初中第四章 因式分解综合与测试综合训练题

这是一份初中第四章 因式分解综合与测试综合训练题，共9页。试卷主要包含了将对x2+mx+n分解成，如果，计算，在实数范围内分解因式等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）


1．将多项式x﹣x3因式分解正确的是（ ）


A．x（1﹣x2）B．x（x2﹣1）


C．x（1+x）（1﹣x）D．x（x+1）（x﹣1）


2．多项式a2﹣25与a2﹣5a的公因式是（ ）


A．a+5B．a﹣5C．a+25D．a﹣25


3．下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（ ）


A．﹣a2﹣4b2B．﹣1+25a2C．﹣9a2D．1﹣a4


4．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的个数是（ ）


（1）x2﹣4；（2）x2+6x+9；（3）4x4﹣2x2+；（4）x2+4xy+2y2


A．1个B．2个C．3个D．4个


5．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）


A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4


B．x2+4x﹣2＝x（x+4）﹣2


C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）


D．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x


6．将对x2+mx+n分解成（x﹣7）（x+2），则m，n的值为（ ）


A．5，﹣14B．﹣5，14C．5，14D．﹣5，﹣14


7．如果（x+4）（x﹣3）是x2﹣mx﹣12的因式，那么m是（ ）


A．7B．﹣7C．1D．﹣1


8．计算（﹣2）100+（﹣2）99的结果是（ ）


A．2B．﹣2C．﹣299D．299


二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）


9．把多项式m3﹣81m分解因式的结果是 ．


10．在实数范围内分解因式：m4﹣2m2＝ ．


11．分解因式：a2﹣9b2+2a﹣6b＝ ．


12．已知x2+4mx+16能用完全平方公式因式分解，则m的值为 ．


13．已知a、b满足a+b＝5，ab2+a2b＝10，则ab的值是 ．


14．若x2+x﹣1＝0，那么代数式x3+2x2﹣7的值是 ．


15．232﹣1可以被10和20之间某两个整数整除，则这两个数是 ．


三．解答题（共7小题，满分48分）


16．把下列多项式分解因式：


（1）x3﹣9x； （2）2a2+4ab+2b2











17．分解因式


（1）3a2（x+y）3﹣27a4（x+y） （2）（x2﹣9）2﹣14（x2﹣9）+49











18．已知a+b＝，ab＝﹣，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．











19．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．


这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：


（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；


（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．














20．待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．


待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解：x3﹣1．


因为x3﹣1为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多顶式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：a﹣1＝0，b﹣a＝0，﹣b＝﹣1可以求出a＝1，b＝1．所以x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）．


（1）若x取任意值，等式x2+2x+3＝x2+（3﹣a）x+s恒成立，则a＝ ；


（2）已知多项式x3+2x+3有因式x+1，请用待定系数法求出该多项式的另一因式．

















21．阅读以下材料，根据阅读材料提供的方法解决问题


【阅读材料】


对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入多项式，发现x＝2能使多项式的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后代入，就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解．


【解决问题】


（1）求式子中m、n的值；


（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．























22．拼图游戏：一天，小嘉在玩纸片拼图游戏时，发现利用图①中的三种材料各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．





（1）则图③可以解释为等式： ．


（2）在虚线框中用图①中的基本图形若干块（每种至少用一次）拼成一个长方形，使拼出的长方形面积为3a2+7ab+2b2，并通过拼图对多项式3a2+7ab+2b2因式分解：3a2+7ab+2b2＝ ．（拼图图形画在方框内）


（3）如图④，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个长方形的两边长（x＞y），结合图案，指出以下关系式：


①xy＝；②x+y＝m；③x2﹣y2＝m•n；④x2+y2＝


其中正确的关系式为 ．


（4）试着用剪拼图形的方法由几何图形的面积来证明：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．






































参考答案


一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）


1．解：x﹣x3＝x（1﹣x2）


＝x（1﹣x）（1+x）．


故选：C．


2．解：多项式a2﹣25＝（a+5）（a﹣5）与a2﹣5a＝a（a﹣5）的公因式是：a﹣5．


故选：B．


3．解：不能用平方差公式分解的是﹣a2﹣4b2．


故选：A．


4．解：（1）x2﹣1是两项，不能用完全平方公式，故此选项不符合题意；


（2）x2+6x+9，符合完全平方公式；故此选项符合题意．


（3）4x4﹣2x2+符合完全平方公式；故此选项符合题意；


（4）x2+4xy+2y2不符合完全平方公式；故此选项不符合题意．


故选：B．


5．解：A、（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，是整式的乘法运算，故此选项错误；


B、x2+4x﹣2＝x（x+4）﹣2，不符合因式分解的定义，故此选项错误；


C、x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），是因式分解，符合题意．


D、x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x，不符合因式分解的定义，故此选项错误；


故选：C．


6．解：∵将对x2+mx+n分解成（x﹣7）（x+2），


∴m＝﹣7+2＝﹣5，n＝﹣7×2＝﹣14，


故选：D．


7．解：∵（x+4）（x﹣3）是x2﹣mx﹣12的因式，


∴（x+4）（x﹣3）＝x2﹣mx﹣12＝x2+x﹣12，


故﹣m＝1，


解得：m＝﹣1．


故选：D．


8．解：原式＝（﹣2）99[（﹣2）+1]＝﹣（﹣2）99＝299，


故选：D．


二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）


9．解：m3﹣81m＝m（m2﹣81）


＝m（m+9）（m﹣9）．


故答案为：m（m+9）（m﹣9）．


10．解：m4﹣2m2


＝m2（m2﹣2）


＝m2（m+）（m﹣）．


故答案为：m2（m+）（m﹣）．


11．解：a2﹣9b2+2a﹣6b，


＝（a2﹣9b2）+（2a﹣6b），


＝（a+3b）（a﹣3b）+2（a﹣3b），


＝（a﹣3b）（a+3b+2）．


12．解：∵关于x的多项式x2﹣4mx+16能用完全平方公式进行因式分解，


∴m＝±2，


故答案为：±2．


13．解：∵ab2+a2b＝10，


∴ab（b+a）＝10，


∵a+b＝5，


∴ab＝2，


故答案为：2．


14．解：∵x2+x﹣1＝0，


∴x2+x＝1


∴x3+2x2﹣7＝x（x2+x）+x2﹣7


＝x+x2﹣7


＝1﹣7


＝﹣6


故答案为：﹣6．


15．解：原式＝（216+1）（216﹣1）


＝（216+1）（28+1）（24+1）（24﹣1）


＝（216+1）（28+1）×17×15．


则这两个数是 15和17．


故答案是：15和17．


三．解答题（共7小题）


16．解：（1）x3﹣9x＝x（x2﹣9）


＝x（x+3）（x﹣3）；





（2）2a2+4ab+2b2


＝2（a2+2ab+b2）


＝2（a+b）2．


17．解：（1）3a2（x+y）3﹣27a4（x+y）


＝3a2（x+y）[（x+y）2﹣9a2]


＝3a2（x+y）（x+y﹣3a）（x+y+3a）；





（2）（x2﹣9）2﹣14（x2﹣9）+49


＝（x2﹣9﹣7）2


＝（x2﹣16）2


＝（x+4）2（x﹣4）2．


18．解：a3b+2a2b2+ab3


＝ab（a2+2ab+b2）


＝ab（a+b）2，


∵a+b＝，ab＝﹣，


∴原式＝ab（a+b）2＝﹣×（）2＝﹣3，


即代数式a3b+2a2b2+ab3的值是﹣3．


19．解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16


＝（x﹣y）2﹣42


＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；





（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0


∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，


∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，


∴a＝b或a＝c或a＝b＝c，


∴△ABC的形状是等腰三角形或等边三角形．


20．解：（1）∵x2+2x+3＝x2+（3﹣a）x+3，


∴3﹣a＝2，a＝1；


故答案为：1；


（2）设x3+2x+3＝（x+1）（x2+ax+3）＝x3+（a+1）x2+（a+3）x+3，


a+1＝0，


解得a＝﹣1，


多项式的另一因式是x2﹣x+3．


21．解：（1）在等式x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n）中，


分别令x＝0，x＝1，


即可求出：m＝﹣3，n＝﹣5；


（2）把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，


则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，


用上述方法可求得：a＝4，b＝4，


所以x3+5x2+8x+4


＝（x+1）（x2+4x+4）


＝（x+1）（x+2）2．


22．解：（1）图③可以解释为等式：（a+2b）（2a+b）＝2a2+ab+4ab+2b2＝2a2+5ab+2b2


故答案为：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．


（2）拼图如图⑤所示：


3a2+7ab+2b2＝（3a+b）（a+2b）；


故答案为：（3a+b）（a+2b）；


（3）∵m2﹣n2＝4xy


∴①正确；


∵x+y＝m


∴②正确；


∵x+y＝m，x﹣y＝n


∴（x+y）（x﹣y）＝mn，即x2﹣y2＝mn，


∴③正确；


∵m2+n2＝（x+y）2+（x﹣y）2＝2x2+2y2＝2（x2+y2）；


∴④正确．


故答案为：①②③④．


（4）剪拼图形如图⑥、⑦；


把图⑥中的阴影沿虚线三次剪下来，拼成如图⑦所示的梯形，


∴这个梯形的上底长为2b，下底长为2a，高为（a﹣b），


∴S阴影（梯形）＝（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），


∵图⑥中的S阴影＝a2﹣b2，


∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．