【高考复习第一轮】高中数学知识点总结

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资料简介 展开

 

高中数学知识点总结

 

 

第一章      集合与简单逻辑(P2

第二章      函数(P5)

第三章      数列(P14)

第四章      三角函数(P18)

第五章      平面向量(P25)

第六章      不等式(P31)

第七章      直线和圆的方程(P35)

第八章      圆锥曲线(P44)

第九章      直线 平面 简单几何体(P49)

第十章      排列组合(P62)

第十一章           导数(P67)

 

 

 

 

 

 

 

第一章  集合与简易逻辑

集合——知识点归纳

定义:一组对象的全体形成一个集合

特征:确定性、互异性、无序性

表示法:列举法{1,2,3,}、描述法{x|P}韦恩图

分类:有限集、无限集

数集:自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N、空集φ

关系:属于、不属于、包含于()、真包含于、集合相等=

运算:交运算AB{x|xAxB}

并运算AB{x|xAxB};

补运算{x|xAxU}U为全集

性质:AAφA; 若ABBC,则AC

AAAAAA∩φφA∪φA

ABAABBAB

ACAφACAIC( CA)A

C(AB)(CA)(CB)

方法:韦恩示意图, 数轴分析

注意 区别、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2};
      AB时,A有两种情况:A=φ与A≠φ

若集合A中有n个元素,则集合A的所有不同的子集个数为,所有真子集的个数是-1, 所有非空真子集的个数是

区分集合中元素的形式:如

空集是指不含任何元素的集合的区别;0与三者间的关系空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集条件为,在讨论的时候不要遗忘了的情况

符号是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现 点与直线(面)的关系 ;符号是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现 面与直线()的关系

绝对值不等式——知识点归纳

1绝对值不等式

型不等式型不等式的解法与解集:

不等式的解集是;

不等式的解集是

不等式的解集为 ;

不等式的解集为

2解一元一次不等式

 

3韦达定理:

方程)的二实根为

两个正根,则需满足

两个负根,则需满足

一正根和一负根,则需满足

4.一元二次不等式的解法步骤

对于一元二次不等式,设相应的一元二次方程的两根为,则不等式的解的各种情况如下表:

 

 

 

 

    

   

   

二次函数

)的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

       R

       

     

方程的根函数草图观察得解,对于的情况可以化为的情况解决

注意:含参数的不等式ax+bx+c>0恒成立问题含参不等式ax+bx+c>0的解集是R;其解答分a=0(验证bx+c>0是否恒成立)、a0(a<0且<0)两种情况

简易逻辑——知识点归纳

命题  可以判断真假的语句;

逻辑联结词  或、且、非;

简单命题  不含逻辑联结词的命题;     

复合命题  由简单命题与逻辑联结词构成的命题 

三种形式  pqpq、非p

真假判断  pq,同假为假,否则为真;

pq,同真为真, 否则为假;

p,真假相反

原命题  pq逆命题  qp否命题  pq逆否命题  qp互为逆否的两个命题是等价的     

反证法步骤  假设结论不成立推出矛盾假设不成立

充要条件  条件p成立结论q成立,则称条件p是结论q充分条件,

     结论q成立条件p成立,则称条件p是结论q必要条件,

条件p成立结论q成立,则称条件p是结论q充要条件,

 

 

第二章  函数

函数定义——知识点归纳

 1函数的定义:AB是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数fx)和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数,记作y=fx),xA,其中x叫做自变量x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合{fx|xA}叫做函数的值域

2两个函数的相等:函数的定义含有三个要素,即定义域A、值域C和对应法则f当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定因此,定义域和对应法则为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数

3映射的定义:一般地,设AB是两个集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么,这样的对应(包括集合AB,以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的映射,记作f:AB

由映射和函数的定义可知,函数是一类特殊的映射,它要求AB非空且皆为数集

4映射的概念中象、原象的理解:(1) A中每一个元素都有象;(2)B中每一个元素不一定都有原象,不一定只一个原象;(3)A中每一个元素的象唯一

函数解析式——知识点归纳

1函数的三种表示法

1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式

2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系

3)图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系

2求函数解析式的题型有:

(1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法

(2)已知或已知:换元法、配凑法

(3)已知函数图像,求函数解析式;

(4)满足某个等式,这个等式除外还有其他未知量,需构造另个等式解方程组法

(5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等

题型讲解

例1(1)已知,求

(2)已知,求

(3)已知是一次函数,且满足,求

(4)已知满足,求

解:(1)

(2)令),

(3)设

(4)  

中的换成,得  

注:第(1)题用配凑法;第(2)题用换元法;第(3)题已知一次函数,可用待定系数法;第(4)题用方程组法

定义域和值域——知识点归纳

由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表,实际上是求使给定式有意义的x的取值范围它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练

1求函数解析式的题型有:

(1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法

(2)已知或已知:换元法、配凑法

(3)已知函数图像,求函数解析式;

(4)满足某个等式,这个等式除外还有其他未知量,需构造另个等式:解方程组法

(5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等

2求函数定义域一般有三类问题:

(1)给出函数解析式的:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合;

(2)实际问题:函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题有意义;

(3)已知的定义域求的定义域或已知的定义域求的定义域

掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数)的定义域;

若已知的定义域,其复合函数的定义域应由解出

3求函数值域的各种方法

函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类:(1)求常见函数值域;(2)求由常见函数复合而成的函数的值域;(3)求由常见函数作某些运算而得函数的值域

直接法:利用常见函数的值域来求

一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R,值域为R

反比例函数的定义域为{x|x0},值域为{y|y0}

二次函数的定义域为R

a>0时,值域为{}

a<0时,值域为{}

配方法转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型如:的形式;

分式转化法(或改为分离常数法

换元法通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想;

三角有界法转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域;

基本不等式法:转化成型如:,利用平均值不等式公式来求值域;

单调性法函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域

数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域

逆求法(反求法)通过反解,用来表示,再由的取值范围,通过解不等式,得出的取值范围;常用来解,型如:

单调性——知识点归纳

1函数单调性的定义:

2 证明函数单调性的一般方法:

定义法:设;作差(一般结果要分解为若干个因式的乘积,且每一个因式的正或负号能清楚地判断出);判断正负号

用导数证明: 若在某个区间A内有导数,则

A内为增函数;A内为减函数

3 求单调区间的方法:定义法、导数法、图象法

4复合函数在公共定义域上的单调性:

fg的单调性相同,则为增函数;

fg的单调性相反,则为减函数

注意:先求定义域,单调区间是定义域的子集

5一些有用的结论:

  奇函数在其对称区间上的单调性相同;

  偶函数在其对称区间上的单调性相反;

  在公共定义域内:

增函数增函数是增函数;

减函数减函数是减函数;

增函数减函数是增函数;

减函数增函数是减函数

  函数上单调递增;在上是单调递减

奇偶性——知识点归纳

 1函数的奇偶性的定义

2奇偶函数的性质:

(1)定义域关于原点对称(2)偶函数的图象关于轴对称,奇函数的图象关于原点对称;

3为偶函数

4若奇函数的定义域包含,则

5判断函数的奇偶性,首先要研究函数的定义域,有时还要对函数式化简整理,但必须注意使定义域不受影响

6牢记奇偶函数的图象特征,有助于判断函数的奇偶性

7判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:

8的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上:

奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇

1判断函数的奇偶性,必须按照函数的奇偶性定义进行,为了便于判断,常应用定义的等价形式:f(x)= f(x)f(x) f(x)=0

2讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称,要重视这一点;

3若奇函数的定义域包含0,则f(0)=0,因此,f(x)为奇函数"f(0)=0"的非充分非必要条件;

4奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性

5若存在常数T,使得f(x+T)=f(x)f(x)定义域内任意x恒成立,则称T为函数f(x)的周期,

5)函数的周期性

       定义:若T为非零常数,对于定义域内的任一x,使恒成立

         f(x)叫做周期函数,T叫做这个函数的一个周期

反函数——知识点归纳

1反函数存在的条件:从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数

2定义域、值域:反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域,若为反函数,函数的定义域为、值域为,则

3单调性、图象:互为反函数的两个函数具有相同的单调性,它们的图象关于对称

4求反函数的一般方法:

(1)由解出,(2)将中的互换位置,得,(3)求的值域得的定义域

二次函数——知识点归纳

二次函数是高中最重要的函数,它与不等式、解析几何、数列、复数等有着广泛的联系

1二次函数的图象及性质:二次函数的图象的对称轴方程是,顶点坐标是

2二次函数的解析式的三种形式:用待定系数法求二次函数的解析式时,解析式的设法有三种形式,即(顶点式)

3根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0 的实根分布问题,用图象求解,有如下结论:令f(x)=ax2+bx+c (a>0)

(1)x1<α,x2<α ,;     (2)x1>α,x2>α,

(3)α<x1<,α<x2<,(4)x1<α,x2> (α<),

(5)若f(x)=0在区间(α,)内只有一个实根,则有

4最值问题:二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[α,]上的最值一般分为三种情况讨论,即:(1)对称轴b/(2a)在区间左边,函数在此区间上具有单调性;(2)对称轴b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a的符号对抛物线开口的影响

1讨论二次函数的区间最值问题:注意对称轴与区间的相对位置;

2讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑:判别式;区间端点的函数值的符号;对称轴与区间的相对位置

5二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系

f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴无交点ax2+bx+c=0无实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是R;

f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴相切ax2+bx+c=0有两个相等的实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是R;

f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴有两个不同的交点ax2+bx+c=0有两个不等的实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是

指数对数函数——知识点归纳

1根式的运算性质:

n为任意正整数时,()=a

n为奇数时,=a;当n为偶数时,=|a|=

根式的基本性质:,(a0

2分数指数幂的运算性质: 

   

3的图象和性质

 

a>1

0<a<1

图象

性质

(1)定义域:R

(2)值域:(0,+

(3)过点(0,1),即x=0时,y=1

(4)在 R上是增函数

(4)在R上是减函数

4指数式与对数式的互化:

5重要公式: 对数恒等式

6对数的运算法则

如果

7对数换底公式

  ( a > 0 ,a 1 ,m > 0 ,m1,N>0)

8两个常用的推论:

 

a, b > 0且均不为1)

9对数函数的性质:

 

a>1

0<a<1

定义域:(0,+

值域:R

过点(1,0),即当时,

 

在(0,+)上是增函数

在(0,+)上是减函数

10同底的指数函数与对数函数互为反函数

11指数方程和对数方程主要有以下几种类型:

(1)af(x)=bf(x)=logab, logaf(x)=bf(x)=ab; (定义法)

(2)af(x)=ag(x)f(x)=g(x), logaf(x)=logag(x)f(x)=g(x)>0(转化法)

(3)af(x)=bg(x)f(x)logma=g(x)logmb(取对数法)

(4)logaf(x)=logbg(x)logaf(x)=logag(x)/logab(换底法)

函数图象变换——知识点归纳

1作图方法:描点法和利用基本函数图象变换作图作函数图象的步骤:确定函数的定义域;化简函数的解析式;讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势);描点连线,画出函数的图象

2三种图象变换:平移变换、对称变换和伸缩变换等等

3识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面

4平移变换:(1)水平平移:函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到

(2)竖直平移:函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到

y=f(x)y=f(x+h);y=f(x) y=f(xh);

y=f(x) y=f(x)+h;y=f(x) y=f(x)h

5对称变换:(1)函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到

(2)函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到

(3)函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到

(4)函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到

y=f(x) y= f(x);       y=f(x) y=f(x);

y=f(x) y=f(2ax);   y=f(x) y=f1(x);

y=f(x) y= f(x)

6翻折变换:(1)函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方,去掉原轴下方部分,并保留轴上方部分即可得到

(2)函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留轴右边部分即可得到

     

7伸缩变换:1)函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩()为原来的倍得到;

2)函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩()为原来的倍得到

y=f(x)y=f();y=f(x)y=ωf(x)

 

 

 

第三章数列

数列定义——知识点归纳

(1)一般形式:

(2)通项公式:

(3)前n项和:及数列的通项an与前n项和Sn的关系:

等差数列——知识点归纳

1等差数列的定义:

如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示

2等差数列的判定方法:

定义法:对于数列,若(常数),则数列是等差数列

等差中项:对于数列,若,则数列是等差数列

3等差数列的通项公式:

如果等差数列的首项是,公差是,则等差数列的通项为该公式整理后是关于n的一次函数

4等差数列的前n项和:

对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数

5等差中项:

如果成等差数列,那么叫做的等差中项即:

在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项

5等差数列的性质:

等差数列任意两项间的关系:如果是等差数列的第项,是等差数列的第项,且,公差为,则有

       对于等差数列,若,则

也就是:

若数列是等差数列,是其前n项的和,,那么成等差数列如下图所示:

6奇数项和与偶数项和的关系:

设数列是等差数列,是奇数项的和,是偶数项项的和,是前n项的和,则有如下性质:

n项的和

n为偶数时,,其中d为公差;

n为奇数时,则(其中是等差数列的中间一项)

7n项和与通项的关系:

等差数列的前项的和为,等差数列的前项的和为,则

等比数列——知识点归纳

 1等比数列的概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(

2等比中项:如果在之间插入一个数,使成等比数列,那么叫做等比中项

也就是,如果是的等比中项,那么,即

3等比数列的判定方法:

定义法:对于数列,若,则数列是等比数列

等比中项:对于数列,若,则数列是等比数列

4等比数列的通项公式:如果等比数列的首项是,公比是,则等比数列的通项为或着

5等比数列的前n项和:

     

时,

时,前n项和必须具备形式

6等比数列的性质:

等比数列任意两项间的关系:如果是等数列的第项,是等差数列的第项,且,公,则有

       对于等比数列,若,则

也就是:

如图所示:

若数列是等数列,是其前n项的和,,那么成等数列如下图所示:

数列的求和——知识点归纳

1等差数列的前n项和公式:

Sn=     Sn=   Sn=

d0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0

d=0时(a10),Sn=na1是关于n的正比例式

2等比数列的前n项和公式:

q=1时,Sn=n a1    (是关于n的正比例式)

q≠1时,Sn=         Sn=

3拆项法求数列的和,an=2n+3n 

4错位相减法求和,an=(2n-1)2n

非常数列的等差数列与等比数列的积的形式

5分裂项法求和,an=1/n(n+1)

分子为非零常数,分母为非常数列的等差数列的两项积的形式

6反序相加法求和,an=

7求数列{an}的最大、最小项的方法:

an+1-an=……  an= -2n2+29n-3   

   (an>0)an= 

an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=

数列的综合应用——知识点归纳

1通项与前n项和的关系:

2迭加累加法:

  ………   

 

3迭乘累乘法:

………

4裂项相消法:

5错位相减法:

,  是公差d0等差数列,是公比q1等比数列

所以有

6通项分解法:

7等差与等比的互变关系:

 8等比、等差数列和的形式:

9无穷递缩等比数列的所有项和:

 

第四章  三角函数

角的概念的推广和弧度制——知识点归纳

1终边相同:

2几种终边在特殊位置时对应角的集合为:

 

角的终边所在位置

角的集合

X轴正半轴

Y轴正半轴

X轴负半轴

Y轴负半轴

X

Y

坐标轴

 

3弧度制定义:我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度角

   角度制与弧度制的互化:   

   1弧度

4弧长公式:  是圆心角的弧度数)

5扇形面积公式:

任意角的三角函数、诱导公式——知识点归纳

1 三角函数的定义:以角的顶点为坐标原点,始边为x轴正半轴建立直角坐标系,在角的终边上任取一个异于原点的点,点P到原点的距离记为,那么

2三角函数的符号:

sin

+

+

cos

+

+

tan

+

+

cot

+

+

由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知:正弦值对于第一、二象限为正(),对于第三、四象限为负();余弦值对于第一、四象限为正(),对于第二、三象限为负();正切值对于第一、三象限为正(同号),对于第二、四象限为负(异号)

说明:若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值。

3特殊角的三角函数值:

0

sin

0

1

0

cos

1

0

0

tan

0

1

0

cot

1

0

0

4三角函数的定义域、值域:

  

   

 

5诱导公式:可用十个字概括为奇变偶不变,符号看象限

诱导公式一:,其中

诱导公式二:  

诱导公式三:    

诱导公式四:

诱导公式五

 

sin

sin

sin

sin

sin

sin

sin

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos

sin

tan

tan

-tan

-tan

tan

-tan

tan

--------

1)要化的角的形式为为常整数);

2)记忆方法:函数名不变,符号看象限

同角三角函数的基本关系——知识点归纳

1倒数关系:

2商数关系:

3平方关系:

两角和与差的正弦、余弦、正切——知识点归纳

1和、差角公式

2二倍角公式

3降幂公式

4半角公式

5万能公式

6积化和差公式

7和差化积公式

8三倍角公式:

sin3=  cos3=

9辅助角公式:

三角函数的图像与性质——知识点归纳

1 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

2三角函数的单调区间:

的递增区间是

递减区间是

的递增区间是

递减区间是

的递增区间是

的递减区间是

3函数

最大值是,最小值是,周期是,频率是,相位是,初相是;其图象的对称轴是直线,凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心

4y=sinx的图象变换出y=sin(ωx)的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进行图象变换

利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x而言,即图象变换要看变量起多大变化,而不是角变化多少

途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将y=sinx的图象向左(>0)或向右(<0)平移||个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω>0),便得y=sin(ωx)的图象

途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换

先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω>0),再沿x轴向左(>0)或向右(<0=平移个单位,便得y=sin(ωx)的图象

5yAsin(ωx)的图象求其函数式:

给出图象确定解析式y=Asinωx+)的题型,有时从寻找五点中的第一零点(-0)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个零点的位置

6对称轴与对称中心:

的对称轴为,对称中心为

的对称轴为,对称中心为

对于来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系

7求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意A的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间;

8求三角函数的周期的常用方法:

经过恒等变形化成的形式,在利用周期公式,另外还有图像法和定义法

9五点法作y=Asinωx+)的简图

五点取法是设x=ωx+,由x0π2π来求相应的x值及对应的y值,再描点作图

三角函数的最值及综合应用——知识点归纳

1y=asinx+bcosx型函数最值的求法:常转化为y= sinx+

2y=asin2x+bsinx+c  常通过换元法转化为y=at2+bt+c型:

3y=

1)当时,将分母与乘转化变形为sinx+)=

2)转化为直线的斜率求解(特别是定义域不是R时,必须这样作)

4.同角的正弦余弦的和差与积的转换:

同一问题中出现,求它们的范围,一般是令,转化为关于的二次函数来解决

5.已知正切值,求正弦、余弦的齐次式的值:

如已知,求的值,一般是将不包括常数项的式子的分母1用代换,然后分子分母同时除以化为关于的表达式

6.几个重要的三角变换:

sin α cos α可凑倍角公式;   1±cos α可用升次公式;

1±sin α 可化为,再用升次公式;

(其中 )这一公式应用广泛,熟练掌握.

7 单位圆中的三角函数线:三角函数线是三角函数值的几何表示,四种三角函数y = sinxy = cosxy = tanxy =cotx的图象都是平移单位圆中的三角函数线得到的.

8 三角函数的图象的掌握体现:把握图象的主要特征(顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等);应当熟练掌握用五点法作图的基本原理以及快速、准确地作图.

9三角函数的奇偶性

函数y = sin(xφ)是奇函数

函数y = sin(xφ)是偶函数

函数y =cos (xφ)是奇函数

函数y = cos(xφ)是偶函数

10正切函数的单调性

正切函数f (x)= tan x ,在每一个区间上都是增函数,但不能说f (x) = tan x在其定义域上是增函数.

 

 

 

第五章平面向量

平面向量的基本运算——知识点归纳

1向量的概念:

向量:既有大小又有方向的量向量一般用……来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母表示,如:几何表示法 ;坐标表示法  向量的大小即向量的模(长度),记作||即向量的大小,记作| 

向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.

零向量:长度为0的向量,记为,其方向是任意的,与任意向量平行零向量|=0由于的方向是任意的,且规定平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有非零向量这个条件.(注意与0的区别)

单位向量:模为1个单位长度的向量

向量为单位向量|=1

平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作由于向量可以进行任意的平移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量

数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的共线与几何中的共线的含义,要理解好平行向量中的平行与几何中的平行是不一样的.

相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为大小相等,方向相同

2向量加法

求两个向量和的运算叫做向量的加法

,则+==

1;(2)向量加法满足交换律与结合律;

向量加法有三角形法则平行四边形法则

1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量

2三角形法则的特点是首尾相接,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点

当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则.向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:

,但这时必须首尾相连

3向量的减法

  相反向量:长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量

记作,零向量的相反向量仍是零向量

关于相反向量有:  i=(ii) +()=()+=

(iii)是互为相反向量,则=,=,+=

向量减法:向量加上的相反向量叫做的差,

记作:求两个向量差的运算,叫做向量的减法

作图法:可以表示为从的终点指向的终点的向量(有共同起点)

4实数与向量的积:

实数λ与向量的积是一个向量,记作λ,它的长度与方向规定如下:

)当时,λ的方向与的方向相同;当时,λ的方向与的方向相反;当时,,方向是任意的

数乘向量满足交换律、结合律与分配律

5两个向量共线定理:

向量与非零向量共线有且只有一个实数,使得=

6平面向量的基本定理:

如果是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量,有且只有一对实数使:其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

7特别注意:

1)向量的加法与减法是互逆运算

2)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件

3)向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合),而向量平行则包括共线(重合)的情况

4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关

平面向量的坐标运算——知识点归纳

1平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量可表示成,由于与数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量的坐标,记作=(x,y),其中x叫作x轴上的坐标,y叫做在y轴上的坐标

 (1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量

(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关

2平面向量的坐标运算:

(1)    ,则

(2)    ,则

(3)    =(x,y),则=(x,y)

(4)    ,则

(5)    ,则

,则

3向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量(内积)及其各运算的坐标表示和性质

运算类型

几何方法

坐标方法

运算性质

1平行四边形法则

2三角形法则

三角形法则

是一个向量,

满足:

>0时,同向;

<0时,异向;

=0时,=

是一个数

时,

=0

时,

,

平面向量的数量积——知识点归纳

1两个向量的数量积:

已知两个非零向量,它们的夹角为,则·=·cos

叫做数量积(或内积) 规定

2向量的投影:cos=R,称为向量方向上的投影投影的绝对值称为射影

3数量积的几何意义:·等于的长度与方向上的投影的乘积

4向量的模与平方的关系:

5乘法公式成立:

6平面向量数量积的运算律:

交换律成立:

对实数的结合律成立:

分配律成立:

特别注意:(1)结合律不成立:

(2)消去律不成立不能得到

(3)=0不能得到==

7两个向量的数量积的坐标运算:

已知两个向量,则·=

8向量的夹角:已知两个非零向量,作=, =,AOB=)叫做向量的夹角

cos==

当且仅当两个非零向量同方向时,θ=00,当且仅当反方向时θ=1800,同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题

9垂直:如果的夹角为900则称垂直,记作

10两个非零向量垂直的充要条件

·=O平面向量数量积的性质

线段的定比分点与平移——知识点归纳

1线段的定比分点定义:P1,P2是直线L上的两点,点PL上不同于P1,P2的任意一点,则存在一个实数,使叫做点P分有向线段所成的比当点P在线段上时,;当点P在线段的延长线上时,<0

2定比分点的向量表达式:P分有向线段所成的比是

O为平面内任意点)

3定比分点的坐标形式: ,其中P1(x1,y1), P2(x2,y2), P (x,y)

4中点坐标公式: =1时,分点P为线段的中点,即有

5的重心坐标公式:

6图形平移的定义:F是坐标平面内的一个图形,将图上的所有点按照同一方向移动同样长度,得到图形F,我们把这一过程叫做图形的平移

7平移公式: 设点按向量平移后得到点,则+,曲线按向量平移后所得的曲线的函数解析式为:

这个公式叫做点的平移公式,它反映了图形中的每一点在平移后的新坐标与原坐标间的关系

解三角形及应用举例——知识点归纳

1正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等其比值为外接圆的直径

(其中R表示三角形的外接圆半径)

利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)

2余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

第一形式,=,第二形式,cosB=

利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:(1)已知三边,求三个角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角

3三角形的面积:ABC的面积用S表示,外接圆半径用R表示,内切圆半径用r表示,半周长用p表示则

(其中

4三角形内切圆的半径:,特别地,

5三角学中的射影定理:ABC 中,

6两内角与其正弦值:ABC 中,

7三内角与三角函数值的关系:ABC

    

解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况,这时应结合三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解

第六章  不等式

不等式的概念与性质——知识点归纳

1.实数的大小顺序与运算性质之间的关系:

    

2.不等式的性质:

(1)  (反对称性)

(2)   (传递性)

(3),故 (移项法则)

推论: (同向不等式相加)

(4)

推论1:

推论2:

推论3:

算术平均数与几何平均数——知识点归纳

1.常用的基本不等式和重要的不等式

(1) 当且仅当

(2)

(3),则

(4)

2最值定理:

(1)如积

(2)如积

即:积定和最小,和定积最大

运用最值定理求最值的三要素:一正二定三相等

3均值不等式:

两个正数的均值不等式

三个正数的均值不等是:

n个正数的均值不等式:

4四种均值的关系:两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是

不等式的证明——知识点归纳

不等式的证明方法

1)比较法作差比较:

作差比较的步骤:

作差:对要比较大小的两个数(或式)作差

变形:对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和

判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号

注意:若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小

2)综合法:由因导果

3)分析法:执果索因基本步骤:要证……只需证……,只需证……

①“分析法证题的理论依据:寻找结论成立的充分条件或者是充要条件

②“分析法证题是一个非常好的方法,但是书写不是太方便,所以我们可以利用分析法寻找证题的途径,然后用综合法进行表达

4)反证法:正难则反

5)放缩法将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的

放缩法的方法有:

添加或舍去一些项,如:

将分子或分母放大(或缩小)

利用基本不等式

如:

利用常用结论

(程度大)

; (程度小)

6)换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元和代数换元如:

已知,可设

已知,可设()

已知,可设

已知,可设

7)构造法:通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式;

证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点.

8)数学归纳法法

解不等式——知识点归纳

1.解不等式问题的分类

(1)解一元一次不等式.

(2)解一元二次不等式.

(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式.

解一元高次不等式;

解分式不等式;

解无理不等式;

解指数不等式;

解对数不等式;

解带绝对值的不等式;

解不等式组.

2.解不等式时应特别注意下列几点:

(1)正确应用不等式的基本性质.

(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性.

(3)注意代数式中未知数的取值范围.

3.不等式的同解性

(5)|f(x)|g(x)与-g(x)f(x)g(x)同解.(g(x)0)

(6)|f(x)|g(x)

f(x)g(x)f(x)<-g(x)(其中g(x)0)g(x)0同解

(9)a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x)同解,

0a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x)同解.

4 零点分段法:高次不等式与分式不等式的简洁解法

 步骤:形式:

首项系数符号>0——标准式,若系数含参数时,须判断或讨论系数的符号,化负为正

判断或比较根的大小

绝对值不等式——知识点归纳

1解绝对值不等式的基本思想:解绝对值不等式的基本思想是去绝对值,常采用的方法是讨论符号和平方

2.注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题

||a|─|b|||a+b||a|+|b|;||a|─|b|||a─b||a|+|b|;并指出等号条件

3(1)|f(x)|<g(x)─g(x)<f(x)<g(x); 

       (2)|f(x)|>g(x)f(x)>g(x)f(x)<─g(x)(无论g(x)是否为正)

(3)含绝对值的不等式性质(双向不等式)

        

左边在时取得等号,右边在时取得等号

 

 

第七章  直线和圆的方程

直线方程——知识点归纳

1数轴上两点间距离公式:

2直角坐标平面内的两点间距离公式:

3直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角

当直线和x轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为0°

可见,直线倾斜角的取值范围是0°≤α180°

4直线的斜率:倾斜角α不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用k表示,即k=tanαα90°

倾斜角是90°的直线没有斜率;倾斜角不是90°的直线都有斜率,其取值范围是(-+

5直线的方向向量:F1x1y1)、F2x2y2)是直线上不同的两点,则向量=x2x1y2y1)称为直线的方向向量

向量=1=1k)也是该直线的方向向量,k是直线的斜率特别地,垂直于轴的直线的一个方向向量为(0,1)

6求直线斜率的方法

定义法:已知直线的倾斜角为α,且α90°,则斜率k=tanα

公式法:已知直线过两点P1x1y1)、P2x2y2),且x1x2,则斜率k=

方向向量法:若=mn)为直线的方向向量,则直线的斜率k=

平面直角坐标系内,每一条直线都有倾斜角,但不是每一条直线都有斜率

对于直线上任意两点P1x1y1)、P2x2y2),当x1=x2时,直线斜率k不存在,倾斜角α=90°;当x1x2时,直线斜率存在,是一实数,并且k0时,α=arctankk0时,α=π+arctank

7直线方程的五种形式

点斜式:, 斜截式:

两点式:截距式:

一般式:

两直线的位置关系——知识点归纳

1特殊情况下的两直线平行与垂直

当两条直线中有一条直线没有斜率时:

(1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为90°,互相平行;

(2)当另一条直线的斜率为0时,一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直

2.斜率存在时两直线的平行与垂直:

两条直线有斜率且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,则它们平行,即=

已知直线的方程为

的充要条件是

两条直线垂直的情形如果两条直线的斜率分别是,则这两条直线垂直的充要条件是

已知直线的一般式方程为

,则

3直线的角的定义及公式:

直线按逆时针方向旋转到与重合时所转的角,叫做的角的角:0°<180°如果如果

4.直线的夹角定义及公式:

的角是,的角是π-,当相交但不垂直时,π-仅有一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角当直线时,直线的夹角是夹角0°90°

如果如果

5.两条直线是否相交的判断

两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组:

是否有惟一解

6.点到直线距离公式:

到直线的距离为:

7.两平行线间的距离公式

已知两条平行线直线的一般式方程为

,则的距离为

8直线系方程:若两条直线有交点,则过交点的直线系方程为+ (λ为常数)

简单的线性规划及实际应用——知识点归纳

1二元一次不等式表示平面区域:

在平面直角坐标系中,已知直线Ax+By+C=0,坐标平面内的点Px0y0

B0时,Ax0+By0+C0,则点Px0y0)在直线的上方;Ax0+By0+C0,则点Px0y0)在直线的下方

对于任意的二元一次不等式Ax+By+C0(或<0),无论B为正值还是负值,我们都可以把y项的系数变形为正数

B0时,Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0上方的区域;Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0下方的区域

2线性规划:

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题

满足线性约束条件的解(xy)叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域(类似函数的定义域);使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题

线性规划问题一般用图解法,其步骤如下:

1)根据题意,设出变量xy

2)找出线性约束条件;

3)确定线性目标函数z=fxy);

4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域);

5)利用线性目标函数作平行直线系fxy=tt为参数);

6)观察图形,找到直线fxy=t在可行域上使t取得欲求最值的位置,以确定最优解,给出答案

曲线和方程——知识点归纳

1.平面解析几何研究的主要问题:根据已知条件求出表示平面曲线的方程;通过方程,研究平面曲线的性质

2.“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义

在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系:

(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(纯粹性)

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.(完备性)

那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线

 

 3.定义的理解:

P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}Q={(xy)|f(xy)=0},若设点M的坐标为(x0y0),则用集合的观点,上述定义中的两条可以表述为:

以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)

为曲线C的方程;曲线C为方程f(xy)=0的曲线(图形)

在领会定义时,要牢记关系(1)(2)两者缺一不可,它们都是曲线的方程方程的曲线的必要条件.两者满足了,曲线的方程方程的曲线才具备充分性.只有符合关系(1)(2),才能将曲线的研究转化为方程来研究,即几何问题的研究转化为代数问题.这种以数论形的思想是解析几何的基本思想和基本方法

4求简单的曲线方程的一般步骤:

1)建立适当的坐标系,用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标;

2)写出适合条件P的点M的集合;

3)用坐标表示条件PM),列出方程;

4)化方程为最简形式;

5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点

上述方法简称五步法,在步骤中若化简过程是同解变形过程;或最简方程的解集与原始方程的解集相同,则步骤可省略不写,因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程.

5由方程画曲线(图形)的步骤:

讨论曲线的对称性(关于x轴、y轴和原点)

求截距:

讨论曲线的范围;

列表、描点、画线.

6.交点:求两曲线的交点,就是解这两条曲线方程组成的方程组.

7.曲线系方程:过两曲线f1(xy)=0f2(xy)=0的交点的曲线系方程是f1(xy)λf2(xy)=0(λ∈R)

求轨迹有直接法、定义法和参数法,最常使用的就是参数法

一个点的运动是受某些因素影响的所以求轨迹问题时,我们经常要分析作图过程,顺藤摸瓜,从中找出影响动点的因素最后确定一个或几个因素作为基本量,找出它们和动点坐标的关系,列出方程这就是参数法

圆的方程——知识点归纳

1.圆的定义

平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆.

2圆的标准方程

圆心为(ab),半径为r的圆的标准方程为

方程中有三个参量abr,因此三个独立条件可以确定一个圆

3圆的一般方程

二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0*)配方得

x+2+y+2=

把方程

其中,半径是,圆心坐标是叫做圆的一般方程

1)圆的一般方程体现了圆方程的代数特点:x2y2项系数相等且不为零 没有xy

2)当D2+E24F=0时,方程(*)表示点(-,-);

D2+E24F0时,方程(*)不表示任何图形

3)根据条件列出关于DEF的三元一次方程组,可确定圆的一般方程

4圆的参数方程

圆心在O00),半径为r的圆的参数方程是:

圆心在点,半径为的圆的参数方程是:

中消去θx2+y2=r2,在中消去θ得(xa2+yb2=r2,把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程

5二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件

若二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆,则有A=C0B=0,这仅是二元二次方程表示圆的必要条件,不充分

A=C0B=0时,二元二次方程化为x2+y2+x+y+=0

仅当D2+E24AF0时表示圆

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是:

A=C0B=0D2+E24AF0

6线段AB为直径的圆的方程: ,则以线段AB为直径的圆的方程是

7经过两个圆交点的圆系方程:经过的交点的圆系方程是:

在过两圆公共点的图象方程中,若λ=-1,可得两圆公共弦所在的直线方程

 8 经过直线与圆交点的圆系方程:经过直线与圆的交点的圆系方程是:

9确定圆需三个独立的条件

(1)标准方程:

 (2)一般方程:,(

对称问题——知识点归纳

1点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点,因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题

Px0y0),对称中心为Aab),则P关于A的对称点为P2ax02by0

2点关于直线成轴对称问题

由轴对称定义知,对称轴即为两对称点连线的垂直平分线利用垂直”“平分这两个条件建立方程组,就可求出对顶点的坐标一般情形如下:

设点Px0y0)关于直线y=kx+b的对称点为Pxy),则有

可求出xy

特殊地,点Px0y0)关于直线x=a的对称点为P2ax0y0);点Px0y0)关于直线y=b的对称点为Px02by0

3曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题:一般是转化为点的中心对称或轴对称(这里既可选特殊点,也可选任意点实施转化)一般结论如下:

1)曲线fxy=0关于已知点Aab)的对称曲线的方程是f2ax2by=0

2)曲线fxy=0关于直线y=kx+b的对称曲线的求法:

设曲线fxy=0上任意一点为Px0y0),P点关于直线y=kx+b的对称点为Pyx),则由(2)知,PP的坐标满足

从中解出x0y0

代入已知曲线fxy=0,应有fx0y0=0利用坐标代换法就可求出曲线fxy=0关于直线y=kx+b的对称曲线方程

4两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论:

1)点(xy)关于x轴的对称点为(x,-y);

2)点(xy)关于y轴的对称点为(-xy);

3)点(xy)关于原点的对称点为(-x,-y);

4)点(xy)关于直线xy=0的对称点为(yx);

5)点(xy)关于直线x+y=0的对称点为(-y,-x

直线与圆、圆与圆的位置关系——知识点归纳

1研究圆与直线的位置关系最常用的方法判别式法;考查圆心到直线的距离与半径的大小关系。

直线与圆的位置关系有三种,若,则 ;

;

2两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2

3直线和圆相切:

这类问题主要是求圆的切线方程求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况

过圆上一点的切线方程:为切点的切线方程是

当点在圆外时,表示切点弦的方程。

一般地,曲线为切点的切线方程是:

当点在圆外时,表示切点弦的方程。

这个结论只能用来做选择题或者填空题,若是做解答题,只能按照求切线方程的常规过程去做。

过圆外一点的切线方程:

4直线和圆相交:

这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题

5经过两个圆交点的圆系方程:经过的交点的圆系方程是:

在过两圆公共点的图象方程中,若λ=-1,可得两圆公共弦所在的直线方程

6 经过直线与圆交点的圆系方程:经过直线与圆的交点的圆系方程是:

7几何法: 比较圆心到直线的距离与圆半径的大小

8代数法: 讨论圆的方程与直线方程的实数解的组数

 

 

第八章 圆锥曲线

椭圆——知识点归纳

1.定义平面内一个动点到两个定点F1F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|,即),这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)

M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0<e<1),则P点的轨迹是椭圆

2.椭圆参数的几何意义,如下图所示:

1|PF1|+|PF2|=2a|PM2|+|PM1|===e

2,

3|BF2|=|BF1|=a|OF1|=|OF2|=c

4|F1K1|=|F2K2|=p=

3.标准方程:椭圆标准方程的两种形式

      其中

椭圆的焦点坐标是,准线方程是,离心率是,通径的长是焦准距(焦点到准线的距离),焦参数(通径长的一半)范围:,长轴长=,短轴长=2b,焦距=2c ,

焦半径:.

4.中经常利用余弦定理三角形面积公式将有关线段、2c,有关角()结合起来,建立+等关系.

5.椭圆上的点有时常用到三角换元:

双曲线——知识点归纳

1 双曲线定义

到两个定点F1F2的距离之差的绝对值等于定长(<|F1F2|)的点的轨迹(为常数))这两个定点叫双曲线的焦点.

动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e1)时,这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点,定直线l叫做双曲线的准线

2双曲线图像中线段的几何特征:

实轴长,虚轴长2b,焦距

顶点到焦点的距离:

顶点到准线的距离:

焦点到准线的距离:

两准线间的距离:

中结合定义与余弦定理,将有关线段和角结合起来,

离心率:1+

焦点到渐近线的距离:虚半轴长

通径的长是,焦准距,焦参数(通径长的一半)

其中

3双曲线标准方程的两种形式:

=1c=,焦点是F1(-c0),F2c0

=1c=,焦点是F10,-c)、F20c

4双曲线的性质:=1a0b0

范围:|x|ayR

对称性:关于xy轴均对称,关于原点中心对称

顶点:轴端点A1(-a0),A2a0

渐近线:

若双曲线方程为渐近线方程

若渐近线方程为双曲线可设为

若双曲线与有公共渐近线,可设为,焦点在x轴上,,焦点在y轴上)

特别地当离心率两渐近线互相垂直,分别为y=,此时双曲线为等轴双曲线,可设为y=xy=x

准线:l1x=l2x=,两准线之距为

焦半径:,(点P在双曲线的右支上);

,(点P在双曲线的右支上);

当焦点在y轴上时,标准方程及相应性质(略)

与双曲线共渐近线的双曲线系方程是

与双曲线共焦点的双曲线系方程是

抛物线——知识点归纳

1抛物线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.

2抛物线的图形和性质:

顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

焦准距:

通径:过焦点垂直于轴的弦长为

顶点平分焦点到准线的垂线段:

焦半径为半径的圆:以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、准线是公切线。

焦半径为直径的圆:以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。

焦点弦为直径的圆:以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。

3抛物线标准方程的四种形式:

4抛物线的图像和性质:

焦点坐标是:

准线方程是:

焦半径公式:若点是抛物线上一点,则该点到抛物线的焦点的距离(称为焦半径)是:

焦点弦长公式:过焦点弦长

抛物线上的动点可设为P或P

5一般情况归纳:

方程

图象

焦点

准线

定义特征

y2=kx

k>0时开口向右

(k/4,0)

x= ─k/4

到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距离

k<0时开口向左

x2=ky

k>0时开口向上

(0,k/4)

y= ─k/4

到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= ─k/4的距离

k<0时开口向下

直线与圆锥曲线的位置关系——知识点归纳

1直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题

可以转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题,往往通过消元后最终转化为讨论一元二次方程的解的问题或一元二次函数的最值问题,讨论时特别要注意转化的等价性,即解决直线与圆锥曲线的相交问题要用好化归思想和等价转化思想

需要注意的是当直线平行于抛物线的对称轴或双曲线的渐近线时,直线与抛物线或双曲线有且只有一个交点

2涉及直线与圆锥曲线相交弦的问题:

主要有这样几个方面:相交弦的长,有弦长公式|AB|=|x2x1|;弦所在直线的方程(如中点弦、相交弦等)、弦的中点的轨迹等,这可以利用设点代点、设而不求的方法(设交点坐标,将交点坐标代入曲线方程,并不具体求出坐标,而是利用坐标应满足的关系直接导致问题的解决)

3涉及到圆锥曲线焦点弦的问题:

可以利用圆锥曲线的焦半径公式(即圆锥曲线的第二定义)

4.韦达定理的运用:

由于二次曲线和二次方程的密切关系,在解决二次曲线问题时要充分重视韦达定理的运用

5弦长公式:

若直线与圆锥曲线交于两点A(x1y1)B(x2y2),则弦长为  

若直线与圆锥曲线交于两点A(x1y1)B(x2y2),则弦长为  

6圆锥曲线的两个重要参数:

圆锥曲线的焦准距(焦点到准线的距离)

焦参数(通径长的一半)

 

 

 

 

 

第九章直线、平面、简单几何体

平面——知识点归纳

1.平面的概念:

平面是没有厚薄的,可以无限延伸,这是平面最基本的属性

2.平面的画法及其表示方法:

常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成,横边画成邻边的两倍画两个平面相交时,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应把被遮住的部分画成虚线或不画

一般用一个希腊字母……来表示,还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面

3.空间图形是由点、线、面组成的

点、线、面的基本位置关系如下表所示:

图形

符号语言

文字语言(读法)

在直线

不在直线

在平面

不在平面

直线交于

直线在平面

直线与平面无公共点

直线与平面交于点

平面相交于直线

(平面外的直线表示

4平面的基本性质

公理1 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内

推理模式:  如图示:

应用:是判定直线是否在平面内的依据,也可用于验证一个面是否是平面.

公理1说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的来刻划平面的,通过直线的无限延伸来描述平面的无限延展性,它既是判断直线在平面内,又是检验平面的方法.

公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线

推理模式:唯一如图示:        

应用:确定两相交平面的交线位置;判定点在直线上

公理2揭示了两个平面相交的主要特征,是判定两平面相交的依据,提供了确定两个平面交线的方法.

公理3  经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面

推理模式:不共线存在唯一的平面,使得

应用:确定平面;证明两个平面重合

有且只有一个的含义分两部分理解,说明图形存在,但不唯一,只有一个说明图形如果有顶多只有一个,但不保证符合条件的图形存在,有且只有一个既保证了图形的存在性,又保证了图形的唯一性.在数学语言的叙述中,确定一个可以作且只能作一个有且只有一个是同义词,因此,在证明有关这类语句的命题时,要从存在性唯一性两方面来论证.

推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面

推理模式:存在唯一的平面,使得

推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面

推理模式:存在唯一的平面,使得

推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面

推理模式:存在唯一的平面,使得

5平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内,则称这个图形为平面图形,否则称为空间图形

空间直线——知识点归纳

1空间两直线的位置关系

(1)相交——有且只有一个公共点;

(2)平行——在同一平面内,没有公共点;

(3)异面——不在任何一个平面内,没有公共点;

2公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行

推理模式:

3等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等

4等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等

5空间两条异面直线的画法

6.异面直线定理:连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线

推理模式:是异面直线

7.异面直线所成的角已知两条异面直线,经过空间任一点作直线所成的角的大小与点的选择无关,把所成的锐角(或直角)叫异面直线所成的角(或夹角).为了简便,点通常取在异面直线的一条上

异面直线所成的角的范围:

8.异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直.两条异面直线 垂直,记作

9.求异面直线所成的角的方法:

几何法:(1)通过平移,在一条直线上找一点,过该点做另一直线的平行线;(2)找出与一条直线平行且与另一条相交的直线,那么这两条相交直线所成的角即为所求

 向量法:用向量的夹角公式

10两条异面直线的公垂线、距离

和两条异面直线都垂直相交的直线,我们称之为异面直线的公垂线

理解:因为两条异面直线互相垂直时,它们不一定相交,所以公垂线的定义要注意“相交”的含义.

两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段(公垂线段)的长度,叫做两条异面直线间的距离

两条异面直线的公垂线有且只有一条

   计算方法:几何法;向量法

直线与平面平行和平面与平面平行——知识点归纳

1.直线和平面的位置关系

(1)直线在平面内(无数个公共点);符号表示为:

(2)直线和平面相交(有且只有一个公共点);符号表示为: ,(3)直线和平面平行(没有公共点)——用两分法进行两次分类.

符号表示为:

2.线面平行的判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.

推理模式:

3线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.

推理模式:

4.平行平面:如果两个平面没有公共点,那么这两个平面互相平行.

5.图形表示:画两个平面平行时,通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的.

6.平行平面的判定定理:  如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面互相平行.

推理模式::

7平行平面的判定定理推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面互相平行.

推理模式:

8.平行平面的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.

推理模式:

9面面平行的另一性质:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.

推理模式:

直线与平面垂直和平面与平面垂直——知识点归纳

1线面垂直定义:

如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直线都垂直,我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面交点叫做垂足

直线与平面垂直简称线面垂直,记作:a⊥α

2直线与平面垂直的判定定理:

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面

3直线和平面垂直的性质定理:

如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行

4三垂线定理 

平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直

说明:1)定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系;

2)推理模式:

5.三垂线定理的逆定理:

在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那麽它也和这条斜线的射影垂直

推理模式:

注意:三垂线指PAPOAO都垂直α内的直线a 其实质是:斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理要考虑a的位置,并注意两定理交替使用

6两个平面垂直的定义:

两个相交成直二面角的两个平面互相垂直;相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面

7.两平面垂直的判定定理:

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直

推理模式:

8.两平面垂直的性质定理:

若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面

推理模式:

9向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法:

     证明直线与平面垂直的方法:直线的方向向量与平面的法向量平行;

     证明平面与平面垂直的方法:两平面的法向量垂直

空间向量及其运算——知识点归纳

1.空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量

注:空间的一个平移就是一个向量

向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量

空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示

2.空间向量的运算

空间向量的加法、减法与数乘向量运算:

;;

运算律:加法交换律:

加法结合律:

数乘分配律:

3 平面向量共线定理

方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上,所以平行向量也叫做共线向量向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使λ

4共线向量

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量平行向量平行于记作

当我们说向量共线(或//)时,表示的有向线段所在的直线可能是同一直线,也可能是平行直线.

5. 共线向量定理:空间任意两个向量),//充要条件是存在实数λ,使λ

推论:如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线,那么对于任意一点O,点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式

.其中向量叫做直线方向向量

6空间直线的向量参数表示式:

中点公式

7.向量与平面平行:已知平面和向量,作,如果直线平行于或在内,那么我们说向量平行于平面,记作:通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量

说明:空间任意的两向量都是共面的

8.共面向量定理:如果两个向量不共线,与向量共面的充要条件是存在实数使

推论:空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对,使 

或对空间任一点,有

 

上面式叫做平面向量表达式

9空间向量基本定理:如果三个向量不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯一的有序实数组,使

若三向量不共面,我们把叫做空间的一个基底叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底

推论:是不共面的四点,则对空间任一点,都存在唯一的三个有序实数,使

10空间向量的夹角及其表示:已知两非零向量,在空间任取一点,作,则叫做向量的夹角,记作;且规定,显然有;若,则称互相垂直,记作:

11.向量的模:,则有向线段的长度叫做向量的长度或模,记作:

12.向量的数量积:已知向量,则叫做的数量积,记作,即

已知向量和轴上与同方向的单位向量,作点上的射影,作点上的射影,则叫做向量在轴上或在上的正射影的长度

13.空间向量数量积的性质:    

(1).(2).(3)

14.空间向量数量积运算律:

(1).(2)(交换律).

(3)(分配律)

空间向量的坐标运算——知识点归纳

1空间直角坐标系:

(1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为,这个基底叫单位正交基底,用表示;

(2)在空间选定一点和一个单位正交基底,以点为原点,分别以的方向为正方向建立三条数轴:轴、轴、轴,它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系,点叫原点,向量都叫坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面,分别称为平面,平面,平面;

2.空间直角坐标系中的坐标:

    在空间直角坐标系中,对空间任一点,存在唯一的有序实数组,使,有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标,记作叫横坐标,叫纵坐标,叫竖坐标.

3.空间向量的直角坐标运算律:

(1)若

(2)若,则

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标

4模长公式:

5.夹角公式:

6.两点间的距离公式:

空间角——知识点归纳

1.异面直线所成的角已知两条异面直线,经过空间任一点作直线所成的角的大小与点的选择无关,把所成的锐角(或直角)叫异面直线所成的角(或夹角).为了简便,点通常取在异面直线的一条上

异面直线所成的角的范围:

2.求异面直线所成的角的方法:1)几何法;(2)向量法

3.直线和平面所成角

(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角

一直线垂直于平面,所成的角是直角

一直线平行于平面或在平面内,所成角为0

直线和平面所成角范围:0

(2)定理:斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角

4.公式:平面的斜线a内一直线b相交成θ角,且a相交成1角,a上的射影cb相交成2角,则有

5二面角:平面内的一条直线把平面分为两个部分,其中的每一部分叫做半平面;从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的,每个半平面叫做二面角的若棱为,两个面分别为的二面角记为

6.二面角的平面角:

   (1)过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线,则叫做二面角的平面角

(2)一个平面垂直于二面角的棱,且与两半平面交线分别为为垂足,则也是的平面角

说明:二面角的平面角范围是

二面角的平面角为直角时,则称为直二面角,组成直二面角的两个平面互相垂直

7.二面角的求法:几何法;向量法

8求二面角的射影公式:

其中各个符号的含义是:是二面角的一个面内图形F的面积,是图形F在二面角的另一个面内的射影,是二面角的大小

9.三种空间角的向量法计算公式:

异面直线所成的角

直线与平面(法向量)所成的角

锐二面角,其中为两个面的法向量

空间距离——知识点归纳

1点到平面的距离:已知点是平面外的任意一点,过点,垂足为,则唯一,则是点到平面的距离

即 一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离

结论:连结平面外一点内一点所得的线段中,垂线段最短

2 异面直线的公垂线:和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线.

3.公垂线唯一:任意两条异面直线有且只有一条公垂线

4.两条异面直线的公垂线段:两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分,叫做两条异面直线的公垂线段;

5.公垂线段最短:两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条;

6.两条异面直线的距离:两条异面直线的公垂线段的长度

说明:两条异面直线的距离即为直线到平面的距离即两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离

7直线到与它平行平面的距离:一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离)

8.两个平行平面的公垂线、公垂线段:

(1)两个平面的公垂线:和两个平行平面同时垂直的直线,叫做两个平面的公垂线

(2)两个平面的公垂线段:公垂线夹在平行平面间的的部分,叫做两个平面的公垂线段

(3)两个平行平面的公垂线段都相等

(4)公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长

9.两个平行平面的距离:两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离

10.七种距离:点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离,其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础,求其它几种距离一般化归为求这三种距离,点到平面的距离有时用体积法来求

10用向量法求距离的公式:

异面直线之间的距离:

,其中

直线与平面之间的距离:

,其中是平面的法向量

两平行平面之间的距离:

,其中是平面的法向量

点A到平面的距离:

,其中是平面的法向量

另法:平面

点A到直线的距离:

      ,其中是直线的方向向量

两平行直线之间的距离:

,其中的方向向量

棱柱——知识点归纳

1多面体的概念:由若干个多边形围成的空间图形叫多面体;每个多边形叫多面体的,两个面的公共边叫多面体的,棱和棱的公共点叫多面体的顶点,连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线

2.凸多面体:把多面体的任一个面展成平面,如果其余的面都位于这个平面的同一侧,这样的多面体叫凸多面体.如图的多面体则不是凸多面体

3.凸多面体的分类:多面体至少有四个面,按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等

4.棱柱的概念:有两个面互相平行,其余每相邻两个面的交线互相平行,这样的多面体叫棱柱两个互相平行的面叫棱柱的底面(简称);其余各面叫棱柱的侧面;两侧面的公共边叫棱柱的侧;两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的(公垂线段长也简称高)

5.棱柱的分类:侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱 底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……

6.棱柱的性质

(1)棱柱的侧棱相等,侧面都是平行四边形;直棱柱侧面都是矩形;正棱柱侧面都是全等的矩形;

(2)棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形;

3)过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形

7平行六面体、长方体、正方体:底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体.侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体,底面是矩形的直平行六面体长方体,棱长都相等的长方体叫正方体

8.平行六面体、长方体的性质

(1)平行六面体的对角线交于一点,求证:对角线相交于一点,且在点处互相平分.

(2)长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和

棱锥——知识点归纳

1棱锥的概念:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,这样的多面体叫棱锥其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面;多边形叫棱锥的底面;各侧面的公共顶点,叫棱锥的顶点,顶点到底面所在平面的垂线段,叫棱锥的(垂线段的长也简称高).

2.棱锥的表示:棱锥用顶点和底面各顶点的字母,或用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示

如图棱锥可表示为,或

3.棱锥的分类:(按底面多边形的边数)

分别称底面是三角形,四边形,五边形……的棱锥为三棱锥,四棱锥,五棱锥……(如图)

4.棱锥的性质:

定理:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比.

中截面:经过棱锥高的中点且平行于底面的截面,叫棱锥的中截面

5.正棱锥:底面是正多边形,顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥

(1)正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等(叫正棱锥的斜高).

(2)正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直角三角形;正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形

简单的多面体与球——知识点归纳

1.简单多面体:考虑一个多面体,例如正六面体,假定它的面是用橡胶薄膜做成的,如果充以气体,那么它就会连续(不破裂)变形,最后可变为一个球面如图:象这样,表面经过连续变形可变为球面的多面体,叫做简单多面体

说明:棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体

2.五种正多面体的顶点数、面数及棱数:

正多面体

顶点数

面数

棱数

正四面体

4

4

6

正六面体

8

6

12

正八面体

6

8

12

正十二面体

20

12

30

正二十面体

12

20

30

3.欧拉定理(欧拉公式)简单多面体的顶点数、面数及棱数有关系式:

计算棱数E常见方法:(1)E=V+F-2;(2)E=各面多边形边数和的一半;

(3)E=顶点数与共顶点棱数积的一半

4.欧拉示性数:在欧拉公式中令叫欧拉示性数

说明:(1)简单多面体的欧拉示性数

2)带一个洞的多面体的欧拉示性数

例如:长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体

5球的概念:

     与定点距离等于或小于定长的点的集合,叫做球体,简称球定点叫球心,定长叫球的半径与定点距离等于定长的点的集合叫做球面一个球或球面用表示它的球心的字母表示,例如球

2.球的截面:

用一平面去截一个球,设是平面的垂线段,为垂足,且,所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心,以为半径的一个圆,截面是一个圆面

球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆,被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆

7.经度、纬度:

经线:球面上从北极到南极的半个大圆

纬线:与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆

经度:某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数

纬度:某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数

8.两点的球面距离:球面上两点之间的最短距离,就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,我们把这个弧长叫做两点的球面距离(为球心角的弧度数)

9半球的底面: 已知半径为的球,用过球心的平面去截球,球被截面分成大小相等的两个半球,截面圆(包含它内部的点),叫做所得半球的底面

10.球的体积公式

11其它:

在应用球体积公式时要注意公式中给出的是球半径R,而在实际问题中常给出球的外径(直径)

球与其它几何体的切接问题,要仔细观察、分析、弄清相关元素的位置关系和数量关系,选择最佳角度作出截面,以使空间问题平面化

 

 

 

第十章排列、组台、二项式定理

随机事件事件的概率——知识点归纳

1事件的定义:

随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件;

必然事件:在一定条件下必然发生的事件;

不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件

2.随机事件的概率:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件发生的频率总是接近某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件概率,记作

3概率的确定方法:通过进行大量的重复试验,用这个事件发生的频率近似地作为它的概率;

4.概率的性质:必然事件的概率为,不可能事件的概率为,随机事件的概率为,必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形

5基本事件:一次试验连同其中可能出现的每一个结果(事件)称为一个基本事件

6.等可能性事件:如果一次试验中可能出现的结果有个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每个基本事件的概率都是,这种事件叫等可能性事件

7.等可能性事件的概率:如果一次试验中可能出现的结果有个,而且所有结果都是等可能的,如果事件包含个结果,那么事件的概率

8随机事件的概率、等可能事件的概率计算

首先、对于每一个随机实验来说,可能出现的实验结果是有限的;其次、所有不同的实验结果的出现是等可能的一定要在等可能的前提下计算基本事件的个数只有在每一种可能出现的概率都相同的前提下,计算出的基本事件的个数才是正确的,才能用等可能事件的概率计算公式P(A)=m/n来进行计算

9.等可能性事件的概率公式及一般求解方法 求解等可能性事件A的概率一般遵循如下步骤:(1)先确定一次试验是什么,此时一次试验的可能性结果有多少,即求出A2)再确定所研究的事件A是什么,事件A包括结果有多少,即求出m3)应用等可能性事件概率公式P=计算 确定mn的数值是关键所在,其计算方法灵活多变,没有固定的模式,可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做到不重复不遗漏

互斥事件有一个发生的概率——知识点归纳

1互斥事件的概念:不可能同时发生的个事件叫做互斥事件AB互斥,即事件AB不可能同时发生,这时P(AB)=0)P(A+B)=PA+ P(B)

一般地:如果事件中的任何两个都是互斥的,那么就说事件彼此互斥

2.对立事件的概念:事件A和事件B必有一个发生的互斥事件AB对立,即事件AB不可能同时发生,但AB中必然有一个发生这时P(AB)=, P(A+B)=PA+ P(B)=1 一般地,

3对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解:

第一,互斥事件研究的是两个事件之间的关系;

第二,所研究的两个事件是在一次试验中涉及的;

第三,两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的

从集合角度来看,AB两个事件互斥,则表示AB这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集

对立事件是互斥事件的一种特殊情况,是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件,集合A的对立事件记作,从集合的角度来看,事件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集,即A=UA=对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件

4事件的和的意义:事件AB的和记作A+B,表示事件AB至少有一个发生AB为互斥事件时,事件A+B是由A发生而B不发生以及B发生而A不发生构成的, 因此当AB互斥时,事件A+B的概率满足加法公式:

PA+B=PA+PB)(AB互斥),

且有PA+=PA+P=1

当计算事件A的概率PA)比较困难时,有时计算它的对立事件的概率则要容易些,为此有PA=1P

5要弄清·的区别

·表示事件同时发生,因此它们的对立事件AB同时不发生,也等价于AB至少有一个发生的对立事件即,因此有·,但·=

6.互斥事件的概率的求法:如果事件彼此互斥,那么

7互斥事件有一个发生的概率

   求解这类问题的数学思想方法是:在给定的命题背景下,先判断事件之间是否互斥,并理解和事件的意义,计算出每个简单事件的概率,然后再利用互斥事件的概率计算公式进行加法运算特别要注意的是,若事件A与B不是互斥事件而是相互独立事件,那么在计算P(A+B)的值时绝对不可以使用P(A+B)=P(A)+P(B)这个公式,只能从对立事件的角度出发,运用P(A+B)=1-P)进行计算

8分类讨论思想:分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想

相互独立事件同时发生的概率——知识点归纳

1.相互独立事件:事件(或)是否发生对事件(或)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件

是相互独立事件,则也相互独立

2互斥事件与相互独立事件是有区别的:

两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生,两事件相互独立是指不同试验下,二者互不影响;两个相互独立事件不一定互斥,即可能同时发生,而互斥事件不可能同时发生

3.相互独立事件同时发生的概率:

事件相互独立,

4独立重复试验的定义:在同样条件下进行的各次之间相互独立的一种试验

5关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解:

6.独立重复试验的概率公式:

7相互独立事件同时发生的概率

    在同一随机实验中,两事件互斥是指两个不可能同时发生的事件;两事件相互独立是指其中的一个事件发生与否对另一个事件的发生没有影响对这两个概念的区分能力足以体现分析问题和解决问题的能力,这正是高考考查的主要目的另外要理解积事件的意义,特别要注意:若事件A与B不是相互独立事件而是互斥事件,那么在计算P(AB)的值时绝对不可以使用P(A·B)=P(A)P(B)这个公式,只能从对立事件的角度出发,运用P(A·B)=1-P)进行计算

8n次独立重复实验恰好有k次发生的概率

离散型随机变量的期望与方差——知识点归纳

1平均数的计算方法

如果有n个数据x1x2xn,那么=x1+x2++xn)叫做这n个数据的平均数,读作x

2方差的计算方法

1)对于一组数据x1x2xn

s2=[(x12+x22++xn2

叫做这组数据的方差,而s叫做标准差

抽样方法与总体分布的估计——知识点归纳

1.简单随机抽样:设一个总体的个体数为N.如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样

用简单随机抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为的样本时,每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为;在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为

简单随机抽样的特点是,逐个抽取,且各个个体被抽到的概率相等,是不放回抽样.

简单随机抽样方法,体现了抽样的客观性与公平性,是其他更复杂抽样方法的基础.

2.抽签法:先将总体中的所有个体(共有N个)编号(号码可从1到N),并把号码写在形状、大小相同的号签上(号签可用小球、卡片、纸条等制作),然后将这些号签放在同一个箱子里,进行均匀搅拌,抽签时每次从中抽一个号签,连续抽取n次,就得到一个容量为n的样本

适用范围:总体的个体数不多时

优点:抽签法简便易行,当总体的个体数不太多时适宜采用抽签法.

  3.随机数表法: 随机数表抽样三步曲:第一步,将总体中的个体编号;第二步,选定开始的数字;第三步,获取样本号码

   4.分层抽样: 当已知总体由差异明显的几部分组成时,为了使样本更充分地反映总体的情况,常将总体分成几部分,然后按照各部分所占的比例进行抽样,这种抽样叫做分层抽样,所分成的部分叫做层

   5.常用的抽样方法及它们之间的联系和区别:

类别

共同点

各自特点

相互联系

适用范围

简单随机

抽样

抽样过程中每个个体被抽取的概率是相同的

从总体中逐个抽取

 

总体中的个数比较少

系统抽样

将总体均匀分成几个部分,按照事先确定的规则在各部分抽取

在起始部分抽样时采用简单随机抽样

总体中的个数比较多

分层抽样

将总体分成几层,分层进行抽取

各层抽样时采用简单抽样或者相同抽样

总体由差异明显的几部分组成

6.不放回抽样和放回抽样:在抽样中,如果每次抽出个体后不再将它放回总体,称这样的抽样为不放回抽样;如果每次抽出个体后再将它放回总体,称这样的抽样为放回抽样

随机抽样、系统抽样、分层抽样都是不放回抽样

8.总体:在数理统计中,通常把被研究的对象的全体叫做总体.

9.频率分布:用样本估计总体,是研究统计问题的基本思想方法,样本中所有数据(或数据组)的频数和样本容量的比,就是该数据的频率.所有数据(或数据组)的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布.可以用样本频率表、样本频率分布条形图或频率分布直方图来表示.

10.总体分布:从总体中抽取一个个体,就是一次随机试验,从总体中抽取一个容量为n的样本,就是进行了n次试验,试验连同所出现的结果叫随机事件,所有这些事件的概率分布规律称为总体分布.

11.总体密度曲线:样本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率.设想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线

它反映了总体在各个范围内取值的概率.根据这条曲线,可求出总体在区间ab内取值的概率等于该区间上总体密度曲线与x轴、直线x=ax=b所围成曲边梯形的面积。

 

第十一章  导数

导数的概念与和、差、积、商的导数——知识点归纳

1导数的定义:设函数处附近有定义,如果时,的比(也叫函数的平均变化率)有极限即无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数处的导数,记作,即

2导数的几何意义:是曲线上点()处的切线的斜率因此,如果在点可导,则曲线在点()处的切线方程为

3导函数(导数):如果函数在开区间内的每点处都有导数,此时对于每一个,都对应着一个确定的导数,从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数,简称导数

4可导: 如果函数在开区间内每一点都有导数,则称函数在开区间内可导

5可导与连续的关系:如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点x0处连续,反之不成立 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件,而不是充分条件

6求函数的导数的一般方法

1)求函数的改变量

2)求平均变化率

3)取极限,得导数

7常见函数的导数公式:

8和差的导数:

单调性及其应用——知识点归纳

1利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤

1)求x

2)确定x)在(ab)内符号

3)若x>0在(ab)上恒成立,则fx)在(ab)上是增函数;若x<0在(ab)上恒成立,则fx)在(ab)上是减函数

2用导数求多项式函数单调区间的一般步骤

1)求x

2x>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;

x<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间

函数的极值、最值及应用——知识点归纳

1极大值: 一般地,设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)f(x0),就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0)x0是极大值点

2极小值:一般地,设函数f(x)x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)f(x0)就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0)x0是极小值点

3极大值与极小值统称为极值)极值是一个局部概念由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示,是极大值点,是极小值点,而>)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点  而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点

4判别f(x0)是极大、极小值的方法:满足,且在的两侧的导数异号,则的极值点,是极值,并且如果两侧满足左正右负,则的极大值点,是极大值;如果两侧满足左负右正,则的极小值点,是极小值

5求函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数f(x)

(2)求方程f(x)=0的根(3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格检查f(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,则f(x)在这个根处无极值

6函数的最大值和最小值:在闭区间上连续的函数上必有最大值与最小值.在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数值得出的.函数在闭区间上连续,是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个

7利用导数求函数的最值步骤:内的极值;的各极值与比较得出函数上的最值

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