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初中北师大版第一章 三角形的证明1 等腰三角形导学案
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这是一份初中北师大版第一章 三角形的证明1 等腰三角形导学案，共10页。学案主要包含了思路点拨，答案与解析等内容，欢迎下载使用。
第1讲 等腰三角形
第一部分：学前测试 + 知识梳理 + 变式训练
★知识点一：等腰三角形的定义
☆知识点一例题：
★知识点二：等腰三角形的性质
☆知识点二例题：
★知识点三：等腰三角形的判定定理
☆知识点三例题：
★知识点四：含有30°角的直角三角形
★知识点五：反证法
☆知识点五例题：
第二部分：课后过关
学习项目
知识内容
达标要求
卷面分数
测试得分
家长签字
☞模块四：过关测试
【随堂检测：检测学员过关】
过关测试
（本讲知识点过关测试题）
①周末补课后由家长监督完成；
②家长批改对错并批改出分数；
③家长批改后拍照在群里打卡；
50分
一.选择题（每题3分，共18分）
1. （2018•曲靖一模）等腰三角形中一个外角等于100°，则另两个内角的度数分别为（ ）
A．40°，40° B．80°，20° C．50°，50° D．50°，50°或80°，20°
2. 用反证法证明命题：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF，证明的第一个步骤是（ ）
A. 假设CD∥EF ; B. 假设AB∥EF C. 假设CD和EF不平行 D. 假设AB和EF不平行
3. 将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则上图中等腰三角形的个数是（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
4. 已知实数x，y满足|x−4|+(y−8)2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16B．20 C．16D．以上答案均不对
5. 如图，D是AB边上的中点，将沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若，则度数是（ ）
A．60° B．70° C．80° D．不确定
6.（2018•永州模拟）在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案栏
1. 【答案】D；【解析】解：∵外角等于100°，∴这个内角为80°，当这个80°角为顶角时，则底角为50°，此时另两个内角的度数分别为50°，50°；当这个80°角为底角时，则另一个底角为80°，顶角为20°，此时可得另两个内角的度数分别为80°，20°；故选D．
2. 【答案】C；【解析】用反证法证明CD∥EF时，应先假设CD与EF不平行．故选C．
3. 【答案】B；
4. 【答案】B；【解析】根据题意得,解得.
（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；
（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20．故选B．
5. 【答案】C；【解析】AD＝DF＝BD，∠B＝∠BFD＝50°，＝180°－50°－50°＝80°.
6. 【答案】D；【解析】解：如图，∵以点O为圆心，以OA为半径画弧，交x轴于点B、C；以点A为圆心，以AO为半径画弧，
交x轴于一点D（点O除外），∴以OA为腰的等腰三角形有3个；作OA的垂直平分线，交x轴于一点，
∴以OA为底的等腰三角形有1个，综上所述，符合条件的点P共有4个，故选：D．
二.填空题（每题3分，共18分）
7．如图，△ABC中，D为AC边上一点，AD＝BD＝BC，若∠A＝40°，则∠CBD＝_____°．
8.（2018•嘉峪关）等腰三角形的两边长分别是2和5，那么它的周长是 ．
9.用反证法证明“如果同位角不相等，那么这两条直线不平行“的第一步应假设_________.
10. 等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是 .
11.如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是 ．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）
①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．
12. 如图，△ABC的周长为32，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为24，那么AD的长为 .
答案栏
7.【答案】20；【解析】∠A＝∠ABD＝40°，∠BDC＝∠C＝80°，所以∠CBD＝20°.
8.【答案】12；【解析】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、5，∵2+2=4＜5，∴不能组成三角形，
②2是底边长时，三角形的三边分别为2、5、5，能组成三角形，周长=2+5+5=12，综上所述，它的周长是12．故答案为：12．
9.【答案】两直线平行；【解析】根据已知条件和反证法的特点进行证明，即可求出答案.
10.【答案】70°或40°；【解析】解：（1）当70°角为顶角，顶角度数即为70°（2）当70°为底角时，顶角=180°-2×70°=40°．故答为：70°或40°.
11.【答案】②③④；【解析】：②当∠BAD=∠CAD时，∵AD是∠BAC的平分线，且AD是BC边上的高；则△ABD≌△ACD，∴△BAC是等腰三角形；
③如上图，延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC；连接AE、AF；∵AB+BD=CD+AC，∴DE=DF，又AD⊥BC；
∴△AEF是等腰三角形；∴∠E=∠F；∵AB=BE，∴∠ABC=2∠E；同理，得∠ACB=2∠F；∴∠ABC=∠ACB，
即AB=AC，△ABC是等腰三角形；
④△ABC中，AD⊥BC，根据勾股定理，得：AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，即（AB+BD）（AB﹣BD）=（AC+CD）（AC﹣CD）；
∵AB﹣BD=AC﹣CD，∴AB+BD=AC+CD；∴两式相加得，2AB=2AC；∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，故填②③④．
12.【答案】8；【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．∵AB+AC+BC=32，即AB+BD+CD+AC=32，
∴AC+DC=16，∴AC+DC+AD=24，∴AD=8
三.解答题（共14分）
13．（5分）已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．
答案栏
13.证明：ED⊥BC；延长ED，交BC边于H，
∵AB＝AC，AE＝AD． ∴设∠B＝∠C＝，则∠EAD＝2，
∴∠ADE＝， 即∠BDH＝90°－
∴∠B＋∠BDH＝＋90°－＝90°，∴∠BHD＝90°，ED⊥BC.
14.（5分）（2018春•安岳期末）等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成了21和27两个部分，求等腰三角形的底边和腰长．
答案栏
14.解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，
则有或，解得：或，
此时两种情况都符合三角形三边关系定理，
答：等腰三角形的腰长为14，底边长为20；或腰长为18，底边长为12．
15. （4分）用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．
答案栏
15.证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，则它们大于或者等于90°；
根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或者等于180°；
则该三角形的三个内角的和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾；
所以假设错误，原命题正确；
即等腰三角形的底角是锐角．
学习项目
知识内容
达标要求
卷面分数
测试得分
家长签字
☞模块一：学前测试
【课前检测：找出学员弱点】
例题
（每个知识点对应的例题）
①课前学生在家长监督下完成；
②家长批改对错并批改出分数；
③家长批改后拍照在群里打卡；
50分
☞模块二：知识梳理
【边学边填：避免学员走神】
填空
（每个知识点的填空部分）
①上课时在老师的监督下完成；
②课后家长批改对错并及分数；
③家长发现问题及时联系老师；
50分
☞模块三：变式训练
【一例一练：杜绝蒙混过关】
变式训练
（例题所对应的变式训练）
①上课时在老师的监督下完成；
②课后家长批改对错并及分数；
③家长发现问题及时联系老师；
50分
1.等腰三角形：有两条边相等 的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰 ，另一边叫做底 ，两腰所夹的角叫做顶角 ，底边与腰的夹角叫做底角 .如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB 、AC 为腰，BC为底边,∠A 是顶角，∠B 、∠C 是底角．
2.等腰三角形的作法
已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.
作法：1.作线段BC= a ；
2.分别以 B , C 为圆心，以 b 为半径画弧，两弧相交于点 A ;
3.连接 AB , AC .△ABC为所求作的等腰三角形
3.等腰三角形的对称性
(1)等腰三角形是 轴对称 图形； (2)角：∠ B ＝∠ C ；
(3)边： BD ＝ CD ， AD 为底边上的中线. (4)∠ADB＝∠ADC＝90°， AD 为底边上的高线.
结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴---三线合一。
4.等边三角形： 三条边都相等 的三角形叫做等边三角形.也称为 正三角形 .等边三角形是一类特殊的 等腰 三角形，有 三 条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.
要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.
例题1：（5分）
例题1变式训练（5分）
（2018春•太仓市期末）如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．
解：∵AB=BD，∴∠BDA=∠A，
∵BD=DC， ∴∠C=∠CBD，
设∠C=∠CBD=x，则∠BDA=∠A=2x，
∴∠ABD=180°﹣4x，
∴∠ABC=∠ABD+∠CDB=180°﹣4x+x=105°，
解得：x=25°，所以2x=50°，
即∠A=50°，∠C=25°．
已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．
解：∵AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，
∴设∠ECD＝∠EDC＝，∠BCD＝∠BDC＝，
则∠AED＝∠ADE＝2，∠A＝∠B＝180°－4
在△ABC中，根据三角形内角和得，
＋＋180°－4＋180°－4＝180°①
又∵A、D、B在同一直线上，
∴2＋＋＝180°②
由① ，②解得＝36°
∴∠B＝180°－4＝180°－144°＝36°.
例题2（3分）
例题2变式训练（3分）
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
【答案】D；
【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答．
(1)顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为60°；
(2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°不符合题意；
(3)顶角为钝角如图②，则顶角度数为120°，故此题应选D．
【变式1】在△ABC中，∠A=40°，当∠B= 时，△ABC是等腰三角形．
【答案】40°、70°或100°
提示：分为两种情况：（1）当∠A是底角，①AB=BC，根据等腰三角形的性质求出∠A=∠C=40°，根据三角形的内角和定理即可求出∠B；②AC=BC，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B=40°；（2）当∠A是顶角时，AB=AC，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求出∠B．
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角 ”．
推论：等边三角形的三个内角都相等 ，并且每个内角都等于60° .
性质2：等腰三角形的顶角平分线 、底边上中线 和高线 互相重合.简称“等腰三角形三线合一 ”．
2.等腰三角形中重要线段的性质
等腰三角形的两底角的平分线 （两腰上的高 、两腰上的中线 ）相等.
要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：
（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。
（2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等.
（3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等.
（4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等.
例题3（3分）
例题3变式训练（3分）
已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．
解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；
(2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长=0.5×10=5．
这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．
而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，
故不能组成三角形，应舍去．
已知等腰三角形的底边BC＝8，且|AC－BC|＝2，那么腰AC的长为( )．
A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm
【答案】A；
解 ：∵ |AC－BC|＝2cm，∴ AC－BC＝±2．
又∵BC＝8．∴ AC＝10或6．
∴ AB＝10cm或6cm．
例题4（3分）
例题4变式训练（3分）
如图，请将下列两个三角形分成两个等腰三角形．（要求标出每个等腰三角形的内角度数）
解：如图（1）所示：在BC上取一点D，使∠ADB=110°，∠ADC=70°，∠BAD=35°，∠CAD=40°，
如图（2）所示：在AC上取一点D，使∠ABD=32°，∠CBD=16°，∠ADB=32°，∠BDC=148°．
（2018•温州模拟）如图，有甲，乙两个三角形，请你用一条直线把每一个三角形分成两个等腰三角形，并标出每个三角形各角的度数．
解：如图1：直线把75°的角分成25°的角和50°的角，则分成的两个三角形都是等腰三角形；
如图2，直线把120°的角分成80°和40°的角，则分成的两个三角形都是等腰三角形．
例题5、
例题5变式训练
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD．求证：DB=DE．
证明：如图，在△ABC中，
∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠2=60°，
∵BD是中线，
∴BD是∠ABC的平分线，
∴∠1=30°，
∵CE=CD，∴∠E=∠3，∴∠E=∠2=30°，
∴∠E=∠1，∴DB=DE．
（2018·威海期末）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD=AB．∠EDF=60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE=AF．
（1）证明：连接BD，
∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC=∠BAC，
∵∠BAC=120°，∴∠BAD=∠DAC=×120°=60°，
∵AD=AB，∴△ABD是等边三角形；
证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD
∵∠EDF=60°，∴∠BDE=∠ADF，
在△BDE与△ADF中， ，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF．
例题6、
例题6变式训练
如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，连接CE，则图中的等腰三角形共有 个．
【答案】4；
提示：根据等腰三角形的判定，由已知可证∠BAD=∠CAD=∠B=30°，即证△ADB是等腰三角形；又证CD=DE，AE=AC，即证△CDE，△AEC是等腰三角形；再证ECB=∠B=30°，即证△BEC是等腰三角形．即图中的等腰三角形共有4个．
如图是由9个等边三角形拼成的六边形，现已知中间最小的等边三角形的边长是a，则围成的六边形的周长为（ ）
A. 30a B. 32a C. 34a D. 无法计算
【答案】A；
提示：设右下角第二个小的等边三角形的边长是x，则剩下的7个等边三角形的边长是x； x； x+a； x+a； x+2a ；x+2a； x+3a，根据题意得到方程2x=x+3a，求出x=3a，即可求出围成的六边形的周长．
1.等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 .可以简单的说成：等角对等边 .
要点诠释：（1）要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.
（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．
2.等边三角形的判定定理
（1）三个角相等 的三角形是等边三角形.（2）有一个角是60° 的等腰三角形是等边三角形.
3. 含有30°角的直角三角形
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半 .
例题7、
例题7变式训练
如图1，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
（1）试找出图中的等腰三角形，并说明理由；
（2）若BD=4、CE=3，求DE的长；
（3）若 AB=12、AC=9，求△ADE的周长；
（4）若将原题中平行线DE的方向改变，如图2，OD∥AB，OE∥AC，BC=16，你能得出什么结论呢？
解：（1）△DBO和△EOC是等腰三角形．
∵BO平分∠ABC，∴∠DBO=∠CBO，
∵DE∥BC，∴∠CBO=∠DOB，
∴∠DBO=∠DOB，∴DB=DO，
∴△DBO是等腰三角形，
同理△EOC是等腰三角形；
（2）∵BD=4、CE=3，∴由（1）得出DO=4，EO=3，
∴DE=DO+OE=4+3=7；
（3）△ADE的周长=AD+DO+OE+AE；
∵DO=DB，OE=EC，∴△ADE的周长=AB+AC，
∵AB=12、AC=9，∴△ADE的周长=AB+AC=12+9=21；
（4）∵OD∥AB，OE∥AC，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴△BDO和△ECO是等腰三角形，
∴BD=DO，CE=OE，
∵BC=16，
∴△ODE的周长为16．
即△ODE的周长等于BC的长度．
【变式1】如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列四个条件：①∠EBD=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．
上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形，选择其中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．
【答案】①③；②③；①④；②④都可以组合证明△ABC是等腰三角形；选①③为条件证明△ABC是等腰三角形；
证明：∵在△EBO和△DCO中，
∵，∴△EBO≌△DCO（AAS），∴BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【变式2】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，求证：CE=CF．
证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，
∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，
∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF．
例题8、
例题8变式训练
如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，∠A=60°.求证：BD=3AD.
证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，
又∵∠A=60°，∴∠ACD=30°∴在Rt△ACD中，AD=AC，
又∵∠ACB=90°，在Rt△ACB中，∴∠B=30°，
∴AC=AB ∴AD= AB，则AD=BD，即BD=3AD.
如图，已知，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，CD=4cm，∠ABC=∠DCB，求BC的长．
解：∵AD∥BC，∠A=120°，∴∠ABC=180°﹣120°=60°，
∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°，
又∵∠ABC=∠DCB=60°，∴∠BDC=180°﹣30°﹣60°=90°，
∴BC=2CD=2×4=8cm．
例题9、
例题9变式训练
如图，测量旗杆AB的高度时，先在地面上选择一点C，使∠ACB=15°．然后朝着旗杆方向前进到点D，测得∠ADB=30°，量得CD=13m，求旗杆AB的高．
解：∵∠ACB=15°，∠ADB=30°，
∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=30°-15°=15°，
即△CAD为等腰三角形，
∴AD=CD=13，
在△ADB中，∵AB⊥DB，∠ADB=30°，
∴AB=AD=×13=6.5(m)．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAD=∠BAC，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线，求证：CD=DB．
解：∵DE⊥AB，∴∠AED=∠BED=90°，
∵DE是∠ADB的平分线，∴∠3=∠4，又∵DE=DE，
∴△BED≌△AED（ASA），∴AD=BD，∠2=∠B，
∵∠BAD=∠2=∠BAC∴∠1=∠2=∠B，∴AD=BD，
又∵∠1+∠2+∠B=90°，∴∠B=∠1=∠2=30°，
在直角三角形ACD中，∠1=30°，
∴CD= AD= BD．
反证法：在证明时，先假设命题的结论不成立 ，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾 的结果，从而证明命题的结论一定成立 ，这种证明命题的方法叫做反证法 .
要点诠释：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题．一般证明步骤如下：
（1） 假定命题的结论不成立 ；
（2） 从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾 的结果；
（3）由矛盾的结果，判定假设不成立 ，从而说明命题的结论是正确 的.
例题10、
例题10变式训练
求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。
【答案】已知：△ABC
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
证明： 假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，
则∠A＞60°,∠B＞60°,∠C＞60°
∴∠A+∠B+∠C＞60°+60°+60°=180°
即∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形的内角和为180度矛盾．
假设不成立．
∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等．
【思路点拨】先假设它们的对边相等，然后根据等腰三角形的性质得出假设不成立，从而证得原结论成立．
【答案与解析】
证明：假设它们所对的边相等；
则根据等腰三角形的性质定理，“等边对等角”所以等它们所对的角也相等；
这就与题设两个角不等相矛盾；
因此假设不成立，故原结论成立．
学习项目
知识内容
达标要求
卷面分数
测试得分
家长签字
☞模块四：过关测试
【随堂检测：检测学员过关】
过关测试
（本讲知识点过关测试题）
①周末补课后由家长监督完成；
②家长批改对错并批改出分数；
③家长批改后拍照在群里打卡；
50分
一.选择题（每题2分，共12分）
1．如图，在△ABC中，若AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A等于( )．
A．30° B．36° C．45° D．54°
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2．用反证法证明：a，b至少有一个为0，应假设（ ）
A. a，b没有一个为0 B. a，b只有一个为0 C. a，b至多有一个为0 D. a，b两个都为0
3. 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的有( )
①△BDF，△CEF都是等腰三角形； ②DE＝DB＋CE； ③AD＋DE＋AE＝AB＋AC； ④BF＝CF.
A．1个B．2个 C．3个D．4个
4. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（ ）
A．顶角的一半B．底角的一半 C．90°减去顶角的一半D．90°减去底角的一半
5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（ ）
A．cm B．2cm C．3cm D．4cm
6. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
答案栏
1.【答案】C；【解析】设∠A＝，则由题意∠ADE＝180°－2，∠EDB＝，∠BDC＝∠BCD＝90°－，
因为∠ADE＋∠EDB＋∠BDC＝180°，所以＝45°.
2.【答案】A；【解析】由于命题：“a，b至少有一个为0”的反面是：“a，b没有一个为0”，故选A.
3.【答案】C ；【解析】①②③正确.
4.【答案】A；【解析】解：△ABC中，∵AB=AC，BD是高，∴∠ABC=∠C=
在Rt△BDC中，∠CBD=90°-∠C=90°-=.故选A．
5.【答案】C；【解析】解：∵ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2ED，∵AE=6cm，∴ED=3cm，
∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，∴ED=CE，∴CE=3cm；故选：C．
6.【答案】D；【解析】解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3；∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，
∴AB=6，∴AP的长不能大于6．故选D．
二.填空题（每题3分，共18分）
7．（2018•通辽）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为 ．
8. 用反证法证明“若|a|≠|b|，则a≠b．”时，应假设 ．
9. 等腰三角形的周长为22，其中一边的长是8,则其余两边长分别为________.
10.（2018春•盐城月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm．动点D从点A出发，以每秒1cm的速度沿射线AC运动，当t= 时，△ABD为等腰三角形．
第10题图 第11题图 第12题图
11．如图，钝角三角形纸片ABC中，∠BAC＝110°，D为AC边的中点．现将纸片沿过点D的直线折叠，折痕与BC交于点E，点C的落点记为F．若点F恰好在BA的延长线上，则∠ADF ＝_________°．
12. 如图，在ΔABC中，∠ABC＝120°，点D、E分别在AC和AB上，且AE＝ED＝DB＝BC，则∠A的度数为______°．
答案栏
7. 【答案】69°或21°；【解析】解：分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图1所示：
∵BD⊥AC， ∴∠A+∠ABD=90°，∵∠ABD=48°，∴∠A=90°﹣48°=42°，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣42°）=69°；
②若∠A＞90°，如图2所示：同①可得：∠DAB=90°﹣48°=42°，∴∠BAC=180°﹣42°=138°，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣138°）=21°；综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°．故答案为：69°或21°．
8. 【答案】a=b；【解析】a，b的等价关系有a=b，a≠b两种情况，因而a≠b的反面是a=b.
9. 【答案】7，7或8，6；【解析】边长为8cm的可能是底边，也可能是腰.
10.【答案】5，6，； 【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，由勾股定理得：AC=3cm，由运动可知：AD=t，且△ABD时等腰三角形，有三种情况：
①若AB=AD，则t=5；②若BA=BD，则AD=2AC，即t=6；
③若DA=DB，则在Rt△BCD中，CD=t﹣3，BC=4，BD=t，即（t﹣3）2+42=t2，解得：t=，
综合上述：符合要求的t值有3个，分别为5，6，．
11.【答案】40；【解析】AD＝FD，∠FAD＝∠AFD＝70°，所以∠ADF＝40°.
12.【答案】15°；【解析】设∠A＝，∠BED＝∠EBD＝2，∠CBD＝120°－2，∠C＝∠BDC＝30°＋，
而∠A＋∠C＝60°，所以＋30°＋ ＝60°，解得＝15°.
三.解答题（共20分）
13. （4分）用反证法证明：一条线段只有一个中点．
答案栏
13.【解析】已知：一条线段AB，M为AB的中点．
求证：线段AB只有一个中点M．
证明：假设线段AB有两个中点M、N，不妨设M在N的左边，则AM＜AN，
又因为AM=AB=AN=AB，
这与AM＜AN矛盾，所以线段AB只有一个中点M．
14．（4分）（2016秋•宜昌期中）一个等腰三角形的三边长分别为x，2x﹣3，4x﹣6，求这个三角形的周长．
答案栏
14.【解析】
解：①x=2x﹣3，则x=3，∴4x﹣6=6，∵3+3=6，∴3、3、6不能构成三角形；
②x=4x﹣6，则x=2，∴2x﹣3=1，
∵1、2、2任意两边之和大于第三边，∴这个三角形的周长为1+2+2=5；
③2x﹣3=4x﹣6，则x=，∴2x﹣3=0，∴此三角形不存在．
综上可知：这个三角形的周长为5．
15.（12分）（2018•东台市期中）如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
答案栏
15．解：（1）∵∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，∴有勾股定理得AC=8cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，∴出发2秒后，则CP=2cm，那么AP=6cm．
∵∠C=90°，∴有勾股定理得PB=2cm
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=6+10+2=（16+2）cm；
（2）若P在边AC上时，BC=CP=6cm， 此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
若P在AB边上时，有两种情况：
①若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P运动的路程为12cm，所以用的时间为12s，故t=12s时△BCP为等腰三角形；
②若CP=BC=6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，根据勾股定理求得BP=7.2cm，
所以P运动的路程为18﹣7.2=10.8cm， ∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；
③若BP=CP时，则∠PCB=∠PBC，
∵∠ACP+∠BCP=90°，∠PBC+∠CAP=90°，∴∠ACP=∠CAP，∴PA=PC；∴PA=PB=5cm
∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．∴t=6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形；
（3）当P点在AC上，Q在AB上，则AP=8﹣t，AQ=16﹣2t，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴8﹣t+16﹣2t=12，∴t=4；
当P点在AB上，Q在AC上，则AP=t﹣8，AQ=2t﹣16，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t﹣8+2t﹣16=12，∴t=12，
∴当t为4或12秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．
第1讲 等腰三角形
第一部分：学前测试 + 知识梳理 + 变式训练
★知识点一：等腰三角形的定义
☆知识点一例题：
★知识点二：等腰三角形的性质
☆知识点二例题：
★知识点三：等腰三角形的判定定理
☆知识点三例题：
★知识点四：含有30°角的直角三角形
★知识点五：反证法
☆知识点五例题：
第二部分：课后过关
学习项目
知识内容
达标要求
卷面分数
测试得分
家长签字
☞模块四：过关测试
【随堂检测：检测学员过关】
过关测试
（本讲知识点过关测试题）
①周末补课后由家长监督完成；
②家长批改对错并批改出分数；
③家长批改后拍照在群里打卡；
50分
一.选择题（每题3分，共18分）
1. （2018•曲靖一模）等腰三角形中一个外角等于100°，则另两个内角的度数分别为（ ）
A．40°，40° B．80°，20° C．50°，50° D．50°，50°或80°，20°
2. 用反证法证明命题：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF，证明的第一个步骤是（ ）
A. 假设CD∥EF ; B. 假设AB∥EF C. 假设CD和EF不平行 D. 假设AB和EF不平行
3. 将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则上图中等腰三角形的个数是（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
4. 已知实数x，y满足|x−4|+(y−8)2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16B．20 C．16D．以上答案均不对
5. 如图，D是AB边上的中点，将沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若，则度数是（ ）
A．60° B．70° C．80° D．不确定
6.（2018•永州模拟）在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案栏
1. 【答案】D；【解析】解：∵外角等于100°，∴这个内角为80°，当这个80°角为顶角时，则底角为50°，此时另两个内角的度数分别为50°，50°；当这个80°角为底角时，则另一个底角为80°，顶角为20°，此时可得另两个内角的度数分别为80°，20°；故选D．
2. 【答案】C；【解析】用反证法证明CD∥EF时，应先假设CD与EF不平行．故选C．
3. 【答案】B；
4. 【答案】B；【解析】根据题意得,解得.
（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；
（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20．故选B．
5. 【答案】C；【解析】AD＝DF＝BD，∠B＝∠BFD＝50°，＝180°－50°－50°＝80°.
6. 【答案】D；【解析】解：如图，∵以点O为圆心，以OA为半径画弧，交x轴于点B、C；以点A为圆心，以AO为半径画弧，
交x轴于一点D（点O除外），∴以OA为腰的等腰三角形有3个；作OA的垂直平分线，交x轴于一点，
∴以OA为底的等腰三角形有1个，综上所述，符合条件的点P共有4个，故选：D．
二.填空题（每题3分，共18分）
7．如图，△ABC中，D为AC边上一点，AD＝BD＝BC，若∠A＝40°，则∠CBD＝_____°．
8.（2018•嘉峪关）等腰三角形的两边长分别是2和5，那么它的周长是 ．
9.用反证法证明“如果同位角不相等，那么这两条直线不平行“的第一步应假设_________.
10. 等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是 .
11.如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是 ．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）
①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．
12. 如图，△ABC的周长为32，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为24，那么AD的长为 .
答案栏
7.【答案】20；【解析】∠A＝∠ABD＝40°，∠BDC＝∠C＝80°，所以∠CBD＝20°.
8.【答案】12；【解析】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、5，∵2+2=4＜5，∴不能组成三角形，
②2是底边长时，三角形的三边分别为2、5、5，能组成三角形，周长=2+5+5=12，综上所述，它的周长是12．故答案为：12．
9.【答案】两直线平行；【解析】根据已知条件和反证法的特点进行证明，即可求出答案.
10.【答案】70°或40°；【解析】解：（1）当70°角为顶角，顶角度数即为70°（2）当70°为底角时，顶角=180°-2×70°=40°．故答为：70°或40°.
11.【答案】②③④；【解析】：②当∠BAD=∠CAD时，∵AD是∠BAC的平分线，且AD是BC边上的高；则△ABD≌△ACD，∴△BAC是等腰三角形；
③如上图，延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC；连接AE、AF；∵AB+BD=CD+AC，∴DE=DF，又AD⊥BC；
∴△AEF是等腰三角形；∴∠E=∠F；∵AB=BE，∴∠ABC=2∠E；同理，得∠ACB=2∠F；∴∠ABC=∠ACB，
即AB=AC，△ABC是等腰三角形；
④△ABC中，AD⊥BC，根据勾股定理，得：AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，即（AB+BD）（AB﹣BD）=（AC+CD）（AC﹣CD）；
∵AB﹣BD=AC﹣CD，∴AB+BD=AC+CD；∴两式相加得，2AB=2AC；∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，故填②③④．
12.【答案】8；【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．∵AB+AC+BC=32，即AB+BD+CD+AC=32，
∴AC+DC=16，∴AC+DC+AD=24，∴AD=8
三.解答题（共14分）
13．（5分）已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．
答案栏
13.证明：ED⊥BC；延长ED，交BC边于H，
∵AB＝AC，AE＝AD． ∴设∠B＝∠C＝，则∠EAD＝2，
∴∠ADE＝， 即∠BDH＝90°－
∴∠B＋∠BDH＝＋90°－＝90°，∴∠BHD＝90°，ED⊥BC.
14.（5分）（2018春•安岳期末）等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成了21和27两个部分，求等腰三角形的底边和腰长．
答案栏
14.解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，
则有或，解得：或，
此时两种情况都符合三角形三边关系定理，
答：等腰三角形的腰长为14，底边长为20；或腰长为18，底边长为12．
15. （4分）用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．
答案栏
15.证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，则它们大于或者等于90°；
根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或者等于180°；
则该三角形的三个内角的和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾；
所以假设错误，原命题正确；
即等腰三角形的底角是锐角．
学习项目
知识内容
达标要求
卷面分数
测试得分
家长签字
☞模块一：学前测试
【课前检测：找出学员弱点】
例题
（每个知识点对应的例题）
①课前学生在家长监督下完成；
②家长批改对错并批改出分数；
③家长批改后拍照在群里打卡；
50分
☞模块二：知识梳理
【边学边填：避免学员走神】
填空
（每个知识点的填空部分）
①上课时在老师的监督下完成；
②课后家长批改对错并及分数；
③家长发现问题及时联系老师；
50分
☞模块三：变式训练
【一例一练：杜绝蒙混过关】
变式训练
（例题所对应的变式训练）
①上课时在老师的监督下完成；
②课后家长批改对错并及分数；
③家长发现问题及时联系老师；
50分
1.等腰三角形：有两条边相等 的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰 ，另一边叫做底 ，两腰所夹的角叫做顶角 ，底边与腰的夹角叫做底角 .如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB 、AC 为腰，BC为底边,∠A 是顶角，∠B 、∠C 是底角．
2.等腰三角形的作法
已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.
作法：1.作线段BC= a ；
2.分别以 B , C 为圆心，以 b 为半径画弧，两弧相交于点 A ;
3.连接 AB , AC .△ABC为所求作的等腰三角形
3.等腰三角形的对称性
(1)等腰三角形是 轴对称 图形； (2)角：∠ B ＝∠ C ；
(3)边： BD ＝ CD ， AD 为底边上的中线. (4)∠ADB＝∠ADC＝90°， AD 为底边上的高线.
结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴---三线合一。
4.等边三角形： 三条边都相等 的三角形叫做等边三角形.也称为 正三角形 .等边三角形是一类特殊的 等腰 三角形，有 三 条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.
要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.
例题1：（5分）
例题1变式训练（5分）
（2018春•太仓市期末）如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．
解：∵AB=BD，∴∠BDA=∠A，
∵BD=DC， ∴∠C=∠CBD，
设∠C=∠CBD=x，则∠BDA=∠A=2x，
∴∠ABD=180°﹣4x，
∴∠ABC=∠ABD+∠CDB=180°﹣4x+x=105°，
解得：x=25°，所以2x=50°，
即∠A=50°，∠C=25°．
已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．
解：∵AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，
∴设∠ECD＝∠EDC＝，∠BCD＝∠BDC＝，
则∠AED＝∠ADE＝2，∠A＝∠B＝180°－4
在△ABC中，根据三角形内角和得，
＋＋180°－4＋180°－4＝180°①
又∵A、D、B在同一直线上，
∴2＋＋＝180°②
由① ，②解得＝36°
∴∠B＝180°－4＝180°－144°＝36°.
例题2（3分）
例题2变式训练（3分）
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
【答案】D；
【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答．
(1)顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为60°；
(2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°不符合题意；
(3)顶角为钝角如图②，则顶角度数为120°，故此题应选D．
【变式1】在△ABC中，∠A=40°，当∠B= 时，△ABC是等腰三角形．
【答案】40°、70°或100°
提示：分为两种情况：（1）当∠A是底角，①AB=BC，根据等腰三角形的性质求出∠A=∠C=40°，根据三角形的内角和定理即可求出∠B；②AC=BC，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B=40°；（2）当∠A是顶角时，AB=AC，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求出∠B．
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角 ”．
推论：等边三角形的三个内角都相等 ，并且每个内角都等于60° .
性质2：等腰三角形的顶角平分线 、底边上中线 和高线 互相重合.简称“等腰三角形三线合一 ”．
2.等腰三角形中重要线段的性质
等腰三角形的两底角的平分线 （两腰上的高 、两腰上的中线 ）相等.
要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：
（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。
（2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等.
（3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等.
（4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等.
例题3（3分）
例题3变式训练（3分）
已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．
解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；
(2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长=0.5×10=5．
这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．
而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，
故不能组成三角形，应舍去．
已知等腰三角形的底边BC＝8，且|AC－BC|＝2，那么腰AC的长为( )．
A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm
【答案】A；
解 ：∵ |AC－BC|＝2cm，∴ AC－BC＝±2．
又∵BC＝8．∴ AC＝10或6．
∴ AB＝10cm或6cm．
例题4（3分）
例题4变式训练（3分）
如图，请将下列两个三角形分成两个等腰三角形．（要求标出每个等腰三角形的内角度数）
解：如图（1）所示：在BC上取一点D，使∠ADB=110°，∠ADC=70°，∠BAD=35°，∠CAD=40°，
如图（2）所示：在AC上取一点D，使∠ABD=32°，∠CBD=16°，∠ADB=32°，∠BDC=148°．
（2018•温州模拟）如图，有甲，乙两个三角形，请你用一条直线把每一个三角形分成两个等腰三角形，并标出每个三角形各角的度数．
解：如图1：直线把75°的角分成25°的角和50°的角，则分成的两个三角形都是等腰三角形；
如图2，直线把120°的角分成80°和40°的角，则分成的两个三角形都是等腰三角形．
例题5、
例题5变式训练
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD．求证：DB=DE．
证明：如图，在△ABC中，
∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠2=60°，
∵BD是中线，
∴BD是∠ABC的平分线，
∴∠1=30°，
∵CE=CD，∴∠E=∠3，∴∠E=∠2=30°，
∴∠E=∠1，∴DB=DE．
（2018·威海期末）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD=AB．∠EDF=60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BE=AF．
（1）证明：连接BD，
∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC=∠BAC，
∵∠BAC=120°，∴∠BAD=∠DAC=×120°=60°，
∵AD=AB，∴△ABD是等边三角形；
证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD
∵∠EDF=60°，∴∠BDE=∠ADF，
在△BDE与△ADF中， ，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF．
例题6、
例题6变式训练
如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，连接CE，则图中的等腰三角形共有 个．
【答案】4；
提示：根据等腰三角形的判定，由已知可证∠BAD=∠CAD=∠B=30°，即证△ADB是等腰三角形；又证CD=DE，AE=AC，即证△CDE，△AEC是等腰三角形；再证ECB=∠B=30°，即证△BEC是等腰三角形．即图中的等腰三角形共有4个．
如图是由9个等边三角形拼成的六边形，现已知中间最小的等边三角形的边长是a，则围成的六边形的周长为（ ）
A. 30a B. 32a C. 34a D. 无法计算
【答案】A；
提示：设右下角第二个小的等边三角形的边长是x，则剩下的7个等边三角形的边长是x； x； x+a； x+a； x+2a ；x+2a； x+3a，根据题意得到方程2x=x+3a，求出x=3a，即可求出围成的六边形的周长．
1.等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 .可以简单的说成：等角对等边 .
要点诠释：（1）要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.
（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．
2.等边三角形的判定定理
（1）三个角相等 的三角形是等边三角形.（2）有一个角是60° 的等腰三角形是等边三角形.
3. 含有30°角的直角三角形
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半 .
例题7、
例题7变式训练
如图1，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
（1）试找出图中的等腰三角形，并说明理由；
（2）若BD=4、CE=3，求DE的长；
（3）若 AB=12、AC=9，求△ADE的周长；
（4）若将原题中平行线DE的方向改变，如图2，OD∥AB，OE∥AC，BC=16，你能得出什么结论呢？
解：（1）△DBO和△EOC是等腰三角形．
∵BO平分∠ABC，∴∠DBO=∠CBO，
∵DE∥BC，∴∠CBO=∠DOB，
∴∠DBO=∠DOB，∴DB=DO，
∴△DBO是等腰三角形，
同理△EOC是等腰三角形；
（2）∵BD=4、CE=3，∴由（1）得出DO=4，EO=3，
∴DE=DO+OE=4+3=7；
（3）△ADE的周长=AD+DO+OE+AE；
∵DO=DB，OE=EC，∴△ADE的周长=AB+AC，
∵AB=12、AC=9，∴△ADE的周长=AB+AC=12+9=21；
（4）∵OD∥AB，OE∥AC，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴△BDO和△ECO是等腰三角形，
∴BD=DO，CE=OE，
∵BC=16，
∴△ODE的周长为16．
即△ODE的周长等于BC的长度．
【变式1】如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列四个条件：①∠EBD=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．
上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形，选择其中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．
【答案】①③；②③；①④；②④都可以组合证明△ABC是等腰三角形；选①③为条件证明△ABC是等腰三角形；
证明：∵在△EBO和△DCO中，
∵，∴△EBO≌△DCO（AAS），∴BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【变式2】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，求证：CE=CF．
证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，
∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，
∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF．
例题8、
例题8变式训练
如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是D，∠A=60°.求证：BD=3AD.
证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，
又∵∠A=60°，∴∠ACD=30°∴在Rt△ACD中，AD=AC，
又∵∠ACB=90°，在Rt△ACB中，∴∠B=30°，
∴AC=AB ∴AD= AB，则AD=BD，即BD=3AD.
如图，已知，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，CD=4cm，∠ABC=∠DCB，求BC的长．
解：∵AD∥BC，∠A=120°，∴∠ABC=180°﹣120°=60°，
∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°，
又∵∠ABC=∠DCB=60°，∴∠BDC=180°﹣30°﹣60°=90°，
∴BC=2CD=2×4=8cm．
例题9、
例题9变式训练
如图，测量旗杆AB的高度时，先在地面上选择一点C，使∠ACB=15°．然后朝着旗杆方向前进到点D，测得∠ADB=30°，量得CD=13m，求旗杆AB的高．
解：∵∠ACB=15°，∠ADB=30°，
∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=30°-15°=15°，
即△CAD为等腰三角形，
∴AD=CD=13，
在△ADB中，∵AB⊥DB，∠ADB=30°，
∴AB=AD=×13=6.5(m)．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAD=∠BAC，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线，求证：CD=DB．
解：∵DE⊥AB，∴∠AED=∠BED=90°，
∵DE是∠ADB的平分线，∴∠3=∠4，又∵DE=DE，
∴△BED≌△AED（ASA），∴AD=BD，∠2=∠B，
∵∠BAD=∠2=∠BAC∴∠1=∠2=∠B，∴AD=BD，
又∵∠1+∠2+∠B=90°，∴∠B=∠1=∠2=30°，
在直角三角形ACD中，∠1=30°，
∴CD= AD= BD．
反证法：在证明时，先假设命题的结论不成立 ，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾 的结果，从而证明命题的结论一定成立 ，这种证明命题的方法叫做反证法 .
要点诠释：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题．一般证明步骤如下：
（1） 假定命题的结论不成立 ；
（2） 从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾 的结果；
（3）由矛盾的结果，判定假设不成立 ，从而说明命题的结论是正确 的.
例题10、
例题10变式训练
求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。
【答案】已知：△ABC
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
证明： 假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，
则∠A＞60°,∠B＞60°,∠C＞60°
∴∠A+∠B+∠C＞60°+60°+60°=180°
即∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形的内角和为180度矛盾．
假设不成立．
∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°
求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等．
【思路点拨】先假设它们的对边相等，然后根据等腰三角形的性质得出假设不成立，从而证得原结论成立．
【答案与解析】
证明：假设它们所对的边相等；
则根据等腰三角形的性质定理，“等边对等角”所以等它们所对的角也相等；
这就与题设两个角不等相矛盾；
因此假设不成立，故原结论成立．
学习项目
知识内容
达标要求
卷面分数
测试得分
家长签字
☞模块四：过关测试
【随堂检测：检测学员过关】
过关测试
（本讲知识点过关测试题）
①周末补课后由家长监督完成；
②家长批改对错并批改出分数；
③家长批改后拍照在群里打卡；
50分
一.选择题（每题2分，共12分）
1．如图，在△ABC中，若AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A等于( )．
A．30° B．36° C．45° D．54°
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2．用反证法证明：a，b至少有一个为0，应假设（ ）
A. a，b没有一个为0 B. a，b只有一个为0 C. a，b至多有一个为0 D. a，b两个都为0
3. 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的有( )
①△BDF，△CEF都是等腰三角形； ②DE＝DB＋CE； ③AD＋DE＋AE＝AB＋AC； ④BF＝CF.
A．1个B．2个 C．3个D．4个
4. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（ ）
A．顶角的一半B．底角的一半 C．90°减去顶角的一半D．90°减去底角的一半
5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（ ）
A．cm B．2cm C．3cm D．4cm
6. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
答案栏
1.【答案】C；【解析】设∠A＝，则由题意∠ADE＝180°－2，∠EDB＝，∠BDC＝∠BCD＝90°－，
因为∠ADE＋∠EDB＋∠BDC＝180°，所以＝45°.
2.【答案】A；【解析】由于命题：“a，b至少有一个为0”的反面是：“a，b没有一个为0”，故选A.
3.【答案】C ；【解析】①②③正确.
4.【答案】A；【解析】解：△ABC中，∵AB=AC，BD是高，∴∠ABC=∠C=
在Rt△BDC中，∠CBD=90°-∠C=90°-=.故选A．
5.【答案】C；【解析】解：∵ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2ED，∵AE=6cm，∴ED=3cm，
∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，∴ED=CE，∴CE=3cm；故选：C．
6.【答案】D；【解析】解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3；∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，
∴AB=6，∴AP的长不能大于6．故选D．
二.填空题（每题3分，共18分）
7．（2018•通辽）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为 ．
8. 用反证法证明“若|a|≠|b|，则a≠b．”时，应假设 ．
9. 等腰三角形的周长为22，其中一边的长是8,则其余两边长分别为________.
10.（2018春•盐城月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm．动点D从点A出发，以每秒1cm的速度沿射线AC运动，当t= 时，△ABD为等腰三角形．
第10题图 第11题图 第12题图
11．如图，钝角三角形纸片ABC中，∠BAC＝110°，D为AC边的中点．现将纸片沿过点D的直线折叠，折痕与BC交于点E，点C的落点记为F．若点F恰好在BA的延长线上，则∠ADF ＝_________°．
12. 如图，在ΔABC中，∠ABC＝120°，点D、E分别在AC和AB上，且AE＝ED＝DB＝BC，则∠A的度数为______°．
答案栏
7. 【答案】69°或21°；【解析】解：分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图1所示：
∵BD⊥AC， ∴∠A+∠ABD=90°，∵∠ABD=48°，∴∠A=90°﹣48°=42°，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣42°）=69°；
②若∠A＞90°，如图2所示：同①可得：∠DAB=90°﹣48°=42°，∴∠BAC=180°﹣42°=138°，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣138°）=21°；综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°．故答案为：69°或21°．
8. 【答案】a=b；【解析】a，b的等价关系有a=b，a≠b两种情况，因而a≠b的反面是a=b.
9. 【答案】7，7或8，6；【解析】边长为8cm的可能是底边，也可能是腰.
10.【答案】5，6，； 【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，由勾股定理得：AC=3cm，由运动可知：AD=t，且△ABD时等腰三角形，有三种情况：
①若AB=AD，则t=5；②若BA=BD，则AD=2AC，即t=6；
③若DA=DB，则在Rt△BCD中，CD=t﹣3，BC=4，BD=t，即（t﹣3）2+42=t2，解得：t=，
综合上述：符合要求的t值有3个，分别为5，6，．
11.【答案】40；【解析】AD＝FD，∠FAD＝∠AFD＝70°，所以∠ADF＝40°.
12.【答案】15°；【解析】设∠A＝，∠BED＝∠EBD＝2，∠CBD＝120°－2，∠C＝∠BDC＝30°＋，
而∠A＋∠C＝60°，所以＋30°＋ ＝60°，解得＝15°.
三.解答题（共20分）
13. （4分）用反证法证明：一条线段只有一个中点．
答案栏
13.【解析】已知：一条线段AB，M为AB的中点．
求证：线段AB只有一个中点M．
证明：假设线段AB有两个中点M、N，不妨设M在N的左边，则AM＜AN，
又因为AM=AB=AN=AB，
这与AM＜AN矛盾，所以线段AB只有一个中点M．
14．（4分）（2016秋•宜昌期中）一个等腰三角形的三边长分别为x，2x﹣3，4x﹣6，求这个三角形的周长．
答案栏
14.【解析】
解：①x=2x﹣3，则x=3，∴4x﹣6=6，∵3+3=6，∴3、3、6不能构成三角形；
②x=4x﹣6，则x=2，∴2x﹣3=1，
∵1、2、2任意两边之和大于第三边，∴这个三角形的周长为1+2+2=5；
③2x﹣3=4x﹣6，则x=，∴2x﹣3=0，∴此三角形不存在．
综上可知：这个三角形的周长为5．
15.（12分）（2018•东台市期中）如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
答案栏
15．解：（1）∵∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，∴有勾股定理得AC=8cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，∴出发2秒后，则CP=2cm，那么AP=6cm．
∵∠C=90°，∴有勾股定理得PB=2cm
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=6+10+2=（16+2）cm；
（2）若P在边AC上时，BC=CP=6cm， 此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
若P在AB边上时，有两种情况：
①若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P运动的路程为12cm，所以用的时间为12s，故t=12s时△BCP为等腰三角形；
②若CP=BC=6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，根据勾股定理求得BP=7.2cm，
所以P运动的路程为18﹣7.2=10.8cm， ∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；
③若BP=CP时，则∠PCB=∠PBC，
∵∠ACP+∠BCP=90°，∠PBC+∠CAP=90°，∴∠ACP=∠CAP，∴PA=PC；∴PA=PB=5cm
∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．∴t=6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形；
（3）当P点在AC上，Q在AB上，则AP=8﹣t，AQ=16﹣2t，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴8﹣t+16﹣2t=12，∴t=4；
当P点在AB上，Q在AC上，则AP=t﹣8，AQ=2t﹣16，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，∴t﹣8+2t﹣16=12，∴t=12，
∴当t为4或12秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．
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