福建省龙岩市漳平市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（时间：120分钟 满分：150分）
注意：请把所有答案书写到答题卡上！在本试题上答题无效．
一、单选题（每小题4分，共40分）
1. 下列各式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用二次根式的性质对各选项进行判断即可．
详解】A．，故A错误；
B．，故B正确；
C．，故C错误；
D．，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，灵活应用二次根式的性质进行计算，是解题的关键．
2. 如图，已知正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为（ ）
A. 7B. 5C. 25D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据勾股定理即可得出结论．
【详解】解：∵正方体A的面积为3，正方体B的面积为4，
∴正方体C的面积=3+4=7，
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，是解答此题的关键．
3. 下列式子中与是同类二次根式的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的性质，把各个式子化成最简二次根式，根据同类二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、与是同类二次根式，符合题意；
B、，与不是同类二次根式，不符合题意；
C、(，与不是同类二次根式，不符合题意；
D、，与不是同类二次根式，不符合题意；
故选:A．
【点睛】本题考查的是同类二次根式，二次根式的性质，熟记同类二次根式的概念是解题的关键．
4. 如图所示，在中，对角线交于点O，下列式子中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的对角线的性质，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴B选项正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的对角线的性质，熟记平行四边形的性质是解题关键．
5. 如图，等边三角形的边长为，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【大小】本题主要考查等边三角形的性质、坐标与图形性质和勾股定理的运用，作，根据等边三角形三线合一可求出，，再根据勾股定理求出，观察图像所在的象限即可得出答案．
【详解】解：作，
是等边三角形，，
，
边长为，
，，
，
又通过观察图像可知点在第四象限，
的坐标是，
故选：C．
6. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（ ）
A. 2B. -2C. 2a-6D. -2a+6
【答案】A
【解析】
【分析】根据数轴即可确定a的范围，然后根据绝对值和二次根式的性质得出，，再化简即可．
【详解】解：根据数轴可以得到： ，
∴，，
∴
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，以及绝对值的性质，得出，是解题的关键．
7. 如图，在中，，，的平分线交于点E，则的长是（ ）
A. 2B. 3C. 3.5D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质．根据平行四边形的性质，可得，从而得到，再根据是的平分线，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
，
∵是的平分线，
∴，
，
∴，
．
故选∶A．
8. 如图，在平行四边形中，，为上一点，为的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可以得到，且为的中点，所以,由此可判断选项；再结合平行线的性质可以得到，由此可判断选项；同时延长和交于点， 可以证得，所以,由此可以判断选项；由于，所以，由此可以判断选项；
【详解】四边形是平行四边形


由于条件不足，所以无法证明,故选项错误；





故选项错误；
同时延长和交于点


在和 中：


由于条件不足，并不能证明，故选项错误；


为的中点

故选项正确；
故选：D.
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，根据题意作出相应的辅助线是求解本题的关键.
9. 如图，在的正方形网格中，的度数是（ ）
A. 22.5°B. 30°C. 45°D. 60°
【答案】C
【解析】
【分析】连接AB，求出AB、BM、AM的长，根据勾股定理逆定理即可求证为直角三角形，而AM=BM，即为等腰直角三角形，据此即可求解．
【详解】连接AB
∵，，
∴
∴为等腰直角三角形
∴
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，重点是求出三条边的长，然后证明为直角三角形．
10. 在中，是直线上一点，已知，，，，则的长为（ ）
A 4或14B. 10或14C. 14D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根据AC=13，AD=12，CD=5，可判断出△ADC是直角三角形，在Rt△ADB中求出BD，继而可得出BC的长度．
【详解】∵AC=13，AD=12，CD=5，
∴，
∴△ABD是直角三角形，AD⊥BC，
由于点D在直线BC上，分两种情况讨论：
当点D在线段BC上时，如图所示，
在Rt△ADB中，，
则；
②当点D在BC延长线上时，如图所示，
在Rt△ADB中，，
则．
故答案为：Ａ．
【点睛】本题考查勾股定理和逆定理，需要分类讨论，掌握勾股定理和逆定理的应用为解题关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 计算：________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据二次根式的乘法法则进行运算，然后将二次根式化简，即可得出答案．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法则是关键．
12. 在平行四边形ABCD中，AB＝5，则CD＝_____．
【答案】5．
【解析】
详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对边相等是解题的关键．
13. 如图，直线l上有三个边长分别为a，b，c的正方形，则有______（填“＞”或“＜”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】证，推出，则，再证，代入求出即可．
详解】解：如图，

∵正方形a，c的边长分别为a和c，
∴，，
由正方形的性质得：，，
∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴正方形b的面积为，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，证明是解题的关键．
14. 最简二次根式和可以合并，则_____________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据题意可知两个二次根式的被开方数相同，则构造方程求解即可.
【详解】解：∵最简二次根式和可以合并
∴3x-8=17-2x
解得x=5
故答案为5
【点睛】本题考查了最简二次根式的合并，解答关键是注意通过被开方数相等构造方程.
15. 如图，点E、F是的对角线上的点，要使四边形是平行四边形，还需要增加的一个条件是______（只需要填一个正确的即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】由已知OA=OC，OB=OD，则只要OE=OF即可判定四边形AECF是平行四边形，故可增加条件DE=BF即可．
【详解】增加条件DE=BF，可使四边形AECF是平行四边形
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，OB=OD
∵DE=BF
∴OD-DE=OB-BF
即OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形
故答案为：DE=BF（答案不唯一）
【点睛】本题考查了平行四边形的判定性质，关键是掌握平行四边形的各种判定方法．
16. 过对角线交点O作直线m，分别交直线于点E，交直线于点F，若，则的长是_________．
【答案】10或2
【解析】
【分析】由题意易得E在CD的延长线上或E在DC的延长线上，所以DF的长不唯一，根据平行四边形的性质和全等三角形的性质分别求解即可．
【详解】当F在DC的反向延长线上时，如图1所示，
四边形ABCD是平行四边形，

在和中，
当F在DC的延长线上时，如图2所示，
BE = 4 + 6= 10，
DF = 10．
故答案为：10或2．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定以及性质，解题时要注意F点的位置不唯一，要分别讨论，这是解题关键．
三、解答题（共86分）
17. 计算：
（1）．
（2）（x+1)2=5
【答案】（1）1；（2）x=
【解析】
【分析】根据根式性质和定义即可求出结果．
【详解】解：原式=
=1
（2）∵（x+1)2=5
∴x+1=
∴x=
故答案是：（1）1；（2）x=
【点睛】本题主要考查了实数的计算，准确记住它们的化简规则是解题关键．
18. 先化简，再求值：（），其中，．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的运算，先通分计算括号内的减法，再把除法转化为乘法，分子、分母因式分解后约分，化到最简后再代入字母的值计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
，
，
当，时，
原式
．
19. 如图是一个滑梯示意图，若将滑梯AC水平放置，则刚好与AB一样长．已知滑梯的高度CE＝6m，CD＝2m，求滑道AC的长．
【答案】滑道AC的长10m．
【解析】
【分析】设滑道AC的长为xm，根据题意可得出AE= (x-2)m，再利用勾股定理可列出关于x的方程，解出x即得出答案．
【详解】设滑道AC的长为xm，
根据题意可知AB=xm，BE=CD=2m，
∴AE=AB-BE=(x-2)m．
∵在Rt中，
∴，
解得：
答：滑道AC的长10m．
【点睛】本题考查勾股定理在实际生活中的应用．利用勾股定理列出关于x的方程是解题关键．
20. 如图，在四边形中，对角线与交于点，且，，求证：四边形为平行四边形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，先由平行线的性质得到，进而证明得到，由此即可证明四边形为平行四边形．
【详解】证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
21. 设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a，b及h，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】设斜边为c，根据勾股定理即可得出c＝，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】证明：设斜边为c，根据勾股定理即可得出c＝，
∵ab＝ch，
∴ab＝h，即a2b2＝a2h2+b2h2，
∴＝，
即．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
22. 如图，四边形中，，为对角线，于E，，，，．

（1）求证：；
（2）求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，运用了等积法．
（1）由勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理即可作出判断；
（2）利用等面积法即可求解．
【小问1详解】
解：在直角中，，，，
∴．
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且．
【小问2详解】
解：∵，
∴．
23. 如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F．

（1）求证：；
（2）若，求的长和的面积．
【答案】（1）见解析 （2）；的面积为
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到；
（2）根据线段的和差得到；过D作交的延长线于H，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到的面积．
【小问1详解】
证明：在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴；
过D作交的延长线于H，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形面积的计算、等腰三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
24. （1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab＋(a－b)2，所以4×ab＋(a－b)2=c2，即a2＋b2=c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2=c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
(2)试用勾股定理解决以下问题：
如果直角三角形ABC两直角边长为3和4，则斜边上的高为 ．
(3)试构造一个图形，使它的面积能够解释(a－2b)2=a2－4ab＋4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高；
（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形．
【详解】（1）S梯形ABCD=，S梯形ABCD=
∴a2＋ab＋b2=2×ab＋c2
即a2＋b2=c2；
（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，
∴斜边为=5，
∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为×3×4＝×5×h，
∴h＝
故答案为；
（3）∵图形面积为：（a−2b）2＝a2−4ab＋4b2，
∴边长为a−2b，
由此可画出的图形如下：
【点睛】此题考查了勾股定理的证明，勾股定理，多项式的乘法的运用以及由多项式画图形的创新题型，此类证明要转化成同一个东西的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．
25. 阅读材料，并完成下列任务：
材料一：裂项求和
小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，……
发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立．
应用规律：快速计算．
材料二：根式化简
例1 ；
例2
任务一：化简．
（1）化简：
（2）猜想：___________________（n为正整数）．
任务二：应用
（3）计算：；
任务三：探究
（4）已知
，
比较x和y的大小，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简．
（1）根据题目中的例子可以写出答案；
（2）根据例2，可以写出相应的猜想；
（3）根据分母有理化，可得二次根式的化简，根据二次根式的加减，即可得到答案；
（4）结合例1，例2的规律进行计算即可；
【小问1详解】
【小问2详解】
，
，
，
故答案为：；
【小问3详解】
；
【小问4详解】
，
，
，
故．