平行四边形的存在性问题2020.word版(含答案)

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平行四边形的存在性问题2020.word版(含答案)

试卷
2020-05-11
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平行四边形的存在性问题2020

    如果已知三个定点,探寻平行四边形的第四个顶点,符合条件的有3个点:以已知三个定点为三角形的顶点,过每个点画对边的平行线,三条直线两两相交,产生3个交点.

    如果已知两个定点,一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况.

    根据平行四边形的对边平行且相等,灵活运用坐标平移,可以使得计算过程简便.

    根据平行四边形的中心对称的性质,灵活运用坐标对称,可以使得解题简便.

引例1,如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线yx22x3x轴交于AB两点AB的左侧)y轴交于点C,顶点为P如果以点PACD为顶点的四边形是平行四边形,D的坐标.

 

 

 

 

 

引例2,如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线yx2+2x3x轴交于AB两点,点M这条抛物线Py轴上,如果以点PMAB为顶点的四边形是平行四边形,M的坐标.

                                                     

 

 

 

1,2017•泰安)如图,是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线,其对称轴为x=1,与x轴的一个交点为A﹣10),另一个交点为B,与y轴的交点为C.(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点N为抛物线上一点,且BCNC,求点N的坐标;(3)点P是抛物线上一点,点Q是一次函数y=菁优网-jyeoox+菁优网-jyeoo的图象上一点,若四边形OAPQ为平行四边形,这样的点PQ是否存在?若存在,分别求出点PQ的坐标;若不存在,说明理由.

 

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2.2017•菏泽)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+1y轴于点A,交x轴正半轴于点B40),与过A点的直线相交于另一点D3菁优网-jyeoo),过点DDCx轴,垂足为C.(1)求抛物线的表达式;(2)点P在线段OC上(不与点OC重合),过PPNx轴,交直线ADM,交抛物线于点N,连接CM,求PCM面积的最大值;

3)若Px轴正半轴上的一动点,设OP的长为t,是否存在t,使以点MCDN为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.

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菁优网:http://www.jyeoo.com32018•徐汇区二模)如图,已知直线y=﹣菁优网-jyeoox+2x轴、y轴分别交于点BC,抛物线y=﹣菁优网-jyeoo+bx+c过点BC,且与x轴交于另一个点A.(1)求该抛物线的表达式;(2)点M是线段BC上一点,过点M作直线ly轴交该抛物线于点N,当四边形OMNC是平行四边形时,求它的面积;(3)联结AC,设点D是该抛物线上的一点,且满足DBA=CAO,求点D的坐标.

 

 

 

 

菁优网:http://www.jyeoo.com42018•杨浦区二模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣菁优网-jyeoox2+bx+cx轴交于点AB,与y轴交于点C,直线y=x+4经过点AC,点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点.(1)求抛物线的表达式;(2)如图(1),当CPAO时,求PAC的正切值;(3当以APAO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时,求出此时点P的坐标.

 

 

 

 

 

52018•河南)如图,抛物线y=ax2+6x+cx轴于AB两点,交y轴于点C.直线y=x﹣5经过点BC

1)求抛物线的解析式;(2)过点A的直线交直线BC于点MAMBC时,过抛物线上一动点P(不与点BC重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点AMPQ为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标;

连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于ACB2倍时,请直接写出点M的坐标.

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6.(2019•孝感)如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线yax22ax8ax轴相交于AB两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C0,﹣4).(1)点A的坐标为     ,点B的坐标为     ,线段AC的长为     ,抛物线的解析式为     .(2)点P是线段BC下方抛物线上的一个动点.

如果在x轴上存在点Q,使得以点BCPQ为顶点的四边形是平行四边形.求点Q的坐标.

如图2,过点PPECA交线段BC于点E,过点P作直线xtBC于点F,交x轴于点G,记PEf,求f关于t的函数解析式;当tm4菁优网-jyeoom0m2)时,试比较f的对应函数值f1f2的大小.

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7.(2019•山西)综合与探究

如图,抛物线yax2+bx+6经过点A(﹣20),B40)两点,与y轴交于点C,点D是抛物线上一个动点,设点D的横坐标为m1m4).连接ACBCDBDC

1)求抛物线的函数表达式;

2)△BCD的面积等于△AOC的面积的菁优网-jyeoo时,求m的值;

3)在(2)的条件下,若点Mx轴上一动点,点N是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M,使得以点BDMN为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

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答案

1,2017•泰安)如图,是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线,其对称轴为x=1,与x轴的一个交点为A﹣10),另一个交点为B,与y轴的交点为C.(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点N为抛物线上一点,且BCNC,求点N的坐标;(3)点P是抛物线上一点,点Q是一次函数y=菁优网-jyeoox+菁优网-jyeoo的图象上一点,若四边形OAPQ为平行四边形,这样的点PQ是否存在?若存在,分别求出点PQ的坐标;若不存在,说明理由.

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【分析】1)已知抛物线的对称轴,因而可以设出顶点式,利用待定系数法求函数解析式;

2)首先求得BC的坐标,易证OBC是等腰直角三角形,过点NNHy轴,垂足是H,设点N纵坐标是(a﹣a2+2a+3),根据CH=NH即可列方程求解;(3)四边形OAPQ是平行四边形,则PQ=OA=1,且PQOA,设Pt﹣t2+2t+3),代入y=菁优网-jyeoox+菁优网-jyeoo,即可求解.

【解答】解:(1)设抛物线的解析式是y=﹣x﹣12+k

把(﹣10)代入得0=﹣﹣1﹣12+k,解得k=4

则抛物线的解析式是y=﹣x﹣12+4,即y=﹣x2+2x+3

2)在y=﹣x2+2x+3中令x=0,则y=3,即C的坐标是(03),OC=3

B的坐标是(30),OB=3OC=OB,则OBC是等腰直角三角形.∴∠OCB=45°

过点NNHy轴,垂足是H

∵∠NCB=90°∴∠NCH=45°NH=CHHO=OC+CH=3+CH=3+NH

设点N坐标是(a﹣a2+2a+3).a+3=﹣a2+2a+3,解得a=0(舍去)或a=1

N的坐标是(14);

3四边形OAPQ是平行四边形,则PQ=OA=1,且PQOA

Pt﹣t2+2t+3),代入y=菁优网-jyeoox+菁优网-jyeoo,则﹣t2+2t+3=菁优网-jyeoot+1+菁优网-jyeoo

整理,得2t2﹣t=0,解得t=0菁优网-jyeoo﹣t2+2t+3的值为3菁优网-jyeoo

PQ的坐标是(03),(13)或(菁优网-jyeoo菁优网-jyeoo)、(菁优网-jyeoo菁优网-jyeoo).

综上所述,PQ的坐标是(03),(13)或(菁优网-jyeoo菁优网-jyeoo)、(菁优网-jyeoo菁优网-jyeoo).

 

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式,以及等腰三角形、平行四边形的性质,注意到OBC是等腰直角三角形是解题的关键.

2.2017•菏泽)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+1y轴于点A,交x轴正半轴于点B40),与过A点的直线相交于另一点D3菁优网-jyeoo),过点DDCx轴,垂足为C.(1)求抛物线的表达式;(2)点P在线段OC上(不与点OC重合),过PPNx轴,交直线ADM,交抛物线于点N,连接CM,求PCM面积的最大值;

3)若Px轴正半轴上的一动点,设OP的长为t,是否存在t,使以点MCDN为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.

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【考点】HF:二次函数综合题.菁优网版权所有

【分析】1)把B40),点D3菁优网-jyeoo)代入y=ax2+bx+1即可得出抛物线的解析式;

2)先用含t的代数式表示PM坐标,再根据三角形的面积公式求出PCM的面积与t的函数关系式,然后运用配方法可求出PCM面积的最大值;

3)若四边形DCMN为平行四边形,则有MN=DC,故可得出关于t的二元一次方程,解方程即可得到结论.

【解答】解:(1)把点B40),点D3菁优网-jyeoo),代入y=ax2+bx+1中得,菁优网-jyeoo

解得:菁优网-jyeoo抛物线的表达式为y=﹣菁优网-jyeoox2+菁优网-jyeoox+1

2)设直线AD的解析式为y=kx+b

A01),D3菁优网-jyeoo),菁优网-jyeoo菁优网-jyeoo

直线AD的解析式为y=菁优网-jyeoox+1

Pt0),  Mt菁优网-jyeoot+1),  PM=菁优网-jyeoot+1

CDx轴,  PC=3﹣t

SPCM=菁优网-jyeooPC•PM=菁优网-jyeoo3﹣t)(菁优网-jyeoot+1),

SPCM=﹣菁优网-jyeoot2+菁优网-jyeoot+菁优网-jyeoo=﹣菁优网-jyeoot﹣菁优网-jyeoo2+菁优网-jyeoo

∴△PCM面积的最大值是菁优网-jyeoo

3OP=t

MN的横坐标为t

Mt菁优网-jyeoot+1),Nt菁优网-jyeoot2+菁优网-jyeoot+1),

∴|MN|=|菁优网-jyeoot2+菁优网-jyeoot+1﹣菁优网-jyeoot﹣1|=|菁优网-jyeoot2+菁优网-jyeoot|CD=菁优网-jyeoo

如图1,如果以点MCDN为顶点的四边形是平行四边形,

MN=CD,即菁优网-jyeoot2+菁优网-jyeoot=菁优网-jyeoo,整理得:3t2﹣9t+10=0

∵△=﹣39方程菁优网-jyeoot2+菁优网-jyeoot=菁优网-jyeoo无实数根,不存在t

如图2,如果以点MCDN为顶点的四边形是平行四边形,

MN=CD,即菁优网-jyeoot2菁优网-jyeoot=菁优网-jyeoo  t=菁优网-jyeoo,(负值舍去),

t=菁优网-jyeoo时,以点MCDN为顶点的四边形是平行四边形.

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【点评】本题考查的是二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定,正确求出二次函数的解析式、利用配方法把一般式化为顶点式、求出函数的最值是解题的关键,注意菱形的判定定理的灵活运用.

3.2018•徐汇区二模)如图,已知直线y=﹣菁优网-jyeoox+2x轴、y轴分别交于点BC,抛物线y=﹣菁优网-jyeoo+bx+c过点BC,且与x轴交于另一个点A

1)求该抛物线的表达式;

2)点M是线段BC上一点,过点M作直线ly轴交该抛物线于点N,当四边形OMNC是平行四边形时,求它的面积;

3)联结AC,设点D是该抛物线上的一点,且满足DBA=CAO,求点D的坐标.

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【分析】1)根据直线解析式求出点BC的坐标,然后利用待定系数法求二次函数解析式列式求解即可;

2)设Mm菁优网-jyeoom+2),则Nm菁优网-jyeoo+2),则MN=菁优网-jyeoo+2菁优网-jyeoom+2=﹣菁优网-jyeoom2+2m,根据MN=OC=2列方程可得M的横坐标,根据平行四边形的面积公式可得结论;

3)分两种情况:

Dx轴的下方:根据ACBD,直线解析式k相等可设直线BD的解析式为:y=2x+b,把B40)代入得直线BD的解析式为:y=2x﹣8,联立方程可得D的坐标;

Dx轴的上方,根据对称可得M的坐标,利用待定系数法求直线BM的解析式,与二次函数的交点,联立方程可得D的坐标.

【解答】解:(1)当x=0时,y=2C02),

y=0时,菁优网-jyeoox+2=0x=4B40),

C02)和B40)代入抛物线y=﹣菁优网-jyeoo+bx+c中得:菁优网-jyeoo

解得:菁优网-jyeoo该抛物线的表达式:菁优网-jyeoo

2)如图1C02),OC=2

Mm菁优网-jyeoom+2),则Nm菁优网-jyeoo+2),

MN=菁优网-jyeoo+2菁优网-jyeoom+2=﹣菁优网-jyeoom2+2m

MNy轴,当四边形OMNC是平行四边形时,MN=OC

菁优网-jyeoom2+2m=2,解得:m1=m2=2S▱OCMN=OC×2=2×2=4

3)分两种情况:

y=0时,菁优网-jyeoox+2=0,解得:x1=4x2=﹣1A﹣10),

易得直线AC的解析式为:y=2x+2

Dx轴的下方时,如图2ACBD设直线BD的解析式为:y=2x+b

B40)代入得:0=2×4+bb=﹣8直线BD的解析式为:y=2x﹣8

2x﹣8=﹣菁优网-jyeoox+2,解得:x1=﹣5x2=4(舍),D﹣5﹣18);

Dx轴的上方时,如图3,作抛物线的对称轴交直线BDM,将BE(图2中的点D)于N

对称轴是:x=﹣菁优网-jyeoo=菁优网-jyeoo

∵∠CAO=ABE=DABMN关于x轴对称,直线BE的解析式:y=2x﹣8

x=菁优网-jyeoo时,y=﹣5N菁优网-jyeoo﹣5),M菁优网-jyeoo5),

直线BM的解析式为:y=﹣2x+8

﹣2x+8=﹣菁优网-jyeoox+2,解得:x1=3x2=4(舍),D32),

综上所述,点D的坐标为:(﹣5﹣18)或(32).

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【点评】本题是对二次函数的综合考查,主要有直线与坐标轴的交点的求解,待定系数法求二次函数和一次函数解析式,两直线平行的关系,对称性等知识,(3)题有难度,采用分类讨论的思想解决问题.

4.(2018•杨浦区二模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣菁优网-jyeoox2+bx+cx轴交于点AB,与y轴交于点C,直线y=x+4经过点AC,点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点.

1)求抛物线的表达式;

2)如图(1),当CPAO时,求PAC的正切值;

3)当以APAO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时,求出此时点P的坐标.

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【分析】1)利用一次函数解析式确定C04),A﹣40),然后根据待定系数法求抛物线解析式;

2)先确定抛物线的对称轴为直线x=﹣1,再利用对称性得到P﹣24),作PHACH,如图1,证明OACPCH为等腰直角三角形得到AC=4菁优网-jyeooPH=CH=菁优网-jyeoo,则AH=3菁优网-jyeoo,然后根据正切的定义求解;

3)以APAO为邻边的平行四边形第四个顶点为点Q,如图2,利用平行四边形的性质得PQOAPQ=OA=4,设Pt菁优网-jyeoot2﹣t+4),则Qt+4菁优网-jyeoot2﹣t+4),然后Q点坐标代入y=﹣菁优网-jyeoox2﹣x+4菁优网-jyeoot+42t+4+4=﹣菁优网-jyeoot2﹣t+4,再解关于t的方程即可得到P点坐标.

【解答】解:(1)当x=0时,y=x+4=4,则C04),

y=0时,x+4=0,解得x=﹣4,则A﹣40),

A﹣40),C04)代入y=﹣菁优网-jyeoox2+bx+c菁优网-jyeoo,解得菁优网-jyeoo

抛物线解析式为y=﹣菁优网-jyeoox2﹣x+4

2)抛物线的对称轴为直线x=﹣菁优网-jyeoo=﹣1

PCOAP与点C关于直线x=﹣1对称,P﹣24),PC=2

PHACH,如图1

OA=OC=4∴△OAC为等腰直角三角形,∴∠OAC=45°AC=4菁优网-jyeoo

PCOA∴∠PCA=OAC=45°∴△PCH为等腰直角三角形,

PH=CH=菁优网-jyeoo×2=菁优网-jyeooAH=AC﹣CH=4菁优网-jyeoo菁优网-jyeoo=3菁优网-jyeoo

RtPAH中,tanPAH=菁优网-jyeoo=菁优网-jyeoo=菁优网-jyeoo,即PAC的正切值为菁优网-jyeoo

3)以APAO为邻边的平行四边形第四个顶点为点Q,如图2

四边形APQO为平行四边形,PQOAPQ=OA=4

Pt菁优网-jyeoot2﹣t+4),则Qt+4菁优网-jyeoot2﹣t+4),

把(t+4菁优网-jyeoot2﹣t+4)代入y=﹣菁优网-jyeoox2﹣x+4菁优网-jyeoot+42t+4+4=﹣菁优网-jyeoot2﹣t+4,解得t=﹣3此时P点坐标为(﹣3菁优网-jyeoo).

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【点评】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质.

5.(2018•河南)如图,抛物线y=ax2+6x+cx轴于AB两点,交y轴于点C.直线y=x﹣5经过点BC

1)求抛物线的解析式;

2)过点A的直线交直线BC于点M

AMBC时,过抛物线上一动点P(不与点BC重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点AMPQ为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标;

连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于ACB2倍时,请直接写出点M的坐标.

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【分析】1)利用一次函数解析式确定C0﹣5),B50),然后利用待定系数法求抛物线解析式;

2先解方程﹣x2+6x﹣5=0A10),再判断OCB为等腰直角三角形得到OBC=OCB=45°,则AMB为等腰直角三角形,所以AM=2菁优网-jyeoo,接着根据平行四边形的性质得到PQ=AM=2菁优网-jyeooPQBC,作PDx轴交直线BCD,如图1,利用PDQ=45°得到PD=菁优网-jyeooPQ=4,设Pm﹣m2+6m﹣5),则Dmm﹣5),讨论:当P点在直线BC上方时,PD=﹣m2+6m﹣5﹣m﹣5=4;当P点在直线BC下方时,PD=m﹣5﹣﹣m2+6m﹣5),然后分别解方程即可得到P点的横坐标;

ANBCNNHx轴于H,作AC的垂直平分线交BCM1,交ACE,如图2,利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到AM1B=2ACB,再确定N3﹣2),

AC的解析式为y=5x﹣5E点坐标为(菁优网-jyeoo菁优网-jyeoo),利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=﹣菁优网-jyeoox+b,把E菁优网-jyeoo菁优网-jyeoo)代入求出b得到直线EM1的解析式为y=﹣菁优网-jyeoox﹣菁优网-jyeoo,则解方程组菁优网-jyeooM1点的坐标;作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2,如图2,利用对称性得到AM2C=AM1B=2ACB,设M2xx﹣5),根据中点坐标公式得到3=菁优网-jyeoo,然后求出x即可得到M2的坐标,从而得到满足条件的点M的坐标.

【解答】解:(1)当x=0时,y=x﹣5=﹣5,则C0﹣5),

y=0时,x﹣5=0,解得x=5,则B50),

B50),C0﹣5)代入y=ax2+6x+c菁优网-jyeoo,解得菁优网-jyeoo

抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5

2解方程﹣x2+6x﹣5=0x1=1x2=5,则A10),

B50),C0﹣5),∴△OCB为等腰直角三角形,∴∠OBC=OCB=45°

AMBC∴△AMB为等腰直角三角形,AM=菁优网-jyeooAB=菁优网-jyeoo×4=2菁优网-jyeoo

以点AMPQ为顶点的四边形是平行四边形,AMPQ

PQ=AM=2菁优网-jyeooPQBC

PDx轴交直线BCD,如图1,则PDQ=45°PD=菁优网-jyeooPQ=菁优网-jyeoo×2菁优网-jyeoo=4

Pm﹣m2+6m﹣5),则Dmm﹣5),

P点在直线BC上方时,

PD=﹣m2+6m﹣5﹣m﹣5=﹣m2+5m=4,解得m1=1m2=4

P点在直线BC下方时,

PD=m﹣5﹣﹣m2+6m﹣5=m2﹣5m=4,解得m1=菁优网-jyeoom2=菁优网-jyeoo

综上所述,P点的横坐标为4菁优网-jyeoo菁优网-jyeoo

ANBCNNHx轴于H,作AC的垂直平分线交BCM1,交ACE,如图2

M1A=M1C∴∠ACM1=CAM1∴∠AM1B=2ACB

∵△ANB为等腰直角三角形,AH=BH=NH=2N3﹣2),

易得AC的解析式为y=5x﹣5E点坐标为(菁优网-jyeoo菁优网-jyeoo),

设直线EM1的解析式为y=﹣菁优网-jyeoox+b

E菁优网-jyeoo菁优网-jyeoo)代入得菁优网-jyeoo+b=﹣菁优网-jyeoo,解得b=﹣菁优网-jyeoo

直线EM1的解析式为y=﹣菁优网-jyeoox﹣菁优网-jyeoo

解方程组菁优网-jyeoo菁优网-jyeoo,则M1菁优网-jyeoo菁优网-jyeoo);

作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2,如图2,则AM2C=AM1B=2ACB

 

M2xx﹣5),3=菁优网-jyeoox=菁优网-jyeooM2菁优网-jyeoo菁优网-jyeoo),

综上所述,点M的坐标为(菁优网-jyeoo菁优网-jyeoo)或(菁优网-jyeoo菁优网-jyeoo).

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【点评】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质;会运用分类讨论的思想解决数学问题.

6.(2019•孝感)如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线yax22ax8ax轴相交于AB两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C0,﹣4).

1)点A的坐标为 (﹣20) ,点B的坐标为 (40) ,线段AC的长为 2菁优网-jyeoo ,抛物线的解析式为 y菁优网-jyeoox2x4 

2)点P是线段BC下方抛物线上的一个动点.

如果在x轴上存在点Q,使得以点BCPQ为顶点的四边形是平行四边形.求点Q的坐标.

如图2,过点PPECA交线段BC于点E,过点P作直线xtBC于点F,交x轴于点G,记PEf,求f关于t的函数解析式;当tm4菁优网-jyeoom0m2)时,试比较f的对应函数值f1f2的大小.

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【分析】1)由题意得:﹣8a=﹣4,故a菁优网-jyeoo,即可求解;

2)分BC是平行四边形的一条边时、BC是平行四边形的对角线时,两种情况分别求解即可.

3)证明△EPH∽△CBA,∴菁优网-jyeoo,即:菁优网-jyeoo,则EP菁优网-jyeooPH,即可求解.

【解答】解:(1)由题意得:﹣8a=﹣4,故a菁优网-jyeoo

故抛物线的表达式为:y菁优网-jyeoox2x4

y0,则x4或﹣2,即点AB的坐标分别为(﹣20)、(40),

AC2菁优网-jyeoo

故答案为:(﹣20)、(40)、2菁优网-jyeooy菁优网-jyeoox2x4

2BC是平行四边形的一条边时,

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如图所示,点C向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点B

设:点Pn菁优网-jyeoon2n4),点Qm0),

则点P向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点Q

即:n+4m菁优网-jyeoon2n4+40

解得:m46(舍去4),

即点Q60);

BC是平行四边形的对角线时,

设点Pmn)、点Qs0),其中n菁优网-jyeoom2m4

由中点公式可得:m+s=﹣2n+04

解得:s24(舍去4),

故点Q20);

故点Q的坐标为(20)或(60);

3)如图2,针对于抛物线y菁优网-jyeoox2x4,令x0,则y=﹣4

C0,﹣4

B40),

∴直线BC的解析式为yx4

过点PPHx轴交BC于点H

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PEAC轴,

∴∠HEP=∠ACB

PHx轴,

∴∠PHE=∠ABC45°,

∴△EPH∽△CAB

菁优网-jyeoo,即:菁优网-jyeoo

EP菁优网-jyeooPH

设点PtyP),

∵点P在抛物线y菁优网-jyeoox2x4上,

yP菁优网-jyeoot2t4

设点HxHyP),

∵点H在直线yx4上,

yPxH4

菁优网-jyeoot2t4xH4

xH菁优网-jyeoot2t

f菁优网-jyeooPH菁优网-jyeoo[t﹣(菁优网-jyeoot2t]=﹣菁优网-jyeoot24t),

tm时,f1=﹣菁优网-jyeoom24m),

t4菁优网-jyeoom时,f2=﹣菁优网-jyeoo菁优网-jyeoom22m),

f1f2=﹣菁优网-jyeoomm菁优网-jyeoo),

0m2

f1f20

f1f2

【点评】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等,其中(2),要主要分类求解,避免遗漏.

7.(2019•山西)综合与探究

如图,抛物线yax2+bx+6经过点A(﹣20),B40)两点,与y轴交于点C,点D是抛物线上一个动点,设点D的横坐标为m1m4).连接ACBCDBDC

1)求抛物线的函数表达式;

2)△BCD的面积等于△AOC的面积的菁优网-jyeoo时,求m的值;

3)在(2)的条件下,若点Mx轴上一动点,点N是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M,使得以点BDMN为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

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【分析】1)由抛物线交点式表达,即可求解;

2)利用SBDC菁优网-jyeooHD×OB,即可求解;

3)分BD是平行四边形的一条边、BD是平行四边形的对角线两种情况,分别求解即可.

【解答】解:(1)由抛物线交点式表达式得:yax+2)(x4)=ax22x8)=ax22ax8a

即﹣8a6,解得:a=﹣菁优网-jyeoo

故抛物线的表达式为:y=﹣菁优网-jyeoox2+菁优网-jyeoox+6

2)点C06),将点BC的坐标代入一次函数表达式并解得:

直线BC的表达式为:y=﹣菁优网-jyeoox+6

如图所示,过点Dy轴的平行线交直线BC与点H

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设点Dm,﹣菁优网-jyeoom2+菁优网-jyeoom+6),则点Hm,﹣菁优网-jyeoom+6

SBDC菁优网-jyeooHD×OB2(﹣菁优网-jyeoom2+菁优网-jyeoom+6+菁优网-jyeoom6)=2(﹣菁优网-jyeoom2+3m),

菁优网-jyeooSACO菁优网-jyeoo×菁优网-jyeoo×6×2菁优网-jyeoo

即:2(﹣菁优网-jyeoom2+3m)=菁优网-jyeoo

解得:m13(舍去1),

m3

3)当m3时,点D3菁优网-jyeoo),

BD是平行四边形的一条边时,

如图所示:MN分别有三个点,

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设点Nn,﹣菁优网-jyeoon2+菁优网-jyeoon+6

则点N的纵坐标为绝对值为菁优网-jyeoo

|菁优网-jyeoon2+菁优网-jyeoon+6|菁优网-jyeoo

解得:n=﹣13(舍去)或1菁优网-jyeoo

故点NN′、N″)的坐标为(﹣1菁优网-jyeoo)或(1菁优网-jyeoo,﹣菁优网-jyeoo)或(1菁优网-jyeoo,﹣菁优网-jyeoo),

当点N(﹣1菁优网-jyeoo)时,由图象可得:点M00),

N′的坐标为(1菁优网-jyeoo,﹣菁优网-jyeoo),由中点坐标公式得:点M′(菁优网-jyeoo0),

同理可得:点M″坐标为(﹣菁优网-jyeoo0),

故点M坐标为:(00)或(菁优网-jyeoo0)或(﹣菁优网-jyeoo0);

BD是平行四边形的对角线时,

BD的坐标分别为(40)、(3菁优网-jyeoo

设点Mm0),点Nst),

由中点坐标公式得:菁优网-jyeoo,而t=﹣菁优网-jyeoos2+菁优网-jyeoos+6

解得:t菁优网-jyeoos=﹣1m8

故点M坐标为(80);

故点M的坐标为:(00)或(菁优网-jyeoo0)或(﹣菁优网-jyeoo0)或(80).

【点评】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等,其中(3),要主要分类求解,避免遗漏.

 

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