2020届中考数学第二轮复习专题专题复习二：计算与求解

专题二：计算与求解

【问题解析】

选择题和填空题后面一般紧跟两道分值是8分的基础题，大多数从实数计算、代数式化简求值、解方程(组)、解不等式(组)这几个方面去考查学生对基础知识的掌握情况．这类题虽然简单，但易错，容易失分，一定要在掌握知识的同时，做到解答规范合理．

【热点探究】

类型一：实数问题

【例题1】（2016·山东省东营市·3分）计算：()－1＋(π―3.14)0－2sin60°―＋|1－3|；

【解析】整式的乘除——负整数指数的意义、零指数的意义，锐角三角函数——特殊角的三角函数值，二次根式——化简，实数的有关概念——绝对值

根据绝对值的概念、零指数幂、负整数指数幂的法则，以及特殊三角函数值计算即可．

【解答】(1)原式＝2016＋1－2×－2＋（3－1）

＝2016＋1－－2＋3－1

＝2016.

【点评】原式第一项利用利用负指数幂的意义计算：a－p＝()p（a≠0）；第二项利用零指数幂法的意义计算：a0＝1（a≠0）；第三项利用特殊角的三角函数值计算，学习中，需要熟记30°、45°、60°角的三角函数值；第四项利用＝a（a＞0）计算；第五项利用绝对值的代数意义化简：|a|＝ ．

【同步练】

（2016·四川眉山）计算：．

类型二：整式问题

【例题2】（2016·山东省菏泽市·3分）已知4x=3y，求代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2的值．

【考点】整式的混合运算—化简求值．

【分析】首先利用平方差公式和完全平方公式计算，进一步合并，最后代入求得答案即可．

【解答】解：（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2

=x2﹣4xy+4y2﹣（x2﹣y2）﹣2y2

=﹣4xy+3y2

=﹣y（4x﹣3y）．

∵4x=3y，

∴原式=0．

【点评】此题考查整式的化简求值，注意先化简，再代入求得数值即可．

【同步练】

计算：（1）（2016·重庆市B卷·5分）（x﹣y）2﹣（x﹣2y）（x+y）  

类型三：方程问题

【例题3】（2016·湖北黄石·4分）解方程组．

【分析】首先联立方程组消去x求出y的值，然后再把y的值代入x﹣y=2中求出x的值即可．

【解答】解：将两式联立消去x得：

9（y+2）2﹣4y2=36，

即5y2+36y=0，

解得：y=0或﹣，

当y=0时，x=2，

y=﹣时，x=﹣；

原方程组的解为或．

【点评】本题主要考查了高次方程的知识，解答本题的关键是进行降次解方程，此题难度不大．

【同步练】

（2016·湖北荆州·12分）已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．

（1）求k的取值范围；

（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；

（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．

类型四：不等式问题

【例题4】（2016·湖北随州·3分）不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则分析选项可得答案．

【解答】解：解不等式x﹣1≤7﹣x，得：x≤4，

解不等式5x﹣2＞3（x+1），得：x＞，

∴不等式组的解集为：＜x≤4，

故选：A．

【同步练】

（2016·浙江省绍兴市·5分）不等式＞+2的解是　   　．

类型五：分式问题

【例题5】（2016·四川泸州）分式方程﹣=0的根是　x=﹣1　．

【考点】分式方程的解．

【分析】把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再代入x（x﹣3）进行检验即可．

【解答】解：方程两边都乘以最简公分母x（x﹣3）得：4x﹣（x﹣3）=0，

解得：x=﹣1，

经检验：x=﹣1是原分式方程的解，

故答案为：x=﹣1．

【同步练】

（枣庄市 2015 中考 -19）先化简，再求值：，其中x满足．

类型六：其它综合问题

【例题6】（2016·广西桂林·8分）五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共2000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同

（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？

（2）经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金多少元？

【分析】分式方程的应用；一元一次方程的应用．

（1）设每件乙种物品的价格是x元，则每件甲种物品的价格是（x+10）元，根据用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同

列出方程，求解即可；

（2）设甲种物品件数为m件，则乙种物品件数为3m件，根据该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品列出方程，求解即可．

【解答】解：（1）设每件乙种物品的价格是x元，则每件甲种物品的价格是（x+10）元，

根据题意得，      

解得：x=60．

经检验，x=60是原方程的解．

答：甲、乙两种救灾物品每件的价格各是70元、60元；

（2）设甲种物品件数为m件，则乙种物品件数为3m件，

根据题意得，m+3m=2000，

解得m=500，

即甲种物品件数为500件，则乙种物品件数为1500件，此时需筹集资金：70×500+60×1500=125000（元）．

答：若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金125000元．

【同步练】

（2016·山东省东营市·8分）东营市某学校2015年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．

  (1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；

 (2)2016年为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高  了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%．如果此次购买甲、乙两种足球的总  费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？

【达标检测】

1. （2016·湖北荆州·6分）计算：．

2. （2016·山东省济宁市·3分）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2，其中a=﹣1，b=．

3. （2016贵州毕节3分）为加快“最美毕节”环境建设，某园林公司增加了人力进行大型树木移植，现在平均每天比原计划多植树30棵，现在植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，设现在平均每天植树x棵，则列出的方程为（　　）

A． B． C． D．

4. （2016·湖北随州·3分）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（　　）

A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20

C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8

5. （2016·山东省德州市·4分）解不等式组：．

6. （2016·福建龙岩·6分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

7. （2016·湖北荆门·3分）若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（　　）

A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=7

8. （2016·湖北荆门·12分）A城有某种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36天，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．

（1）设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；

（3）现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元（a≤200）作为优惠，其它费用不变，如何调运，使总费用最少？

【参考答案】

类型一：实数问题

【同步练】

（2016·四川眉山）计算：．

【分析】分别利用零指数幂的性质、特殊角的三角函数值和负整数指数幂的性质分别化简求出答案．

【解答】解：原式=1﹣3×+1﹣2

=1﹣+1﹣2

=﹣．

【点评】此题主要考查了零指数幂的性质、特殊角的三角函数值和负整数指数幂的性质等知识，正确化简各数是解题关键．

类型二：整式问题

【同步练】

计算：（1）（2016·重庆市B卷·5分）（x﹣y）2﹣（x﹣2y）（x+y）  

【考点】整式的混合运算．

【分析】根据平方差公式、多项式乘多项式法则进行计算；

【解答】解：（x﹣y）2﹣（x﹣2y）（x+y）

=x2﹣2xy+y2﹣x2+xy+2y2

=﹣xy+3y2；

【点评】本题考查的是整式的混合运算,掌握平方差公式、多项式乘多项式法则是解题的关键．

类型三：方程问题

【同步练】

（2016·湖北荆州·12分）已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．

（1）求k的取值范围；

（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；

（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．

【分析】（1）先解出分式方程①的解，根据分式的意义和方程①的根为非负数得出k的取值；

（2）先把k=m+2，n=1代入方程②化简，由方程②有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和﹣1，分别代入方程后解出即可．

（3）根据（1）中k的取值和k为负整数得出k=﹣1，化简已知所给的等式，并将两根和与积代入计算求出m的值，做出判断．

【解答】解：（1）∵关于x的分式方程的根为非负数，

∴x≥0且x≠1，

又∵x=≥0，且≠1，

∴解得k≥﹣1且k≠1，

又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0，

∴k≠2，

综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2；

（2）∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有两个整数根x1、x2，且k=m+2，n=1时，

∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，

∴△≥0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0，

∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4），

∵x1、x2是整数，k、m都是整数，

∵x1+x2=3，x1•x2==1﹣，

∴1﹣为整数，

∴m=1或﹣1，

∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0，

x2﹣3x=0，

x（x﹣3）=0，

x1=0，x2=3；

把m=﹣1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：﹣x2+3x﹣2=0，

x2﹣3x+2=0，

（x﹣1）（x﹣2）=0，

x1=1，x2=2；

（3）|m|≤2不成立，理由是：

由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，

∵k是负整数，

∴k=﹣1，

（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有两个实数根x1、x2，[来源:Z|xx|k.Com]

∴x1+x2=﹣==﹣m，x1x2==，

x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），

x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2，

x12+x22═x1x2+k2，

（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2，

（x1+x2）2﹣3x1x2=k2，

（﹣m）2﹣3×=（﹣1）2，

m2﹣4=1，

m2=5，

m=±，

∴|m|≤2不成立．

【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了根的判别式及分式方程的解；注意：①解分式方程时分母不能为0；②一元二次方程有两个整数根时，根的判别式△为完全平方数．

类型四：不等式问题

【同步练】

（2016·浙江省绍兴市·5分）不等式＞+2的解是　x＞﹣3　．

【考点】解一元一次不等式．

【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．

【解答】解：去分母，得：3（3x+13）＞4x+24，

去括号，得：9x+39＞4x+24，

移项，得：9x﹣4x＞24﹣39，

合并同类项，得：5x＞﹣15，

系数化为1，得：x＞﹣3，

故答案为：x＞﹣3．

类型五：分式问题

【同步练】

（枣庄市 2015 中考 -19）先化简，再求值：，其中x满足．

【解析】

本题综合考查了分式的混合运算及因式分解同时考查了一元二次方程的解法．因此首先通分相加，因式分解后将除法转化为乘法，最后将方程的解代入化简后的分式解答．

【解答】解：原式=

=

=，

解方程得，

，

x1=1，x2=3．

当x=1时，原式无意义；当x=3时，原式==． 

【点评】解决此类问题重在把握分式的混合运算、因式分解及一元二次方程的解法．在代入求值时，要注意一定使分式有意义．

类型六：其它综合问题

【同步练】

（2016·山东省东营市·8分）东营市某学校2015年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．

  (1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；

  (2)2016年为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高  了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%．如果此次购买甲、乙两种足球的总  费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？

【解析】分式方程——分式方程的实际应用、一元一次不等式的应用

（1）设一个甲种足球需x元，则一个乙种足球需(x＋20)元，根据购买甲种足球数量是购买乙种品牌足球数量的2倍，列出分式方程解答即可；

（2）设此次可购买y个乙种足球，则购进甲种足球（50﹣y）个，根据购买两种品牌足球的总费用不超过2900元，列出不等式解决问题．

【解答】(1)设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需(x＋20)元，由题意得：

＝2×.

解得：x＝50.

经检验，x＝50是原方程的解.

x＋20＝70.

答：购买一个甲种足球需50元,购买一个乙种足球需70元．

(2)设这所学校再次购买y个乙种足球，则购买(50－y)个甲种足球，由题意得：

50×(1＋10% )×(50－y)＋70×(1－70% )y≤2900.

解得：y≤18.75.

由题意知，最多可购买18个乙种足球.

笞：这所学校此次最多可购买18个乙种足球．

【点评】此题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，根据题意，找出题目蕴含的等量关系与不等关系是解决问题的关键．

【达标检测】

1. （2016·湖北荆州·6分）计算：．

【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质、零指数幂的性质化简，进而求出答案．

【解答】解：原式=+3×2﹣2×﹣1

=+6﹣﹣1

=5．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确利用负整数指数幂的性质化简是解题关键．

2. （2016·山东省济宁市·3分）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2，其中a=﹣1，b=．

【考点】整式的混合运算—化简求值．

【分析】原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．

【解答】解：原式=a2﹣2ab+a2+2ab+b2=2a2+b2，

当a=﹣1，b=时，原式=2+2=4．

3. （2016贵州毕节3分）为加快“最美毕节”环境建设，某园林公司增加了人力进行大型树木移植，现在平均每天比原计划多植树30棵，现在植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，设现在平均每天植树x棵，则列出的方程为（　　）

A． B． C． D．

【考点】由实际问题抽象出分式方程．

【分析】设现在平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x﹣30）棵，根据：现在植树400棵所需时间=原计划植树300棵所需时间，这一等量关系列出分式方程即可．

【解答】解：设现在平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x﹣30）棵，

根据题意，可列方程： =，

故选：A．

4. （2016·湖北随州·3分）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（　　）

A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20

C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【分析】设这两年观赏人数年均增长率为x，根据“2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次”，可得出方程．

【解答】解：设观赏人数年均增长率为x，那么依题意得20（1+x）2=28.8，

故选C．

5. （2016·山东省德州市·4分）解不等式组：．

【考点】解一元一次不等式组．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

【解答】解：解不等式5x+2≥3（x﹣1），得：x≥﹣，

解不等式1﹣＞x﹣2，得：x＜，

故不等式组的解集为：﹣≤x＜．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

6. （2016·福建龙岩·6分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．

【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式的解集．

【解答】解：由①得x≥4，

由②得x＜1，

∴原不等式组无解，

7. （2016·湖北荆门·3分）若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（　　）

A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=7

【考点】二次函数的性质；解一元二次方程-因式分解法．

【分析】先根据二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx=7，求出x的值即可．

【解答】解：∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，

∴﹣=3，解得m=﹣6，

∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2﹣6x﹣7=0，即（x+1）（x﹣7）=0，解得x1=﹣1，x2=7．

故选D．

8. （2016·湖北荆门·12分）A城有某种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36天，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．

（1）设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；

（3）现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元（a≤200）作为优惠，其它费用不变，如何调运，使总费用最少？

【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用．

【分析】（1）A城运往C乡的化肥为x吨，则可得A城运往D乡的化肥为30﹣x吨，B城运往C乡的化肥为34﹣x吨，B城运往D乡的化肥为40﹣（34﹣x）吨，从而可得出W与x大的函数关系．

（2）根据题意得140x+12540≥16460求得28≤x≤30，于是得到有3种不同的调运方案，写出方案即可；

（3）根据题意得到W=x+12540，所以当a=200时，y最小=﹣60x+12540，此时x=30时y最小=10740元．于是得到结论．

【解答】解：（1）W=250x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240（6+x）=140x+12540（0＜x≤30）；

（2）根据题意得140x+12540≥16460，

∴x≥28，

∵x≤30，

∴28≤x≤30，

∴有3种不同的调运方案，

第一种调运方案：从A城调往C城28台，调往D城2台，从，B城调往C城6台，调往D城34台；

第二种调运方案：从A城调往C城29台，调往D城1台，从，B城调往C城5台，调往D城35台；

第三种调运方案：从A城调往C城30台，调往D城0台，从，B城调往C城4台，调往D城36台，

（3）W=x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240（6+x）=x+12540，

所以当a=200时，y最小=﹣60x+12540，此时x=30时y最小=10740元．[来源:学§科§网Z§X§X§K]

此时的方案为：从A城调往C城30台，调往D城0台，从，B城调往C城4台，调往D城36台．