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浙教版2018-2019学年度九年级中考数学模拟试卷(含解析)

浙教版2018-2019学年度九年级中考数学模拟试卷(含解析)

2019-05-29
259
86
2 MB
41备课币
简介
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浙教版2018-2019学年度九年级中考数学模拟试卷  一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分) 1.(3分)据统计部门发布的信息,广州2016年常驻人口14043500人,数字14043500用科学记数法表示为(  ) A.0.140435×108 B.1.40435×107 C.14.0435×106 D.140.435×105 2.(3分)实数a,b在数轴上的位置如图所示,下列各式正确的是(  ) A.a>0 B.a+b>0 C.a﹣b>0 D.ab<0 3.(3分)如图,下列图形从正面看是三角形的是(  ) A. B. C. D. 4.(3分)下列航空公司的标志中,是轴对称图形的是(  ) A. B. C. D. 5.(3分)已知a,b,c满足a+b+c=0,abc=8,那么的值是(  ) A.正数 B.零 C.负数 D.正、负不能确定 6.(3分)一个多边形截去一个角后,形成另一个多边形的内角和为2520°,则原多边形的边数是(  ) A.17 B.16 C.15 D.16或15或17 7.(3分)如图,在⊙O中,弦AB垂直平分半径OC.若⊙O的半径为4,则弦AB的长为(  ) A. B. C. D. 8.(3分)如图所示,向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水,则能够反映容器内水的体积y与容器内水深x间的函数关系的图象可能是(  ) A. B. C. D. 9.(3分)如图,是做课间操时,小明,小刚和小红三人的相对位置,如果用(4,5)表示小明的位置,(2,4)表示小刚的位置,则小红的位置可表示为(  ) A.(0,0) B.(0,1) C.(1,0) D.(1,2) 10.(3分)如图甲,A、B是半径为1的⊙O上两点,且OA⊥OB.点P从A出发,在⊙O上以每秒一个单位的速度匀速运动,回到点A运动结束.设运动时间为x,弦BP的长度为y,那么如图乙图象中可能表示y与x的函数关系的是(  ) A.① B.④ C.①或③ D.②或④ 二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分) 11.(3分)分解因式(xy﹣1)2﹣(x+y﹣2xy)(2﹣x﹣y)=   . 12.(3分)如图,利用图形面积的不同表示方法,能够得到的代数恒等式是   (写出一个即可). 13.(3分)某林业部门统计某种树苗在本地区一定条件下的移植成活率,结果如表: 移植的棵数n 300 700 1000 5000 15000 成活的棵数m 280 622 912 4475 13545 成活的频率 0.933 0.889 0.912 0.895 0.903 根据表中的数据,估计这种树苗移植成活的概率为   (精确到0.1); 如果该地区计划成活4.5万棵幼树,那么需要移植这种幼树大约   万棵. 14.(3分)如图,一条船从灯塔C的南偏东42°的A处出发,向正北航行8海里到达B处,此时灯塔C在船的北偏西84°方向,则船距离灯塔C   海里. 15.(3分)《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”一章里,一次方程组是由算筹布置而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的,为看图方便,我们把它改为横排,如图1、图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x,y的系数与相应的常数项.把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来,就是.类似地,图2所示的算筹图我们可以表述为   . 16.(3分)已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(﹣1,2),与x轴的一个交点A在点(﹣3,0)和点(﹣2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论:①b2﹣4ac<0;②当x>﹣1时,y随x增大而减小;③a+b+c<0;④若方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根,则m>2;⑤3a+c>0.其中正确结论是   (填序号)   三.解答题(共13小题,满分72分) 17.(5分)计算:sin30°﹣+(π﹣4)0+|﹣|. 18.(5分)解关于x的不等式组:,其中a为参数. 19.(4分)如图,在平行四边形ABCD中,点M、N分别在线段DA、BA的延长线上,且BD=BN=DM,连接BM、DN并延长交于点P. (1)求证:∠P=90°﹣∠C; (2)当∠C=90°,ND=NP时,判断线段MP与AM的数量关系,并给予证明. 20.(5分)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围; (2)当时,求的值. 21.(5分)在同一坐标系中画出了三个一次函数的图象: y=1﹣x,y=x+1和 y=3x﹣1 (1)求y=1﹣x和 y=3x﹣1的交点A的坐标; (2)根据图象填空: ①当x   时3x﹣1>x+1; ②当x   时1﹣x>x+1; (3)对于三个实数a,b,c,用max{a,b,c}表示这三个数中最大的数,如max{﹣1,2,3}=3,max{﹣1,2,a}=,请观察三个函数的图象,直接写出 max{1﹣x,x+1,3x﹣1}的最小值. 22.(5分)解答题. 某校学生积极为地震灾区捐款奉献爱心.小颖随机抽查其中30名学生的捐款情况如下:(单位:元)2、5、35、8、5、10、15、20、15、5、45、10、2、8、20、30、40、10、15、15、30、15、8、25、25、30、15、8、10、50. (1)这30名学生捐款的最大值、最小值、极差、平均数各是多少? (2)将30名学生捐款额分成下面5组,请你完成频数统计表: (3)根据上表,作出频数分布直方图. 23.(5分)如图1,在平行四边形ABCD中,E,F分别在边AD,AB上,连接CE,CF,且满足∠DCE=∠BCF,BF=DE,∠A=60°,连接EF. (1)若EF=2,求△AEF的面积; (2)如图2,取CE的中点P,连接DP,PF,DF,求证:DP⊥PF. 24.(5分)进入21世纪以来,我国汽车保有量逐年增长.下图是根据中国产业信息网上的有关数据整理的统计图. 2007﹣2015年全国汽车保有量及增速统计图 根据以上信息,回答下列问题: (1)从2008年到2015年,   年全国汽车保有量增速最快; (2)已知2016年汽车保有量净增2200万辆,与2015年相比,2016年的增速约为   %(精确到1%),同时请你预估2018年我国汽车的保有量,并简要说明你预估的理由. 25.(5分)如图,钝角△ABC中,AB=AC,BC=2,O是边AB上一点,以O为圆心,OB为半径作⊙O,交边AB于点D,交边BC于点E,过E作⊙O的切线交边AC于点F. (1)求证:EF⊥AC. (2)连结DF,若∠ABC=30°,且DF∥BC,求⊙O的半径长. 26.(5分)某班“数学兴趣小组”对函数y=x+的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整: (1)自变量x的取值范围是   ; (2)如表是y与x的几组对应数值:  x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ ﹣ 1  2  3 …  y … ﹣ ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣ 2   … 在平面直角坐标系中,描出了以表中各对对应值为坐标的点,根据描出的点,画出该函数的图象; (3)进一步探究发现:该函数在第一象限内的最低点的坐标是(1,2),观察函数图象,写出该函数的另一条性质   ; (4)请你利用配方法证明:当x>0时,y=x+的最小值为2.(提示:当x>0时x=()2,=()2) 27.(8分)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=2x2+bx+c的图象经过(﹣1,0)和(,0)两点. (1)求此二次函数的表达式. (2)直接写出当﹣<x<1时,y的取值范围. (3)将一次函数y=(1﹣k)x+2的图象向下平移k(k>0)个单位后,与二次函数y=2x2+bx+c图象交点的横坐标分别是m和n,其中m<2<n,试求k的取值范围. 28.(7分)阅读下列材料,完成任务: 自相似图形 定义:若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形,则称这个图形是自相似图形.例如:正方形ABCD中,点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点,连接EG,HF交于点O,易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形,且与原正方形相似,故正方形是自相似图形. 任务: (1)图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中,每个正方形与原正方形的相似比为   ; (2)如图2,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,小明发现△ABC也是“自相似图形”,他的思路是:过点C作CD⊥AB于点D,则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形.已知△ACD∽△ABC,则△ACD与△ABC的相似比为   ; (3)现有一个矩形ABCD是自相似图形,其中长AD=a,宽AB=b(a>b). 请从下列A、B两题中任选一条作答:我选择   题. A:①如图3﹣1,若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形,且与原矩形都相似,则a=   (用含b的式子表示); ②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形,且与原矩形都相似,则a=   (用含n,b的式子表示); B:①如图4﹣1,若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形,再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形,且分割得到的矩形与原矩形都相似,则a=   (用含b的式子表示); ②如图4﹣2,若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形,再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形,且分割得到的矩形与原矩形都相似,则a=   (用含m,n,b的式子表示). 29.(8分)如图,二次函数与反比例函数的图象有公共点A(﹣2,5),?ABCD的顶点B(﹣5,p)在双曲线上,C、D两点在抛物线上(点C在y轴负半轴,点D在x轴正半轴) (1)求直线AB的表达式及C、D两点的坐标; (2)第四象限的抛物线上是否存在点E,使得ACDE的面积最大,若存在,求出点E的坐标和面积的最大值,不存在,说明理由.   参考答案与试题解析   一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分) 1.(3分)据统计部门发布的信息,广州2016年常驻人口14043500人,数字14043500用科学记数法表示为(  ) A.0.140435×108 B.1.40435×107 C.14.0435×106 D.140.435×105 【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,据此判断即可. 【解答】解:14043500=1.40435×107 故选:B. 【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数,一般形式为a×10n,其中1≤|a|<10,确定a与n的值是解题的关键.   2.(3分)实数a,b在数轴上的位置如图所示,下列各式正确的是(  ) A.a>0 B.a+b>0 C.a﹣b>0 D.ab<0 【分析】根据数轴先判断a、b的大小,然后根据有理数的加法、减法、乘法法则即可判断. 【解答】解:由数轴可知:a<0<b,|a|>|b|, ∴a+b<0,a﹣b<0,ab<0, ∴选项D正确. 故选:D. 【点评】此题考查了实数与数轴,解题的关键是:根据有理数的加法、减法、乘法法则判断结果的符号.   3.(3分)如图,下列图形从正面看是三角形的是(  ) A. B. C. D. 【分析】分别写出各选项中几何体的从正面看到的图形,进一步选择答案即可. 【解答】解:A、三棱柱从正面看到的是长方形,不合题意; B、圆台从正面看到的是梯形,不合题意; C、圆锥从正面看到的是三角形,符合题意; D、长方体从正面看到的是长方形,不合题意. 故选:C. 【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图,关键是掌握简单几何体的特征.   4.(3分)下列航空公司的标志中,是轴对称图形的是(  ) A. B. C. D. 【分析】根据轴对称图形的概念判断即可. 【解答】解:A、不是轴对称图形; B、不 是轴对称图形; C、是轴对称图形; D、不是轴对称图形; 故选:C. 【点评】本题考查的是轴对称图形的概念,判断轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.   5.(3分)已知a,b,c满足a+b+c=0,abc=8,那么的值是(  ) A.正数 B.零 C.负数 D.正、负不能确定 【分析】解题的关键是知道=,而在公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)里有ab+bc+ac这一部分,利用相等关系,可求出ab+bc+ac的值,再在不等式左右同除以abc的值,从而求的值. 【解答】解:∵a+b+c=0,abc=8, ∴(a+b+c)2=0,且a、b、c都不为0, ∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=0, ∴ab+bc+ac=﹣(a2+b2+c2), 又∵a、b、c都不为0, ∴a2+b2+c2>0, ∴ab+bc+ac<0, 又∵abc=8>0, ∴<0, ∴<0. ∴的值是负数. 故选:C. 【点评】本题利用了(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)公式,以及不等式的有关性质,此题较难.   6.(3分)一个多边形截去一个角后,形成另一个多边形的内角和为2520°,则原多边形的边数是(  ) A.17 B.16 C.15 D.16或15或17 【分析】因为一个多边形截去一个角后,多边形的边数可能增加了一条,也可能不变或减少了一条,根据多边形的内角和即可解决问题. 【解答】解:多边形的内角和可以表示成(n﹣2)?180°(n≥3且n是整数),一个多边形截去一个角后,多边形的边数可能增加了一条,也可能不变或减少了一条, 根据(n﹣2)?180°=2520°解得:n=16, 则多边形的边数是15,16,17. 故选:D. 【点评】本题主要考查多边形的内角和定理的计算方法.   7.(3分)如图,在⊙O中,弦AB垂直平分半径OC.若⊙O的半径为4,则弦AB的长为(  ) A. B. C. D. 【分析】连接OA,由AB垂直平分OC,求出OD的长,再利用垂径定理得到D为AB的中点,在直角三角形AOD中,利用垂径定理求出AD的长,即可确定出AB的长. 【解答】解:连接OA,由AB垂直平分OC,得到OD=OC=2, ∵OC⊥AB, ∴D为AB的中点, 则AB=2AD=2=2=4. 故选:B. 【点评】此题考查了垂径定理,以及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解本题的关键.   8.(3分)如图所示,向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水,则能够反映容器内水的体积y与容器内水深x间的函数关系的图象可能是(  ) A. B. C. D. 【分析】水深h越大,水的体积v就越大,故容器内水的体积y与容器内水深x间的函数是增函数,根据球的特征进行判断分析即可. 【解答】解:根据球形容器形状可知,函数y的变化趋势呈现出,当0<x<R时,y增量越来越大,当R<x<2R时,y增量越来越小, 曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大,后又逐渐变小,故y关于x的函数图象是先凹后凸. 故选:A. 【点评】本题主要考查了函数图象的变化特征,解题的关键是利用数形结合的数学思想方法.解得此类试题时注意,如果水的体积随深度的增加而逐渐变快,对应图象是曲线从缓逐渐变陡.   9.(3分)如图,是做课间操时,小明,小刚和小红三人的相对位置,如果用(4,5)表示小明的位置,(2,4)表示小刚的位置,则小红的位置可表示为(  ) A.(0,0) B.(0,1) C.(1,0) D.(1,2) 【分析】根据已知两点的坐标确定坐标系;再确定点的坐标. 【解答】解:根据题意:由(4,5)表示小明的位置,(2,4)表示小刚的位置,可以确定平面直角坐标系中x轴与y轴的位置,则小红的位置可表示为(1,2). 故选:D. 【点评】考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力,关键是由已知条件正确确定坐标轴的位置.   10.(3分)如图甲,A、B是半径为1的⊙O上两点,且OA⊥OB.点P从A出发,在⊙O上以每秒一个单位的速度匀速运动,回到点A运动结束.设运动时间为x,弦BP的长度为y,那么如图乙图象中可能表示y与x的函数关系的是(  ) A.① B.④ C.①或③ D.②或④ 【分析】分两种情形讨论当点P顺时针旋转时,图象是③,当点P逆时针旋转时,图象是①,由此即可解决问题. 【解答】解:当点P顺时针旋转时,图象是③,当点P逆时针旋转时,图象是①, 故答案为①③, 故选:C. 【点评】本题考查动点问题函数图象、圆的有关知识,解题的关键理解题意,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.   二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分) 11.(3分)分解因式(xy﹣1)2﹣(x+y﹣2xy)(2﹣x﹣y)= (y﹣1)2(x﹣1)2 . 【分析】式中x+y;xy多次出现,可引入两个新字母,突出式子特点,设x+y=a,xy=b,将a、b代入原式,进行因式分解,然后再将x+y、xy代入进行因式分解. 【解答】解:令x+y=a,xy=b, 则(xy﹣1)2﹣(x+y﹣2xy)(2﹣x﹣y) =(b﹣1)2﹣(a﹣2b)(2﹣a) =b2﹣2b+1+a2﹣2a﹣2ab+4b =(a2﹣2ab+b2)+2b﹣2a+1 =(b﹣a)2+2(b﹣a)+1 =(b﹣a+1)2; 即原式=(xy﹣x﹣y+1)2=[x(y﹣1)﹣(y﹣1)]2=[(y﹣1)(x﹣1)]2=(y﹣1)2(x﹣1)2. 故答案为:(y﹣1)2(x﹣1)2. 【点评】本题考查了多项式的因式分解,因式分解要根据所给多项式的特点,选择适当的方法,对所给多项式进行变形,套用公式,最后看结果是否符合要求.   12.(3分)如图,利用图形面积的不同表示方法,能够得到的代数恒等式是 (a+b)2=a2+2ab+b2 (写出一个即可). 【分析】整个图形为一个正方形,找到边长,表示出面积;也可用两个小正方形的面积加上2个矩形的面积表示,然后让这两个面积相等即可. 【解答】解:∵大正方形边长为:(a+b),面积为:(a+b)2; ∴两个小正方形的面积加上2个矩形的面积和为:a2+2ab+b2; ∴(a+b)2=a2+2ab+b2. 故答案为:(a+b)2=a2+2ab+b2. 【点评】此题考查了完全平方公式的几何意义,用不同的方法表示相应的面积是解题的关键.   13.(3分)某林业部门统计某种树苗在本地区一定条件下的移植成活率,结果如表: 移植的棵数n 300 700 1000 5000 15000 成活的棵数m 280 622 912 4475 13545 成活的频率 0.933 0.889 0.912 0.895 0.903 根据表中的数据,估计这种树苗移植成活的概率为 0.9 (精确到0.1); 如果该地区计划成活4.5万棵幼树,那么需要移植这种幼树大约 5 万棵. 【分析】利用表格中数据估算这种幼树移植成活率的概率即可.然后用样本概率估计总体概率即可确定答案. 【解答】解:由表格数据可得,随着样本数量不等增加,这种幼树移植成活率稳定的0.9左右, 故这种幼树移植成活率的概率约为0.9. ∵该地区计划成活4.5万棵幼树, ∴那么需要移植这种幼树大约4.5÷0.9=5万棵 故本题答案为:0.9;5. 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率,大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为:频率=所求情况数与总情况数之比.   14.(3分)如图,一条船从灯塔C的南偏东42°的A处出发,向正北航行8海里到达B处,此时灯塔C在船的北偏西84°方向,则船距离灯塔C 8 海里. 【分析】先利用平行线的性质得到∠A=∠ACD=42°,再利用三角形外角性质可求出∠ABC=42°,则∠ABC=∠A,于是可判断△BAC为等腰三角形,所以BC=BA=8, 【解答】解:如图,∵AB∥CD, ∴∠A=∠ACD=42°, ∵∠NBC=∠A+∠ABC, ∴∠ABC=84°﹣42°=42°, ∴∠ABC=∠A, ∴BC=BA=8, 即船距离灯塔C8海里. 故答案为8. 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质:在等腰三角形有关问题中,会遇到一些添加辅助线的问题,其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线,虽然“三线合一”,但添加辅助线时,有时作哪条线都可以,有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同,需要具体问题具体分析.也考查了方向角. 15.(3分)《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”一章里,一次方程组是由算筹布置而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的,为看图方便,我们把它改为横排,如图1、图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x,y的系数与相应的常数项.把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来,就是.类似地,图2所示的算筹图我们可以表述为  . 【分析】由图1可得1个竖直的算筹数算1,一个横的算筹数算10,每一横行是一个方程,第一个数是x的系数,第二个数是y的系数,第三个数是相加的结果:前面的表示十位,后面的表示个位,由此可得图2的表达式. 【解答】解:第一个方程x的系数为2,y的系数为1,相加的结果为11;第二个方程x的系数为4,y的系数为3,相加的结果为27,所以可列方程组为, 故答案为. 【点评】考查列二元一次方程组;关键是读懂图意,得到所给未知数的系数及相加结果. 16.(3分)已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(﹣1,2),与x轴的一个交点A在点(﹣3,0)和点(﹣2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论:①b2﹣4ac<0;②当x>﹣1时,y随x增大而减小;③a+b+c<0;④若方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根,则m>2;⑤3a+c>0.其中正确结论是 ②③④ (填序号) 【分析】利用图象信息,以及二次函数的性质即可一一判断. 【解答】解:∵二次函数与x轴有两个交点, ∴b2﹣4ac>0,故①错误, 观察图象可知:当x>﹣1时,y随x增大而减小,故②正确, ∵抛物线与x轴的另一个交点为在(0,0)和(1,0)之间, ∴x=1时,y=a+b+c<0,故③正确, ∵当m>2时,抛物线与直线y=m没有交点, ∴方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根,故④正确, ∵对称轴x=﹣1=﹣, ∴b=2a, ∵a+b+c<0, ∴3a+c<0,故⑤错误, 故答案为:②③④ 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系,根的判别式、抛物线与X轴的交点等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型. 三.解答题(共13小题,满分72分) 17.(5分)计算:sin30°﹣+(π﹣4)0+|﹣|. 【分析】原式利用特殊角角的三角函数值,平方根定义,零指数幂法则,以及绝对值的代数意义化简,计算即可求出值. 【解答】解:原式=﹣2+1+=0. 【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.   18.(5分)解关于x的不等式组:,其中a为参数. 【分析】求出不等式组中每个不等式的解集,分别求出当﹣a=a时、当=时、当﹣a=时、当a=时a的值,结合不等式的解集,即可求出在各段的不等式组的解集. 【解答】解:, 解不等式①得:﹣3a<5x≤1﹣3a, ﹣a<x≤, 解不等式②得:3a<5x≤1+3a, a<x≤, ∵当﹣a=a时,a=0, 当=时,a=0, 当﹣a=时,a=﹣, 当a=时,a=, ∴当或时,原不等式组无解; 当时,原不等式组的解集为:; 当时,原不等式组的解集为:. 【点评】本题考查了不等式组得解集,关键是能正确求出各段的不等式组的解集,本题比较特殊,有一定的难度.   19.(4分)如图,在平行四边形ABCD中,点M、N分别在线段DA、BA的延长线上,且BD=BN=DM,连接BM、DN并延长交于点P. (1)求证:∠P=90°﹣∠C; (2)当∠C=90°,ND=NP时,判断线段MP与AM的数量关系,并给予证明. 【分析】(1)首先过点B作BF⊥PD于点F,过点D作DG⊥BP于点G,BF与DG交于点H,由BD=BN=DM,可得BF与DG是∠DBN、∠MDB的平分线,又由四边形内角和为360°,可得∠P+∠FHG=180°,继而可得∠DHB=∠FHG=180°﹣∠P=90°+∠C,则可证得结论; (2)首先过点P作PS⊥CD于点S,PR⊥BC于点R,易证得△PKD≌△PSD(AAS),同理:△PKB≌△PRB,然后延长BN交QS于点Q,则Q为PS的中点,设QS=PQ=x,即可求得答案. 【解答】(1)证明:过点B作BF⊥PD于点F,过点D作DG⊥BP于点G,BF与DG交于点H, ∴∠FHG+∠P=180°, ∴∠DHB+∠P=180°, ∴∠DHB=180°﹣∠P, ∵BD=BN=DM, ∴BF与DG是∠DBN、∠MDB的平分线, ∴由四边形内角和为360°,可得∠P+∠FHG=180°, ∵∠DHB=180°﹣(∠GDB+∠FBD)=180°﹣(180°﹣∠DAB)=90°﹣∠DAB, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠DAB=∠C, ∴∠DHB=90°﹣∠C, ∵∠DHB=180°﹣∠P, ∴180°﹣∠P=90°+∠C, ∴∠P=90°﹣∠C; (2)MP:AM=:2. 理由:过点P作PS⊥CD于点S,PR⊥BC于点R, 当∠C=90°时,则∠DPB=45°, ∵BN∥CD, ∴∠BND=∠BDN=∠SDN, 同理:∠PBD=∠PBR, 作PK⊥BD于点K, 在△PKD和△PSD中, , ∴△PKD≌△PSD(AAS), 同理:△PKB≌△PRB, ∴PS=PR, ∴四边形PSCR是正方形, 延长BN交QS于点Q,则Q为PS的中点, 设QS=PQ=x, 则PS=CS=RC=2x,RB=KB=x, 设SD=m,BD=x+m, 则(x+m)2=x2+(2x﹣m)2, ∴m:x=2:3, ∴DK=SD=x,BD=x, ∴AM=DM﹣AD=BD﹣AD=x, 根据勾股定理得,AB==x, 在Rt△ABM中,BM==x, ∴PB=x, ∴PM=x, ∴MP:AM=:2. 【点评】此题考查了平行四边形的性质、正方形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识.此题综合性较强,难度很大,解题的关键是准确作出辅助线,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.   20.(5分)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围; (2)当时,求的值. 【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中,必须满足下列条件: ①二次项系数不为零; ②在有两个不相等的实数根下必须满足△=b2﹣4ac>0; ③二次根式的被开方数是非负数. 另外,对第(2)依据:=,小题利用转换解出所求的值,要注意验证所求结果是否符合题意. 【解答】解:(1)根据题意列出方程组, 解得0≤m<1且m≠. (2)∵ ∴==11﹣2=9 ∴=±3 又由(1)得0≤m<1且m≠ 所以<0 因此应舍去3 所以=﹣3 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.注意:验证所求结果是否符合题意必不可少.   21.(5分)在同一坐标系中画出了三个一次函数的图象: y=1﹣x,y=x+1和 y=3x﹣1 (1)求y=1﹣x和 y=3x﹣1的交点A的坐标; (2)根据图象填空: ①当x >1 时3x﹣1>x+1; ②当x <0 时1﹣x>x+1; (3)对于三个实数a,b,c,用max{a,b,c}表示这三个数中最大的数,如max{﹣1,2,3}=3,max{﹣1,2,a}=,请观察三个函数的图象,直接写出 max{1﹣x,x+1,3x﹣1}的最小值. 【分析】(1)根据解方程组可以求得y=1﹣x和 y=3x﹣1的交点A的坐标; (2)根据一元一次不等式与一次函数的关系进行判断即可; (3)分情况进行讨论,根据图象利用自变量取值范围得出函数值的大小关系,进而求出函数值,通过比较得出最小值. 【解答】解:(1)∵, ∴解得, ∴y=1﹣x和 y=3x﹣1的交点A的坐标为(,); (2)①根据直线的位置可得,当x>1时,3x﹣1>x+1; ②根据直线的位置可得,当x<0时,1﹣x>1+x; 故答案为:>1,<0; (3)根据三个函数图象,可得 当x≤0时,max{1﹣x,x+1,3x﹣1}=1﹣x≥1; 当0<x≤时,max{1﹣x,x+1,3x﹣1}=x+1≥1; 当<x≤1时,max{1﹣x,x+1,3x﹣1}=x+1≥; 当x>1时,max{1﹣x,x+1,3x﹣1}=3x﹣1≥2; 综上所述,max{1﹣x,x+1,3x﹣1}的最小值是1. 【点评】此题主要考查了两条直线的交点问题,解题时注意:两条直线的交点坐标,就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解.一次函数与一元一次不等式的关系,从函数图象的角度看,就是确定一条直线在另一条直线上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合.此题综合性较强,由已知得出函数值并进行比较是解决问题的关键.   22.(5分)解答题. 某校学生积极为地震灾区捐款奉献爱心.小颖随机抽查其中30名学生的捐款情况如下:(单位:元)2、5、35、8、5、10、15、20、15、5、45、10、2、8、20、30、40、10、15、15、30、15、8、25、25、30、15、8、10、50. (1)这30名学生捐款的最大值、最小值、极差、平均数各是多少? (2)将30名学生捐款额分成下面5组,请你完成频数统计表: (3)根据上表,作出频数分布直方图. 【分析】(1)根据给出的数据以及极差、平均数的计算方法直接计算即可解答. (2)分别找出各组的人数填表即可解答. (3)根据频数分布表画出频数分布直方图即可解答. 【解答】解:(1)这30名学生捐款的最大值为50, 最小值为2, 极差为50﹣2=48, 平均数为(2+5+35+8+5+10+15+20+15+5+45+10+2+8+20+30+40+10+15+15+30+15+8+25+25+30+15+8+10+50)÷30=17.7元. (2)填表如下: . (3)画图如下: 【点评】本题主要考查极差、平均数的定义以及画频数分布直方图的能力,正确画图是关键.   23.(5分)如图1,在平行四边形ABCD中,E,F分别在边AD,AB上,连接CE,CF,且满足∠DCE=∠BCF,BF=DE,∠A=60°,连接EF. (1)若EF=2,求△AEF的面积; (2)如图2,取CE的中点P,连接DP,PF,DF,求证:DP⊥PF. 【分析】(1)先证明证明△CDE≌△CBF,得到CD=CB,可得?ABCD是菱形,则AD=AB,由DE=BF得AE=AF,则△AEF是等边三角形,根据EF的长可得△AEF的面积; (2)延长DP交BC于N,连结FN,证明△CPN≌△EPD,得到AE=BN,证明△FBN≌△DEF,得到FN=FD,根据等腰三角形三线合一的性质可得结论. 【解答】(1)解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠D=∠B, ∵BF=DE,∠DCE=∠BCF, ∴△CDE≌△CBF(AAS), ∴CD=CB, ∴?ABCD是菱形, ∴AD=AB, ∴AD﹣DE=AB﹣BF,即AE=AF, ∵∠A=60°, ∴△AEF是等边三角形, ∵EF=2, ∴S△AEF=×22=; (2)证明:如图2,延长DP交BC于N,连结FN, ∵四边形ABCD是菱形, ∴AD∥BC, ∴∠EDP=∠PNC,∠DEP=∠PCN, ∵点P是CE的中点, ∴CP=EP. ∴△CPN≌△EPD, ∴DE=CN,PD=PN. 又∵AD=BC. ∴AD﹣DE=BC﹣CN,即AE=BN. ∵△AEF是等边三角形, ∴∠AEF=60°,EF=AE. ∴∠DEF=120°,EF=BN. ∵AD∥BC, ∴∠A+∠ABC=180°, 又∵∠A=60°, ∴∠ABC=120°, ∴∠ABC=∠DEF. 又∵DE=BF,BN=EF. ∴△FBN≌△DEF, ∴DF=NF, ∵PD=PN, ∴PF⊥PD. 【点评】本题考查的是菱形的性质和判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质,正确作出辅助线,构造全等三角形和等腰三角形是解题的关键.   24.(5分)进入21世纪以来,我国汽车保有量逐年增长.下图是根据中国产业信息网上的有关数据整理的统计图. 2007﹣2015年全国汽车保有量及增速统计图 根据以上信息,回答下列问题: (1)从2008年到2015年, 2010 年全国汽车保有量增速最快; (2)已知2016年汽车保有量净增2200万辆,与2015年相比,2016年的增速约为 13 %(精确到1%),同时请你预估2018年我国汽车的保有量,并简要说明你预估的理由. 【分析】(1)由图可得,从2008年到2015年,2010年全国汽车保有量增速最快; (2)根据2016年汽车保有量净增2200万辆,即可得出2016年汽车的保有量,根据2200÷17200,即可得到2016年的增长率,根据每年的汽车增长量,求得2018年我国汽车保有量即可. 【解答】解:(1)由图可得,从2008年到2015年,2010年全国汽车保有量增速最快,为19%; 故答案为:2010; (2)∵2200+17200=19400万辆,2200÷17200≈13%, ∴2016年汽车的保有量为19400万辆,与2015年相比,2016年的增长率约为13%, 与上一年相比,预估2017年,2018年的增速分别为12%,11%,由此预估2018年我国汽车的保有量将达到24118万辆. 故答案为:13. 【点评】本题主要考查了折线统计图以及条形统计图,解题时注意:折线图不但可以表示出数量的多少,而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况.从条形图可以很容易看出数据的大小,便于比较.   25.(5分)如图,钝角△ABC中,AB=AC,BC=2,O是边AB上一点,以O为圆心,OB为半径作⊙O,交边AB于点D,交边BC于点E,过E作⊙O的切线交边AC于点F. (1)求证:EF⊥AC. (2)连结DF,若∠ABC=30°,且DF∥BC,求⊙O的半径长. 【分析】(1)连接OE,如图,先证明OE∥AC,再利用切线的性质得OE⊥EF,从而得到EF⊥AC; (2)连接DE,如图,设.⊙O的半径长为r,利用圆周角定理得到∠BED=90°,则DE=BD=r,BE=r,再证明∠EDF=90°,∠DFE=60°,接着用r表示出DF=r,EF=r,CE=r, 从而得到r+r=2,然后解方程即可. 【解答】(1)证明:连接OE,如图, ∵OB=OE, ∴∠B=∠OEB, ∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∴∠OEB=∠C, ∴OE∥AC, ∵EF为切线, ∴OE⊥EF, ∴EF⊥AC; (2)解:连接DE,如图,设.⊙O的半径长为r, ∵BD为直径, ∴∠BED=90°, 在Rt△BDE中,∵∠B=30°, ∴DE=BD=r,BE=r, ∵DF∥BC, ∴∠EDF=∠BED=90°, ∵∠C=∠B=30°, ∴∠CEF=60°, ∴∠DFE=∠CEF=60°, 在Rt△DEF中,DF=r, ∴EF=2DF=r, 在Rt△CEF中,CE=2EF=r, 而BC=2, ∴r+r=2,解得r=, 即⊙O的半径长为. 【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.简记作:见切点,连半径,见垂直.也考查了圆周角定理和垂径定理.   26.(5分)某班“数学兴趣小组”对函数y=x+的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整: (1)自变量x的取值范围是 x≠0 ; (2)如表是y与x的几组对应数值:  x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ ﹣ 1  2  3 …  y … ﹣ ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣ 2   … 在平面直角坐标系中,描出了以表中各对对应值为坐标的点,根据描出的点,画出该函数的图象; (3)进一步探究发现:该函数在第一象限内的最低点的坐标是(1,2),观察函数图象,写出该函数的另一条性质 x>1时,y随x增大而增大;0<x<1时,y随x增大而减小 ; (4)请你利用配方法证明:当x>0时,y=x+的最小值为2.(提示:当x>0时x=()2,=()2) 【分析】(1)由分母不能为零,即可得出自变量x的取值范围; (2)描点、连线,画出函数图象即可; (3)观察函数图象,找出该函数的另一条性质即可; (4)由x=()2、=()2、?=1,利用配方法即可得出x+=(﹣)2+2≥2,由此即可得出:当x>0时,y=x+的最小值为2. 【解答】解:(1)∵x在分母上, ∴自变量x的取值范围是x≠0. 故答案为:x≠0. (2)画出函数图象,如图所示. (3)x>1时,y随x增大而增大;0<x<1时,y随x增大而减小. 故答案为:x>1时,y随x增大而增大;0<x<1时,y随x增大而减小. (4)∵当x>0时,x=()2,=()2,且?=1, ∴x+=()2+()2=()2﹣2+()2+2=(﹣)2+2, ∵(﹣)2≥0, ∴(﹣)2+2≥2, ∴x+≥2,即当x>0时,y=x+的最小值为2. 【点评】本题考查了反比例函数的性质、配方法的应用以及反比例函数的图象,解题的关键是:(1)由分母不能为零,找出自变量x的取值范围;(2)描点.连线,画出函数图象;(3)观察函数图象,找出函数的性质;(4)利用配方法找出x+=(﹣)2+2≥2.   27.(8分)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=2x2+bx+c的图象经过(﹣1,0)和(,0)两点. (1)求此二次函数的表达式. (2)直接写出当﹣<x<1时,y的取值范围. (3)将一次函数y=(1﹣k)x+2的图象向下平移k(k>0)个单位后,与二次函数y=2x2+bx+c图象交点的横坐标分别是m和n,其中m<2<n,试求k的取值范围. 【分析】(1)由二次函数的图象经过(﹣1,0)和(,0)两点,组成方程组再解即可求得二次函数的表达式; (2)根据图象即可得出当﹣<x<1时,y的取值范围; (3)将一次函数 y=(1﹣k)x+2的图象向下平移k个单位后的一次函数表达式为y=(1﹣k)x+2﹣k,由题意得2x2﹣x﹣3=(1﹣k)x+2﹣k,整理得2x2+(k﹣2)x+k﹣5=0,因为m<2<n,m≠n,△=(k﹣2)2﹣4×2×(k﹣5)=(k﹣6)2+8>0,把x=2代入(1﹣k)x+2﹣k>2x2﹣x﹣3,解得k<,所以m的取值范围为m<的全体实数. 【解答】解:(1)由二次函数的图象经过(﹣1,0)和(,0)两点. ∴,解得, ∴此二次函数的表达式y=2x2﹣x﹣3; (2)当x=﹣时,y=3,当x=1时,y=﹣2, 又∵二次函数的顶点坐标是(,﹣) ∴当﹣<x<1时,y的取值范围是﹣≤y<3; (3)将一次函数 y=(1﹣k)x+2的图象向下平移k个单位后的一次函数表达式为y=(1﹣k)x+2﹣k, ∵y=(1﹣k)x+2﹣k与二次函数y=2x2+bx+c图象交点的横坐标为m和n, ∴2x2﹣x﹣3=(1﹣k)x+2﹣k,整理得 2x2+(k﹣2)x+k﹣5=0 ∵m<2<n ∴m≠n ∴△=(k﹣2)2﹣4×2×(k﹣5)=(k﹣6)2+8>0 ∴k≠1 ∵m<2<n 当x=2时,(1﹣k)x+2﹣k>2x2﹣x﹣3 把x=2代入(1﹣k)x+2﹣k>2x2﹣x﹣3,解得k< ∴k的取值范围为k<的全体实数. 【点评】本题主要考查了求二次函数的解析式以及二次函数的图象与几何变换.   28.(7分)阅读下列材料,完成任务: 自相似图形 定义:若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形,则称这个图形是自相似图形.例如:正方形ABCD中,点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点,连接EG,HF交于点O,易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形,且与原正方形相似,故正方形是自相似图形. 任务: (1)图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中,每个正方形与原正方形的相似比为  ; (2)如图2,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,小明发现△ABC也是“自相似图形”,他的思路是:过点C作CD⊥AB于点D,则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形.已知△ACD∽△ABC,则△ACD与△ABC的相似比为  ; (3)现有一个矩形ABCD是自相似图形,其中长AD=a,宽AB=b(a>b). 请从下列A、B两题中任选一条作答:我选择 A或B 题. A:①如图3﹣1,若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形,且与原矩形都相似,则a=  (用含b的式子表示); ②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形,且与原矩形都相似,则a=  (用含n,b的式子表示); B:①如图4﹣1,若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形,再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形,且分割得到的矩形与原矩形都相似,则a= 或 (用含b的式子表示); ②如图4﹣2,若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形,再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形,且分割得到的矩形与原矩形都相似,则a= b或b (用含m,n,b的式子表示). 【分析】(1)先得出AH=AD,即可得出结论; (2)根据勾股定理求出AB,即可得出结论; (3)A、①根据矩形ABEF∽矩形FECD得出比例式即可得出结论; ②同①的方法即可得出结论; B、①分FM是矩形DFMN的长或DF是矩形DFMN的长两种情况,先根据相似矩形得出AF,AG,最后用矩形GABH∽矩形ABCD建立方程即可得出结论; ②同①的方法即可得出结论. 【解答】解:(1)∵点H是AD的中点, ∴AH=AD, ∵正方形AEOH∽正方形ABCD, ∴相似比为:==; 故答案为:; (2)在Rt△ABC中,AC=4,BC=3,根据勾股定理得,AB=5, ∴△ACD与△ABC相似的相似比为:=, 故答案为:; (3)A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD, ∴AF:AB=AB:AD, 即a:b=b:a, ∴a=b; 故答案为: ②每个小矩形都是全等的,则其边长为b和a, 则b:a=a:b, ∴a=b; 故答案为: B、①如图2, 由①②可知纵向2块矩形全等,横向3块矩形也全等, ∴DN=b, Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时, ∵矩形FMND∽矩形ABCD, ∴FD:DN=AD:AB, 即FD:b=a:b, 解得FD=a, ∴AF=a﹣a=a, ∴AG===a, ∵矩形GABH∽矩形ABCD, ∴AG:AB=AB:AD 即a:b=b:a 得:a=b; Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时, ∵矩形DFMN∽矩形ABCD, ∴FD:DN=AB:AD 即FD:b=b:a 解得FD=, ∴AF=a﹣=, ∴AG==, ∵矩形GABH∽矩形ABCD, ∴AG:AB=AB:AD 即:b=b:a, 得:a=b; 故答案为:或; ②如图3, 由①②可知纵向m块矩形全等,横向n块矩形也全等, ∴DN=b, Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时, ∵矩形FMND∽矩形ABCD, ∴FD:DN=AD:AB, 即FD:b=a:b, 解得FD=a, ∴AF=a﹣a, ∴AG===a, ∵矩形GABH∽矩形ABCD, ∴AG:AB=AB:AD 即a:b=b:a 得:a=b; Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时, ∵矩形DFMN∽矩形ABCD, ∴FD:DN=AB:AD 即FD:b=b:a 解得FD=, ∴AF=a﹣, ∴AG==, ∵矩形GABH∽矩形ABCD, ∴AG:AB=AB:AD 即:b=b:a, 得:a=b; 故答案为:b或b. 【点评】此题是相似形综合题,主要考查了相似三角形的性质,相似矩形的性质,相似正方形的性质,以及自相似图形定义和理解,理解自相似图形的定义是解本题的关键.   29.(8分)如图,二次函数与反比例函数的图象有公共点A(﹣2,5),?ABCD的顶点B(﹣5,p)在双曲线上,C、D两点在抛物线上(点C在y轴负半轴,点D在x轴正半轴) (1)求直线AB的表达式及C、D两点的坐标; (2)第四象限的抛物线上是否存在点E,使得ACDE的面积最大,若存在,求出点E的坐标和面积的最大值,不存在,说明理由. 【分析】(1)设反比例函数的解析式为y=.由A的坐标可求出k的值,B的横坐标已知,所以可求出纵坐标,设直线AB的表达式为y=mx+n,分别把A,B坐标代入求出m和n的值即可;由□ABCD中,AB∥CD,可设设CD的表达式为y=x+c,根据平行四边形的性质:对边相等即可求出c的值; (2)首先求出二次函数的解析式,构建二次函数求出△CDE面积的最大值,即可解决问题; 【解答】解:(1)设反比例函数的解析式为y=.∵它图象经过点A(﹣2,5)和点B(﹣5,p), ∴5=, ∴k=﹣10, ∴反比例函数的解析式为y=﹣, ∴P=﹣=2, ∴点B的坐标为(﹣5,2), 设直线AB的表达式为y=mx+n,则, ∴, ∴直线AB的表达式为y=x+7. 由□ABCD中,AB∥CD,设CD的表达式为y=x+c, ∴C(0,c),D(﹣c,0), ∵CD=AB, ∴CD2=AB2, ∴c2+c2=(﹣5+2)2+(2﹣5)2, ∴c=﹣3, ∴点C、D的坐标分别是(0,﹣3)、(3,0). (2)设二次函数的解析式为y=ax2+bx﹣3, , ∴, ∴二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3, 假设第四象限的抛物线上存在点E,使得△CDE的面积最大.设E(k,k2﹣2k﹣3),则F(k,k﹣3), 过点E作x轴的垂线交CD于点F, 则S△CDE=S△EFC+S△EFD=?EF?OD=?[(k﹣3)﹣(k2﹣2k﹣3)]=﹣(k2﹣3k)=﹣(k﹣)2+, 所以,当k=时,△CDE的面积最大值为, 此时点E的坐标为(,﹣). ∵A(﹣2,5),C(0,﹣3),D(3,0), ∴△ACD的面积为定值, ∵直线AD的解析式为y=﹣x+3, ∴直线AD交y轴于K(0,3), ∴S△ACD=S△ACK+S△CKD=×6×2+×6×3=15, ∴四边形ACED的面积的最大值为15+=. 【点评】本题考查二次函数的综合题、一次函数的应用、平行线的性质、三角形的面积、勾股定理等知识,解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式,学会构建二次函数解决最值问题,属于中考压轴题.   精品试卷·第 2 页 (共 2 页) "
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