．一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地
球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是它在地球上所受万有
引力的(　　)
A．0.25倍 B．0.5倍 C．2.0倍 D．4.0倍
答：C　[由万有引力定律公式，在地球上引力F＝G，在另一星球上引力F′＝G＝G＝2G＝2F，故C正确．]
点拨　利用万有引力定律分别计算宇航员在地球表面和星球表面所受到的万有引力，然后比较即可得到结果．
17．设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则g/g0为(　　)
A．1 B．1/9 C．1/4 D．1/16
D　[地球表面：G＝mg0.离地心4R处：G＝mg由以上两式得：＝()2＝.]
点评　(1)切记在地球表面的物体与地心的距离为R.
(2)物体在离地面h高度处，所受的万有引力和重力相等，有mg＝.所以g随高度的增加而减小，不再等于地面附近的重力加速度．
(3)通常情况下，处在地面上的物体，不管这些物体是处于何种状态，都可以认为万有引力和重力相等，但有两种情况必须对两者加以区别：一是从细微之处分析重力与万有引力大小的关系，二是物体离地面高度与地球半径相比不能忽略的情况．
18．假设火星和地球都是球体，火星质量M火和地球质量M地之比为＝p，火星半径R火和地球半径R地之比＝q，那么离火星表面R火高处的重力加速度g火h和离地球表面R地高处的重力加速度g地h之比＝____.____.
解析　距某一星球表面h高处的物体的重力，可认为等于星球对该物体的万有引力，即mgh＝G，解得距星球表面h高处的重力加速度为gh＝G.故距火星表面R火高处的重力加速度为g火h＝G，距地球表面R地高处的重力加速度为g地h＝G，以上两式相除得＝·＝.
点评　对于星球表面上空某处的重力加速度gh＝G，可理解为gh与星球质量成正比，与该处到星球球心距离的二次方成反比．
用割补法求解万有引力的技巧
19．有一质量为M、

图1
半径为R的密度均匀球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现在从M中挖去一半径为的球体，如图1所示，求剩下部分对m的万有引力F为多大？
解析　一个质量均匀分布的球体与球外的一个质点间的万有引力可以用公式F＝G直接进行计算，但当球体被挖去一部分后，由于质量分布不均匀，万有引力定律就不再适用．此时我们可以用“割补法”进行求解．
设想将被挖部分重新补回，则完整球体对质点m的万有引力为F1，可以看做是剩余部分对质点的万有引力F与被挖小球对质点的万有引力F2的合力，即
F1＝F＋F2.
设被挖小球的质量为M′，其球心到质点间的距离为r′.
由题意知M′＝，r′＝；
由万有引力定律得
F1＝G＝
F2＝G＝G＝
故F＝F1－F2＝.
方法总结　本题易错之处为求F时将球体与质点之间的距离d当做两物体间的距离，直接用公式求解．求解时要注意，挖去球形空穴后的剩余部分已不是一个均匀球体，不能直接运用万有引力定律公式进行计算，只能用割补法．
万有引力定律与抛体运动知识的综合
20．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．(取地球
表面重力加速度g＝10 m/s2，空气阻力不计)
(1)求该星球表面附近的重力加速度g′.
(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，求该星球的质量与地球质量之比M星∶M地．
(1)2 m/s2　(2)1∶80
解析　 (1)依据竖直上抛运动规律可知，地面上竖直上抛物体落回原地经历的时间为：t＝
在该星球表面上竖直上抛的物体落回原地所用时间为：5t＝
所以g′＝g＝2 m/s2
(2)星球表面物体所受重力等于其所受星体的万有引力，则有mg＝G
所以M＝
可解得：M星∶M地＝1∶80.
21．宇航员站在某一星球距离表面h高度处，以初速度v0沿水平方向抛出一个小球，经过时间t后小球落到星球表面，已知该星球的半径为R，引力常量为G，求：
(1)该星球表面重力加速度g的大小；
(2)小球落地时的速度大小；
(3)该星球的质量．
(1)　(2)　(3)
解析　(1)由平抛运动的知识知，在竖直方向小球做自由落体运动，h＝gt2
所以g＝.
(2)水平方向速度不变vx＝v0
竖直方向做匀加速运动vy＝gt＝
所以落地速度v＝＝
(3)在星球表面，物体的重力和所受的万有引力相等．故有：
mg＝G
所以M＝＝


第三节 万有引力定律的应用
1. 基础填空：
1．若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球_对物体的__引力__，即mg＝__，式中M是地球的质量，R是地球的半径，也就是物体到地心的距离．由此可得出地球的质量M＝_　____.
2．将行星绕太阳的运动近似看成__匀速圆周_运动，行星做圆周运动的向心力由___太阳对行星的万有引力____提供，则有__＝mr()2__，式中M是_太阳_的质量，m是__行星__的质量，r是___行星绕太阳运动的轨道半径____，也就是行星和太阳中心的距离，T是__行星绕太阳运动的公转周期___．由此可得出太阳的质量为：_____ M＝_____.
3．同样的道理，如果已知卫星绕行星运动的___周期__和卫星与行星之间的__距离_，也可以计算出行星的质量．
4．太阳系中，观测行星的运动，可以计算__太阳_的质量；观测卫星的运动，可以计算__卫星_的质量．
5．18世纪，人们发现太阳系的第七个行星——天王星的运动轨道有些古怪：根据___万有引力定律__计算出的轨道与实际观测的结果总有一些偏差．据此，人们推测，在天王星轨道的外面还有一颗未发现的行星，它对天王星的__吸引_使其轨道产生了偏离．__海王星的发现__和____哈雷彗星的“按时回归”___确立了万有引力定律的地位．
6．应用万有引力定律解决天体运动问题的两条思路是：(1)把天体(行星或卫星)的运动近似看成是__匀速圆周__运动，向心力由它们之间的__万有引力__提供，即F万＝F向，可以用来计算天体的质量，讨论行星(或卫星)的线速度、角速度、周期等问题．基本公式：____＝m＝mrω2＝mr.
7．地面及其附近物体的重力近似等于物体与地球间的__万有引力__，即F万＝G＝mg，主要用于计算涉及重力加速度的问题．基本公式：mg＝____(m在M的表面上)，即＝gR2.
2. 练习：
1．利用下列数据，可以计算出地球质量的是(　　)
A．已知地球的半径R和地面的重力加速度g
B．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和周期T
C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和线速度v
D．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T
ABCD　[设相对地面静止的某一物体的质量为m，则有G＝mg得M＝，所以A选项正确．设卫星质量为m，则万有引力提供向心力，G＝m得M＝，所以B选项正确．设卫星质量为m，由万有引力提供向心力，G＝m，得M＝，所以C选项正确．设卫星质量为m，由万有引力提供向心力，G＝mω2r＝mvω＝mv，由v＝rω＝r，消去r得M＝，所以D选项正确．]
2．下列说法正确的是(　D　)
A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算的轨道而发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的
C．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的
D．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此，人们发现了海王星
知识点一　计算天体的质量
3．已知引力常量G和下列各组数据，能计算出地球质量的是(　BCD　)
A．地球绕太阳运行的周期及地球离太阳的距离
B．月球绕地球运行的周期及月球离地球的距离
C．人造地球卫星在地面附近绕行的速度及运行周期
D．若不考虑地球自转，已知地球的半径及重力加速度
4．已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，则可知地球质量的数量级是(　D　)
A．1018 kg B．1020 kg
C．1022 kg D．1024 kg
点评　天体质量的计算仅适用于计算被环绕的中心天体的质量，无法计算围绕中心天体做圆周运动的天体的质量，常见的天体质量的计算有如下两种：
(1)已知行星的运动情况，计算太阳质量．
(2)已知卫星的运动情况，计算行星质量．
知识点二　天体密度的计算
5．一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，若认为行星是密度均匀的球体，那么要确定该行星的密度，只需要测量(　　)
A．飞船的轨道半径 B．飞船的运行速度
C．飞船的运行周期 D．行星的质量
C　[因为＝mR，所以M＝，又因为V＝πR3，ρ＝，所以ρ＝，选项C正确．]
点评　利用飞船受到行星的万有引力提供飞船做圆周运动的向心力进行分析．
6．假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知万有引力常量为G，则该天体的密度是多少？若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？
　
解析　设卫星的质量为m，天体的质量为M.卫星贴近天体表面做匀速圆周运动时有
G＝mR，则M＝
根据数学知识可知星球的体积V＝πR3
故该星球密度ρ1＝＝＝
卫星距天体表面距离为h时有
G＝m(R＋h)
M＝
ρ2＝＝＝
点评　利用公式M＝计算出天体的质量，再利用ρ＝计算天体的密度，注意r指绕天体运动的轨道半径，而R指中心天体的半径，只有贴近中心天体运动时才有r＝R.
知识点三　发现未知天体
7．科学家们推测，太阳系的第九大行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息我们可以推知(　A　)
A．这颗行星的公转周期与地球相等
B．这颗行星的自转周期与地球相等
C．这颗行星的质量与地球相等
D．这颗行星的密度与地球相等
应用万有引力定律分析天体运动问题的方法
8．近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T1和T2，设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g1、g2，则(　　)
A.＝()4/3 B.＝()4/3
C.＝()2 D.＝()2
B　[卫星绕天体做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有＝m()2R，可得＝K为常数，由重力等于万有引力有＝mg，联立解得g＝＝，则g与T成反比．]

9．已知地球半径R＝6.4×106 m，地面附近重力加速度g＝9.8 m/s2.计算在距离地面高为h＝2×106 m的圆形轨道上的卫星做匀速圆周运动的线速度v和周期T.
6.9×103 m/s　7.6×103 s
解析　根据万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，有
G＝m
知v＝ ①
由地球表面附近万有引力近似等于重力，即G＝mg得GM＝gR2②
由①②两式可得
v＝ ＝6.4×106× m/s
＝6.9×103 m/s
运动周期T＝
＝ s＝7.6×103 s
方法总结　解决天体问题的两条思路
(1)所有做圆周运动的天体，所需要的向心力都来自万有引力．因此，向心力等于万有引力是我们研究天体运动建立方程的基本关系式，即G＝ma，式中的a是向心加速度．
(2)物体在地球(天体)表面时受到的万有引力近似等于物体的重力，即：G＝mg，式中的R为地球(天体)的半径，g为地球(天体)表面物体的重力加速度．






第四节 人造卫星 宇宙速度
1. 基础知识 ：
1．第一宇宙速度是指卫星在_____近地轨道_______绕地球做匀速圆周运动的速度，也是绕地球做匀速圆周运动的____最大环绕________速度．第一宇宙速度也是将卫星发射出去使其绕地球做圆周运动所需要的____最小____发射速度，其大小为__7.9 km/s______．
2．第二宇宙速度是指将卫星发射出去使其克服____地球引力________，永远离开地球，即挣脱地球的__引力______束缚所需要的最小发射速度，其大小为____11.2 km/s ____．
3．第三宇宙速度是指使发射出去的卫星挣脱太阳___引力_____的束缚，飞到___太阳系_________外所需要的最小发射速度，其大小为____16.7 km/s ____．
4．人造地球卫星绕地球做圆周运动，其所受地球对它的__引力____提供它做圆周运动的向心力，则有：G＝__ m__＝____ mω2r ___＝____ m()2r，由此可得v＝______，ω＝________，T＝____2π
____.
2.练习：
1．人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其环绕速度可以是下列的哪些数据(　B　)
A．一定等于7.9 km/s
B．等于或小于7.9 km/s
C．一定大于7.9 km/s
D．介于7.9 km/s～11.2 km/s
2．关于第一宇宙速度，以下叙述正确的是(　　)
A．它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度
B．它是近地圆轨道上人造卫星运行的速度
C．它是使卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度
D．它是人造卫星发射时的最大速度
答：BC　[第一宇宙速度是指卫星围绕天体表面做匀速圆周运动的线速度，满足关系G＝m，即v＝，且由该式知，它是最大的环绕速度；卫星发射得越高，需要的发射速度越大，故第一宇宙速度等于最小发射速度的数值，因此B、C正确．]

3．假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增加到原来的2倍，且仍做圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
①根据公式v＝ωr可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍　②根据公式F＝可知卫星所需的向心力将减小到原来的　③根据公式F＝，可知地球提供的向心力将减小到原来的　④根据上述②和③给出的公式，可知卫星运行的线速度将减小到原来的
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
答：D　[人造卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力由地球对卫星的万有引力提供，由F＝G知轨道半径增大到原来的2倍，地球提供的向心力等于卫星所需的向心力，将变为原来的，②错误，③正确；由G＝m得v＝ 知r增加到原来的2倍时，速度变为原来的，①错误，④正确，故D正确．]

知识点一　第一宇宙速度
4．下列表述正确的是(　　)
A．第一宇宙速度又叫环绕速度
B．第一宇宙速度又叫脱离速度
C．第一宇宙速度跟地球的质量无关
D．第一宇宙速度跟地球的半径无关
答： A　[第一宇宙速度又叫环绕速度，A对，B错．根据G＝m可知环绕速度与地球的质量和半径有关，C、D错．]

5．恒星演化发展到一定阶段，可能成为恒星世界的“侏儒”——中子星．中子星的半径较小，一般在7～20 km，但它的密度大得惊人．若某中子星的半径为10 km，密度为1.2×1017 kg/m3，那么该中子星上的第一宇宙速度约为(　　)
A．7.9 km/s B．16.7 km/s
C．2.9×104 km/s D．5.8×104 km/s
答： D　[中子星上的第一宇宙速度即为它表面处的卫星的环绕速度，此时卫星的轨道半径近似地认为是该中子星的半径，且中子星对卫星的万有引力充当向心力，由G＝m，
得v＝ ，又M＝ρV＝ρ，得v＝r ＝
1×104× m/s＝5.8×107 m/s.]
点评　第一宇宙速度是卫星紧贴星球表面运行时的环绕速度，由卫星所受万有引力充当向心力即G＝m便可求得v＝.
知识点二　人造地球卫星的运行规律
6．人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为R，线速度为v，周期为T，若使该卫星的周期变为2T，可行的办法是(　　)
A．R不变，线速度变为
B．v不变，使轨道半径变为2R
C．轨道半径变为R
D．v不变，使轨道半径变为
答：C　[由＝mR得，T＝＝2π，所以T′＝2T＝2π，解得R′＝R，故选C.]

7．在圆轨道上运动的质量为m的人造地球卫星，它到地面的距离等于地球半径R，地面上的重力加速度为g，求：
(1)卫星运动的线速度；
(2)卫星运动的周期．
(1)　(2)4π
解析　(1)人造地球卫星受地球的引力提供向心力，则
＝
在地面，物体所受重力等于万有引力，＝mg
两式联立解得v＝.
(2)T＝＝＝4π.
知识点三　地球同步卫星
8．关于地球同步卫星，下列说法正确的是(　ABD　)
A．它的周期与地球自转周期相同
B．它的周期、高度、速度大小都是一定的
C．我国发射的同步通讯卫星可以定点在北京上空
D．我国发射的同步通讯卫星必须定点在赤道上空
9．据报道，我国的数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道．关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是(　　)
A．运行速度大于7.9 km/s
B．离地面高度一定，相对地面静止
C．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大
D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等
答：BC　[由题意知，定点后的“天链一号01星”是同步卫星，即T＝24 h．由＝m＝mω2r＝mr＝ma，得：v＝，运行速度应小于第一宇宙速度，A错误．r＝，由于T一定，故r一定，所以离地高度一定，B正确．由ω＝，T同ω月，C正确．a＝rω2＝r()2.赤道上物体的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，故赤道上物体的向心加速度小于同步卫星的向心加速度，D错误．]

卫星变轨问题的分析方法
10．发射地球同步卫星时，

图1
先将卫星发射至近地圆轨道1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图1所示，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是(　　)
A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度
D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度
答：BD　[本题主要考查人造地球卫星的运动，尤其是考查了地球同步卫星的发射过程，对考生理解物理模型有很高的要求．
由G＝m得，v＝ .因为r3>r1，所以v3r1，所以ω3<ω1.卫星在轨道1上经Q点时的加速度为地球引力产生的加速度，而在轨道2上经过Q点时，也只有地球引力产生加速度，故应相等．同理，卫星在轨道2上经P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度．]

11．宇宙飞船在轨道上运行，由于地面指挥人员发现某一火箭残体的轨道与飞船轨道有一交点，通知宇航员某一时间飞船有可能与火箭残体相遇．宇航员随即开动飞船上的发动机使飞船加速，脱离原轨道，关于飞船的运动，下列说法正确的是(　　)
A．飞船高度降低
B．飞船高度升高
C．飞船周期变小
D．飞船的向心加速度变大
答：B　[当宇宙飞船加速时，它所需向心力增大，因此飞船做离心运动，轨道半径增大，由此知A错误，B正确；由式子T＝2π可知，r增大，T增大，故C错误；由于a＝，r增大，a变小，D错误．]







1