初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试当堂达标检测题

这是一份初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试当堂达标检测题，共14页。

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）


1．点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则点P是△ABC（ ）的交点．


A．三条高B．三条角平分线


C．三边的垂直平分线D．三条中线


2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则等腰三角形的底角为（ ）


A．67°B．67.5°


C．22.5°D．67.5°或22.5°


3．若（a﹣4）2+|b﹣6|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（ ）


A．14B．16C．13D．14或16


4．如图，∠A＝36°，∠C＝72°，BE为∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数有（ ）





A．6个B．5个C．4个D．3个


5．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且AB＝6，则EC的长为（ ）





A．3B．4.5C．1.5D．7.5


6．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）





A．65°B．60°C．55°D．45°


7．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD＝（ ）





A．36°B．54°C．18°D．64°


8．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为（ ）





A．B．2C．3D．2


9．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠A＝36°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC的度数为（ ）





A．72°B．108°C．126°D．144°


10．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若△EDF是等腰三角形，则∠BDC＝（ ）





A．45°B．60°C．67.5°D．75°


二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）


11．在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝128°．则∠B＝ 度．


12．如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝ 度．





13．已知等腰三角形两边长为5，11，则此等腰三角形周长是 ．


14．如图，在△ABC中，∠A＝70°，点O到AB、BC、AC的距离相等，连接BO、CO，则∠BOC＝ °．





15．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，AB＝6cm，则BC＝ cm．


16．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，则△ADC的周长等于 ．





17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，若BC＝6，则DE的长为 ．





18．如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共 个．





三．解答题（共6小题，满分46分）


19．如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，在BC的延长线上取一点E，使CE＝CD，连接DE，求证：BD＝DE．














20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，DE⊥AC，垂足为E．若∠BAC＝50°，求∠ADE的度数．














21．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝7，AC＝25，BC＝24，三条角平分线相交相交于点P，求点P到AB的距离．








22．已知：如图△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，DE⊥AC．


（1）求证：AE＝EC；


（2）若DE＝2，求BC的长．














23．已知，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．


（1）如图1，求证：CD⊥AB；


（2）将△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点．


①如图2，若∠B＝34°，求∠A′CB的度数；


②若∠B＝n°，请直接写出∠A′CB的度数（用含n的代数式表示）．








24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若点P从B点出发以2cm/秒的速度向A点运动，点Q从A点出发以1cm/秒的速度向C点运动，设P、Q分别从B、A同时出发，运动时间为t秒．解答下列问题：


（1）用含t的代数式表示线段AP，AQ的长；


（2）当t为何值时△APQ是以PQ为底的等腰三角形？


（3）当t为何值时PQ∥BC？








参考答案


一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）


1．解：∵点P到A、B两点的距离相等，


∴点P在线段AB的垂直平分线上，


同理，点P在线段AC、BC的垂直平分线上，


则点P是△ABC三边的垂直平分线的交点，


故选：C．


2．解：有两种情况；


（1）如图当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，





则∠ADB＝90°，


已知∠ABD＝45°，


∴∠A＝90°﹣45°＝45°，


∵AB＝AC，


∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣45°）＝67.5°；


（2）如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，





则∠FHE＝90°，


已知∠HFE＝45°，


∴∠HEF＝90°﹣45°＝45°，


∴∠FEG＝180°﹣45°＝135°，


∵EF＝EG，


∴∠EFG＝∠G＝×（180°﹣135°）＝22.5°，


综合（1）（2）得：等腰三角形的底角是67.5°或22.5°．


故选：D．


3．解：∵（a﹣4）2+|b﹣6|＝0，


∴a﹣4＝0，b﹣6＝0，


∴a＝4，b＝6，


①当腰是4，底边是3时，三边长是4，4，6，此时符合三角形的三边关系定理，


即等腰三角形的周长是4+4+6＝14；


②当腰是6，底边是4时，三边长是6，6，4，此时符合三角形的三边关系定理，


即等腰三角形的周长是6+6+4＝16．


故选：D．


4．解：∵在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，


∴∠ABC＝72°，


①∴∠ABC＝∠C，


∴AB＝AC，


∴△ABC是等腰三角形；





②∵AB＝AC，DE∥BC，


∴AD＝AE，


∴△ADE是等腰三角形；





③∵BE为∠ABC的平分线，


∴∠ABE＝∠ABC＝36°，


∴∠A＝∠ABE＝36°，


∴AE＝BE，


∴△ABE为等腰三角形；





④∵∠ABC＝72°，BE为∠ABC的平分线，DE∥BC，


∠EBC＝∠EBD＝∠DEB＝36°，


∴DB＝DE，


∴△DBE是等腰三角形；





⑤∵∠C＝72°，∠EBC＝36°，


∴∠CEB＝72°，


∴∠C＝∠CEB，


∴BC＝BE，


∴△BCE为等腰三角形．


综上所述，图中的等腰三角形有5个；


故选：B．





5．解：∵△ABC是等边三角形，


∴∠C＝60°，AC＝AB＝BC＝6，


∵BD平分∠ABC交AC于点D，


∴CD＝AC＝3，


∵DE⊥BC，


∴∠CDE＝30°，


∵EC＝CD＝1.5．


故选：C．


6．解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，


则AD＝DC，故∠C＝∠DAC，


∵∠C＝30°，


∴∠DAC＝30°，


∵∠B＝55°，


∴∠BAC＝95°，


∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝65°，


故选：A．


7．解：∵AB＝AC，∠ABC＝72°，


∴∠ABC＝∠ACB＝72°，


∴∠A＝36°，


∵BD⊥AC，


∴∠ABD＝90°﹣36°＝54°．


故选：B．


8．解：过点P作PB⊥OM于B，


∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA＝3，


∴PB＝PA＝3，


∴PQ的最小值为3．


故选：C．





9．解：∵∠ABC＝∠ACB，∠A＝36°，


∴∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，即∠1+∠3＝72°．


∵∠1＝∠2，


∴∠2+∠3＝72°，


在△BPC中，∠BPC＝180°﹣（∠2+∠3）＝180°﹣72°＝108°．


故选：B．





10．解：由翻折可知：△BED≌△BCD，


∴∠EBD＝∠CBD，∠E＝∠C＝90°


∵△EDF是等腰三角形，


∴∠EFD＝∠AFB＝∠ABF＝45°，


∴∠CBF＝45°，


∴∠CBD＝∠CBE＝22.5°，


∴∠BDC＝67.5°，


故选：C．


二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）


11．解：∵AB＝AC，若∠A＝128°，


∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝26°，


故答案为：26．


12．解：∵AC＝AD＝DB，


∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，


设∠ADC＝α，


∴∠B＝∠BAD＝，


∵∠BAC＝102°，


∴∠DAC＝102°﹣，


在△ADC中，


∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，


∴2α+102°﹣＝180°，


解得：α＝52°．


故答案为：52．


13．解：当等腰三角形的腰为5时，三边为5，5，11，5+5＜11，三边关系不成立，


当等腰三角形的腰为11时，三边为5，11，11，三边关系成立，周长为5+11+11＝27．


故答案为：27．


14．解：∵点O到AB、BC、AC的距离相等，


∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，


∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，


∵∠A＝70°，


∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，


∴∠OBC+∠OCB＝110°＝55°，


∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°．


故答案为：125．


15．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，


∴∠A＝30°，∠C＝90°，


∵AB＝6cm，


∴BC＝AB＝3cm，


故答案为：3．


16．解：∵BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，


∴CD＝BD，


∴△ADC的周长＝AC+CD+AD＝AD+BD+AC＝AC+AB，


而AB＝5，AC＝3，


∴△ADC的周长＝8．


故填空答案：8．


17．解：∵DE垂直平分AB，


∴DA＝DB，


∴∠B＝∠DAB，


∵AD平分∠CAB，


∴∠CAD＝∠DAB，


∵∠C＝90°，


∴3∠CAD＝90°，


∴∠CAD＝30°，


∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，


∴CD＝DE＝BD，


∵BC＝6，


∴CD＝DE＝2，


故答案为：2．





18．解：根据题意可得以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共8个．


故答案为：8．


三．解答题（共6小题，满分46分）


19．证明：∵AB＝AC


∴∠ABC＝∠ACB，


∵BD平分∠ABC，


∴∠DBC＝∠ABC，


∵CD＝CE，


∴∠E＝∠CDE，


∵∠ACB＝∠E+∠CDE，


∴∠E＝∠ACB，


∴∠E＝∠DBE，


∴BD＝DE．


20．解：∵AB＝AC，D为BC的中点，


∴∠BAD＝∠CAD，


∵∠BAC＝50°，


∴∠DAC＝25°，


∵DE⊥AC，


∴∠ADE＝90°﹣25°＝65°，


21．解：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，


PF⊥AC于F，


∵点P是△ABC三条角平分线的交点，


∴PD＝PE＝PF


∴S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC


＝PD•AB+PE•BC+PF•AC


＝PD•（AB+BC+AC）＝PD•（7+25+24）


＝28PD


又∵∠ABC＝90°，


∴S△ABC＝AB•BC＝×7×24＝7×12


∴7×12＝28PD，


∴PD＝3


答：点P到AB的距离为3．





22．（1）证明：∵AB＝AC，∠C＝30°，


∴∠B＝30°，∠BAC＝120°，


∵AB⊥AD，


∴∠DAC＝30°，


∴∠DAC＝∠C，


∴DA＝DC，


∵DE⊥AC，


∴AE＝EC；


（2）∵∠C＝30°，DE⊥AC，


∴DC＝2DE＝4，


∵AB⊥AD，∠B＝30°，


∴BD＝2DC＝8，


∴BC＝12．


23．解：（1）∵∠ACB＝90°，


∴∠ACD+∠BCD＝90°，


∵∠ACD＝∠B，


∴∠B+∠BCD＝90°，


∴∠BDC＝90°，


∴CD⊥AB；





（2）①当∠B＝34°时，∵∠ACD＝∠B，


∴∠ACD＝34°，


由（1）知，∠BCD+∠B＝90°，


∴∠BCD＝56°，


由折叠知，∠A'CD＝∠ACD＝34°，


∴∠A'CB＝∠BCD﹣∠A'CD＝56°﹣34°＝22°；





②当∠B＝n°时，同①的方法得，∠A'CD＝n°，∠BCD＝90°﹣n°，


∴∠A'CB＝∠BCD﹣∠A'CD＝90°﹣n°﹣n°＝90°﹣2n°．


24．解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°．


又∵AB＝12cm，∴AC＝6cm，BP＝2t，AP＝AB﹣BP＝12﹣2t，AQ＝t．





（2）∵△APQ是以PQ为底的等腰三角形，


∴AP＝AQ，即12﹣2t＝t，


解得t＝4，即当t＝4秒时△APQ是等腰三角形．





（3）∵当AQ：AC＝AP：AB时，有PQ∥BC，


∴t：6＝（12﹣2t）：12，解得t＝3．


即当t＝3秒时，PQ∥BC．