河南省洛阳市伊川县2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试题

这是一份河南省洛阳市伊川县2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试题，共22页。

2．（3分）唐代刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蕖净少情．唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”牡丹是河南洛阳的市花，有非常高的观赏价值．某品种的牡丹花粉直径约为0.0000354米，则数据0.0000354用科学记数法表示为（ ）
A．3.54×10﹣5B．0.354×10﹣6
C．3.54×10﹣7D．35.4×10﹣6
3．（3分）如图，在▱ABCD中，下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠1＝∠2B．AD＝DCC．∠ADC＝∠CBAD．OA＝OC
4．（3分）下列选项中y不是x的函数的是（ ）
A．B．
C．y＝|x|D．x+y＝5
5．（3分）下列说法错误的（ ）
A．当x≠3时，分式有意义
B．当x＝1时，分式无意义
C．不论a取何值，分式都有意义
D．当x＝1时，分式的值为0
6．（3分）已知a+b＞0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A．（a，b）B．（a，﹣b）C．（﹣a，﹣b）D．（﹣a，b）
7．（3分）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有乙B．甲和丁C．乙和丙D．乙和丁
8．（3分）若图中反比例函数的表达式均为，则阴影部分的面积为3的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如表是小明记录的部分数据，当时间t为12min时，对应的高度h为（ ）
A．6.2cmB．6.8cmC．7.2cmD．7.6cm
10．（3分）一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知直线y＝kx+b与直线y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），则一次函数的表达式是 ．
12．（3分）在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O（0，0）、A（5，0）、B（2，3）则顶点C的坐标是 ．
13．（3分）定义运算a△b＝a2+2b，如2△3＝22+2×3，则当x△x＝﹣1时，的值为 ．
14．（3分）如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）和y＝mx+n（m≠0）与x轴的交点分别为和．则不等式组的解集是 ．
15．（3分）如图1，在长方形ABCD中，动点R从点C出发，沿C→D→A→B方向运动至点B处停止，在这个变化过程中，变量x表示点R运动的路程，变量y表示阴影部分△BCR的面积，图2表示变量y随x的变化情况，则长方形ABCD的面积是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：．
（2）解分式方程：＝1．
17．（9分）先化简（1﹣），再从﹣3＜a＜3中选取一个你喜欢的整数a的值代入求值．
18．（9分）小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家．以下是她本次去舅舅家所用的时间与路程的关系式示意图，根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小红家到舅舅家的路程是 米，小红在商店停留了 分钟．
（2）在整个去舅舅家的途中，哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少？
（3）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？全程平均速度是多少？
19．（9分）列分式方程解应用题：
小峰和小伟相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求小伟乘公交车、小峰骑自行车每小时分别行多少千米．
20．（9分）如图，直线y＝k1x+b（k1≠0）与双曲线y＝（k2≠0）相交于A（1，2）、B（m，﹣1）两点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且x1＜0＜x2＜x3，请直接写出y1，y2，y3的大小关系式；
（3）观察图象，请直接写出不等式k1x+b＜的解集．
21．（9分）在“美丽广西，清洁乡村”活动中，李家村村长提出了两种购买垃圾桶方案；方案1：买分类垃圾桶，需要费用3000元，以后每月的垃圾处理费用250元；方案2：买不分类垃圾桶，需要费用1000元，以后每月的垃圾处理费用500元；设方案1的购买费和每月垃圾处理费共为y1元，交费时间为x个月；方案2的购买费和每月垃圾处理费共为y2元，交费时间为x个月．
（1）直接写出y1、y2与x的函数关系式；
（2）在同一坐标系内，画出函数y1、y2的图象；
（3）在垃圾桶使用寿命相同的情况下，哪种方案省钱？
22．（10分）[教材呈现]如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容．
请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
[性质应用]如图2，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与边AD、BC分别相交于点E、F．
求证：OE＝OF．
[拓展提升]在[性质应用]的条件下，连接AF，若EF⊥AC，△ABF的周长是13，则▱ABCD的周长是 ．
23．（10分）如图，点A（1，2）、分别在反比例函数和的图象上，四边形ABCO为平行四边形．
（1）m＝ ；n＝ ；点C的坐标为 ；
（2）求▱ABCO面积；
（3）将平行四边形ABCO沿y轴向上平移，使点C落在反比例函数的图象上的D点，则图中两平行四边形重叠的阴影部分的面积为 ．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在函数y＝﹣中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1B．x≥﹣1C．x＞﹣1且x≠2D．x≥﹣1且x≠2
【解答】解：根据题意得，
，
解得，x≥﹣1，且x≠2．
故选：D．
2．（3分）唐代刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蕖净少情．唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”牡丹是河南洛阳的市花，有非常高的观赏价值．某品种的牡丹花粉直径约为0.0000354米，则数据0.0000354用科学记数法表示为（ ）
A．3.54×10﹣5B．0.354×10﹣6
C．3.54×10﹣7D．35.4×10﹣6
【解答】解：0.0000354＝3.54×10﹣5，
故选：A．
3．（3分）如图，在▱ABCD中，下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠1＝∠2B．AD＝DCC．∠ADC＝∠CBAD．OA＝OC
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠CBA，OA＝OC，AD∥BC，
∴∠1＝∠2．故A、C、D正确，
故选：B．
4．（3分）下列选项中y不是x的函数的是（ ）
A．B．
C．y＝|x|D．x+y＝5
【解答】解：在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，因此A不符合题意．
故选：A．
5．（3分）下列说法错误的（ ）
A．当x≠3时，分式有意义
B．当x＝1时，分式无意义
C．不论a取何值，分式都有意义
D．当x＝1时，分式的值为0
【解答】解：A、当x≠3时，分式有意义，正确，不合题意；
B、当x＝1时，分式无意义，正确，不合题意；
C、a＝0时，分式无意义，故此选项错误，符合题意；
D、当x＝1时，分式的值为0，正确，不合题意．
故选：C．
6．（3分）已知a+b＞0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A．（a，b）B．（a，﹣b）C．（﹣a，﹣b）D．（﹣a，b）
【解答】解：∵a+b＞0，ab＞0，
∴以a＞0，b＞0，
A、（a，b）在第一象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
B、（a，﹣b）在第四象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
C、（﹣a，﹣b）在第三象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
D、（﹣a，b）在第二象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项符合题意．
故选：D．
7．（3分）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有乙B．甲和丁C．乙和丙D．乙和丁
【解答】解：∵÷
＝•
＝•
＝•
＝
＝，
∴出现错误是在乙和丁，
故选：D．
8．（3分）若图中反比例函数的表达式均为，则阴影部分的面积为3的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．阴影面积＝，故符合题意；
B．阴影面积＝xy＝6，故不符合题意；
C．阴影面积＝，故不符合题意；
D．阴影面积，故不符合题意；
故选：A．
9．（3分）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如表是小明记录的部分数据，当时间t为12min时，对应的高度h为（ ）
A．6.2cmB．6.8cmC．7.2cmD．7.6cm
【解答】解：设h与t之间的函数解析式为h＝kt+b，
将点（1，2.4），（2，2.8）代入得：，
解得，
则h＝0.4t+2，
当t＝12时，h＝0.4×12+2＝6.8（cm），
即当时间t为12min时，对应的高度h为6.8cm，
故选：B．
10．（3分）一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、由一次函数图象过一、三象限，得a＞0，交y轴负半轴，则b＜0，
满足ab＜0，
∴a﹣b＞0，
∴反比例函数y＝的图象过一、三象限，
所以此选项不正确；
B、由一次函数图象过二、四象限，得a＜0，交y轴正半轴，则b＞0，
满足ab＜0，
∴a﹣b＜0，
∴反比例函数y＝的图象过二、四象限，
所以此选项不正确；
C、由一次函数图象过一、三象限，得a＞0，交y轴负半轴，则b＜0，
满足ab＜0，
∴a﹣b＞0，
∴反比例函数y＝的图象过一、三象限，
所以此选项正确；
D、由一次函数图象过二、四象限，得a＜0，交y轴负半轴，则b＜0，
满足ab＞0，与已知相矛盾
所以此选项不正确；
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知直线y＝kx+b与直线y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），则一次函数的表达式是 y＝﹣x+10 ．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝﹣x+1平行，
∴k＝﹣1，
∵一次函数过点（8，2），
∴2＝﹣8+b
解得b＝10，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+10．
故答案为：y＝﹣x+10．
12．（3分）在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O（0，0）、A（5，0）、B（2，3）则顶点C的坐标是 （﹣3，3） ．
【解答】解：连接AC交OB于P，如图所示：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA＝BC，OP＝BP，
∵O（0，0），A（5，0），
∴OA＝BC＝5，
∵B（2，3），
∴C的横坐标为2﹣5＝﹣3，
∴C的坐标为（﹣3，3），
故答案为：（﹣3，3）．
13．（3分）定义运算a△b＝a2+2b，如2△3＝22+2×3，则当x△x＝﹣1时，的值为 0 ．
【解答】解：∵x△x＝﹣1，
∴x2+2x＝﹣1，
即x2+2x+1＝0，
＝，
故答案为：0．
14．（3分）如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）和y＝mx+n（m≠0）与x轴的交点分别为和．则不等式组的解集是 ．
【解答】解：根据函数图象可知，当时，函数y＝ax+b的图象在x轴的上方，当时，函数y＝mx+n的图象在x轴的上方，
∴不等式组的解集是．
故答案为：．
15．（3分）如图1，在长方形ABCD中，动点R从点C出发，沿C→D→A→B方向运动至点B处停止，在这个变化过程中，变量x表示点R运动的路程，变量y表示阴影部分△BCR的面积，图2表示变量y随x的变化情况，则长方形ABCD的面积是 20 ．
【解答】解：∵x＝4时，即点R从C到达点D时，△BCR的面积开始不变，
∴CD＝4，
同理可得：AD＝5，
∵四边形ABCD为长方形，
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝4，
∴矩形ABCD的面积是＝AB•CD＝5×4＝20．
故答案为：20．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：．
（2）解分式方程：＝1．
【解答】解：（1）
＝1﹣4+2+3
＝2；
（2）＝1，
方程两边都乘x﹣3，得2﹣x﹣1＝x﹣3，
﹣x﹣x＝﹣3﹣2+1，
﹣2x＝﹣4，
x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣3≠0，
所以分式方程的解是x＝2．
17．（9分）先化简（1﹣），再从﹣3＜a＜3中选取一个你喜欢的整数a的值代入求值．
【解答】解：原式＝×
＝
∵a≠﹣2，2，1
∴a＝0时，
原式＝2
18．（9分）小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家．以下是她本次去舅舅家所用的时间与路程的关系式示意图，根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小红家到舅舅家的路程是 2000 米，小红在商店停留了 4 分钟．
（2）在整个去舅舅家的途中，哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少？
（3）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？全程平均速度是多少？
【解答】解：（1）根据图象舅舅家纵坐标为2000，小红家的纵坐标为0，
故小红家到舅舅家的路程是2000（米）；
据题意，小红在商店停留的时间为从（6分）到10分，故小红在商店停留了4分钟．
故答案为：2000，4；
（2）根据图象，10≤x≤12时，直线最陡，
故小红在10≤x≤12分钟速度最快，速度为（米/分）．
（3）读图可得：小红共行驶了1600+（1600﹣800）+（2000﹣800）＝3600（米），共用了12分钟．
3600÷12＝300（米/分钟）．
∴小红一共行驶了3600米，全程平均速度是300米/分钟．
19．（9分）列分式方程解应用题：
小峰和小伟相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求小伟乘公交车、小峰骑自行车每小时分别行多少千米．
【解答】解：设小峰骑自行车的速度为每小时x千米，则小伟乘车的速度为每小时2x千米，
由题意得：＝+，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝30，
答：小伟乘公交车、小峰骑自行车每小时分别行30千米、15千米．
20．（9分）如图，直线y＝k1x+b（k1≠0）与双曲线y＝（k2≠0）相交于A（1，2）、B（m，﹣1）两点．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且x1＜0＜x2＜x3，请直接写出y1，y2，y3的大小关系式；
（3）观察图象，请直接写出不等式k1x+b＜的解集．
【解答】解：（1）将A（1，2）代入双曲线解析式得：k2＝2，即双曲线解析式为y＝；
将B（m，﹣1）代入双曲线解析式得：﹣1＝，即m＝﹣2，B（﹣2，﹣1），
将A与B坐标代入直线解析式得：，
解得：k1＝1，b＝1，
则直线解析式为y＝x+1；
（2）∵x1＜0＜x2＜x3，且反比例函数在第一象限为减函数，
∴A2与A3位于第一象限，即y2＞y3＞0，A1位于第三象限，即y1＜0，
则y2＞y3＞y1；
（3）由A（1，2），B（﹣2，﹣1），
由y1＝k1x+b，y2＝，当y1＜y2时，
利用函数图象得：不等式k1x+b＜的解集为x＜﹣2或0＜x＜1．
21．（9分）在“美丽广西，清洁乡村”活动中，李家村村长提出了两种购买垃圾桶方案；方案1：买分类垃圾桶，需要费用3000元，以后每月的垃圾处理费用250元；方案2：买不分类垃圾桶，需要费用1000元，以后每月的垃圾处理费用500元；设方案1的购买费和每月垃圾处理费共为y1元，交费时间为x个月；方案2的购买费和每月垃圾处理费共为y2元，交费时间为x个月．
（1）直接写出y1、y2与x的函数关系式；
（2）在同一坐标系内，画出函数y1、y2的图象；
（3）在垃圾桶使用寿命相同的情况下，哪种方案省钱？
【解答】解：（1）由题意，得y1＝250x+3000，y2＝500x+1000；
（2）如图所示：
（3）由图象可知：①当使用时间大于8个月时，直线y1落在直线y2的下方，y1＜y2，即方案1省钱；
②当使用时间小于8个月时，直线y2落在直线y1的下方，y2＜y1，即方案2省钱；
③当使用时间等于8个月时，y1＝y2，即方案1与方案2一样省钱；
22．（10分）[教材呈现]如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容．
请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
[性质应用]如图2，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与边AD、BC分别相交于点E、F．
求证：OE＝OF．
[拓展提升]在[性质应用]的条件下，连接AF，若EF⊥AC，△ABF的周长是13，则▱ABCD的周长是 26 ．
【解答】[教材呈现]证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO，
在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴OA＝OC，OB＝OD（证明方法不唯一）；
[性质应用]证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO，
在△DEO和△BFO中，
，
∴△DEO≌△BFO（AAS），
∴OE＝OF；
[拓展提升]解：如图2，∵△DEO≌△BFO，
∴BF＝DE，OE＝OF，
∵EF⊥AC，
∴△AEF是等腰三角形，
∴AE＝AF，
∴AE+DE＝AF+BF，
∴△ABF的周长＝AB+AF+BF＝AB+AE+DE＝AB+AD＝13，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴▱ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2×13＝26，
故答案为：26．
23．（10分）如图，点A（1，2）、分别在反比例函数和的图象上，四边形ABCO为平行四边形．
（1）m＝ 2 ；n＝ 5 ；点C的坐标为 ；
（2）求▱ABCO面积；
（3）将平行四边形ABCO沿y轴向上平移，使点C落在反比例函数的图象上的D点，则图中两平行四边形重叠的阴影部分的面积为 ．
【解答】解：（1）把A（1，2）代入得，
m＝2，
把代入得，
n＝5，
∵A（1，2）、，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2，5，；
（2）▱ABCO面积＝，
（3）C往上平移后为D，设，
∵D是的图象上的点，
∴，即，
∴平行四边形ABCO沿y轴向上平移了个单位，
设OA的解析式为y＝kx，代入A（1，2），
得k＝2，即OA的解析式为y＝2x，
如图：
当时，，则点，
A到DE的距离，
∴重叠的阴影部分的面积为＝，
故答案为：．t/min
…
1
2
3
…
h/cm
…
2.4
2.8
3.2
…

平行四边形的性质定理3 平行四边形的对角线互相平分．
我们可以用演绎推理证明这个结论．
已知：如图▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O．
求证：OA＝OC，OB＝OD．
t/min
…
1
2
3
…
h/cm
…
2.4
2.8
3.2
…

平行四边形的性质定理3 平行四边形的对角线互相平分．
我们可以用演绎推理证明这个结论．
已知：如图▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O．
求证：OA＝OC，OB＝OD．