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    2020年人教版八年级下学期第18章《平行四边形》单元测试题 解析版
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    初中数学人教版八年级下册第十八章 平行四边形综合与测试精品单元测试一课一练

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    这是一份初中数学人教版八年级下册第十八章 平行四边形综合与测试精品单元测试一课一练,共16页。试卷主要包含了下列命题中,真命题是等内容,欢迎下载使用。

    一.选择题(共8小题,满分24分,每小题3分)


    1.如图,▱ABCD中,下列说法一定正确的是( )





    A.AC=BDB.AC⊥BDC.AO=COD.AB=BC


    2.如图,CD是△ABC的边AB上的中线,且CD=AB,则下列结论错误的是( )





    A.∠B=30°B.AD=BD


    C.∠ACB=90°D.△ABC是直角三角形


    3.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,添加下列条件,不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )





    A.AB=CDB.BC∥ADC.∠A=∠CD.BC=AD


    4.下列命题中,真命题是( )


    A.对角线相等的四边形是矩形


    B.对角线互相垂直的四边形是菱形


    C.对角线互相平分的四边形是平行四边形


    D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形


    5.如图,矩形ABCD中,AD=4,对角线AC与BD交于点O,OE⊥AC交BC于点E,CE=3,则矩形ABCD的面积为( )





    A.B.C.12D.32


    6.如图所示,以正方形ABCD中AD边为一边向外作等边△ADE,则∠AEB=( )





    A.10°B.15°C.20°D.12.5°


    7.如图,△ABC中,D是AB的中点,DE∥BC,连接BE.若AE=6,DE=5,∠BEC=90°,则△BCE的周长是( )





    A.12B.24C.36D.48


    8.如图,在矩形COED中,点D的坐标是(1,3),则CE的长是( )





    A.3B.C.D.4


    二.填空题(共6小题,满分24分,每小题4分)


    9.▱ABCD中,∠A+∠C=220°,则∠A= .


    10.如图,在△ABC中,点D、E分別是AB,AC的中点,若BC=6,则DE= .





    11.如图,四边形ABCD是平行四边形,AC与BD相交于点O,添加一个条件: ,可使它成为菱形.





    12.如图,在▱ABCD中,E是AD边的中点.若BE平分∠ABC,AB=3,则▱ABCD的周长是 .





    13.菱形的两条对角线长分别为2cm和2cm,则该菱形的面积为 cm2.


    14.如图,已知菱形OABC的边OA在x轴上,∠AOC=60°,点A的坐标为(6,0),则点B的坐标为 .





    三.解答题(共7小题,满分52分)


    15.已知,如图E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE,四边形ABCD是平行四边形吗?请说明理由.














    16.如图,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.当BD、AC满足什么条件时,四边形EFGH是正方形.














    17.如图,在平行四边形ABCD中,过点D做DE⊥AB于E,点F在边CD上,DF=BE,连接AF、BF.


    (1)求证:四边形BFDE是矩形;


    (2)若CF=3,BE=5,AF平分∠DAB,求平行四边形ABCD的面积.














    18.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.


    (1)求证:△AEF≌△DEB;


    (2)证明四边形ADCF是菱形.











    19.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.


    (1)求证:△AEF≌△DEB;


    (2)证明四边形ADCF是菱形;


    (3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面积.























    20.四边形ABCD为正方形,点E为线段AC上一点,连接DE,过点E作EF⊥DE,交射线BC于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.


    (1)如图1,求证:矩形DEFG是正方形;


    (2)若AB=2,CE=,求CG的长度;


    (3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时,直接写出∠EFC的度数.























    21.已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.


    (1)如图1,连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长;


    (2)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周.即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中,


    ①已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.


    ②若点P、Q的运动路程分别为a、b(单位:cm,ab≠0),已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形,求a与b满足的数量关系式.
























































    参考答案


    一.选择题(共8小题,满分24分,每小题3分)


    1.解:在▱ABCD中,可得:AO=OC,


    故选:C.


    2.解:∵CD是△ABC的边AB上的中线,


    ∴AD=BD,故B选项正确;


    又∵CD=AB,


    ∴AD=CD=BD,


    ∴∠A=∠ACD,∠B=∠BCD,


    ∴∠ACB=180°×=90°,故C选项正确;


    ∴△ABC是直角三角形,故D选项正确;


    故选:A.





    3.解:当AB∥CD,AB=CD时,依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,能判定四边形ABCD是平行四边形,故A选项不合题意;


    当AB∥CD,BC∥AD时,依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形,能判定四边形ABCD是平行四边形,故B选项不合题意;


    当AB∥CD,∠A=∠C时,可得AD∥BC,依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形,能判定四边形ABCD是平行四边形,故C选项不合题意;


    当AB∥CD,BC=AD时,不能判定四边形ABCD是平行四边形;


    故选:D.


    4.解:A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形;故本选项错误;


    B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形;故本选项错误;


    C、对角线互相平分的四边形是平行四边形;故本选项正确;


    D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形;故本选项错误;


    故选:C.


    5.解:连接AE,如图所示:


    ∵四边形ABCD是矩形,


    ∴OA=OC,∠ABC=90°,BC=AD=4,


    ∵OE⊥AC,


    ∴AE=CE=3,


    ∴BE=BC﹣CE=1,


    ∴AB===2,


    ∴矩形ABCD的面积=AB×BC=2×4=8;


    故选:B.





    6.解:∵四边形ABCD是正方形,


    ∴AB=AD,∠BAD=90°,


    ∵三角形ADE是等边三角形,


    ∴∠EAD=60°,AD=AE=AB,


    ∴∠ABE=∠AEB,


    ∵∠ABE+∠AEB+∠BAE=180°,


    ∴∠AEB=×(180°﹣90°﹣60°)=15°,


    故选:B.


    7.解:∵D是AB的中点,DE∥BC,


    ∴DE是△ABC的中位线.


    ∴点E是AC中点,


    ∴CE=AE=6.


    ∵DE=5,


    ∴BC=10.


    ∵∠BEC=90°,


    ∴△BCE是直角三角形,


    ∴根据勾股定理得,BE=8,


    ∴△BCE的周长为BC+CE+BE=10+6+8=24.


    故选:B.





    8.解:∵四边形COED是矩形,


    ∴CE=OD,


    ∵点D的坐标是(1,3),


    ∴OD==,


    ∴CE=,


    故选:C.


    二.填空题(共6小题,满分24分,每小题4分)


    9.解:∵四边形ABCD是平行四边形


    ∴∠A=∠C


    ∵∠A+∠C=220°,


    ∴∠A=∠C=110°


    故答案为:110°


    10.解:∵点D、E分別是AB,AC的中点,


    ∴DE=BC=×6=3,


    故答案为:3.


    11.解:∵四边形ABCD是平行四边形,


    ∴当AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形,


    当AC⊥BD时,平行四边形ABCD是菱形.


    故答案为:AB=BC或AC⊥BD等.


    12.解:∵ABCD为平行四边形,


    ∴AD∥BC,∠AEB=∠EBC,


    又BE平分∠ABC,∠ABE=∠AEB,


    故△ABE为等腰三角形,


    ∴AE=AB=3,可知AD=6,


    ∴▱ABCD的周长=2(AB+AD)=18.


    故答案为:18.


    13.解:∵菱形的面积=对角线积的一半


    ∴菱形的面积=×2×2=2cm2,


    故答案为:2


    14.解:如图:过点B作BD⊥OA于点D





    ∵点A的坐标为(6,0),


    ∴OA=6


    ∵四边形OABC是菱形


    ∴OA=AB=6,AB∥OC


    ∴∠BAD=∠AOC=60°


    ∵∠BAD=60°,BD⊥AO


    ∴∠ABD=30°


    ∴AD=AB=3,BD=AD=3


    ∴OD=OA+AD=9


    ∴点B坐标(9,3)


    故答案为:(9,3)


    三.解答题(共7小题)


    15.解:结论:四边形ABCD是平行四边形,


    证明:∵DF∥BE,


    ∴∠AFD=∠CEB,


    又∵AF=CE DF=BE,


    ∴△AFD≌△CEB(SAS),


    ∴AD=CB,∠DAF=∠BCE,


    ∴AD∥CB,


    ∴四边形ABCD是平行四边形.


    16.解:当AC=BD且AC⊥BD时,四边形EFGH是正方形.理由如下:


    在△ABC中,E、F分别是边AB、BC中点,


    所以EF∥AC,且EF=AC,


    同理有GH∥AC,且GH=AC,


    ∴EF∥GH且EF=GH,


    故四边形EFGH是平行四边形.


    EH∥BD且EH=BD,


    若AC=BD,则有EH=EF,


    又因为四边形EFGH是平行四边形,


    ∴四边形EFGH是菱形,


    ∵AC⊥BD,


    ∴∠EHG=90°,


    即:当AC=BD且AC⊥BD时,四边形EFGH是正方形.





    17.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,


    ∴AB∥DC,


    ∵DF=BE,


    ∴四边形BFDE是平行四边形,


    ∵DE⊥AB,


    ∴∠DEB=90°,


    ∴四边形BFDE是矩形;


    (2)∵AF平分∠DAB,


    ∴∠DAF=∠FAB,


    ∵平行四边形ABCD,


    ∴AB∥CD,


    ∴∠FAB=∠DFA,


    ∴∠DFA=∠DAF,


    ∴AD=DF=5,


    在Rt△ADE中,DE=,


    ∴平行四边形ABCD的面积=AB•DE=4×8=32,


    18.证明:(1)∵AF∥BC,


    ∴∠AFE=∠DBE,


    ∵E是AD的中点,AD是BC边上的中线,


    ∴AE=DE,BD=CD,


    在△AFE和△DBE中,





    ∴△AFE≌△DBE(AAS);


    (2)由(1)知,△AFE≌△DBE,则AF=DB.


    ∵DB=DC,


    ∴AF=CD.


    ∵AF∥BC,


    ∴四边形ADCF是平行四边形,


    ∵∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点,


    ∴AD=DC=BC,


    ∴四边形ADCF是菱形.


    19.(1)证明:∵AF∥BC,


    ∴∠AFE=∠DBE,


    ∵E是AD的中点,


    ∴AE=DE,


    在△AFE和△DBE中,





    ∴△AFE≌△DBE(AAS);


    (2)证明:由(1)知,△AFE≌△DBE,则AF=DB.


    ∵AD为BC边上的中线


    ∴DB=DC,


    ∴AF=CD.


    ∵AF∥BC,


    ∴四边形ADCF是平行四边形,


    ∵∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点,


    ∴AD=DC=BC,


    ∴四边形ADCF是菱形;


    (3)连接DF,


    ∵AF∥BD,AF=BD,


    ∴四边形ABDF是平行四边形,


    ∴DF=AB=5,


    ∵四边形ADCF是菱形,


    ∴S菱形ADCF=AC▪DF=×4×5=10.





    20.(1)证明:作EP⊥CD于P,EQ⊥BC于Q,


    ∵∠DCA=∠BCA,


    ∴EQ=EP,


    ∵∠QEF+∠FEC=45°,∠PED+∠FEC=45°,


    ∴∠QEF=∠PED,


    在Rt△EQF和Rt△EPD中,





    ∴Rt△EQF≌Rt△EPD,


    ∴EF=ED,


    ∴矩形DEFG是正方形;


    (2)如图2中,在Rt△ABC中.AC=AB=2,


    ∵EC=,


    ∴AE=CE,


    ∴点F与C重合,此时△DCG是等腰直角三角形,易知CG=.





    (3)①当DE与AD的夹角为30°时,∠EFC=120°,


    ②当DE与DC的夹角为30°时,∠EFC=30°


    综上所述,∠EFC=120°或30°.





    21.解:(1)①∵四边形ABCD是矩形,


    ∴AD∥BC,


    ∴∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠CFE,


    ∵EF垂直平分AC,垂足为O,


    ∴OA=OC,


    ∴△AOE≌△COF,


    ∴OE=OF,


    ∴四边形AFCE为平行四边形,


    又∵EF⊥AC,


    ∴四边形AFCE为菱形,


    ②设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=(8﹣x)cm,


    在Rt△ABF中,AB=4cm,


    由勾股定理得42+(8﹣x)2=x2,


    解得x=5,


    ∴AF=5cm.


    (2)①显然当P点在AF上时,Q点在CD上,此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形;


    同理P点在AB上时,Q点在DE或CE上或P在BF,Q在CD时不构成平行四边形,也不能构成平行四边形.


    因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,


    ∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC=QA,


    ∵点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,


    ∴PC=5t,QA=CD+AD﹣4t=12﹣4t,即QA=12﹣4t,


    ∴5t=12﹣4t,


    解得,


    ∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,秒.


    ②由题意得,四边形APCQ是平行四边形时,点P、Q在互相平行的对应边上.


    分三种情况:


    i)如图1,当P点在AF上、Q点在CE上时,AP=CQ,即a=12﹣b,得a+b=12;


    ii)如图2,当P点在BF上、Q点在DE上时,AQ=CP,即12﹣b=a,得a+b=12;


    iii)如图3,当P点在AB上、Q点在CD上时,AP=CQ,即12﹣a=b,得a+b=12.


    综上所述,a与b满足的数量关系式是a+b=12(ab≠0).











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