2019年全国各地中考数学真题分类汇编 专题31 点直线与圆的位置关系(含解析)


专题训练31 点直线与圆的位置关系
一.选择题
1.（2019湖南益阳4分）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是（　　）

A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD
【分析】先根据切线长定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB，根据菱形的性质，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，所以A成立；
∠BPD＝∠APD，所以B成立；
∴AB⊥PD，所以C成立；
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴AB⊥PD，且AC＝BC，
只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立．
故选：D．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理、垂径定理和等腰三角形的性质．
2. （2019•广东广州•3分）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（　　）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【分析】先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案．
【解答】解：∵⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，
∴d＞r，
∴点P与⊙O的位置关系是：P在⊙O外，
∵过圆外一点可以作圆的2条切线，
故选：C．
【点评】此题主要考查了对点与圆的位置关系，切线的定义，切线就是与圆有且只有1个公共点的直线，理解定义是关键．
3．（2019•山东青岛•3分）如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，则的长度为（　　）

A．π B．2π C．2π D．4π
【分析】连接OC、OD，根据切线性质和∠A＝45°，易证得△AOC和△BOD是等腰直角三角形，进而求得OC＝OD＝4，∠COD＝90°，根据弧长公式求得即可．
【解答】解：连接OC、OD，
∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．
∴OC⊥AC，OD⊥BD，
∵∠A＝45°，
∴∠AOC＝45°，
∴AC＝OC＝4，
∵AC＝BD＝4，OC＝OD＝4，
∴OD＝BD，
∴∠BOD＝45°，
∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴的长度为：＝2π，
故选：B．

【点评】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，弧长的计算等，证得∠COD＝90°是解题的关键．
4．（2019•山东泰安•4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（　　）

A．32° B．31° C．29° D．61°
【分析】连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP＝90°，由圆内接四边形的性质得出∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，由等腰三角形的性质得出∠OCD＝∠ODC＝61°，求出∠DOC＝58°，由直角三角形的性质即可得出结果．
【解答】解：如图所示：连接OC、CD，
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵∠A＝119°，
∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝61°，
∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°，
∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°；
故选：A．

【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键．
5．(2019•湖南益阳•4分)如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是(　　)
A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD

【考点】直线与圆．
【分析】先根据切线长定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB，根据菱形的性质，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，所以A成立；
∠BPD＝∠APD，所以B成立；
∴AB⊥PD，所以C成立；
∵PA，PB是⊙O的切线，∴AB⊥PD，且AC＝BC，
只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立．故选D．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理、垂径定理和等腰三角形的性质．6.
6. (2019湖北仙桃)（3分）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED•BC＝BO•BE．其中正确结论的个数有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】由切线的性质得∠CBO＝90°，首先连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO＝90°，即可证得直线CD是⊙O的切线，根据全等三角形的性质得到CD＝CB，根据线段垂直平分线的判定定理得到即CO⊥DB，故②正确；根据余角的性质得到∠ADE＝∠BDO，等量代换得到∠EDA＝∠DBE，根据相似三角形的判定定理得到△EDA∽△EBD，故③正确；根据相似三角形的性质得到，于是得到ED•BC＝BO•BE，故④正确．
【解答】解：连结DO．
∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，
∴∠CBO＝90°，
∵AD∥OC，
∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD．
又∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠COD＝∠COB．
在△COD和△COB中，，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO＝∠CBO＝90°．
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；故①正确，
∵△COD≌△COB，
∴CD＝CB，
∵OD＝OB，
∴CO垂直平分DB，
即CO⊥DB，故②正确；
∵AB为⊙O的直径，DC为⊙O的切线，
∴∠EDO＝∠ADB＝90°，
∴∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°，
∴∠ADE＝∠BDO，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠EDA＝∠DBE，
∵∠E＝∠E，
∴△EDA∽△EBD，故③正确；
∵∠EDO＝∠EBC＝90°，
∠E＝∠E，
∴△EOD∽△ECB，
∴，
∵OD＝OB，
∴ED•BC＝BO•BE，故④正确；
故选：A．

【点评】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键．
二.填空题
1.（2019•湖北省鄂州市•3分）如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为　16　．

【分析】连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，根据勾股定理和题意求得OP＝8，则AB的最大长度为16．
【解答】解：连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，
∵C（3，4），
∴OC＝＝5，
∵以点C为圆心的圆与y轴相切．
∴⊙C的半径为3，
∴OP＝OA＝OB＝8，
∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，
∴AB长度的最大值为16，
故答案为16．
【点评】本题考查了切线的性质，坐标和图形的性质，圆周角定理，找到OP的最大值是解题的关键．
2. （2019•海南省•4分）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为　144　度．

【分析】根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠D，根据切线的性质可求出∠OAE、∠OCD，从而可求出∠AOC，然后根据圆弧长公式即可解决问题．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠A＝＝108°．
∵AB、DE与⊙O相切，
∴∠OBA＝∠ODE＝90°，
∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，
故答案为：144．
【点评】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键．
3. (2019湖北荆门)（3分）如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（　　）

A．DI＝DB B．DI＞DB C．DI＜DB D．不确定
【分析】连接BI，如图，根据三角形内心的性质得∠1＝∠2，∠5＝∠6，再根据圆周角定理得到∠3＝∠1，然后利用三角形外角性质和角度的代换证明∠4＝∠DBI，从而可判断DI＝DB．
【解答】解：连接BI，如图，
∵△ABC内心为I，
∴∠1＝∠2，∠5＝∠6，
∵∠3＝∠1，
∴∠3＝∠2，
∵∠4＝∠2+∠6＝∠3+∠5，
即∠4＝∠DBI，
∴DI＝DB．
故选：A．

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．
4．（2019黑龙江省绥化3分）半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D．若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为　 　．
答案：5或5
考点：等边三角形，三角函数。
解析：

5. （2019湖北省鄂州市）（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为　16　．

【分析】连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，根据勾股定理和题意求得OP＝8，则AB的最大长度为16．
【解答】解：连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，
∵C（3，4），
∴OC＝＝5，
∵以点C为圆心的圆与y轴相切．
∴⊙C的半径为3，
∴OP＝OA＝OB＝8，
∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，
∴AB长度的最大值为16，
故答案为16．
【点评】本题考查了切线的性质，坐标和图形的性质，圆周角定理，找到OP的最大值是解题的关键．
三.解答题
1.（2019•湖北省鄂州市•10分）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：E为△PAB的内心；
（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．

【分析】（1）连结OB，根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，证明△AOP≌△BOP，得到∠OBP＝∠OAP，根据切线的判定定理证明；
（2）连结AE，根据切线的性质定理得到∠PAE+∠OAE＝90°，证明EA平分∠PAD，根据三角形的内心的概念证明即可；
（3）根据余弦的定义求出OA，证明△PAO∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】（1）证明：连结OB，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AB⊥PO，
∴PO∥BC
∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，
OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C，
∴∠AOP＝∠POB，
在△AOP和△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP（SAS），
∴∠OBP＝∠OAP，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OBP＝90°，
∴PB是⊙O的切线；
（2）证明：连结AE，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAE+∠OAE＝90°，
∵AD⊥ED，
∴∠EAD+∠AED＝90°，
∵OE＝OA，
∴∠OAE＝∠AED，
∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD，
∵PA、PD为⊙O的切线，
∴PD平分∠APB
∴E为△PAB的内心；
（3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，
∴∠PAB＝∠C，
∴cos∠C＝cos∠PAB＝，
在Rt△ABC中，cos∠C＝＝＝，
∴AC＝，AO＝，
∵△PAO∽△ABC，
∴，
∴PO＝＝＝5．

【点评】本题考查的是三角形的内切圆和内心、相似三角形的判定和性质、切线的判定，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

2.（2019•湖北省随州市•9分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC=2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为3，sin∠CBF=，求BC和BF的长．
【答案】（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵AB=AC，
∴2∠1=∠CAB．
∵∠BAC=2∠CBF，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；

（2）解：过点C作CH⊥BF于H．
∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，
∴sin∠1=，
∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=3，
∴BE=AB•sin∠1=3×=，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2，
∵sin∠CBF==，
∴CH=2，
∵CH∥AB，
∴=，即=，
∴CF=6，
∴AF=AC+CF=9，
∴BF==6．
【解析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°．
（2）解直角三角形即可得到结论．
本题考查了圆的综合题：切线的判定与性质、勾股定理、直角所对的圆周角是直角、解直角三角形等知识点．

3.（2019•湖北省咸宁市•9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．
（1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的长．

【分析】（1）如图，连接OF，根据直角三角形的性质得到CD＝BD，得到∠DBC＝∠DCB，根据等腰三角形的性质得到∠OFC＝∠OCF，得到∠OFC＝∠DBC，推出∠OFG＝90°，于是得到结论；
（2）连接DF，根据勾股定理得到BC＝＝4，根据圆周角定理得到∠DFC＝90°，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）FG与⊙O相切，
理由：如图，连接OF，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝BD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵OF＝OC，
∴∠OFC＝∠OCF，
∴∠OFC＝∠DBC，
∴OF∥DB，
∴∠OFG+∠DGF＝180°，
∵FG⊥AB，
∴∠DGF＝90°，
∴∠OFG＝90°，
∴FG与⊙O相切；
（2）连接DF，
∵CD＝2.5，
∴AB＝2CD＝5，
∴BC＝＝4，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DFC＝90°，
∴FD⊥BC，
∵DB＝DC，
∴BF＝BC＝2，
∵sin∠ABC＝，
即＝，
∴FG＝．

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
4.（2019•四川省达州市•8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作直线DF∥BC．
（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝6，AE＝，CE＝，求BD的长．

【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，求得＝，根据垂径定理得到OD⊥BC，根据平行线的性质得到OD⊥DF，于是得到DF与⊙O相切；
（2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：（1）DF与⊙O相切，
理由：连接OD，
∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴OD⊥BC，
∵DF∥BC，
∴OD⊥DF，
∴DF与⊙O相切；
（2）∵∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠C，
∴△ABD∽△AEC，
∴，
∴＝，
∴BD＝．

【点评】本题主要考查的是直线与圆的位置关系，相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、切线的判定，证得∠BAD＝∠DAC是解题的关键．

5.（2019•四川省广安市•9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，ED⊥AD交AB于点E，△ADE的外接圆⊙O交AC于点F，连接EF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径r及∠3的正切值．

【分析】（1）由垂直的定义得到∠EDA＝90°，连接OD，则OA＝OD，得到∠1＝∠ODA，根据角平分线的定义得到∠2＝∠1＝∠ODA，根据平行线的性质得到∠BDO＝∠ACB＝90°，于是得到BC是⊙O的切线；
（2）由勾股定理得到AB＝＝＝10，推出△BDO∽△BCA，根据相似三角形的性质得到r＝，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵ED⊥AD，
∴∠EDA＝90°，
∵AE是⊙O的直径，
∴AE的中点是圆心O，
连接OD，则OA＝OD，
∴∠1＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠2＝∠1＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠BDO＝∠ACB＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝＝10，
∵OD∥AC，
∴△BDO∽△BCA，
∴，即，
∴r＝，
在Rt△BDO中，BD＝＝＝5，
∴CD＝BC﹣BD＝8﹣5＝3，
在Rt△ACD中，tan∠2＝＝＝，
∵∠3＝∠2，
∴tan∠3＝tan∠2＝．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，三角函数的定义，正确的识别图形是解题的关键．
6.（2019•四川省广安市•10分）如图，直线与⊙相离，于点，与⊙相交于点，.是直线上一点，连结并延长交⊙于另一点，且.
图13
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若⊙的半径为，求线段的长.






证明：(1)如图，连结，则，
， ……………………1分
，，……………………2分
而，即，
，
即，
， ……………………4分
，
故是⊙的切线； ……………………5分
(2)由(1)知：，
而，，
由勾股定理，得：， ……………………6分
过作于，则，………………7分
在和中，
，，
∽， ……………………8分
，……………………10分
又，，
，
，. …………………10分

7.（2019•四川省凉山州•8分）如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的长．

【分析】（1）连接OD，由AB为⊙O的直径得∠BDC＝90°，根据BE＝EC知∠1＝∠3、由OD＝OB知∠2＝∠4，根据BC是⊙O的切线得∠3+∠4＝90°，即∠1+∠2＝90°，得证；
（2）根据直角三角形的性质得到∠F＝30°，BE＝EF＝2，求得DE＝BE＝2，得到DF＝6，根据三角形的内角和得到OD＝OA，求得∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，∵BE＝EC，
∴DE＝EC＝BE，
∴∠1＝∠3，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠4＝90°，
又∵∠2＝∠4，
∴∠1+∠2＝90°，
∴DF为⊙O的切线；
（2）∵OB＝BF，
∴OF＝2OD，
∴∠F＝30°，
∵∠FBE＝90°，
∴BE＝EF＝2，
∴DE＝BE＝2，
∴DF＝6，
∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，
∴∠FOD＝60°，
∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，
∴∠A＝∠F，
∴AD＝DF＝6．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
8.（2019湖北宜昌8分）如图，点O是线段AH上一点，AH＝3，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，过点H作AH的垂线交⊙O于C，N两点，点B在线段CN的延长线上，连接AB交⊙O于点M，以AB，BC为边作▱ABCD．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若OH＝AH，求四边形AHCD与⊙O重叠部分的面积；
（3）若NH＝AH，BN＝，连接MN，求OH和MN的长．

【分析】（1）根据平行四边形的性质可知AD∥BC，证明OA⊥AD，又因为OA为半径，即可证明结论；
（2）利用锐角三角函数先求出∠OCH＝30°，再求出扇形OAC的面积，最后求出△OHC的面积，两部分面积相加即为重叠部分面积；
（3）设⊙O半径OA＝r＝OC，OH＝3﹣r，在Rt△OHC中，利用勾股定理求出半径r＝，推出OH＝，再在Rt△ABH和Rt△ACH中利用勾股定理分别求出AB，AC的长，最后证△BMN∽△BCA，利用相似三角形对应边的比相等即可求出MN的长．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠AHC＝90°，
∴∠HAD＝90°，即OA⊥AD，
又∵OA为半径，
∴AD是⊙O的切线；

（2）解：如右图，连接OC，
∵OH＝OA，AH＝3，
∴OH＝1，OA＝2，
∵在Rt△OHC中，∠OHC＝90°，OH＝OC，
∴∠OCH＝30°，
∴∠AOC＝∠OHC+∠OCH＝120°，
∴S扇形OAC＝＝，
∵CH＝＝，
∴S△OHC＝×1×＝，
∴四边形ABCD与⊙O重叠部分的面积＝S扇形OAC+S△OHC＝+；

（3）设⊙O半径OA＝r＝OC，OH＝3﹣r，
在Rt△OHC中，OH2+HC2＝OC2，
∴（3﹣r）2+12＝r2，
∴r＝，则OH＝，
在Rt△ABH中，AH＝3，BH＝+1＝，则AB＝，
在Rt△ACH中，AH＝3，CH＝NH＝1，得AC＝，
在△BMN和△BCA中，
∠B＝∠B，∠BMN＝∠BCA，
∴△BMN∽△BCA，
∴＝即＝＝，
∴MN＝，
∴OH＝，MN＝．

【点评】本题考查了切线的判定定理，解直角三角形，扇形的面积与三角形的面积，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，解题关键是要熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．

9.（2019湖南常德7分）如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长．

【分析】（1）连接OD、CD，根据圆周角定理得出∠EDC＝90°，根据平行线的性质得出OA⊥CD，根据垂径定理得出OA垂直平分CD，根据垂直平分线的性质得出OD＝OC＝OE，然后根据等腰三角形的三线合一的性质得出∠AOC＝∠AOD，进而证得△AOD≌△AOC（SAS），得到∠ADO＝∠ACB＝90°，即可证得结论；
（2）根据切割线定理求得BE，得到BC，然后根据切线长定理和勾股定理列出关于y的方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：连接OD、CD，
∵CE是⊙O的直径，
∴∠EDC＝90°，
∵DE∥OA，
∴OA⊥CD，
∴OA垂直平分CD，
∴OD＝OC，
∴OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE，
∵DE∥OA，
∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，
∴∠AOD＝∠AOC，
∵AC是切线，
∴∠ACB＝90°，
在△AOD和△AOC中

∴△AOD≌△AOC（SAS），
∴∠ADO＝∠ACB＝90°，
∵OD是半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵BD是⊙O切线，
∴BD2＝BE•BC，
设BE＝x，∵BD＝4，EC＝6，
∴42＝x（x+6），
解得x＝2或x＝﹣8（舍去），
∴BE＝2，
∴BC＝BE+EC＝8，
∵AD、AC是⊙O的切线，
∴AD＝AC，
设AD＝AC＝y，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∴（4+y）2＝y2+82，
解得y＝6，
∴AC＝6，
故AC的长为6．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，垂径定理，切线长定理，切割线定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．

10.（2019湖南益阳10分）如图，在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作圆O交AC于点N，延长MN至D，使ND＝MN，连接AD、CD，CD交圆O于点E．
（1）判断四边形AMCD的形状，并说明理由；
（2）求证：ND＝NE；
（3）若DE＝2，EC＝3，求BC的长．

【分析】（1）证明四边形AMCD的对角线互相平分，且∠CNM＝90°，可得四边形AMCD为菱形；
（2）可证得∠CMN＝∠DEN，由CD＝CM可证出∠CDM＝∠CMN，则∠DEN＝∠CDM，结论得证；
（3）证出△MDC∽△EDN，由比例线段可求出ND长，再求MN的长，则BC可求出．
【解答】（1）解：四边形AMCD是菱形，理由如下：
∵M是Rt△ABC中AB的中点，
∴CM＝AM，
∵CM为⊙O的直径，
∴∠CNM＝90°，
∴MD⊥AC，
∴AN＝CN，
∵ND＝MN，
∴四边形AMCD是菱形．
（2）∵四边形CENM为⊙O的内接四边形，
∴∠CEN+∠CMN＝180°，
∵∠CEN+∠DEN＝180°，
∴∠CMN＝∠DEN，
∵四边形AMCD是菱形，
∴CD＝CM，
∴∠CDM＝∠CMN，
∴∠DEN＝∠CDM，
∴ND＝NE．
（3）∵∠CMN＝∠DEN，∠MDC＝∠EDN，
∴△MDC∽△EDN，
∴，
设DN＝x，则MD＝2x，由此得，
解得：x＝或x＝﹣（不合题意，舍去），
∴，
∵MN为△ABC的中位线，
∴BC＝2MN，
∴BC＝2．
【点评】本题考查了圆综合知识，熟练运用圆周角定理、菱形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．

11.2019云南12分）
如图，B是⊙C的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是OC上的点，且DE2＝DB·DA.延长AE至F，使AE＝EF，设BF＝10，cos∠BED
（1）求证：△DEB∽△DAE；
（2）求DA，DE的长；
（3）若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长.







（1）证明：DE2＝DB·DA，
∴………………………………………………1分
又∵∠BDE＝∠EDA，
∴△BED∽△DAE…………………………………………3分
（2）解：∵AB是⊙C的直径，E是⊙C上的点，
∴∠AEB=90°，即BE⊥AF.
又∵AE=EF；BF=10
∴AB=BF=10，
∴ADEB ∽△DAE，cos ∠BED=
∴∠EAD=∠BED,cos ∠EAD =cos ∠BED=
在Rs△ABE中，由于AB＝10，cos ∠EAD＝,得AE=ABcos∠EAD=8，
∴……………………………………5分
∴△DEB ∽△DAE
∴
∵DB=DA-AB=DA-10
∴,解得
经检验，是的解。
∴
（3）解：连接FM.
∵BE⊥AF，即∠BEF＝90°，
∴BF是B、E、F三点确定的圆的直径.
∵点F在B、E、M三点确定的圆上，即四点F、E、B、M在同一个圆上，
∴点M在以BF为直径的圆上
∴FM⊥AB.…………………………………………………………………………10分
在Rt△AMF中，由cos ∠FAM＝得
AM＝AFcos ∠FAM ＝2AEcos ∠EAB＝2×8×＝………………………11分
∴MD＝DA－AM＝
∴MD＝…………………………………………………………………………12分
温馨提示：以上参考答案与评分标准仅供阅卷时参考，其它答案（特别是第20、23题解法
很多，请注意解法是否正确）请参考评分标准酌情给分.

12.（2019浙江丽水8分）如图，在▱OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D．
（1）求的度数．
（2）如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F，若EF＝AB，求∠OCE的度数．

【分析】（1）连接OB，证明△AOB是等腰直角三角形，即可求解；
（2）△AOB是等腰直角三角形，则OA＝t，HO＝＝＝t，即可求解．
【解答】解：（1）连接OB，

∵BC是圆的切线，∴OB⊥BC，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA∥BC，∴OB⊥OA，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO＝45°，
∴的度数为45°；
（2）连接OE，过点O作OH⊥EC于点H，设EH＝t，

∵OH⊥EC，
∴EF＝2HE＝2t，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB＝CO＝EF＝2t，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴OA＝t，
则HO＝＝＝t，
∵OC＝2OH，
∴∠OCE＝30°．
【点评】本题主要利用了切线和平行四边形的性质，其中（2），要利用（1）中△AOB是等腰直角三角形结论．
13. （2019•甘肃庆阳•10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）若CE＝2，求⊙D的半径．

【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝∠B＝30°，求得∠ADC＝60°，根据三角形的内角和得到∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，于是得到AC是⊙D的切线；
（2）连接AE，推出△ADE是等边三角形，得到AE＝DE，∠AED＝60°，求得∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，得到AE＝CE＝2，于是得到结论．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AC是⊙D的切线；
（2）解：连接AE，
∵AD＝DE，∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE＝DE，∠AED＝60°，
∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，
∴∠EAC＝∠C，
∴AE＝CE＝2，
∴⊙D的半径AD＝2．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

14. （2019·广西贺州·10分）如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求AC的长度．

【分析】（1）由切线的性质得出AF⊥OA，由圆周角定理好已知条件得出∠F＝∠DBC，证出AF∥BC，得出OA⊥BC，求出∠BOA＝90°﹣30°＝60°，由圆周角定理即可得出结果；
（2）由垂径定理得出BE＝CE＝BC＝4，得出AB＝AC，证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OB，由直角三角形的性质得出OE＝OB，BE＝OE＝4，求出OE＝，即可得出AC＝AB＝OB＝2OE＝．
【解答】解：（1）∵AF与⊙O相切于点A，
∴AF⊥OA，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAC＝30°，
∴∠DBC＝∠DAC＝30°，
∵∠F＝30°，
∴∠F＝∠DBC，
∴AF∥BC，
∴OA⊥BC，
∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ADB＝∠AOB＝30°；
（2）∵OA⊥BC，
∴BE＝CE＝BC＝4，
∴AB＝AC，
∵∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OB，
∵∠OBE＝30°，
∴OE＝OB，BE＝OE＝4，
∴OE＝，
∴AC＝AB＝OB＝2OE＝．
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理，证出OA⊥BC是解题的关键．

15. （2019·贵州安顺·12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．
（1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：H为CE的中点；
（3）若BC＝10，cosC＝，求AE的长．

【解答】（1）解：DH与⊙O相切．理由如下：
连结OD、AD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
而AO＝BO，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴OD⊥DH，
∴DH为⊙O的切线；
（2）证明：连结DE，如图，
∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形，
∴∠DEC＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠DEC＝∠C，
∵DH⊥CE，
∴CH＝EH，即H为CE的中点；
（3）解：在Rt△ADC中，CD＝BC＝5，
∵cosC＝＝，
∴AC＝5，
在Rt△CDH中，∵cosC＝＝，
∴CH＝，
∴CE＝2CH＝2，
∴AE＝AC﹣CE＝5﹣2＝3．


16. （2019·贵州贵阳·10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．
（1）求证：OP∥BC；
（2）过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D．如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O的直径．

【分析】（1）由题意可知＝，根据同弧所对的圆心角相等得到∠AOP＝∠POC＝∠AOC，再根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系得出∠ABC＝∠AOC，利用同位角相等两直线平行，可得出PO与BC平行；
（2）由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CD，又AD垂直于CD，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC与AD平行，根据两直线平行内错角相等得到∠APO＝∠COP，由∠AOP＝∠COP，等量代换可得出∠APO＝∠AOP，再由OA＝OP，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形AOP三内角相等，确定出三角形AOP为等边三角形，根据等边三角形的内角为60°得到∠AOP为60°，由OP平行于BC，利用两直线平行同位角相等可得出∠OBC＝∠AOP＝60°，再由OB＝OC，得到三角形OBC为等边三角形，可得出∠COB为60°，利用平角的定义得到∠POC也为60°，再加上OP＝OC，可得出三角形POC为等边三角形，得到内角∠OCP为60°，可求出∠PCD为30°，在直角三角形PCD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，而PC等于圆的半径OP等于直径AB的一半，可得出PD为AB的四分之一，即AB＝4PD＝4．
【解答】（1）证明：∵A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．
∴＝
∴∠AOP＝∠COP，
∴∠AOP＝∠AOC，
又∵∠ABC＝∠AOC，
∴∠AOP＝∠ABC，
∴PO∥BC；

（2）解：连接PC，
∵CD为圆O的切线，
∴OC⊥CD，又AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠APO＝∠COP，
∵∠AOP＝∠COP，
∴∠APO＝∠AOP，
∴OA＝AP，
∵OA＝OP，
∴△APO为等边三角形，
∴∠AOP＝60°，
又∵OP∥BC，
∴∠OBC＝∠AOP＝60°，又OC＝OB，
∴△BCO为等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∴∠POC＝180°﹣（∠AOP+∠COB）＝60°，又OP＝OC，
∴△POC也为等边三角形，
∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC，
又∵∠OCD＝90°，
∴∠PCD＝30°，
在Rt△PCD中，PD＝PC，
又∵PC＝OP＝AB，
∴PD＝AB，
∴AB＝4PD＝4．

【点评】此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，轴对称的性质，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．
17. （2019•贵州省铜仁市•12分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）已知FG＝2，求图中阴影部分的面积．

【解答】（1）证明：连接OF，AO，
∵AB＝AF＝EF，
∴＝＝，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，
∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠BFO＝30°，
∴∠ABF＝∠OFB，
∴AB∥OF，
∵FG⊥BA，
∴OF⊥FG，
∴FG是⊙O的切线；
（2）解：∵＝＝，
∴∠AOF＝60°，
∵OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AFO＝60°，
∴∠AFG＝30°，
∵FG＝2，
∴AF＝4，
∴AO＝4，
∵AF∥BE，
∴S△ABF＝S△AOF，
∴图中阴影部分的面积＝＝．

18. （2019•黑龙江省绥化市•7分）如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD，交弦BD于点G，连接半径OC交BD于点E，过点C的一条直线交AB的延长线于点F，∠AFC＝∠ACD．
（1）求证：直线CF是⊙O的切线；
（2）若DE＝2CE＝2．
①求AD的长；
②求△ACF的周长．（结果可保留根号）

考点：圆的切线的判定，三角形相似的性质，勾股定理。
解析：



19. （2019•黑龙江省齐齐哈尔市•8分）如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD＝AB，∠D＝30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OA，则得出∠COA＝2∠B＝2∠D＝60°，可求得∠OAD＝90°，可得出结论；
（2）可利用△OAD的面积﹣扇形AOC的面积求得阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OA，则∠COA＝2∠B，
∵AD＝AB，
∴∠B＝∠D＝30°，
∴∠COA＝60°，
∴∠OAD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴OA⊥AD，
即CD是⊙O的切线；

（2）解：∵BC＝4，
∴OA＝OC＝2，
在Rt△OAD中，OA＝2，∠D＝30°，
∴OD＝2OA＝4，AD＝2，
所以S△OAD＝OA•AD＝×2×2＝2，
因为∠COA＝60°，
所以S扇形COA＝＝π，
所以S阴影＝S△OAD﹣S扇形COA＝2﹣．
20．（2019•山东临沂•9分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．

【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ACD＝90°，根据直角三角形的性质得到CF＝EF＝DF，求得∠AEO＝∠FEC＝∠FCE，根据等腰三角形的性质得到∠OCA＝∠OAC，于是得到结论；
（2）根据三角形的内角和得到∠OAE＝∠CDE＝22.5°，根据等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠ADC＝45°，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ACD＝90°，
∵点F是ED的中点，
∴CF＝EF＝DF，
∴∠AEO＝∠FEC＝∠FCE，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵OD⊥AB，
∴∠OAC+∠AEO＝90°，
∴∠OCA+∠FCE＝90°，即OC⊥FC，
∴CF与⊙O相切；
（2）解：∵OD⊥AB，AC⊥BD，
∴∠AOE＝∠ACD＝90°，
∵∠AEO＝∠DEC，
∴∠OAE＝∠CDE＝22.5°，
∵AO＝BO，
∴AD＝BD，
∴∠ADO＝∠BDO＝22.5°，
∴∠ADB＝45°，
∴∠CAD＝∠ADC＝45°，
∴AC＝CD．

【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．

21．（2019•山东潍坊•13分）如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．
（1）求圆心M的坐标；
（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；
（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF＝4时，求点P的坐标．

【分析】（1）利用中点公式即可求解；
（2）设：∠CAO＝α，则∠CAO＝∠ODA＝∠PEH＝α，tan∠CAO＝＝＝tanα，则sinα＝，cosα＝，AC＝，则CD＝＝10，即可求解；
（3）利用cos∠PEH＝，求出PE＝5，即可求解．
【解答】解：（1）点B（0，4），则点C（0，2），
∵点A（4，0），则点M（2，1）；
（2）∵⊙P与直线AD，则∠CAD＝90°，
设：∠CAO＝α，则∠CAO＝∠ODA＝∠PEH＝α，
tan∠CAO＝＝＝tanα，则sinα＝，cosα＝，
AC＝，则CD＝＝10，
则点D（0，﹣8），
将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：
直线AD的表达式为：y＝2x﹣8；
（3）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2+1，
将点B坐标代入上式并解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x+4，
过点P作PH⊥EF，则EH＝EF＝2，

cos∠PEH＝，
解得：PE＝5，
设点P（x，x2﹣3x+4），则点E（x，2x﹣8），
则PE＝x2﹣3x+4﹣2x+8＝5，
解得x＝或2（舍去2），
则点P（，）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
22．(2019•湖南常德•7分)如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若BD＝4，EC＝6，求AC的长．

【考点】圆的证明与求值．
【分析】(1)连接OD、CD，根据圆周角定理得出∠EDC＝90°，根据平行线的性质得出OA⊥CD，根据垂径定理得出OA垂直平分CD，根据垂直平分线的性质得出OD＝OC＝OE，然后根据等腰三角形的三线合一的性质得出∠AOC＝∠AOD，进而证得△AOD≌△AOC(SAS)，得到∠ADO＝∠ACB＝90°，即可证得结论；
(2)根据切割线定理求得BE，得到BC，然后根据切线长定理和勾股定理列出关于y的方程，解方程即可．
【解答】(1)证明：连接OD、CD，
∵CE是⊙O的直径，∴∠EDC＝90°，
∵DE∥OA，∴OA⊥CD，∴OA垂直平分CD，
∴OD＝OC，∴OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，
∵DE∥OA，∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，∴∠AOD＝∠AOC，
∵AC是切线，∴∠ACB＝90°，
在△AOD和△AOC中

∴△AOD≌△AOC(SAS)，
∴∠ADO＝∠ACB＝90°，
∵OD是半径，∴AB是⊙O的切线；
(2)解：∵BD是⊙O切线，∴BD2＝BE•BC，
设BE＝x，∵BD＝4，EC＝6，∴42＝x(x+6)，
解得x＝2或x＝－8(舍去)，∴BE＝2，
∴BC＝BE+EC＝8，
∵AD、AC是⊙O的切线，∴AD＝AC，
设AD＝AC＝y，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∴(4+y)2＝y2+82，解得y＝6，∴AC＝6，
故AC的长为6．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，垂径定理，切线长定理，切割线定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
23．(2019•湖北宜昌•8分)如图，点O是线段AH上一点，AH＝3，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，过点H作AH的垂线交⊙O于C，N两点，点B在线段CN的延长线上，连接AB交⊙O于点M，以AB，BC为边作□ABCD．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若OH＝AH，求四边形AHCD与⊙O重叠部分的面积；
(3)若NH＝AH，BN＝，连接MN，求OH和MN的长．

【考点】直线和圆---圆的证明、求值．
【分析】(1)根据平行四边形的性质可知AD∥BC，证明OA⊥AD，又因为OA为半径，即可证明结论；
(2)利用锐角三角函数先求出∠OCH＝30°，再求出扇形OAC的面积，最后求出△OHC的面积，两部分面积相加即为重叠部分面积；
(3)设⊙O半径OA＝r＝OC，OH＝3－r，在Rt△OHC中，利用勾股定理求出半径r＝，推出OH＝，再在Rt△ABH和Rt△ACH中利用勾股定理分别求出AB，AC的长，最后证△BMN∽△BCA，利用相似三角形对应边的比相等即可求出MN的长．
【解答】解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∵∠AHC＝90°，∴∠HAD＝90°，即OA⊥AD，
又∵OA为半径，∴AD是⊙O的切线；
(2)解：如右图，连接OC，
∵OH＝OA，AH＝3，∴OH＝1，OA＝2，
∵在Rt△OHC中，∠OHC＝90°，OH＝OC，∴∠OCH＝30°，
∴∠AOC＝∠OHC+∠OCH＝120°，∴S扇形OAC＝＝，
∵CH＝＝，∴S△OHC＝×1×＝，
∴四边形ABCD与⊙O重叠部分的面积＝S扇形OAC+S△OHC＝+；
(3)设⊙O半径OA＝r＝OC，OH＝3－r，
在Rt△OHC中，OH2+HC2＝OC2，∴（3－r）2+12＝r2，
∴r＝，则OH＝，
在Rt△ABH中，AH＝3，BH＝+1＝，则AB＝，
在Rt△ACH中，AH＝3，CH＝NH＝1，得AC＝，
在△BMN和△BCA中，∠B＝∠B，∠BMN＝∠BCA，
∴△BMN∽△BCA，
∴＝即＝＝，∴MN＝，
∴OH＝，MN＝．

【点评】本题考查了切线的判定定理，解直角三角形，扇形的面积与三角形的面积，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，解题关键是要熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
24．(2019•湖北宜昌•11分)已知：在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，过点F作EF的垂线交DC于点H，以EF为直径作半圆O．
(1)填空：点A　　（填“在”或“不在”）⊙O上；当＝时，tan∠AEF的值是　 　；
(2)如图1，在△EFH中，当FE＝FH时，求证：AD＝AE+DH；
(3)如图2，当△EFH的顶点F是边AD的中点时，求证：EH＝AE+DH；
(4)如图3，点M在线段FH的延长线上，若FM＝FE，连接EM交DC于点N，连接FN，当AE＝AD时，FN＝4，HN＝3，求tan∠AEF的值．

【考点】圆综合题．
【分析】(1)连接AO，∠EAF＝90°，O为EF中点，所以AO＝EF，因此点A在⊙O上，当＝时，∠AEF＝45°，tan∠AEF＝tan45°＝1；
(2)证明△AEF≌△DFH，得到AF＝DH，AE＝DF，所以AD＝AF+DF＝AE+DH；
(3)延长EF交HD的延长线于点G，先证明△AEF≌△DGF（ASA），所以AE＝DG，EF＝FG，因为EF⊥FG，所以EH＝GH，GH＝DH+DG＝DH+AE，即EH＝AE+DH；
(4)过点M作MQ⊥AD于点Q．设AF＝x，AE＝a，所以△EFM为等腰直角三角形，∠FEM＝∠FMN＝45°，因此△AEF≌△QFM（ASA），AE＝EQ＝a，AF＝QM，AE＝AD，AF＝DQ＝QM由△FEN～△HMN，得到，所以．
【解答】解：(1)如图1，连接AO，
∵∠EAF＝90°，O为EF中点，∴AO＝EF，∴点A在⊙O上，
当＝时，∠AEF＝45°，∴tan∠AEF＝tan45°＝1，
故答案为：在，1；

(2)∵EF⊥FH，∴∠EFH＝90°，
在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠AEF+∠AFE＝90°，
∠AFE+∠DFH＝90°，∴∠AEF＝∠DFH，
又FE＝FH，
∴△AEF≌△DFH（AAS），∴AF＝DH，AE＝DF，
∴AD＝AF+DF＝AE+DH；
(3)如图2，延长EF交HD的延长线于点G，
∵F分别是边AD上的中点，∴AF＝DF，
∵∠A＝∠FDG＝90°，∠AFE＝∠DFG，
∴△AEF≌△DGF（ASA），∴AE＝DG，EF＝FG，
∵EF⊥FG，∴EH＝GH，
∴GH＝DH+DG＝DH+AE，∴EH＝AE+DH；
(4)如图3，过点M作MQ⊥AD于点Q．
设AF＝x，AE＝a，∵FM＝FEEF⊥FH，∴△EFM为等腰直角三角形，
∴∠FEM＝∠FMN＝45°，
∵FM＝FE，∠A＝∠MQF＝90°，∠AEF＝∠MFQ，
∴△AEF≌△QFM（ASA），∴AE＝EQ＝a，AF＝QM，
∵AE＝AD，∴AF＝DQ＝QM＝x，
∵DC∥QM，∴，
∵DC∥AB∥QM，∴，∴，
∵FE＝FM，∴，
∠FEM＝∠FMN＝45°，∴△FEN～△HMN，
∴，∴．
【点评】本题考查了圆的综合知识，熟练运用相似三角形的判定与性质是解题的关键．
25．(2019•云南•12分)如图，B是⊙C的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是⊙C上的点，且DE2＝DB·DA.延长AE至F，使AE＝EF，设BF＝10，cos∠BED．
(1)求证：△DEB∽△DAE；
(2)求DA，DE的长；
(3)若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长．

【考点】圆与相似．
【分析】(1)由DE2＝DB·DA，可化为比例式，由于这四条比例线段的夹角是公共点，根据“两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似”即可证△DEB∽△DAE；
(2)由于AB是⊙C的直径，所以∠AEB=90°，又AE=EF，所以BE是AF的垂直平分线，从而AB=BF=10，由△DEB∽△DAE，可知∠EAD=∠BED，从而cos ∠EAD =cos ∠BED=，在Rt△ABE中，利用三角函数可求出AE和BE，再利用相似三角形的对应边成比例可求解；
(3)由B、E、M、F四点共圆及∠BEF＝90°，可得∠AMF＝90°，在Rt△AMF中，由cos ∠FAM＝＝可求得AM的长，再由MD＝AD－AM可求解．

【解答】(1)证明：∵DE2＝DB·DA，∴，
又∵∠BDE＝∠EDA，∴△DEB∽△DAE；
(2)解：∵AB是⊙C的直径，E是⊙C上的点，∴∠AEB=90°，即BE⊥AF，
又∵AE=EF，BF=10，∴AB=BF=10，
∵△DEB ∽△DAE，∴∠EAD=∠BED，cos ∠EAD =cos ∠BED=，
在Rt△ABE中，AB＝10，cos ∠EAD＝，∴AE=ABcos∠EAD=8，
∴，
∵△DEB ∽△DAE，∴
∵DB=DA－AB=DA－10，
∴，解得；
(3)解：连接FM．
∵BE⊥AF，即∠BEF＝90°，∴BF是B、E、F三点确定的圆的直径，
∵点F在B、E、M三点确定的圆上，即四点F、E、B、M在同一个圆上，
∴点M在以BF为直径的圆上，∴FM⊥AB，
在Rt△AMF中，由cos ∠FAM＝得
AM＝AFcos ∠FAM＝2AEcos ∠EAB＝2×8×＝，
∴MD＝DA－AM＝，∴MD＝．
【点评】此题考查了圆，相似三角形，三角函数等知识，是一道圆的综合题，具有一定的难度．
26．(2019•浙江丽水•8分)如图，在□OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D．
(1)求的度数．
(2)如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F，若EF＝AB，求∠OCE的度数．

【考点】圆．
【分析】(1)连接OB，证明△AOB是等腰直角三角形，即可求解；
(2)△AOB是等腰直角三角形，则OA＝t，HO＝＝＝t，即可求解．
【解答】解：(1)连接OB，

∵BC是圆的切线，∴OB⊥BC，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA∥BC，∴OB⊥OA，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO＝45°，
∴的度数为45°；
(2)连接OE，过点O作OH⊥EC于点H，设EH＝t，

∵OH⊥EC，
∴EF＝2HE＝2t，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB＝CO＝EF＝2t，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴OA＝t，
则HO＝＝＝t，
∵OC＝2OH，
∴∠OCE＝30°．
【点评】本题主要利用了切线和平行四边形的性质，其中(2)，要利用(1)中△AOB是等腰直角三角形结论．
27 （2019黑龙江省绥化）（7分）如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD，交弦BD于点G，连接半径OC交BD于点E，过点C的一条直线交AB的延长线于点F，∠AFC＝∠ACD．
（1）求证：直线CF是⊙O的切线；
（2）若DE＝2CE＝2．
①求AD的长；
②求△ACF的周长．（结果可保留根号）

考点：圆的切线的判定，三角形相似的性质，勾股定理。
解析：



28．（2019湖北省鄂州市）（10分）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：E为△PAB的内心；
（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．

【分析】（1）连结OB，根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，证明△AOP≌△BOP，得到∠OBP＝∠OAP，根据切线的判定定理证明；
（2）连结AE，根据切线的性质定理得到∠PAE+∠OAE＝90°，证明EA平分∠PAD，根据三角形的内心的概念证明即可；
（3）根据余弦的定义求出OA，证明△PAO∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】（1）证明：连结OB，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AB⊥PO，
∴PO∥BC
∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，
OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C，
∴∠AOP＝∠POB，
在△AOP和△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP（SAS），
∴∠OBP＝∠OAP，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OBP＝90°，
∴PB是⊙O的切线；
（2）证明：连结AE，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAE+∠OAE＝90°，
∵AD⊥ED，
∴∠EAD+∠AED＝90°，
∵OE＝OA，
∴∠OAE＝∠AED，
∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD，
∵PA、PD为⊙O的切线，
∴PD平分∠APB
∴E为△PAB的内心；
（3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，
∴∠PAB＝∠C，
∴cos∠C＝cos∠PAB＝，
在Rt△ABC中，cos∠C＝＝＝，
∴AC＝，AO＝，
∵△PAO∽△ABC，
∴，
∴PO＝＝＝5．

【点评】本题考查的是三角形的内切圆和内心、相似三角形的判定和性质、切线的判定，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

29. (2019湖北咸宁市)（（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．
（1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的长．

【分析】（1）如图，连接OF，根据直角三角形的性质得到CD＝BD，得到∠DBC＝∠DCB，根据等腰三角形的性质得到∠OFC＝∠OCF，得到∠OFC＝∠DBC，推出∠OFG＝90°，于是得到结论；
（2）连接DF，根据勾股定理得到BC＝＝4，根据圆周角定理得到∠DFC＝90°，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）FG与⊙O相切，
理由：如图，连接OF，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝BD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵OF＝OC，
∴∠OFC＝∠OCF，
∴∠OFC＝∠DBC，
∴OF∥DB，
∴∠OFG+∠DGF＝180°，
∵FG⊥AB，
∴∠DGF＝90°，
∴∠OFG＝90°，
∴FG与⊙O相切；
（2）连接DF，
∵CD＝2.5，
∴AB＝2CD＝5，
∴BC＝＝4，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DFC＝90°，
∴FD⊥BC，
∵DB＝DC，
∴BF＝BC＝2，
∵sin∠ABC＝，
即＝，
∴FG＝．

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．