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    2020届中考数学第二轮复习专题专题复习九:中考压轴题
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    2020届中考数学第二轮复习专题专题复习九:中考压轴题

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    专题九:二次函数综合
    【问题解析】
    中考压轴题是中考必不可少的试题,这类题一般是融代数、几何为一体的综合题,或者是解决实际问题的综合题.此类题注重对数学思想方法、探究性思维能力和创新思维能力的考查,涉及的知识比较多,信息量大,题目灵活,要求学生有较高的分析问题、解决问题的能力.它符合新课标对学生能力提高的要求.
    从近几年各省市中考数学压轴题来看,作为试卷的最后一题,一般都是循序渐进地设置几个问题,对学生的要求一步步的抬高.压轴题涉及知识多,覆盖面广,综合性强,难度系数大,关系比较复杂,解法灵活,既考查了学生的基础知识和基本技能,又考查了学生的数学思想方法和探索创新能力、解决问题能力,是必不可少的.近几年来主要以函数和几何综合题、二次函数与代数知识综合应用、一次函数与二次函数综合题、开放探究题等类型出现,
    【热点探究】
    类型一:抛物线与三角形的综合问题
    【例题1】(2016·云南省昆明市)如图1,对称轴为直线x=的抛物线经过B(2,0)、C(0,4)两点,抛物线与x轴的另一交点为A
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)若点P为第一象限内抛物线上的一点,设四边形COBP的面积为S,求S的最大值;
    (3)如图2,若M是线段BC上一动点,在x轴是否存在这样的点Q,使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

    【考点】二次函数综合题.
    【分析】(1)由对称轴的对称性得出点A的坐标,由待定系数法求出抛物线的解析式;
    (2)作辅助线把四边形COBP分成梯形和直角三角形,表示出面积S,化简后是一个关于S的二次函数,求最值即可;
    (3)画出符合条件的Q点,只有一种,①利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式;②在直角△OCQ和直角△CQM利用勾股定理列方程;两方程式组成方程组求解并取舍.
    【解答】解:(1)由对称性得:A(﹣1,0),
    设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x﹣2),
    把C(0,4)代入:4=﹣2a,
    a=﹣2,
    ∴y=﹣2(x+1)(x﹣2),
    ∴抛物线的解析式为:y=﹣2x2+2x+4;
    (2)如图1,设点P(m,﹣2m2+2m+4),过P作PD⊥x轴,垂足为D,
    ∴S=S梯形+S△PDB=m(﹣2m2+2m+4+4)+(﹣2m2+2m+4)(2﹣m),
    S=﹣2m2+4m+4=﹣2(m﹣1)2+6,
    ∵﹣2<0,
    ∴S有最大值,则S大=6;
    (3)如图2,存在这样的点Q,使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形,
    理由是:
    设直线BC的解析式为:y=kx+b,
    把B(2,0)、C(0,4)代入得:,
    解得:,
    ∴直线BC的解析式为:y=﹣2x+4,
    设M(a,﹣2a+4),
    过A作AE⊥BC,垂足为E,
    则AE的解析式为:y=x+,
    则直线BC与直线AE的交点E(1.4,1.2),
    设Q(﹣x,0)(x>0),
    ∵AE∥QM,
    ∴△ABE∽△QBM,
    ∴①,
    由勾股定理得:x2+42=2×[a2+(﹣2a+4﹣4)2]②,
    由①②得:a1=4(舍),a2=,
    当a=时,x=,
    ∴Q(﹣,0).


     【同步练】
    (2016·浙江省湖州市)如图,已知二次函数y=﹣x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点A(3,1),点C(0,4),顶点为点M,过点A作AB∥x轴,交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连结BC.
    (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标;
    (2)若将该二次函数图象向下平移m(m>0)个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界),求m的取值范围;
    (3)点P是直线AC上的动点,若点P,点C,点M所构成的三角形与△BCD相似,请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果,不必写解答过程).




    类型二:抛物线与四边形的综合问题
    【例题2】2016·青海西宁·12分)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的内接四边形,点A,B在x轴上,△MBC是边长为2的等边三角形,过点M作直线l与x轴垂直,交⊙M于点E,垂足为点M,且点D平分.
    (1)求过A,B,E三点的抛物线的解析式;
    (2)求证:四边形AMCD是菱形;
    (3)请问在抛物线上是否存在一点P,使得△ABP的面积等于定值5?若存在,请求出所有的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

    【考点】二次函数综合题.
    【分析】(1)根据题意首先求出抛物线顶点E的坐标,再利用顶点式求出函数解析式;
    (2)利用等边三角形的性质结合圆的有关性质得出∠AMD=∠CMD=∠AMC=60°,进而得出DC=CM=MA=AD,即可得出答案;
    (3)首先表示出△ABP的面积进而求出n的值,再代入函数关系式求出P点坐标.
    【解答】(1)解:由题意可知,△MBC为等边三角形,点A,B,C,E均在⊙M上,
    则MA=MB=MC=ME=2,
    又∵CO⊥MB,
    ∴MO=BO=1,
    ∴A(﹣3,0),B(1,0),E(﹣1,﹣2),
    抛物线顶点E的坐标为(﹣1,﹣2),
    设函数解析式为y=a(x+1)2﹣2(a≠0)
    把点B(1,0)代入y=a(x+1)2﹣2,
    解得:a=,
    故二次函数解析式为:y=(x+1)2﹣2;

    (2)证明:连接DM,
    ∵△MBC为等边三角形,
    ∴∠CMB=60°,
    ∴∠AMC=120°,
    ∵点D平分弧AC,
    ∴∠AMD=∠CMD=∠AMC=60°,
    ∵MD=MC=MA,
    ∴△MCD,△MDA是等边三角形,
    ∴DC=CM=MA=AD,
    ∴四边形AMCD为菱形(四条边都相等的四边形是菱形);

    (3)解:存在.
    理由如下:
    设点P的坐标为(m,n)
    ∵S△ABP=AB|n|,AB=4
    ∴×4×|n|=5,
    即2|n|=5,
    解得:n=±,
    当时,(m+1)2﹣2=,
    解此方程得:m1=2,m2=﹣4
    即点P的坐标为(2,),(﹣4,),
    当n=﹣时,(m+1)2﹣2=﹣,
    此方程无解,
    故所求点P坐标为(2,),(﹣4,).

    【同步练】
    (2016·四川眉山)已知如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点,且OA=1,OB=3,OC=4,
    (1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
    (2)在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P,使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
    (3)若点M为该抛物线上一动点,在(2)的条件下,请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标,并直接写出|PM﹣AM|的最大值.



    类型三:抛物线与图形变换的综合问题
    【例题3】(2016·陕西)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+5经过点M(1,3)和N(3,5)
    (1)试判断该抛物线与x轴交点的情况;
    (2)平移这条抛物线,使平移后的抛物线经过点A(﹣2,0),且与y轴交于点B,同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形,请你写出平移过程,并说明理由.

    【考点】二次函数综合题.
    【分析】(1)把M、N两点的坐标代入抛物线解析式可求得a、b的值,可求得抛物线解析式,再根据一元二次方程根的判别式,可判断抛物线与x轴的交点情况;
    (2)利用A点坐标和等腰三角形的性质可求得B点坐标,设出平移后的抛物线的解析式,把A、B的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式,比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得到平移的过程.
    【解答】解:
    (1)由抛物线过M、N两点,
    把M、N坐标代入抛物线解析式可得,解得,
    ∴抛物线解析式为y=x2﹣3x+5,
    令y=0可得x2﹣3x+5=0,
    该方程的判别式为△=(﹣3)2﹣4×1×5=9﹣20=﹣11<0,
    ∴抛物线与x轴没有交点;
    (2)∵△AOB是等腰直角三角形,A(﹣2,0),点B在y轴上,
    ∴B点坐标为(0,2)或(0,﹣2),
    可设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+n,
    ①当抛物线过点A(﹣2,0),B(0,2)时,代入可得,解得,
    ∴平移后的抛物线为y=x2+3x+2,
    ∴该抛物线的顶点坐标为(﹣,﹣),而原抛物线顶点坐标为(,),
    ∴将原抛物线先向左平移3个单位,再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线;
    ②当抛物线过A(﹣2,0),B(0,﹣2)时,代入可得,解得,
    ∴平移后的抛物线为y=x2+x﹣2,
    ∴该抛物线的顶点坐标为(﹣,﹣),而原抛物线顶点坐标为(,),
    ∴将原抛物线先向左平移2个单位,再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线.

    【同步练】
    (2016·重庆市A卷·12分)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,抛物线的顶点为点E.
    (1)判断△ABC的形状,并说明理由;
    (2)经过B,C两点的直线交抛物线的对称轴于点D,点P为直线BC上方抛物线上的一动点,当△PCD的面积最大时,Q从点P出发,先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处,再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处,最后沿适当的路径运动到点A处停止.当点Q的运动路径最短时,求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长;
    (3)如图2,平移抛物线,使抛物线的顶点E在射线AE上移动,点E平移后的对应点为点E′,点A的对应点为点A′,将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置,点A,C的对应点分别为点A1,C1,且点A1恰好落在AC上,连接C1A′,C1E′,△A′C1E′是否能为等腰三角形?若能,请求出所有符合条件的点E′的坐标;若不能,请说明理由.




    类型四:抛物线下的动态最值问题
    【例题4】(2016·贵州安顺·14分)如图,抛物线经过A(﹣1,0),B(5,0),C(0,)三点.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小,求点P的坐标;
    (3)点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.

    【分析】(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),再把A(﹣1,0),B(5,0),C(0,)三点代入求出a、b、c的值即可;
    (2)因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为(5,0),连接BC交对称轴直线于点P,求出P点坐标即可;
    (3)分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论.
    【解答】解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),
    ∵A(﹣1,0),B(5,0),C(0,)三点在抛物线上,
    ∴,
    解得.
    ∴抛物线的解析式为:y=x2﹣2x﹣;

    (2)∵抛物线的解析式为:y=x2﹣2x﹣,
    ∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2,
    连接BC,如图1所示,
    ∵B(5,0),C(0,﹣),
    ∴设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),
    ∴,
    解得,
    ∴直线BC的解析式为y=x﹣,
    当x=2时,y=1﹣=﹣,
    ∴P(2,﹣);

    (3)存在.
    如图2所示,

    ①当点N在x轴下方时,
    ∵抛物线的对称轴为直线x=2,C(0,﹣),
    ∴N1(4,﹣);
    ②当点N在x轴上方时,
    如图,过点N2作N2D⊥x轴于点D,
    在△AN2D与△M2CO中,

    ∴△AN2D≌△M2CO(ASA),
    ∴N2D=OC=,即N2点的纵坐标为.
    ∴x2﹣2x﹣=,
    解得x=2+或x=2﹣,
    ∴N2(2+,),N3(2﹣,).
    综上所述,符合条件的点N的坐标为(4,﹣),(2+,)或(2﹣,).

    【点评】本题考查的是二次函数综合题,涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识,在解答(3)时要注意进行分类讨论.
    【同步练】
    (烟台市 2015 中考 -24)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D四点,其中A、B两点的坐标分别为(﹣1,0),(0,﹣2),点D在x轴上且AD为⊙M的直径.点E是⊙M与y轴的另一个交点,过劣弧上的点F作FH⊥AD于点H,且FH=1.5
    (1)求点D的坐标及该抛物线的表达式;
    (2)若点P是x轴上的一个动点,试求出△PEF的周长最小时点P的坐标;
    (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△QCM是等腰三角形?如果存在,请直接写出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.



    类型五:抛物线下的动态存在问题
    【例题5】(枣庄市 2015 中考 -25)如图,直线y=x+2与抛物线(a≠0)相交于A(,)和B(4,m),点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由;
    (3)求△PAC为直角三角形时点P的坐标.

    思路分析:
    此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识解题时注意联系,对于题(1)已知B(4,m)在直线y=x+2上,很容易求得m的值,又因为已知抛物线图象上的A、B两点坐标,可将其代入抛物线的解析式中,通过联立方程组即可求得待定系数的值.(2)要弄清PC的长,实际是直线AB与抛物线函数值的差.可设出P点横坐标,根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标,进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出PC的最大值.
    对于题(3)当△PAC为直角三角形时,根据直角顶点的不同,需要结合图形从三种情况进行分类讨论,分别求解.
    解题过程:
    解:(1)∵B(4,m)在直线y=x+2上,
    ∴m=4+2=6,
    ∴B(4,6),
    ∵A(,)、B(4,6)在抛物线上,
    ∴,解得,
    ∴抛物线的解析式为.
    (2)设动点P的坐标为(n,n+2),则C点的坐标为(,),
    ∴PC=(+2)﹣(),
    =,
    =,
    ∵PC>0,
    ∴当n=时,线段PC最大且为.
    (3)∵△PAC为直角三角形,
    i)若点P为直角顶点,则∠APC=90°.
    由题意易知,PC∥y轴,∠APC=45°,因此这种情形不存在;
    ii)若点A为直角顶点,则∠PAC=90°.
    如答图3﹣1,过点A(,)作AN⊥x轴于点N,则ON=,AN=.
    过点A作AM⊥直线AB,交x轴于点M,则由题意易知,△AMN为等腰直角三角形,
    ∴MN=AN=,∴OM=ON+MN=+=3,
    ∴M(3,0).
    设直线AM的解析式为:y=kx+b,
    则:,解得,
    ∴直线AM的解析式为:y=﹣x+3 ①
    又抛物线的解析式为:y=2x2﹣8x+6 ②
    联立①②式,解得:x=3或x=(与点A重合,舍去)
    ∴C(3,0),即点C、M点重合.
    当x=3时,y=x+2=5,
    ∴P1(3,5);

    iii)若点C为直角顶点,则∠ACP=90°.
    ∵y=2x2﹣8x+6=2(x﹣2)2﹣2,
    ∴抛物线的对称轴为直线x=2.
    如答图3﹣2,作点A(,)关于对称轴x=2的对称点C,
    则点C在抛物线上,且C(,).
    当x=时,y=x+2=.
    ∴P2(,).
    ∵点P1(3,5)、P2(,)均在线段AB上,

    ∴综上所述,△PAC为直角三角形时,点P的坐标为(3,5)或(,).
    规律总结:
    熟练把握关于二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识是解此类综合性强的问题的关键.
    【同步练】
    (2016·内蒙古包头)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C,其顶点为点D,点E的坐标为(0,﹣1),该抛物线与BE交于另一点F,连接BC.
    (1)求该抛物线的解析式,并用配方法把解析式化为y=a(x﹣h)2+k的形式;
    (2)若点H(1,y)在BC上,连接FH,求△FHB的面积;
    (3)一动点M从点D出发,以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动,连接OM,BM,设运动时间为t秒(t>0),在点M的运动过程中,当t为何值时,∠OMB=90°?
    (4)在x轴上方的抛物线上,是否存在点P,使得∠PBF被BA平分?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.



    类型六:抛物线与相似的综合问题
    【例题6】(烟台市 2014 中考 -26)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的顶点A,C分别在y轴,x轴上,∠ACB=90°,OA=,抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B(2,),与y轴交于点D.
    (1)求抛物线的表达式;
    (2)点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上?请说明理由;
    (3)延长BA交抛物线于点E,连接ED,试说明ED∥AC的理由.

    【解析】(1)把点B的坐标代入抛物线的表达式即可求得.
    (2)通过△AOC∽△CFB求得OC的值,通过△OCD≌△FCB得出DC=CB,∠OCD=∠FCB,然后得出结论.
    (3)设直线AB的表达式为y=kx+b,求得与抛物线的交点E的坐标,然后通过解三角函数求得结果.
    【解答】解:(1)把点B的坐标代入抛物线的表达式,得=a×22﹣2a﹣a,
    解得a=,
    ∴抛物线的表达式为y=x2﹣x﹣.

    (2)连接CD,过点B作BF⊥x轴于点F,则∠BCF+∠CBF=90°
    ∵∠ACB=90°,
    ∴∠ACO+∠BCF=90°,
    ∴∠ACO=∠CBF,
    ∵∠AOC=∠CFB=90°,
    ∴△AOC∽△CFB,
    ∴=,
    设OC=m,则CF=2﹣m,则有=,
    解得m1=m2=1,
    ∴OC=CF=1,
    当x=0时,y=﹣,
    ∴OD=,
    ∴BF=OD,
    ∵∠DOC=∠BFC=90°,
    ∴△OCD≌△FCB,
    ∴DC=CB,∠OCD=∠FCB,
    ∴点B、C、D在同一直线上,
    ∴点B与点D关于直线AC对称,
    ∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上.
    (3)过点E作EG⊥y轴于点G,设直线AB的表达式为y=kx+b,则,
    解得k=﹣,
    ∴y=﹣x+,代入抛物线的表达式﹣x+=x2﹣x﹣.
    解得x=2或x=﹣2,
    当x=﹣2时y=﹣x+=﹣×(﹣2)+=,
    ∴点E的坐标为(﹣2,),
    ∵tan∠EDG===,
    ∴∠EDG=30°
    ∵tan∠OAC===,
    ∴∠OAC=30°,
    ∴∠OAC=∠EDG,
    ∴ED∥AC.

    【点评】本题考查了待定系数法求解析式,三角形相似的判定及性质,以及对称轴的性质和解三角函数等知识的理解和掌握.
    【同步练】
    (2016·湖北荆门·14分)如图,直线y=﹣x+2与x轴,y轴分别交于点A,点B,两动点D,E分别从点A,点B同时出发向点O运动(运动到点O停止),运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒,设运动时间为t秒,以点A为顶点的抛物线经过点E,过点E作x轴的平行线,与抛物线的另一个交点为点G,与AB相交于点F.
    (1)求点A,点B的坐标;
    (2)用含t的代数式分别表示EF和AF的长;
    (3)当四边形ADEF为菱形时,试判断△AFG与△AGB是否相似,并说明理由.
    (4)是否存在t的值,使△AGF为直角三角形?若存在,求出这时抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.













    【达标检测】
    1. (2016·湖北黄石·8分)科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园.
    如图所示,图中点的横坐标x表示科技馆从8:30开门后经过的时间(分钟),纵坐标y表示到达科技馆的总人数.图中曲线对应的函数解析式为y=,10:00之后来的游客较少可忽略不计.
    (1)请写出图中曲线对应的函数解析式;
    (2)为保证科技馆内游客的游玩质量,馆内人数不超过684人,后来的人在馆外休息区等待.从10:30开始到12:00馆内陆续有人离馆,平均每分钟离馆4人,直到馆内人数减少到624人时,馆外等待的游客可全部进入.请问馆外游客最多等待多少分钟?



    2. (2016·广西百色·12分)正方形OABC的边长为4,对角线相交于点P,抛物线L经过O、P、A三点,点E是正方形内的抛物线上的动点.
    (1)建立适当的平面直角坐标系,
    ①直接写出O、P、A三点坐标;
    ②求抛物线L的解析式;
    (2)求△OAE与△OCE面积之和的最大值.


    3. (2016·广西桂林·12分)如图1,已知开口向下的抛物线y1=ax2﹣2ax+1过点A(m,1),与y轴交于点C,顶点为B,将抛物线y1绕点C旋转180°后得到抛物线y2,点A,B的对应点分别为点D,E.
    (1)直接写出点A,C,D的坐标;
    (2)当四边形ABCD是矩形时,求a的值及抛物线y2的解析式;
    (3)在(2)的条件下,连接DC,线段DC上的动点P从点D出发,以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止,在点P运动的过程中,过点P作直线l⊥x轴,将矩形ABDE沿直线l折叠,设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位,点P的运动时间为t秒,求S与t的函数关系.








    4. (2016·黑龙江齐齐哈尔·8分)如图,对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,且点A的坐标为(﹣1,0)
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)直接写出B、C两点的坐标;
    (3)求过O,B,C三点的圆的面积.(结果用含π的代数式表示)
    注:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(﹣,)



    5. (枣庄市 2014 中考 -25)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连接BC,点D为抛物线的顶点,点P是第四象限的抛物线上的一个动点(不与点D重合).

    (1)求∠OBC的度数;
    (2)连接CD、BD、DP,延长DP交x轴正半轴于点E,且S△OCE=S四边形OCDB,求此时P点的坐标;
    (3)过点P作PF⊥x轴交BC于点F,求线段PF长度的最大值.

    6. (郴州市 2014 中考 -26)已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣1,0)、B(2,0)、C(0,2)三点.
    (1)求这条抛物线的解析式;
    (2)如图一,点P是第一象限内此抛物线上的一个动点,当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?求出此时点P的坐标;
    (3)如图二,设线段AC的垂直平分线交x轴于点E,垂足为D,M为抛物线的顶点,那么在直线DE上是否存在一点G,使△CMG的周长最小?若存在,请求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.


    7. (2016·湖北荆州·14分)阅读:我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫该点的“特征线”.例如,点M(1,3)的特征线有:x=1,y=3,y=x+2,y=﹣x+4.

    问题与探究:如图,在平面直角坐标系中有正方形OABC,点B在第一象限,A、C分别在x轴和y轴上,抛物线经过B、C两点,顶点D在正方形内部.
    (1)直接写出点D(m,n)所有的特征线;
    (2)若点D有一条特征线是y=x+1,求此抛物线的解析式;
    (3)点P是AB边上除点A外的任意一点,连接OP,将△OAP沿着OP折叠,点A落在点A′的位置,当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时,满足(2)中条件的抛物线向下平移多少距离,其顶点落在OP上?




    8. (2016·福建龙岩·14分)已知抛物线与y轴交于点C,与x轴的两个交点分别为A(﹣4,0),B(1,0).
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)已知点P在抛物线上,连接PC,PB,若△PBC是以BC为直角边的直角三角形,求点P的坐标;
    (4)已知点E在x轴上,点F在抛物线上,是否存在以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.



















    【参考答案】
    类型一:抛物线与三角形的综合问题
     【同步练】
    (2016·浙江省湖州市)如图,已知二次函数y=﹣x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点A(3,1),点C(0,4),顶点为点M,过点A作AB∥x轴,交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连结BC.
    (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标;
    (2)若将该二次函数图象向下平移m(m>0)个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界),求m的取值范围;
    (3)点P是直线AC上的动点,若点P,点C,点M所构成的三角形与△BCD相似,请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果,不必写解答过程).

    【考点】二次函数综合题.
    【分析】(1)将点A、点C的坐标代入函数解析式,即可求出b、c的值,通过配方法得到点M的坐标;
    (2)点M是沿着对称轴直线x=1向下平移的,可先求出直线AC的解析式,将x=1代入求出点M在向下平移时与AC、AB相交时y的值,即可得到m的取值范围;
    (3)由题意分析可得∠MCP=90°,则若△PCM与△BCD相似,则要进行分类讨论,分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB两种,然后利用边的对应比值求出点坐标.
    【解答】解:(1)把点A(3,1),点C(0,4)代入二次函数y=﹣x2+bx+c得,
    解得
    ∴二次函数解析式为y=﹣x2+2x+4,
    配方得y=﹣(x﹣1)2+5,
    ∴点M的坐标为(1,5);
    (2)设直线AC解析式为y=kx+b,把点A(3,1),C(0,4)代入得,
    解得
    ∴直线AC的解析式为y=﹣x+4,如图所示,对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点F

    把x=1代入直线AC解析式y=﹣x+4解得y=3,则点E坐标为(1,3),点F坐标为(1,1)
    ∴1<5﹣m<3,解得2<m<4;
    (3)连接MC,作MG⊥y轴并延长交AC于点N,则点G坐标为(0,5)

    ∵MG=1,GC=5﹣4=1
    ∴MC==,
    把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1,则点N坐标为(﹣1,5),
    ∵NG=GC,GM=GC,
    ∴∠NCG=∠GCM=45°,
    ∴∠NCM=90°,
    由此可知,若点P在AC上,则∠MCP=90°,则点D与点C必为相似三角形对应点
    ①若有△PCM∽△BDC,则有
    ∵BD=1,CD=3,
    ∴CP===,
    ∵CD=DA=3,
    ∴∠DCA=45°,
    若点P在y轴右侧,作PH⊥y轴,
    ∵∠PCH=45°,CP=
    ∴PH==
    把x=代入y=﹣x+4,解得y=,
    ∴P1();
    同理可得,若点P在y轴左侧,则把x=﹣代入y=﹣x+4,解得y=
    ∴P2();
    ②若有△PCM∽△CDB,则有
    ∴CP==3
    ∴PH=3÷=3,
    若点P在y轴右侧,把x=3代入y=﹣x+4,解得y=1;
    若点P在y轴左侧,把x=﹣3代入y=﹣x+4,解得y=7
    ∴P3(3,1);P4(﹣3,7).
    ∴所有符合题意得点P坐标有4个,分别为P1(),P2(),P3(3,1),P4(﹣3,7).
    类型二:抛物线与四边形的综合问题
    【同步练】
    (2016·四川眉山)已知如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点,且OA=1,OB=3,OC=4,
    (1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
    (2)在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P,使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
    (3)若点M为该抛物线上一动点,在(2)的条件下,请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标,并直接写出|PM﹣AM|的最大值.

    【分析】(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,把A,B,C三点坐标代入求出a,b,c的值,即可确定出所求抛物线解析式;
    (2)在平面直角坐标系xOy中存在一点P,使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形,理由为:根据OA,OB,OC的长,利用勾股定理求出BC与AC的长相等,只有当BP与AC平行且相等时,四边形ACBP为菱形,可得出BP的长,由OB的长确定出P的纵坐标,确定出P坐标,当点P在第二、三象限时,以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形,不是菱形;
    (3)利用待定系数法确定出直线PA解析式,当点M与点P、A不在同一直线上时,根据三角形的三边关系|PM﹣AM|<PA,当点M与点P、A在同一直线上时,|PM﹣AM|=PA,
    当点M与点P、A在同一直线上时,|PM﹣AM|的值最大,即点M为直线PA与抛物线的交点,联立直线AP与抛物线解析式,求出当|PM﹣AM|的最大值时M坐标,确定出|PM﹣AM|的最大值即可.
    【解答】解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
    ∵A(1,0)、B(0,3)、C(﹣4,0),
    ∴,
    解得:a=﹣,b=﹣,c=3,
    ∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+3;
    (2)在平面直角坐标系xOy中存在一点P,使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形,理由为:
    ∵OB=3,OC=4,OA=1,
    ∴BC=AC=5,
    当BP平行且等于AC时,四边形ACBP为菱形,
    ∴BP=AC=5,且点P到x轴的距离等于OB,
    ∴点P的坐标为(5,3),
    当点P在第二、三象限时,以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形,不是菱形,
    则当点P的坐标为(5,3)时,以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形;
    (3)设直线PA的解析式为y=kx+b(k≠0),
    ∵A(1,0),P(5,3),
    ∴,
    解得:k=,b=﹣,
    ∴直线PA的解析式为y=x﹣,
    当点M与点P、A不在同一直线上时,根据三角形的三边关系|PM﹣AM|<PA,
    当点M与点P、A在同一直线上时,|PM﹣AM|=PA,
    ∴当点M与点P、A在同一直线上时,|PM﹣AM|的值最大,即点M为直线PA与抛物线的交点,
    解方程组,得或,
    ∴点M的坐标为(1,0)或(﹣5,﹣)时,|PM﹣AM|的值最大,此时|PM﹣AM|的最大值为5.

    【点评】此题属于二次函数综合题,涉及的知识有:二次函数的性质,待定系数法确定抛物线解析式、一次函数解析式,菱形的判定,以及坐标与图形性质,熟练掌握待定系数法是解本题的关键..
    类型三:抛物线与图形变换的综合问题
    【同步练】
    (2016·重庆市A卷·12分)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,抛物线的顶点为点E.
    (1)判断△ABC的形状,并说明理由;
    (2)经过B,C两点的直线交抛物线的对称轴于点D,点P为直线BC上方抛物线上的一动点,当△PCD的面积最大时,Q从点P出发,先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处,再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处,最后沿适当的路径运动到点A处停止.当点Q的运动路径最短时,求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长;
    (3)如图2,平移抛物线,使抛物线的顶点E在射线AE上移动,点E平移后的对应点为点E′,点A的对应点为点A′,将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置,点A,C的对应点分别为点A1,C1,且点A1恰好落在AC上,连接C1A′,C1E′,△A′C1E′是否能为等腰三角形?若能,请求出所有符合条件的点E′的坐标;若不能,请说明理由.

    【分析】(1)先求出抛物线与x轴和y轴的交点坐标,再用勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形;
    (2)先求出S△PCD最大时,点P(,),然后判断出所走的路径最短,即最短路径的长为PM+MN+NA的长,计算即可;
    (3)△A′C1E′是等腰三角形,分三种情况分别建立方程计算即可.
    【解答】解:(1)△ABC为直角三角形,
    当y=0时,即﹣x2+x+3=0,
    ∴x1=﹣,x2=3
    ∴A(﹣,0),B(3,0),
    ∴OA=,OB=3,
    当x=0时,y=3,
    ∴C(0,3),
    ∴OC=3,
    根据勾股定理得,AC2=OB2+OC2=12,BC2=OB2+OC2=36,
    ∴AC2+BC2=48,
    ∵AB2=[3﹣(﹣)]2=48,
    ∴AC2+BC2=AB2,
    ∴△ABC是直角三角形,
    (2)如图,

    ∵B(3,0),C(0,3),
    ∴直线BC解析式为y=﹣x+3,
    过点P作∥y轴,
    设P(a,﹣ a2+a+3),
    ∴G(a,﹣ a+3),
    ∴PG=﹣a2+a,
    设点D的横坐标为xD,C点的横坐标为xC,
    S△PCD=×(xD﹣xC)×PG=﹣(a﹣)2+,
    ∵0<a<3,
    ∴当a=时,S△PCD最大,此时点P(,),
    将点P向左平移个单位至P′,连接AP′,交y轴于点N,过点N作MN⊥抛物线对称轴于点M,
    连接PM,点Q沿P→M→N→A,运动,所走的路径最短,即最短路径的长为PM+MN+NA的长,
    ∴P(,)
    ∴P′(,),
    ∵点A(﹣,0),
    ∴直线AP′的解析式为y=x+,
    当x=0时,y=,
    ∴N(0,),
    过点P′作P′H⊥x轴于点H,
    ∴AH=,P′H=,AP′=,
    ∴点Q运动得最短路径长为PM+MN+AN=+=;
    (3)在Rt△AOC中,
    ∵tan∠OAC==,
    ∴∠OAC=60°,
    ∵OA=OA1,
    ∴△OAA1为等边三角形,
    ∴∠AOA1=60°,
    ∴∠BOC1=30°,
    ∵OC1=OC=3,
    ∴C1(,),
    ∵点A(﹣,0),E(,4),
    ∴AE=2,
    ∴A′E′=AE=2,
    ∵直线AE的解析式为y=x+2,
    设点E′(a, a+2),
    ∴A′(a﹣2,﹣2)
    ∴C1E′2=(a﹣2)2+(+2﹣)2=a2﹣a+7,
    C1A′2=(a﹣2﹣)2+(﹣2﹣)2=a2﹣a+49,
    ①若C1A′=C1E′,则C1A′2=C1E′2
    即: a2﹣a+7=a2﹣a+49,
    ∴a=,
    ∴E′(,5),
    ②若A′C1=A′E′,
    ∴A′C12=A′E′2
    即: a2﹣a+49=28,
    ∴a1=,a2=,
    ∴E′(,7+),或(,7﹣),
    ③若E′A′=E′C1,
    ∴E′A′2=E′C12
    即: a2﹣a+7=28,
    ∴a1=,a2=(舍),
    ∴E′(,3+),
    即,符合条件的点E′(,5),(,7+),或(,7﹣),(,3+).
    【点评】此题是二次函数综合题,主要考查了函数极值的确定方法,等边三角形的判定和性质,勾股定理的逆定理,等腰三角形的性质,解本题的关键是分类讨论,也是解本题的难点.
    类型四:抛物线下的动态最值问题
    【同步练】
    (烟台市 2015 中考 -24)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D四点,其中A、B两点的坐标分别为(﹣1,0),(0,﹣2),点D在x轴上且AD为⊙M的直径.点E是⊙M与y轴的另一个交点,过劣弧上的点F作FH⊥AD于点H,且FH=1.5
    (1)求点D的坐标及该抛物线的表达式;
    (2)若点P是x轴上的一个动点,试求出△PEF的周长最小时点P的坐标;
    (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△QCM是等腰三角形?如果存在,请直接写出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.


    【解析】
    (1)首先根据圆的轴对称性求出点D的坐标,将A、B、D三点代入,即可求出本题的答案;
    (2)由于点E与点B 关于x轴对称,所以,连接BF,直线BF与x轴的交点,即为点P,据此即可得解;
    (3)从CM=MQ,CM=CQ,MQ=CQ三个方面进行分析,据此即可得解.
    【解答】
    解:(1)连接BD,
    ∵AD是⊙M的直径,∴∠ABD=90°
    ∴△AOB∽△ABD,
    ∴=,
    在Rt△AOB中,AO=1,BO=2,
    根据勾股定理得:AB=,
    ∴,
    ∴AD=5,
    ∴DO=AD﹣AO=5﹣1=4,
    ∴D(4,0),
    把点A(﹣1,0)、B(0,﹣2)、D(4,0)代入y=ax2+bx+c可得:

    解得:,
    ∴抛物线表达式为:;

    (2)连接FM,
    在Rt△FHM中,FM=,FH=,
    ∴MH==2,
    OM=AM﹣OA=﹣1=,
    ∴OH=OM+MH=+2=,
    ∴F(,),
    设直线BF的解析式为y=kx+b,
    则:,
    ∴直线BF的解析式为:y=x﹣2,
    连接BF交x轴于点P,∵点E与点B关于x轴对称,
    ∴点P即为所求,
    当y=0时,x=2,
    ∴P(2,0);

    (3)如图,CM=
    抛物线的对称轴为直线x=,
    ∵OM=,∴点M在直线x=上,
    根据圆的对称性可知,点C与点B关于直线x=对称,
    ∴点C(3,﹣2),
    ①当CM=MQ=时,点Q可能在x轴上方,也可能在x轴下方,
    ∴Q1(,),Q2(,),
    ②当CM=CQ时,过点C作CN⊥MQ,
    ∴MN=NQ=2,∴MQ=4,
    ∴Q3(,﹣4),
    ③当CQ4=MQ4时,过点C作CR⊥MQ,Q4V⊥CM,
    则:MV=CV=,Q4V=,
    Rt△CRM∽Rt△Q4VM,
    ∴,
    解得:MQ4=,
    ∴Q4(,)
    综上可知,存在四个点,即:
    Q1(,),Q2(,),Q3(,﹣4),Q4(,).

    【点评】本题主要考查了二次函数的抛物线的解析式的求法,以及根据对称求线段的最小值的问题,还考查了等腰三角形的知识和相似三角形的知识,是一道综合性很强的题目,注意认真总结.
    类型五:抛物线下的动态存在问题
    【同步练】
    (2016·内蒙古包头)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C,其顶点为点D,点E的坐标为(0,﹣1),该抛物线与BE交于另一点F,连接BC.
    (1)求该抛物线的解析式,并用配方法把解析式化为y=a(x﹣h)2+k的形式;
    (2)若点H(1,y)在BC上,连接FH,求△FHB的面积;
    (3)一动点M从点D出发,以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动,连接OM,BM,设运动时间为t秒(t>0),在点M的运动过程中,当t为何值时,∠OMB=90°?
    (4)在x轴上方的抛物线上,是否存在点P,使得∠PBF被BA平分?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

    【考点】二次函数综合题.
    【分析】(1)用待定系数法求出抛物线解析式;
    (2)先求出GH,点F的坐标,用三角形的面积公式计算即可;
    (3)设出点M,用勾股定理求出点M的坐标,从而求出MD,最后求出时间t;
    (4)由∠PBF被BA平分,确定出过点B的直线BN的解析式,求出此直线和抛物线的交点即可.
    【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点,

    ∴,
    ∴抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣2=﹣(x﹣2)2+;
    (2)如图1,

    过点A作AH∥y轴交BC于H,BE于G,
    由(1)有,C(0,﹣2),
    ∵B(0,3),
    ∴直线BC解析式为y=x﹣2,
    ∵H(1,y)在直线BC上,
    ∴y=﹣,
    ∴H(1,﹣),
    ∵B(3,0),E(0,﹣1),
    ∴直线BE解析式为y=﹣x﹣1,
    ∴G(1,﹣),
    ∴GH=,
    ∵直线BE:y=﹣x﹣1与抛物线y=﹣x2+x﹣2相较于F,B,
    ∴F(,﹣),
    ∴S△FHB=GH×|xG﹣xF|+GH×|xB﹣xG|
    =GH×|xB﹣xF|
    =××(3﹣)
    =.
    (3)如图2,

    由(1)有y=﹣x2+x﹣2,
    ∵D为抛物线的顶点,
    ∴D(2,),
    ∵一动点M从点D出发,以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动,
    ∴设M(2,m),(m>),
    ∴OM2=m2+4,BM2=m2+1,AB2=9,
    ∵∠OMB=90°,
    ∴OM2+BM2=AB2,
    ∴m2+4+m2+1=9,
    ∴m=或m=﹣(舍),
    ∴M(0,),
    ∴MD=﹣,
    ∵一动点M从点D出发,以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动,
    ∴t=﹣;
    (4)存在点P,使∠PBF被BA平分,
    如图3,
    ∴∠PBO=∠EBO,
    ∵E(0,﹣1),
    ∴在y轴上取一点N(0,1),
    ∵B(3,0),
    ∴直线BN的解析式为y=﹣x+1①,
    ∵点P在抛物线y=﹣x2+x﹣2②上,
    联立①②得,或(舍),
    ∴P(,),
    即:在x轴上方的抛物线上,存在点P,使得∠PBF被BA平分,P(,).
    类型六:抛物线与相似的综合问题
    【同步练】
    (2016·湖北荆门·14分)如图,直线y=﹣x+2与x轴,y轴分别交于点A,点B,两动点D,E分别从点A,点B同时出发向点O运动(运动到点O停止),运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒,设运动时间为t秒,以点A为顶点的抛物线经过点E,过点E作x轴的平行线,与抛物线的另一个交点为点G,与AB相交于点F.
    (1)求点A,点B的坐标;
    (2)用含t的代数式分别表示EF和AF的长;
    (3)当四边形ADEF为菱形时,试判断△AFG与△AGB是否相似,并说明理由.
    (4)是否存在t的值,使△AGF为直角三角形?若存在,求出这时抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.

    【考点】二次函数综合题.
    【分析】(1)在直线y=﹣x+2中,分别令y=0和x=0,容易求得A、B两点坐标;
    (2)由OA、OB的长可求得∠ABO=30°,用t可表示出BE,EF,和BF的长,由勾股定理可求得AB的长,从而可用t表示出AF的长;
    (3)利用菱形的性质可求得t的值,则可求得AF=AG的长,可得到=,可判定△AFG与△AGB相似;
    (4)若△AGF为直角三角形时,由条件可知只能是∠FAG=90°,又∠AFG=∠OAF=60°,由(2)可知AF=4﹣2t,EF=t,又由二次函数的对称性可得到EG=2OA=4,从而可求出FG,在Rt△AGF中,可得到关于t的方程,可求得t的值,进一步可求得E点坐标,利用待定系数法可求得抛物线的解析式.
    【解答】解:
    (1)在直线y=﹣x+2中,
    令y=0可得0=﹣x+2,解得x=2,
    令x=0可得y=2,
    ∴A为(2,0),B为(0,2);
    (2)由(1)可知OA=2,OB=2,
    ∴tan∠ABO==,
    ∴∠ABO=30°,
    ∵运动时间为t秒,
    ∴BE=t,
    ∵EF∥x轴,
    ∴在Rt△BEF中,EF=BE•tan∠ABO=BE=t,BF=2EF=2t,
    在Rt△ABO中,OA=2,OB=2,
    ∴AB=4,
    ∴AF=4﹣2t;
    (3)相似.理由如下:
    当四边形ADEF为菱形时,则有EF=AF,
    即t=4﹣2t,解得t=,
    ∴AF=4﹣2t=4﹣=,OE=OB﹣BE=2﹣×=,
    如图,过G作GH⊥x轴,交x轴于点H,

    则四边形OEGH为矩形,
    ∴GH=OE=,
    又EG∥x轴,抛物线的顶点为A,
    ∴OA=AH=2,
    在Rt△AGH中,由勾股定理可得AG2=GH2+AH2=()2+22=,
    又AF•AB=×4=,
    ∴AF•AB=AG2,即=,且∠FAG=∠GAB,
    ∴△AFG∽△AGB;
    (4)存在,
    ∵EG∥x轴,
    ∴∠GFA=∠BAO=60°,
    又G点不能在抛物线的对称轴上,
    ∴∠FGA≠90°,
    ∴当△AGF为直角三角形时,则有∠FAG=90°,
    又∠FGA=30°,
    ∴FG=2AF,
    ∵EF=t,EG=4,
    ∴FG=4﹣t,且AF=4﹣2t,
    ∴4﹣t=2(4﹣2t),
    解得t=,
    即当t的值为秒时,△AGF为直角三角形,此时OE=OB﹣BE=2﹣t=2﹣×=,
    ∴E点坐标为(0,),
    ∵抛物线的顶点为A,
    ∴可设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2,
    把E点坐标代入可得=4a,解得a=,
    ∴抛物线解析式为y=(x﹣2)2,
    即y=x2﹣x+.
    【达标检测】
    1. (2016·湖北黄石·8分)科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园.
    如图所示,图中点的横坐标x表示科技馆从8:30开门后经过的时间(分钟),纵坐标y表示到达科技馆的总人数.图中曲线对应的函数解析式为y=,10:00之后来的游客较少可忽略不计.
    (1)请写出图中曲线对应的函数解析式;
    (2)为保证科技馆内游客的游玩质量,馆内人数不超过684人,后来的人在馆外休息区等待.从10:30开始到12:00馆内陆续有人离馆,平均每分钟离馆4人,直到馆内人数减少到624人时,馆外等待的游客可全部进入.请问馆外游客最多等待多少分钟?

    【分析】(1)构建待定系数法即可解决问题.
    (2)先求出馆内人数等于684人时的时间,再求出直到馆内人数减少到624人时的时间,即可解决问题.
    【解答】解(1)由图象可知,300=a×302,解得a=,
    n=700,b×(30﹣90)2+700=300,解得b=﹣,
    ∴y=,

    (2)由题意﹣(x﹣90)2+700=684,
    解得x=78,
    ∴=15,
    ∴15+30+(90﹣78)=57分钟
    所以,馆外游客最多等待57分钟.
    【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程等知识,解题的关键是熟练掌握待定系数法,学会用方程的思想思考问题,属于中考常考题型.
    2. (2016·广西百色·12分)正方形OABC的边长为4,对角线相交于点P,抛物线L经过O、P、A三点,点E是正方形内的抛物线上的动点.
    (1)建立适当的平面直角坐标系,
    ①直接写出O、P、A三点坐标;
    ②求抛物线L的解析式;
    (2)求△OAE与△OCE面积之和的最大值.

    【考点】二次函数综合题.
    【分析】(1)以O点为原点,线段OA所在的直线为x轴,线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系.①根据正方形的边长结合正方形的性质即可得出点O、P、A三点的坐标;②设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c,结合点O、P、A的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;
    (2)由点E为正方形内的抛物线上的动点,设出点E的坐标,结合三角形的面积公式找出S△OAE+SOCE关于m的函数解析式,根据二次函数的性质即可得出结论.
    【解答】解:(1)以O点为原点,线段OA所在的直线为x轴,线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系,如图所示.

    ①∵正方形OABC的边长为4,对角线相交于点P,
    ∴点O的坐标为(0,0),点A的坐标为(4,0),点P的坐标为(2,2).
    ②设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c,
    ∵抛物线L经过O、P、A三点,
    ∴有,
    解得:,
    ∴抛物线L的解析式为y=﹣+2x.
    (2)∵点E是正方形内的抛物线上的动点,
    ∴设点E的坐标为(m,﹣+2m)(0<m<4),
    ∴S△OAE+SOCE=OA•yE+OC•xE=﹣m2+4m+2m=﹣(m﹣3)2+9,
    ∴当m=3时,△OAE与△OCE面积之和最大,最大值为9.
    3. (2016·广西桂林·12分)如图1,已知开口向下的抛物线y1=ax2﹣2ax+1过点A(m,1),与y轴交于点C,顶点为B,将抛物线y1绕点C旋转180°后得到抛物线y2,点A,B的对应点分别为点D,E.
    (1)直接写出点A,C,D的坐标;
    (2)当四边形ABCD是矩形时,求a的值及抛物线y2的解析式;
    (3)在(2)的条件下,连接DC,线段DC上的动点P从点D出发,以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止,在点P运动的过程中,过点P作直线l⊥x轴,将矩形ABDE沿直线l折叠,设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位,点P的运动时间为t秒,求S与t的函数关系.








    【考点】二次函数综合题.
    【分析】(1)直接将点A的坐标代入y1=ax2﹣2ax+1得出m的值,因为由图象可知点A在第一象限,所以m≠0,则m=2,写出A,C的坐标,点D与点A关于点C对称,由此写出点D的坐标;
    (2)根据顶点坐标公式得出抛物线y1的顶点B的坐标,再由矩形对角线相等且平分得:BC=CD,在直角△BMC中,由勾股定理列方程求出a的值得出抛物线y1的解析式,由旋转的性质得出抛物线y2的解析式;
    (3)分两种情况讨论:①当0≤t≤1时,S=S△GHD=S△PDH+S△PDG,作辅助线构建直角三角形,求出PG和PH,利用面积公式计算;②当1<t≤2时,S=S直角三角形+S矩形﹣S不重合,这里不重合的图形就是△GE′F,利用30°角和60°角的直角三角形的性质进行计算得出结论.
    【解答】解:(1)由题意得:
    将A(m,1)代入y1=ax2﹣2ax+1得:am2﹣2am+1=1,
    解得:m1=2,m2=0(舍),
    ∴A(2,1)、C(0,1)、D(﹣2,1);

    (2)如图1,由(1)知:B(1,1﹣a),过点B作BM⊥y轴,
    若四边形ABDE为矩形,则BC=CD,
    ∴BM2+CM2=BC2=CD2,
    ∴12+(﹣a)2=22,
    ∴a=,
    ∵y1抛物线开口向下,
    ∴a=﹣,
    ∵y2由y1绕点C旋转180°得到,则顶点E(﹣1,1﹣),
    ∴设y2=a(x+1)2+1﹣,则a=,
    ∴y2=x2+2x+1;
    (3)如图1,当0≤t≤1时,则DP=t,构建直角△BQD,
    得BQ=,DQ=3,则BD=2,
    ∴∠BDQ=30°,
    ∴PH=,PG=t,
    ∴S=(PE+PF)×DP=t2,
    如图2,当1<t≤2时,EG=E′G=(t﹣1),E′F=2(t﹣1),
    S不重合=(t﹣1)2,
    S=S1+S2﹣S不重合=+(t﹣1)﹣(t﹣1)2,
    =﹣;
    综上所述:S=t2(0≤t≤1)或S=﹣(1<t≤2).



    4. (2016·黑龙江齐齐哈尔·8分)如图,对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,且点A的坐标为(﹣1,0)
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)直接写出B、C两点的坐标;
    (3)求过O,B,C三点的圆的面积.(结果用含π的代数式表示)
    注:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(﹣,)

    【考点】二次函数综合题.
    【分析】(1)利用对称轴方程可求得b,把点A的坐标代入可求得c,可求得抛物线的解析式;
    (2)根据A、B关于对称轴对称可求得点B的坐标,利用抛物线的解析式可求得B点坐标;
    (3)根据B、C坐标可求得BC长度,由条件可知BC为过O、B、C三点的圆的直径,可求得圆的面积.
    【解答】解:
    (1)由A(﹣1,0),对称轴为x=2,可得,解得,
    ∴抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5;
    (2)由A点坐标为(﹣1,0),且对称轴方程为x=2,可知AB=6,
    ∴OB=5,
    ∴B点坐标为(5,0),
    ∵y=x2﹣4x﹣5,
    ∴C点坐标为(0,﹣5);
    (3)如图,连接BC,则△OBC是直角三角形,

    ∴过O、B、C三点的圆的直径是线段BC的长度,
    在Rt△OBC中,OB=OC=5,
    ∴BC=5,
    ∴圆的半径为,
    ∴圆的面积为π()2=π.
    5. (枣庄市 2014 中考 -25)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,连接BC,点D为抛物线的顶点,点P是第四象限的抛物线上的一个动点(不与点D重合).

    (1)求∠OBC的度数;
    (2)连接CD、BD、DP,延长DP交x轴正半轴于点E,且S△OCE=S四边形OCDB,求此时P点的坐标;
    (3)过点P作PF⊥x轴交BC于点F,求线段PF长度的最大值.
    思路分析:
    (1)结合抛物线图形可知,可求三角形OBC的各个顶点,易知三角形形状及内角.
    (2)因为抛物线已固定,则S四边形OCDB固定,对于坐标系中的不规则图形常用分割求和、填补求差等方法求面积,本图形过顶点作x轴的垂线及可将其分为直角梯形及直角三角形,面积易得.由此可得E点坐标,进而可求ED直线方程,与抛物线解析式联立求解即得P点坐标.
    (3)根据图像分析PF的长度即为yF﹣yP.由于P、F的横坐标相同,则可直接利用解析式作差得到一个二次函数,再由所得的二次函数性质讨论最值,解法常规.
    解题过程:
    解:(1)∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣3)(x+1),
    ∴由题意得,A(﹣1,0),B(3,0),C(0,﹣3),D(1,﹣4).
    在Rt△OBC中,
    ∵OC=OB=3,
    ∴△OBC为等腰直角三角形,
    ∴∠OBC=45°.

    (2)如图1,过点D作DH⊥x轴于H,
    此时S四边形OCDB=S梯形OCDH+S△HBD,

    ∵OH=1,OC=3,HD=4,HB=2,
    ∴S梯形OCDH=•(OC+HD)•OH=,
    S△HBD=•HD•HB=4,
    ∴S四边形OCDB=.
    ∴S△OCE=S四边形OCDB==,
    ∴OE=5,
    ∴E(5,0).
    设lDE:y=kx+b,
    ∵D(1,﹣4),E(5,0),
    ∴,
    解得,
    ∴lDE:y=x﹣5.
    ∵DE交抛物线于P,设P(x,y),
    ∴x2﹣2x﹣3=x﹣5,
    解得 x=2 或x=1(D点,舍去),
    ∴xP=2,代入lDE:y=x﹣5,
    ∴P(2,﹣3).

    (3)如图2,

    设lBC:y=ax+t(a≠0),
    ∵B(3,0),C(0,﹣3),
    ∴,
    解得,
    ∴lBC:y=x﹣3.
    ∵F在BC上,
    ∴yF=xF﹣3,
    ∵P在抛物线上,
    ∴,
    ∴线段PF长度=﹣=﹣3﹣(),
    ∵xP=xF,
    ∴线段PF长度==,(1<<3),
    ∴当xP=时,线段PF长度最大为.
    规律总结:
    解决本题关键是把握抛物线图象性质、已知两点求直线解析式、直角三角形性质及二次函数最值等基础知识点并能灵活运用.
    6. (郴州市 2014 中考 -26)已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣1,0)、B(2,0)、C(0,2)三点.
    (1)求这条抛物线的解析式;
    (2)如图一,点P是第一象限内此抛物线上的一个动点,当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?求出此时点P的坐标;
    (3)如图二,设线段AC的垂直平分线交x轴于点E,垂足为D,M为抛物线的顶点,那么在直线DE上是否存在一点G,使△CMG的周长最小?若存在,请求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.

    思路分析:
    (1)已知三点坐标可根据一般式来利用待定系数法即可求得;
    (2)根据题意进行辅助线作图,如答图1,四边形ABPC由△ABC与△PBC组成,△ABC面积固定,则只需要使得△PBC面积最大即可.求出△PBC面积的表达式,然后利用二次函数性质求出最值;
    (3),通过辅助线展示,如答图2,DE为线段AC的垂直平分线,则点A、C关于直线DE对称.连接AM,与DE交于点G,此时△CMG的周长=CM+CG+MG=CM+AM最小,故点G为所求.分别求出直线DE、AM的解析式,联立后求出点G的坐标.
    解题过程:
    解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣1,0)、B(2,0)、C(0,2)三点.
    ∴,解得,
    ∴这条抛物线的解析式为:.
    (2)设直线BC的解析式为:,将B(2,0)、C(0,2)代入得:
    ,解得,
    ∴直线BC的解析式为:.
    如答图1,连接BC.
    四边形ABPC由△ABC与△PBC组成,△ABC面积固定,则只需要使得△PBC面积最大即可.
    设P(,),
    过点P作PF∥y轴,交BC于点F,则F(,﹣+2).
    ∴PF=()﹣()=.
    S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF(xF﹣xC)+PF(xB﹣xF)=PF(xB﹣xC)=PF
    ∴S△PBC==
    ∴当x=1时,△PBC面积最大,即四边形ABPC面积最大.此时P(1,2).
    ∴当点P坐标为(1,2)时,四边形ABPC的面积最大.

    (3)存在.
    ∵∠CAO+∠ACO=90°,∠CAO+∠AED=90°,
    ∴∠ACO=∠AED,又∵∠CAO=∠CAO,
    ∴△AOC∽△ADE,
    ∴,即,解得AE=,
    ∴E(,0).
    ∵DE为线段AC的垂直平分线,
    ∴点D为AC的中点,∴D(,1).
    可求得直线DE的解析式为: ①.
    ∵y==,∴M(,).
    又A(﹣1,0),则可求得直线AM的解析式为:②.
    ∵DE为线段AC的垂直平分线,
    ∴点A、C关于直线DE对称.
    如答图2,连接AM,与DE交于点G,
    此时△CMG的周长=CM+CG+MG=CM+AM最小,故点G为所求.
    联立①②式,可求得交点G的坐标为(,).
    ∴在直线DE上存在一点G,使△CMG的周长最小,点G的坐标为(,).

    规律总结:
    本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求解析式、相似三角形、轴对称﹣最短路线、图形面积计算、最值等知识点等知识点,在解决运用时注意引导学生各个知识点的综
     


    7. (2016·湖北荆州·14分)阅读:我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫该点的“特征线”.例如,点M(1,3)的特征线有:x=1,y=3,y=x+2,y=﹣x+4.

    问题与探究:如图,在平面直角坐标系中有正方形OABC,点B在第一象限,A、C分别在x轴和y轴上,抛物线经过B、C两点,顶点D在正方形内部.
    (1)直接写出点D(m,n)所有的特征线;
    (2)若点D有一条特征线是y=x+1,求此抛物线的解析式;
    (3)点P是AB边上除点A外的任意一点,连接OP,将△OAP沿着OP折叠,点A落在点A′的位置,当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时,满足(2)中条件的抛物线向下平移多少距离,其顶点落在OP上?
    【分析】(1)根据特征线直接求出点D的特征线;
    (2)由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标,从而求出抛物线解析式;
    (2)分平行于x轴和y轴两种情况,由折叠的性质计算即可.
    【解答】解:(1)∵点D(m,n),
    ∴点D(m,n)的特征线是x=m,y=n,y=x+n﹣m,y=﹣x+m+n;
    (2)点D有一条特征线是y=x+1,
    ∴n﹣m=1,
    ∴n=m+1
    ∵抛物线解析式为,
    ∴y=(x﹣m)2+m+1,
    ∵四边形OABC是正方形,且D点为正方形的对称轴,D(m,n),
    ∴B(2m,2m),
    ∴(2m﹣m)2+n=2m,将n=m+1带入得到m=2,n=3;
    ∴D(2,3),
    ∴抛物线解析式为y=(x﹣2)2+3
    (3)如图,当点A′在平行于y轴的D点的特征线时,

    根据题意可得,D(2,3),
    ∴OA′=OA=4,OM=2,
    ∴∠A′OM=60°,
    ∴∠A′OP=∠AOP=30°,
    ∴MN==,
    ∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=.
    乳头,当点A′在平行于x轴的D点的特征线时,

    ∵顶点落在OP上,
    ∴A′与D重合,
    ∴A′(2,3),
    设P(4,c)(c>0),
    由折叠有,PD=PA,
    ∴=c,
    ∴c=,
    ∴P(4,)
    ∴直线OP解析式为y=,
    ∴N(2,),
    ∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=,
    即:抛物线向下平移或距离,其顶点落在OP上.
    【点评】此题是二次函数综合题,主要考查了折叠的性质,正方形的性质,特征线的理解,解本题的关键是用正方形的性质求出点D的坐标.

    8. (2016·福建龙岩·14分)已知抛物线与y轴交于点C,与x轴的两个交点分别为A(﹣4,0),B(1,0).
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)已知点P在抛物线上,连接PC,PB,若△PBC是以BC为直角边的直角三角形,求点P的坐标;
    (4)已知点E在x轴上,点F在抛物线上,是否存在以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.

    【考点】二次函数综合题.
    【分析】(1)因为抛物线经过点A(﹣4,0),B(1,0),所以可以设抛物线为y=﹣(x+4)(x﹣1),展开即可解决问题.
    (2)先证明∠ACB=90°,点A就是所求的点P,求出直线AC解析式,再求出过点B平行AC的直线的解析式,利用方程组即可解决问题.
    (3)分AC为平行四边形的边,AC为平行四边形的对角线两种切线讨论即可解决问题.
    【解答】解:(1)抛物线的解析式为y=﹣(x+4)(x﹣1),即y=﹣x2﹣x+2;
    (2)存在.
    当x=0,y═﹣x2﹣x+2=2,则C(0,2),
    ∴OC=2,
    ∵A(﹣4,0),B(1,0),
    ∴OA=4,OB=1,AB=5,
    当∠PCB=90°时,
    ∵AC2=42+22=20,BC2=22+12=5,AB2=52=25
    ∴AC2+BC2=AB2
    ∴△ACB是直角三角形,∠ACB=90°,
    ∴当点P与点A重合时,△PBC是以BC为直角边的直角三角形,此时P点坐标为(﹣4,0);
    当∠PBC=90°时,PB∥AC,如图1,
    设直线AC的解析式为y=mx+n,
    把A(﹣4,0),C(0,2)代入得,解得,
    ∴直线AC的解析式为y=x+2,
    ∵BP∥AC,
    ∴直线BP的解析式为y=x+p,
    把B(1,0)代入得+p=0,解得p=﹣,
    ∴直线BP的解析式为y=x﹣,
    解方程组得或,此时P点坐标为(﹣5,﹣3);
    综上所述,满足条件的P点坐标为(﹣4,0),P2(﹣5,﹣3);
    (3)存在点E,设点E坐标为(m,0),F(n,﹣n2﹣n+2)
    ①当AC为边,CF1∥AE1,易知CF1=3,此时E1坐标(﹣7,0),
    ②当AC为边时,AC∥EF,易知点F纵坐标为﹣2,
    ∴﹣n2﹣n+2=﹣2,解得n=,得到F2(,﹣2),F3(,﹣2),
    根据中点坐标公式得到: =或=,
    解得m=或,
    此时E2(,0),E3(,0),
    ③当AC为对角线时,AE4=CF1=3,此时E4(﹣1,0),
    综上所述满足条件的点E为(﹣7,0)或(﹣1,0)或(,﹣2)或(,﹣2).



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