初三数学中考第一轮复习学案：课时22 勾股定理与直角三角形（无答案）

初三中考第一轮复习

课题22：勾股定理与直角三角形

【知识点一】 勾股定理与勾股定理逆定理

                         概念

              勾股定理    适用范围

                          勾股定理的证明

                                         常见的勾股数

勾股定理                        勾股数  

含字母代数式的勾股数

勾股定理逆定理    勾股定理逆定理

                                勾股定理与勾股定理逆定理的联系与区别

                   1.利用直角三角形的性质解题

                    2.含30°角的直角三角形解题方法

                    3.利用勾股定理求几何体表面最短距离

                    4.利用勾股定理解决实际问题

勾股定理考查题型    5.构造直角三角形利用勾股定理解题

                    6.利用勾股定理解决翻折问题

                    7.利用勾股定理解决几何图形面积问题

8.利用勾股定理逆定理判断三角形的形状

9.勾股定理逆定理的实际应用

【精讲精练】

考点1 勾股定理与勾股定理逆定理

1.有两根木棒，分别长6cm，5cm，要再在7cm的木棒上取一段，用这三根木棒为边做成直角三角形，则第三根木棒要取的长度是          cm．

2.△ABC三边长a，b，c满足+|b－a－1|+(c－5)2=0，则△ABC是        .

3.（2018•无锡市）已知△ABC中，AB=10，AC=，∠B=30°，则△ABC的面积等于         ．

4. （2019•衢州）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．现测得AB＝8dm，DC＝2dm，则圆形标志牌的半径为（　　）

A．6dm B．5dm C．4dm D．3dm

   （4）       （5）

5.（2018•湘潭）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程为　   　．

6.若CD是△ABC的高，AB＝10，AC＝6，BC＝8，求CD的长．

7.△ABC在方格纸中的位置如图1，方格纸中的每个小正方形的边长为1个单位长度.

（1）图1中线段AB的长是______，AC的长是_______，BC的长是_______；

（2）判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）在图2中画出△DEF，使DE，EF，DF三边的长分别为，，，并求DF边上的高.

考点2双勾股问题

1.（2009•抚顺）将一个含30°角的三角板和一个含45°角的三角板如图摆放，∠ACB与∠DCE完全重合，∠C＝90°，∠A＝45°，∠EDC＝60°，AB＝4，DE＝6，则EB＝　   　．

（1）  （2）（3）

2.（2009•深圳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上一点，AD＝BD，若AB＝8，BD＝5，则CD＝　   　．

3.在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是　   　．

4.已知BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADF，AF⊥AC，

（1）证明四边形ABDF是平行四边形；

（2）若AF＝DF＝5，AD＝6，求AC的长．

考点3 利用勾股定理求最值

1. 如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是        .

2.如图，已知长方体的三条棱AB、BC、BD分别为4，5，2，蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是_____.

3.（2018•南通）如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．

（1）求证：AE＝CF；

（2）求线段OF长的最小值．

【知识点二】  直角三角形的性质与判定

①     直角三角形两个锐角互余。

②     勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。逆定理：在三角形△ABC中，如果∠A，∠B，∠C的对边是a、b、c，且a2＋b2＝c2，那么，△ABC是直角三角形。

③     等腰三角形的三线合一：等腰三角形底边的中线、底边的高、顶角的平分线三线合一。

④     直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

⑤     在直角三角形中，如果有个锐角是30°，那么这个角所对的边等于斜边的一半。

⑥     射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。斜边乘以斜边上的高等于两直角边的积。

⑦     三角函数：正弦（sin）:角α的对边比斜边；余弦（cos）:角α的邻边比斜边；正切（tan）:角α的对边比邻边。

⑧     直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

⑨     垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。

⑩ 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；切线的判定定理：过半径外端且垂直于该半径的直线与圆相切。

【精讲精练】

1.(2018海南)如图，在△ABC 中，AB＝8，AC＝6，∠BAC＝30°，将△ABC 绕点Ａ逆时针旋转 60°得到△A B1C1，连接 B C1，则 B C1 的长为(      )

 A．6          B. 8             C. 10            D. 12

2.（2019•绵阳）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠ADC＝90°，AB＝5，CD＝AD＝3，点E是线段CD的三等分点，且靠近点C，∠FEG的两边与线段AB分别交于点F、G，连接AC分别交EF、EG于点H、K．若BG＝，∠FEG＝45°，则HK＝（　　）

A． B． C． D．2.

3.(2018，福建B卷)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，D为AB的中点，则CD＝     ．

4.（2018·襄阳）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为______．

5.（2019•毕节市）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是　   　．

6.（2018·哈尔滨）已知:在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点G，∠BGE＝∠ADE．

(1)如图1，求证:AD＝CD;

(2)如图2，BH是△ABE的中线，若AE＝2DE，DE＝EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．

图1                       图2

7.（2018·滨州）已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．

   （1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE＝AF；

   （2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE＝AF吗？请利用图②说明理由．

【课后训练】

一、选择题

1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）

A．3，4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，12

2.已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为（　　）

A．4 B．16 C． D．4或

3.如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以1为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（　　）

A．1 B．﹣1 C．1﹣ D．

（3）       （5）

4.已知Rt△ABC的三边分别为a，b，c，则下列结论不可能成立的是（　　）

A．a2﹣b2＝c2   B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5   D．a：b：c＝7：24：25

5.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若AB＝4，AC=2，则O到AC的距离为（　　）

A．1 B．2 C． D．

二、填空题

1.（2018•福建）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝，则CD＝　   　．

2．（2018•盐城）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ＝　   　．

3．（2017•葫芦岛）如图，点A（0，8），点B（4，0），连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，在射线MN上有一动点P，若△ABP是直角三角形，则点P的坐标是　   　．

4．（2017•黑龙江）如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，AO＝BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为　   　．

5．（2008•金华）把两块含有30°的相同的直角三角尺按如图所示摆放，使点C、B、E在同一直线上，连接CD，若AC＝6cm，则△BCD的面积是　   　cm2．

6.已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，则BC的长为　      　．

7.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=7,点E是AD上的一个动点,把△BAE沿BE向矩形内部折叠,当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时,CA1的长为       . 

8．（2008•黄冈）如图，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为　   　．

9．（2007•泸州）如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，D是BC的中点，且它关于AC的对称点是D′，则BD′＝　   　．

10．（2007•重庆）已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为　   　．

三、解答题

1.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，求AD的长．

2. 如图所示，在Rt△ABC中，AB=CB，ED⊥CB，垂足为D点，且∠CED=60°，∠EAB=30°，AE=2，求CB的长．

3. (2018·荆门)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．

(1)求证：△ADE≌△CDB；

(2)若BC＝，在AC边上找一点H，使得BH＋EH最小，并求出这个最小值．

4.在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．

5.如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”，

（1）如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，求证：△ABC是“美丽三角形”；

（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长．

6.（2019·南通）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．

（1）求⊙O的半径；

（2）点P为劣弧AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；

（3）在（2）的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值．