9.2021届高考数学（文）大一轮复习（课件 教师用书 课时分层训练）_第三章 三角函数、解三角形 （22份打包）
展开课时分层训练(二十三)
正弦定理、余弦定理应用举例
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．如图379所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
【导学号：31222135】
图379
A．a km B.a km
C.a km D．2a km
B [在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120°，
∴AB2＝a2＋a2－2a2cos 120°＝3a2，AB＝a.]
2．如图3710，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
图3710
A．北偏东10°
B．北偏西10°
C．南偏东80°
D．南偏西80°
D [由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.]
3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( ) 【导学号：31222136】
A．10海里 B．10海里
C．20海里 D．20海里
A [如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，
解得BC＝10(海里)．]
4．如图3711，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为 ( )
图3711
A．8 km/h B．6 km/h
C．2 km/h D．10 km/h
B [设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理得2＝2＋12－2××2×1×，解得v＝6.]
5．如图3712，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 ( )
图3712
A．30° B．45°
C．60° D．75°
B [依题意可得AD＝20(m)，AC＝30(m)，
又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得
cos∠CAD＝
＝＝＝，
又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.]
二、填空题
6．在地上画一个∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点B，则B与D之间的距离为________米．
【导学号：31222137】
16 [如图所示，设BD＝x m，
则142＝102＋x2－2×10×x×cos 60°，整理得x2－10x－96＝0，x＝－6(舍去)，x＝16，∴x＝16(米)．]
7．如图3713，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米. 【导学号：31222138】
图3713
10 [在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，＝，BC＝＝10.在Rt△ABC中，tan 60°＝，AB＝BCtan 60°＝10(米)．]
8．如图3714所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分钟．
图3714
[由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，
由正弦定理得＝，
所以AC＝＝＝10，
所以海轮航行的速度为＝(海里/分钟)．]
三、解答题
9．某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得∠ABC＝105°和∠BAC＝30°，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD＝90°和∠ABD＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度．(答案可保留根号)
图3715
[解] 在△ABD中，∵∠BAD＝90°，∠ABD＝45°，
∴∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝80，∴BD＝80.3分
在△ABC中，＝，
∴BC＝＝＝40.6分
在△DBC中，DC2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos 60°
＝(80)2＋(40)2－2×80×40×＝9 600.
∴DC＝40，航模的速度v＝＝2米/秒. 12分
10．如图3716，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
图3716
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α的值．
[解] (1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.3分
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC
＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC＝28.
所以渔船甲的速度为＝14海里/小时.7分
(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝，9分
即sin α＝＝＝.12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是 ( ) 【导学号：31222139】
A．50 m B．100 m
C．120 m D．150 m
A [设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m．]
2．(2014·全国卷Ⅰ)如图3717，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.
图3717
150 [根据图示，AC＝100 m.
在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.
由正弦定理得＝⇒AM＝100 m.
在△AMN中，＝sin 60°，
∴MN＝100×＝150(m)．]
3．已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100米和BN＝200米，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100米后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．
图3718
[解] 在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，∴PM＝100，连接QM(图略)，在△PQM中，∠QPM＝60°，3分
又PQ＝100，
∴△PQM为等边三角形，
∴QM＝100.6分
在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.
在Rt△BNQ中，tan θ＝2，BN＝200，
∴BQ＝100，cos θ＝.9分
在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcos θ＝(100)2，
∴BA＝100.
即两发射塔顶A，B之间的距离是100米.12分
