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    千题百炼——高考数学100个热点问题(一):第2炼 充分条件与必要条件
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    千题百炼——高考数学100个热点问题(一):第2炼 充分条件与必要条件

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    第2  充分条件与必要条件

    一、基础知识

    1、定义:

    (1)对于两个条件如果命题是真命题,则称条件能够推出条件记为

    (2)充分条件与必要条件如果条件满足称条件是条件的充分条件条件是条件的必要条件

    2、对于两个条件而言,往往以其中一个条件为主角,考虑另一个条件与它的关系,这种关系既包含充分方面,也包含必要方面。所以在判断时既要判断的真假,也要判断真假

    3、两个条件之间可能的充分必要关系:

    (1)能推出推不出则称的充分不必要条件

    (2)推不出能推出则称必要充分条件

    (3)能推出能推出记为则称的充要条件也称等价

    (4)推不出,且推不出则称的既不充分也不必要条件

    4、如何判断两个条件的充分必要关系

    (1)通过命题手段,将两个条件用……,则……”组成命题,通过判断命题的真假来判断出条件能否相互推出,进而确定充分必要关系。例如构造命题为真命题所以,但为假命题(还有可能为),所以不能推出综上的充分不必要条件

    (2)理解充分必要词语的含义并定性的判断关系

    充分:可从日常用语中的充分来理解,比如小明对明天的考试做了充分的准备,何谓充分?这意味着小明不需要再做任何额外的工作,就可以直接考试了。在逻辑中充分也是类似的含义,是指仅由就可以得到结论而不需要再添加任何说明与补充以上题为例对于条件不需再做任何说明或添加任何条件就可以得到所以可以说充分的而反观要想得到还要补充一个前提不能取那既然还要补充则说明是不充分

    必要:也可从日常用语中的必要来理解,比如心脏是人的一个必要器官,何谓必要?没有心脏,人不可活,但是仅有心脏,没有其他器官,人也一定可活么?所以必要体现的就是没它不行,但是仅有它也未必行的含义。仍以上题为例:如果不成立,那么必然不为1,但是仅靠想得到也是远远不够的还需要更多的补充条件所以仅仅是必要的

    (3)运用集合作为工具

       先看一个问题:已知 ,那么条件的什么条件?

       可得到推不出所以充分不必要条件。通过这个问题可以看出,如果两个集合存在包含关系,那么其对应条件之间也存在特定的充分必要关系。在求解时可以将满足条件的元素构成对应集合,判断出两个集合间的包含关系,进而就可确定条件间的关系了。相关结论如下:

    的充分不必要条件的必要不充分条件

    的充分条件

    的充要条件

       此方法适用范围较广,尤其涉及到单变量取值范围的条件时,不管是判断充分必要关系还是利用关系解参数范围,都可将问题转化为集合的包含问题,进而快捷求解。例如在满足取值集合为而满足取值集合为

    所以进而判断出的充分不必要条件

    5、关于的充分必要关系可从命题的角度进行判断例如的充分不必要条件则命题为真命题根据四类命题的真假关系可得其逆否命题也为真命题所以的充分不必要条件

    二、典型例题:

    例1:已知    

    A. 充要条件                                B. 必要不充分条件      

    C. 充分不必要条件                          D. 既不充分也不必要条件

    思路:考虑利用集合求解:分别解不等式得到对应集合。解得所以进而充分不必要条件

    答案:C

    2:已知,那么的(     

    A. 充要条件                                B. 必要不充分条件      

    C. 充分不必要条件                          D. 既不充分也不必要条件

    思路:本题若觉得不方便从条件中直接找到联系可先从一个条件入手推出其等价条件再进行判断比如等价于所以只需判断的关系即可根据的单调性可得如果但是若大于零的前提下才有而题目中仅说明所以不能推出综上可判断的充分不必要条件

    答案:C

    小炼有话说:(1)如果所给条件不方便直接判断,那么可以寻找它们的等价条件(充要条件),再进行判断即可

    (2)在因为是条件,表达式成立要求,但是在是条件且对取值没有特殊要求所以那么作为结论的就不一定有意义了在涉及到变量取值时要首先分清谁是条件谁是结论作为条件的一方默认式子有意义所以会对变量取值有一定的影响

    3:已知如果充分不必要条件,则的取值范围是_____

    思路:设因为充分不必要条件,所以利用数轴可而判断出

    答案:

    4:下面四个条件中,使成立的充分而不必要的条件是    

    A.            B.          C.           D.

    思路:求的充分不必要条件则这个条件能够推出且不能被推出可以考虑验证四个选项。A选项可以推出不一定能够得到比如),所以A符合条件对于BC两个选项均不能推出A所以直接否定而D选项虽然可以得到但是也能推出所以D是A的充要条件不符题意

    答案:A

    5(2015浙江温州中学高二期中考试)设集合 

    A. 充分不必要条件                              B. 必要不充分条件         

    C. 充要条件            D. 既不充分也不必要条件  

    思路:先解出两个解集:的解集与的取值有关观察条件所以成立则通过数轴观察区间可得的取值为多个比如),所以的充分不必要条件

    答案:A

    6对于函数的图象关于轴对称是奇函数      

    A. 充分不必要条件                              B. 必要不充分条件         

    C. 充要条件            D. 既不充分也不必要条件  

    思路:如果是奇函数,图像关于原点对称,则位于轴下方的部分沿轴对称翻上来恰好图像关于轴对称的图象关于轴对称未必能得到是奇函数例如),所以的图象关于轴对称是奇函数的必要不充分条件

    答案:B

    7:已知    

    A. 充分不必要条件                              B. 必要不充分条件         

    C. 充要条件            D. 既不充分也不必要条件  

    思路一:可以考虑利用特殊值来进行判断。比如考虑左可以举出反例不成立所以左边无法得到右边而右左能够成立所以的必要不充分条件

    思路二:本题也可以运用集合的思想,将视为一个点的坐标则条件所对应的集合为作出两个集合在坐标系中的区域观察两个区域可得所以的必要不充分条件

    答案:B

    8(2015菏泽高三期中考试):设条件实数满足条件实数满足的必要不充分条件则实数的取值范围是_________

    思路:本题如果先将写出再利用条件关系运算尽管可行容易书写错误所以优先考虑使用原条件的必要不充分条件等价于的必要不充分条件,而为两个不等式所以考虑求出解集再利用集合关系求解

    解:设可解得

        可解得

      的必要不充分条件    的必要不充分条件

       

    答案:

    例9:数列满足数列成等差数列    

    A. 充分不必要条件                              B. 必要不充分条件         

    C. 充要条件            D. 既不充分也不必要条件  

    思路:当可得成等差数列。所以数列成等差数列的充分条件另一方面如果成等差数列 成等差数列所以有代入可得解得经检验利用数学归纳法可证得也为等差数列(公差为0),所以符合题意从而由数列成等差数列无法推出,所以数列成等差数列不必要条件

    答案: A

    10,则的(     

    A. 充分不必要条件                              B. 必要不充分条件         

    C. 充要条件            D. 既不充分也不必要条件  

    思路:因为所以故由可得对于能否推出可考虑寻找各自等价条件通过数形结合可以得到符合的集合是集合的子集所以的必要不充分条件

    答案:B

     

     

    三、近年模拟题题目精选

    1、(2014,江西赣州高三摸底考试)若,则的(  

    A.  充分不必要条件                       B.  必要不充分条件    

    C.  充要条件                             D.  既不充分也不必要条件

    22014南昌一模,3为向量,则的(    

    A.  充分不必要条件    B. 必要不充分条件   C. 充要条件   D. 既不充分也不必要条件

    3,则成立成立                           

    A.  充分不必要条件    B. 必要不充分条件   C. 充要条件   D. 既不充分也不必要条件

    42014,北京)是公比为的等比数列,则为递增数列(     )

    A.  充分不必要条件    B. 必要不充分条件   C. 充要条件   D. 既不充分也不必要条件

    52014上海13校联考,15集合,若的充分条件,则的取值范围是(  )

    A.         B.           C.          D.

    62015,福建)对任意的的(    

    A.  充分不必要条件    B. 必要不充分条件   C. 充要条件   D. 既不充分也不必要条件

    72014北京朝阳一模,5)在中,,则的(    

    A.  充分不必要条件    B. 必要不充分条件   C. 充要条件   D. 既不充分也不必要条件

    82014 湖北黄冈月考,4已知条件条件:直线与圆相切,则的(  

    A充分不必要条件   B必要不充分条件   C充要条件  D既不充分又不必要条件

    9(2014陕西五校二模,1)命题且满足.命题且满足.的(  

    A.  充分不必要条件    B. 必要不充分条件   C. 充要条件   D. 既不充分也不必要条件

    102015北京理科)设是两个不同的平面,是直线且.则    

    A.  充分不必要条件    B. 必要不充分条件   C. 充要条件   D. 既不充分也不必要条件

    11、(2016,上海交大附中期中)条件对任意的(  

    A.  充分而不必要条件                     B.  必要而不充分条件

    C.  充分必要条件                         D.  既不充分也不必要条件

    习题答案:

    1、答案:B

    解析:从集合的角度来看,满足条件的取值范围是,所以可知的必要不充分条件

    2答案:C

    解析:的夹角为,从而等价于

    3、答案:C

    解析:由不等式性质可知:,则,反之若,则

    4、答案:D

    解析:若的项均为负项,则为递增数列之间无法相互推出,所以两条件既不充分也不必要

    5、答案:B

    解析:,因为由数轴可得:即可

    6、答案:B

    解析:左侧条件中恒成立不等式可化为,设,可知,所以若为减函数,则一定有成立。考虑,由可得:,故时,成立,所以为减函数, 成立。所以使不等式恒成立的的范围包含,而,故对任意的的必要不充分条件

    7、答案:B

    解析:由正弦定理可得:,所以,均满足题意,由两条件对应集合关系可知的必要不充分条件

    8、答案:C

    解析:从入手,若与圆相切,则解得,所以

    9、答案:C

    解析:分别解出满足两个条件的解可知两个集合相等

    10、答案:B

    解析:依面面平行的判定和性质可知:无法得到可推出

    11、答案:B

    解析:将不等式变形为,设,且,则。当时,可得,从而单调递减,,即不等式恒成立。所以若,则对任意;而对任意,未必能得到不等式也成立),所以为必要不充分条件

     

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