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2024届高考物理一轮复习热点题型归类训练专题19机械波(原卷版+解析)
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这是一份2024届高考物理一轮复习热点题型归类训练专题19机械波(原卷版+解析)，共50页。试卷主要包含了机械波与波的图像，波的图像和振动图像的理解和应用，波传播的周期性和多解性问题，波的叠加与干涉，波特有的现象等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc31986" 题型一 机械波与波的图像 PAGEREF _Tc31986 \h 1
\l "_Tc30385" 类型1 波的形成及传播 PAGEREF _Tc30385 \h 1
\l "_Tc30013" 类型2 波的图像 PAGEREF _Tc30013 \h 5
\l "_Tc5361" 题型二 波的图像和振动图像的理解和应用 PAGEREF _Tc5361 \h 9
\l "_Tc1981" 题型三 波传播的周期性和多解性问题 PAGEREF _Tc1981 \h 13
\l "_Tc3539" 类型1 时间多解性 PAGEREF _Tc3539 \h 14
\l "_Tc9105" 类型2 空间多解性 PAGEREF _Tc9105 \h 17
\l "_Tc24580" 题型四 波的叠加与干涉 PAGEREF _Tc24580 \h 22
\l "_Tc4248" 题型五 波特有的现象 PAGEREF _Tc4248 \h 28
题型一 机械波与波的图像
1．传播特点
(1)波传到任意一点，该点的起振方向都和波源的起振方向相同。
(2)介质中每个质点都做受迫振动，因此，任一质点的振动频率和周期都和波源的振动频率和周期相同。
(3)波从一种介质进入另一种介质，由于介质的情况不同，它的波长和波速可能改变，但频率和周期都不会改变。
(4)波源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离，所以v＝eq \f(λ,T)＝λf。
2．波的传播方向与质点振动方向的互判方法
类型1 波的形成及传播
【例1】（2023·浙江金华·模拟预测）杜甫曾在《曲江》中提到：穿花蛱蝶深深见，点水蜻蜓款款飞。平静水面上的S处，“蜻蜓点水”时形成一列水波向四周传播（可视为简谱波），A、B两点与S在同一条直线上，C、S在另外一条直线上。图示时刻，A在波谷，B、C在不同的波峰上。已知波速为v，A、B连线在水平方向的距离为a，则不正确的是（ ）内容
图像
“上下坡”法
沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动
“同侧”法
波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧
“微平移”法
将波形沿传播方向进行微小的平移，再由对应同一横坐标的两波形曲线上的点来判断振动方向
A．水波的波长为a
B．A点振动频率为
C．到达第一个波峰的时刻，C比A滞后
D．从图示时刻起，经过的时间，B、C之间的距离增大了
【例2】（2023·江苏徐州·统考三模）如图，静止水面同一直线上的A、S、B为三个质点的平衡位置，它们的间距为。一滴水落在S处，形成一列向四周传播的水波（可视为简谐波），当水波的同一波峰经过A、B处时，S处的质点刚好经过平衡位置，且S、A（或B）之间只有一个波谷。已知波的周期为T，则（ ）
A．A、B两处质点的起振方向相反
B．此时S处质点向下振动
C．水波的波长为6a
D．水波的速度为
【例3】．（2023春·浙江湖州·高三统考阶段练习）如图所示，波源O从t=0时刻开始垂直纸面做振幅为10cm的简谐运动，所激发的横波在均匀介质中向四周传播。t=4s时第一次出现如图所示的波形，实线为波峰，虚线为波谷，两个实线圆的半径分别为6.5m和0.5m，下列说法正确的是（ ）
A．该波波长为3m
B．该波周期为3.7s
C．波源O的起振方向向上
D．此时波源O的位移为5cm
【例4】．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）中医是我国传统文化的瑰宝，“悬丝诊脉”更是一门绝技。悬丝诊脉，悬的是“丝”，“诊”的是脉搏通过悬丝传过来的振动，即通过机械波判断出病灶的位置与轻重缓急。如图，假设“丝”上有间距相等的点1、2、3、4、5、6…，且相邻两点间距离为l。待诊病人在搭上丝线后，图中质点1在t=0时开始向上振动，产生的机械波沿丝线向医生传播，t=1.25s时质点1第二次到达最高点，此时质点6刚好开始振动，则下列说法正确的是（ ）
A．该波的波长为2lB．t=1.25s时质点6振动的方向向下
C．t=2s时质点3恰好位于波谷位置D．t=0.75s时质点1和质点3的加速度相反
类型2 波的图像
【例1】（广东省清中、河中、北中、惠中2022-2023学年高三下学期5月联合考试物理试题）“战绳”训练是近年健身的一种流行的项目，如甲图，健身者双手握住双绳一端，上下抖动使绳子振动起来形成绳波，使健身者获得很好的健身效果。健身者抖动其中一根绳子形成的绳波，可看作简谐波，以手的平衡位置为坐标原点，建立xOy坐标系，如乙图是t=0时刻绳子的波形，若抖动的频率是0.5Hz，不考虑绳波传播过程中的能量损失，则（ ）
A．传播速度为8m/s
B．该时刻Q点的振动方向沿y轴正方向
C．该时刻P点坐标为（0，16）
D．从该时刻开始计时，质点Q的振动方程为
【例2】．（2023·云南曲靖·统考二模）如图所示为一列沿x轴正方向传播的简谐横波在时刻的波形，从此时刻开始，介质中的质点P、Q（P、Q连线平行x轴）回到平衡位置的最短时间分别为0.1s、0.4s，下列说法正确的是（ ）
A．该波的周期为B．0~0.75s内质点Q运动的路程为30cm
C．0~0.75s内波传播的距离为9cmD．时刻质点Q加速度最大
【例3】（2023春·河南·高三校联考期中）一列简谐横波正沿x轴正方向传播，时刻的波形图如图所示，P、Q位于平衡位置处，在时，质点P第3次到达波峰，则下面说法正确的是（ ）
A．这列波的周期为0.4sB．这列波的波速为5m/s
C．时质点Q位于波峰D．时质点Q向下回到平衡位置
【例4】（2023春·天津南开·高三天津市第二南开中学校考开学考试）一列简谐横波沿x轴正方向传播，该波的周期，在时刻的波形如图所示，质点A、B、C、D、E在x轴上的位置坐标分别为、、、，。下列说法正确的是（ ）
A．经过0.1s，D点向右移动
B．时，质点E第一次到达波峰
C．该波刚传到E点时，E点将向下振动
D．从时刻开始，在0.5s内质点E通过的路程为12cm
题型二 波的图像和振动图像的理解和应用
1.振动图像和波的图像的比较
比较项目
振动图像
波的图像
2.巧解波的图象与振动图象综合问题的基本方法
【例1】（2023届山东省潍坊市高三下学期三模物理试题）一列简谐横波在时的波形如图甲所示，图乙是坐标原点处质点的振动图像。已知质点的平衡位置坐标为，则（ ）
A．波向左传播B．波的传播速度大小为
C．质点的振动方程为D．质点的振动方程为
【例2】．（2023·山东·校联考模拟预测）如图，图甲为一列简谐横波在研究对象
一个质点
波传播方向上的所有质点
研究内容
某质点位移随时间的变化规律
某时刻所有质点在空间分布的规律
图像
横坐标
表示时间
表示各质点的平衡位置
物理意义
某质点在各时刻的位移
某时刻各质点的位移
振动方向的判断
(看下一时刻的位移)
(同侧法)
Δt后的图形
随时间推移，图像延伸，但已有形状不变
随时间推移，图像沿波的传播方向平移，原有波形做周期性变化
联系
(1)纵坐标均表示质点的位移
(2)纵坐标的最大值均表示振幅
(3)波在传播过程中，各质点都在各自的平衡位置附近振动
时刻的波形图，图乙为质点P的振动图像，Q是平衡位置在x＝4.0m处的质点，下列说法正确的是（ ）
A．时刻，质点Q沿y轴负方向振动
B．这列波的波速为0.8m/s
C．质点Q的振动方程为
D．从到，质点Q通过的路程为70cm
【例3】（2023春·江西赣州·高三校联考阶段练习）某同学为了研究水波的传播特点，在水面上放有稳定波源，产生的水波沿水平方向传播（视为简谐波），如图甲所示，由该时刻开始计时，在波源的右侧某位置放有浮标，内有速度传感器，图像如图乙所示，向上为正方向，则（ ）
A．水波的波长为16cm
B．水波的传播速度大小为1m/s
C．x=8cm处的质点该时刻向x轴正方向运动
D．浮标放置的位置可能为x=12cm
【例4】（2023春·天津南开·高三天津市第二南开中学校考开学考试）如图甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图，图乙为介质中x=2m处的质点P以此时刻为计时起点的振动图像。下列说法正确的是（ ）
A．这列波的传播方向是沿x轴负方向B．经过0.15s，质点P沿x轴正方向传播了3m
C．这列波的传播速度是20m/sD．经过0.1s，质点Q的运动方向沿y轴负方向题型三 波传播的周期性和多解性问题
1．造成波传播多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。
②空间周期性：波传播的距离Δx与波长λ的关系不明确。
(2)双向性
①传播方向双向性：波的传播方向不确定。
②振动方向双向性：质点振动方向不确定。
2．解决波的多解问题的思路
一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件关系的Δt或Δx，若此关系为时间，则t＝nT＋Δt(n＝0，1，2，…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0，1，2，…)。
类型1 时间多解性
【例1】（2023春·广东广州·高三广州市第十六中学校考期中）如图所示，实线为一列沿x轴传播的简谐横波时刻的波形图，虚线（非方格）为时刻的波形图。介质中有P、Q、M三个质点，时刻，三个质点的纵坐标分别为、、。下列说法正确的是（ ）
A．P、Q两质点的速度总是大小相等、方向相反
B．P、M两质点相对平衡位置的位移总是大小相等、方向相反
C．此列波的周期可能为0.8s
D．此列波的波速可能为6m/s
【例2】（2023·重庆·校联考模拟预测）某均匀介质中，一列简谐横波沿x轴正方向传播，在时刻和时刻的部分波形图分别如图中实线和虚线所示。下列说法正确的是（ ）
A．这列波的波长为6m
B．振源的频率可能为1Hz
C．这列波的波速大小可能为4m/s
D．质点P和质点Q的振动情况完全相同
【例3】（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考期中）最近两年以来，地震在世界各地频频出现，让人感觉地球正处于很“活跃”的时期。地震波既有横波，也有纵波，若我国地震局截获了一列沿x轴正方向传播的地震横波振幅为A，在t（图中实线）与（图中虚线）两个时刻x轴上区间内的波形图如图所示，求：
（1）该地震波质点振动的周期T；
（2）该地震波最小波速为多少；
（3）处的质点在0.2s内通过的最小路程。
【例4】．（2023春·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考期中）一列简谐横波图像如图所示，t1时刻的波形如图中实线所示，t2时刻的波形如图中虚线所示，已知Δt=t2-t1=0.5s。
（1）若波向右传播，则这列波的可能波速的表达式；
（2）若波向左传播，且3T<Δt<4T，则波速多大？
（3）若波速v=68m/s，则波向哪个方向传播？
类型2 空间多解性
【例1】（2023·全国·模拟预测）一列简谐横波在均匀介质中沿着x轴正方向传播，其传播速度v=6m/s，x轴上有平衡位置距离为3m的两个质点P、Q，P、Q两点的振动图像分别如图甲、乙所示，则下列说法正确的是（ ）
A．若P在Q左侧，则最大波长为4m
B．若P在Q右侧，则最大波长为6m
C．若P在Q左侧，则周期可能为
D．周期可能为
【例2】．（2023·山东济南·统考三模）一列简谐横波沿x轴传播，图甲和图乙分别是平衡位置位于x1=1m及x2=4m处两质点的振动图像。下列说法正确的是（ ）
A．波长可能为3mB．波长可能为
C．波速可能为D．波速可能为
【例3】（2023春·天津南开·高三天津市第二南开中学校考开学考试）一列横波沿着x轴正方向传播，处在和的两质点A、B的振动图像如图所示，则以下说法错误的是（ ）
A．2.5s末A、B两质点的位移相同
B．2s末A点的速度大于B点的速度C．该波的波长可能为
D．该波的波速可能为
【例4】（2023春·宁夏银川·高三银川唐徕回民中学校考期中）在一列沿水平直线传播的简谐横波上有相距4 m的A、B两点，如图甲、乙分别是A、B两质点的振动图像，已知该波波长大于3 m，求这列波可能的波速。
题型四 波的叠加与干涉
1．波的叠加
在波的叠加中，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和．
2．波的干涉现象中加强点、减弱点的判断方法
(1)公式法：
某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr.
①当两波源振动步调一致时．
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动加强；
若Δr＝(2n＋1)eq \f(λ,2)(n＝0,1,2，…)，则振动减弱．
②当两波源振动步调相反时．
若Δr＝(2n＋1)eq \f(λ,2)(n＝0,1,2，…)，则振动加强；
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动减弱．
(2)图像法：
在某时刻波的干涉的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的交点，一定是加强点，而波峰与波谷的交点一定是减弱点，各加强点或减弱点各自连接形成以两波源为中心向外辐射的连线，形成加强线和减弱线，两种线互相间隔，加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间．
【例1】（2023春·江苏·高三校联考阶段练习）如图所示，一运动场的内道由两个半径R为30m的半圆和两个长为L为40m的直道组成，在两个圆心、分别装有两只扬声器。在调试过程中，两只扬声器同时播放频率f为34Hz的低频声音。已知声音在空气中传播的速度v为340m/s，忽略声音在传播过程中的衰减。求：
（1）此声音的波长；
（2）通过计算判断在运动场的一条直道上有几处声音最强？
【例2】．（2023·陕西咸阳·统考三模）如图所示，、是同一种介质中相距10m的两个振动情况完全一致的相干波源，它们的振动方向垂直于所在的平面，它们振动的周期为，在介质中形成的机械波的波速为 。 已知，在连线上有好几个振动加强的点（不含、），其中距最近的点为（图中未画出），距最近的点为 (图中未画出)，取，。
（1）判断是否为振动加强点；
（2）求、两点间的距离。
【例3】（2023·广东·模拟预测）如图甲所示，两个波源分别位于O点和A点，O点为坐标原点，A点坐标为（8 m，10 m），波源的振动方向沿着z轴（垂直纸面向外为z轴正方向），两个波源产生的简谐横波在均匀介质中沿着xOy平面以1 m/s的速率传播（波一直充满空间）。O处波源的振动图像如图乙所示，A处波源的振动图像如图丙所示。已知B点坐标为（0 m，10 m）、C点坐标为（8 m，0 m）、D点坐标为（12 m，16 m）。已知两列波在传播过程中振幅均不变，下列说法正确的是（ ）
A．质点的振动周期为4 s，简谐横波的波长为4 cm
B．时，B处质点的振幅为2 cm
C．0~6.5 s时间内，C处质点经过的路程为12.5 cm
D．时，D处质点所受回复力方向沿着z轴负方向
【例4】（2023春·湖南衡阳·高三校考阶段练习）两列简谐横波P、Q在同种介质中分别沿x轴正方向和负方向传播，P波的波源平衡位置位于x = －6m处，振幅A1 = 3cm，Q波的波源平衡位置位于x = 7m处，振幅A2 = 2cm，P波的振动周期为T3s，图示为t = 0时刻两列波的波形图，下列说法正确的是（ ）
A．P波波长小，先到达x = 0处
B．x = 0处为振动加强点
C．Q波的振动频率为
D．t = 6s时，x = 3m处质点位移为0
【例5】．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）如图甲所示，水面上有两个波源、同时产生两列水波，若两列水波近似为简谐横波，以两波源的连线为x轴建立坐标轴，某时刻的波形图如图乙所示，P、Q为介质中的两点，下列说法正确的是（ ）
A．发出的水波波长大于发出的水波波长
B．两列水波在水中的传播速度大小相等
C．图示时刻，P、Q两点的振动方向相反
D．两列水波相遇时，两波源连线中点处的振动将加强
【例6】．（2023春·云南玉溪·高三云南省玉溪第一中学校考期中）如图所示，两位同学分别拉一根长为1.2m的绳两端A、B，t=0时刻，两同学同时抖动绳子两端，使A、B开始在竖直方向做简谐振动，产生沿绳传播的两列波、振源为A的波波速为v1，振源为B的波波速为v2。t=0.4s时，两列波恰好传播到P，Q两点，波形如图所示，则（ ）
A．两列波起振方向相反
B．v1= v2
C．到两列波相遇时，质点A经过的路程为25cm
D．t=1.4s时，x=0.55m处的质点偏离平衡位置的位移为
题型五 波特有的现象
波的干涉和衍射现象 多普勒效应
1.波的干涉和衍射
2.多普勒效应
(1)条件：声源和观察者之间有相对运动(距离发生变化)。
(2)现象：观察者感到频率发生变化。波的干涉
波的衍射
条件
两列波的频率必须相同，相位差保持不变
产生明显衍射的条件：障碍物或孔的尺寸比波长小或相差不多
现象
形成加强区和减弱区相互隔开的稳定的干涉图样
波能够绕过障碍物或孔继续向前传播
(3)实质：声源频率不变，观察者接收到的频率变化。
【例1】（2023春·天津南开·高三南开中学校考期中）一列简谐横波沿轴正方向传播，时刻波形如图所示，此时波刚好传到点，时质点第一次到达负方向最大位移处，则（ ）
A．此波波源的起振方向沿轴负方向
B．该简谐横波的波速为
C．该简谐横波的频率为
D．该波在传播过程中遇到尺寸为的障碍物会发生明显的衍射现象
【例2】．（2023春·湖北襄阳·高三襄阳四中校考阶段练习）花样游泳被誉为水中芭蕾，某运动员在花样游泳比赛中，有一场景：用手拍皮球，水波向四周散开，这个场景可以简化为如图，波源O起振方向向下，垂直于水平介质平面做简谐运动，所激发的横波在均匀介质中向四周传播。t=0时，离O点10m的质点A开始振动；t=2s时，离O点20m的质点B开始振动，此时质点A第3次回到平衡位置。下列说法正确的是（ ）
A．t=2s时，质点A振动方向向下
B．t=1s时，AB连线中点的质点刚开始振动
C．该波遇到1m的障碍物，会发生明显的衍射现象
D．该波与周期为2s的波相遇，会发生稳定的干涉现象
【例3】（2023春·辽宁鞍山·高三统考期中）下列关于机械振动和机械波的说法，正确的是（ ）
A．声源靠近观察者，观察者接收到的声波频率大于声源的频率
B．衍射是横波特有的现象，纵波不能发生衍射现象
C．固有频率为2Hz的振子在6Hz的驱动力作用下做受迫振动的振动频率为8Hz
D．两列相同频率的波的叠加区域内到两波源距离之差为波长整数倍的点一定是振动加强点
【例4】．（2023春·海南省直辖县级单位·高三校考期中）关于机械波，下列说法正确的是（ ）A．机械波从一种介质传到另一种介质时，波的频率、波长均不变
B．障碍物的尺寸比波的波长越小衍射现象越明显
C．两列波在同一介质中相遇一定发生干涉
D．波源和观察者相互接近，波源的频率会变大
【例5】．（2023春·福建福州·高三校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．“余音绕梁，三日不绝”，是声音的衍射现象
B．两列波产生干涉现象时，振动加强的介质质点始终位于波峰或波谷
C．声源与观察者相互靠近时，观察者所接收的声波波速大于声源发出的声波波速
D．两列波相遇时，在相遇区域任一点的总位移等于两列波分别引起的位移的矢量和
【例6】．（2023·天津南开·统考二模）波源在坐标原点O沿y轴上下振动，形成的简谐波沿x轴正向传播，波速为2m/s。已知t=0时刻波恰好传到x=20cm的质点处，波形如图所示。则（ ）
A．波源的振动周期为0.2s
B．波源的起振方向一定沿y轴负方向
C．再经过0.4s波恰好传到x=60cm的P点
D．当波源沿x轴正向运动并靠近站在x轴正向相对于地面静止的观察者时，观察者接收到的波的频率为10Hz
【例7】．（2023春·广东佛山·高三统考期中）科学上利用多普勒效应测量太空中星球相对地球的运动速度．某恒星与地球正相互远离，则（ ）
A．恒星发出光的频率增大
B．恒星发出光的波长增大
C．地球接收光的光速减小
D．地球接收光的频率减少
【例8】（2022春·山西大同·高三山西省浑源中学校考期中）平静的湖面有相距为1m的两个小木块A、B，距小木块A左侧3m处有一波源在时刻开始向上振动，经4s小木块A第一次达到波峰，再经3s小木块B第一次达到波谷，波源和小木块A、B在一条直线上。（1）求这列横波的周期和波速；
（2）求这列横波的波长；
（3）若此波在传播过程中遇到一根竖立的芦苇杆，是否会发生明显的衍射现象。
公众号：高中试卷君
专题19 机械波
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc31986" 题型一 机械波与波的图像 PAGEREF _Tc31986 \h 1
\l "_Tc30385" 类型1 波的形成及传播 PAGEREF _Tc30385 \h 1
\l "_Tc30013" 类型2 波的图像 PAGEREF _Tc30013 \h 5
\l "_Tc5361" 题型二 波的图像和振动图像的理解和应用 PAGEREF _Tc5361 \h 9
\l "_Tc1981" 题型三 波传播的周期性和多解性问题 PAGEREF _Tc1981 \h 13
\l "_Tc3539" 类型1 时间多解性 PAGEREF _Tc3539 \h 14
\l "_Tc9105" 类型2 空间多解性 PAGEREF _Tc9105 \h 17
\l "_Tc24580" 题型四 波的叠加与干涉 PAGEREF _Tc24580 \h 22
\l "_Tc4248" 题型五 波特有的现象 PAGEREF _Tc4248 \h 28
题型一 机械波与波的图像
1．传播特点
(1)波传到任意一点，该点的起振方向都和波源的起振方向相同。
(2)介质中每个质点都做受迫振动，因此，任一质点的振动频率和周期都和波源的振动频率和周期相同。
(3)波从一种介质进入另一种介质，由于介质的情况不同，它的波长和波速可能改变，但频率和周期都不会改变。
(4)波源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离，所以v＝eq \f(λ,T)＝λf。
2．波的传播方向与质点振动方向的互判方法
类型1 波的形成及传播
【例1】（2023·浙江金华·模拟预测）杜甫曾在《曲江》中提到：穿花蛱蝶深深见，点水蜻蜓款款飞。平静水面上的S处，“蜻蜓点水”时形成一列水波向四周传播（可视为简谱波），A、B两点与S在同一条直线上，C、S在另外一条直线上。图示时刻，A在波谷，B、C在不同的波峰上。已知波速为v，A、B连线在水平方向的距离为a，则不正确的是（ ）内容
图像
“上下坡”法
沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动
“同侧”法
波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧
“微平移”法
将波形沿传播方向进行微小的平移，再由对应同一横坐标的两波形曲线上的点来判断振动方向
A．水波的波长为a
B．A点振动频率为
C．到达第一个波峰的时刻，C比A滞后
D．从图示时刻起，经过的时间，B、C之间的距离增大了
【答案】ABD
【详解】AB．图示时刻，A在波谷，B在波峰上，A、B连线在水平方向的距离为，可知水波的波长为
A点振动频率为
故AB错误；
C．由图可知到达第一个波峰的时刻，C比A滞后
故C正确；
D．由于质点只是上下振动，不随波传播方向迁移，则B、C之间的距离保持不变，故D错误。
本题选错误的，故选ABD。
【例2】（2023·江苏徐州·统考三模）如图，静止水面同一直线上的A、S、B为三个质点的平衡位置，它们的间距为。一滴水落在S处，形成一列向四周传播的水波（可视为简谐波），当水波的同一波峰经过A、B处时，S处的质点刚好经过平衡位置，且S、A（或B）之间只有一个波谷。已知波的周期为T，则（ ）
A．A、B两处质点的起振方向相反
B．此时S处质点向下振动
C．水波的波长为6a
D．水波的速度为
【答案】D
【详解】A． A、B两处质点的起振方向相同，均与S点起振方向相同，选项A错误；
B．由题意可知，此时S处质点正处于平衡位置向上振动，选项B错误；
C．由题意可知
可得水波的波长为
选项C错误；
D．水波的速度为
选项D正确。
故选D。
【例3】．（2023春·浙江湖州·高三统考阶段练习）如图所示，波源O从t=0时刻开始垂直纸面做振幅为10cm的简谐运动，所激发的横波在均匀介质中向四周传播。t=4s时第一次出现如图所示的波形，实线为波峰，虚线为波谷，两个实线圆的半径分别为6.5m和0.5m，下列说法正确的是（ ）
A．该波波长为3m
B．该波周期为3.7s
C．波源O的起振方向向上
D．此时波源O的位移为5cm
【答案】C
【详解】A．由图可知相邻波峰间的距离即为波长，有
故A错误；
BC．依题意，t=4s时第一次出现如图所示的波形，说明波前与相邻的波峰相距四分之一波长，波前从平衡位置开始向上振动，易知波源的起振方向向上。t=4s时该波已经传播的距离为
则波速为
根据
解得
故B错误；C正确；
D．波源的振动方程为
代入t=4s，可得
故D错误。
故选C。
【例4】．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）中医是我国传统文化的瑰宝，“悬丝诊脉”更是一门绝技。悬丝诊脉，悬的是“丝”，“诊”的是脉搏通过悬丝传过来的振动，即通过机械波判断出病灶的位置与轻重缓急。如图，假设“丝”上有间距相等的点1、2、3、4、5、6…，且相邻两点间距离为l。待诊病人在搭上丝线后，图中质点1在t=0时开始向上振动，产生的机械波沿丝线向医生传播，t=1.25s时质点1第二次到达最高点，此时质点6刚好开始振动，则下列说法正确的是（ ）
A．该波的波长为2lB．t=1.25s时质点6振动的方向向下
C．t=2s时质点3恰好位于波谷位置D．t=0.75s时质点1和质点3的加速度相反
【答案】D
【详解】A．根据题意有
所以
故A错误；
B．介质中质点的起振方向与波源的起振方向相同，所以t=1.25s时质点6振动的方向向上，故B错误；
C．根据题意有
解得
波从质点1传播到质点3需要半个周期，即0.5s，所以在2s时质点3实际振动的时间为1.5s，所以在t=2s时质点3恰好位于平衡位置且向下振动，故C错误；
D．质点1和质点3间的距离等于半个波长，所以两质点振动步调相反，所以t=0.75s时质点1和质点3的加速度相反，故D正确。
故选D。
类型2 波的图像
【例1】（广东省清中、河中、北中、惠中2022-2023学年高三下学期5月联合考试物理试题）“战绳”训练是近年健身的一种流行的项目，如甲图，健身者双手握住双绳一端，上下抖动使绳子振动起来形成绳波，使健身者获得很好的健身效果。健身者抖动其中一根绳子形成的绳波，可看作简谐波，以手的平衡位置为坐标原点，建立xOy坐标系，如乙图是t=0时刻绳子的波形，若抖动的频率是0.5Hz，不考虑绳波传播过程中的能量损失，则（ ）
A．传播速度为8m/s
B．该时刻Q点的振动方向沿y轴正方向
C．该时刻P点坐标为（0，16）
D．从该时刻开始计时，质点Q的振动方程为
【答案】BD
【详解】A．由图乙可知，则绳波的波长为，频率，则有周期
波速为
A错误；
B．由题意可知，绳波沿x轴正方向传播，由上下坡法可知，该时刻Q点的振动方向沿y轴正方向，B正确；
C．由题图乙可知，质点振动的角速度为
对P点，初相位为
从该时刻开始计时，质点P的振动方程为
在t=0时
可知该时刻P点坐标为（0，），C错误；
D．由题图乙可知，质点振动的角速度为
从该时刻开始计时，质点Q的振动方程为
D正确。
故选BD。
【例2】．（2023·云南曲靖·统考二模）如图所示为一列沿x轴正方向传播的简谐横波在时刻的波形，从此时刻开始，介质中的质点P、Q（P、Q连线平行x轴）回到平衡位置的最短时间分别为0.1s、0.4s，下列说法正确的是（ ）
A．该波的周期为B．0~0.75s内质点Q运动的路程为30cmC．0~0.75s内波传播的距离为9cmD．时刻质点Q加速度最大
【答案】AC
【详解】A．该波沿x轴正方向传播，根据波的平移可知，质点P向下振动，质点Q向上振动，且回到平衡位置的最短时间分别为0.1s、0.4s，故
解得
故A正确；
B．由于在时刻，质点Q不是在平衡位置，因此在0~0.75s内，即从时刻开始内，其路程不等于3A，即30cm，故B错误；
C．由图可知
波速为
0~0.75s内波传播的距离为
故C正确；’
D．由于在时刻，质点Q不是在位移最大处，因此，即时刻，质点Q依然不是在位移最大处，其加速度不是最大，故D错误。
故选AC。
【例3】（2023春·河南·高三校联考期中）一列简谐横波正沿x轴正方向传播，时刻的波形图如图所示，P、Q位于平衡位置处，在时，质点P第3次到达波峰，则下面说法正确的是（ ）
A．这列波的周期为0.4sB．这列波的波速为5m/s
C．时质点Q位于波峰D．时质点Q向下回到平衡位置
【答案】AB
【详解】A．由于波沿x轴正方向传播，可知时刻，质点P从平衡位置向上振动，在时，质点P第3次到达波峰，可知
可得周期为
故A正确
B．由图像可知波长为，则波速为
故B正确；
C．由于波沿x轴正方向传播，可知时刻，质点Q从平衡位置向下振动，由于
可知时质点Q位于波谷，故C错误；
D．由于
此时质点Q向上回到平衡位置，故D错误。
故选AB。
【例4】（2023春·天津南开·高三天津市第二南开中学校考开学考试）一列简谐横波沿x轴正方向传播，该波的周期，在时刻的波形如图所示，质点A、B、C、D、E在x轴上的位置坐标分别为、、、，。下列说法正确的是（ ）
A．经过0.1s，D点向右移动
B．时，质点E第一次到达波峰
C．该波刚传到E点时，E点将向下振动
D．从时刻开始，在0.5s内质点E通过的路程为12cm
【答案】BD
【详解】A．质点只上下振动并不随波迁移，故A错误；
B．由图可知波长为，则波速为
时，波传播的距离为
则时，初始时刻C点的振动状态刚好第一次传播到E点，即质点E第一次到达波峰，故B正确；
C．简谐横波沿x轴正方向传播，则该波刚传到E点时，E点将向上振动，故C错误；
D．波传播到E需用时
从时刻开始，在0.5s内质点E恰好振动一个周期，则运动路程为4倍的振幅，即为12cm，故D正确。
故选BD。
题型二 波的图像和振动图像的理解和应用
1.振动图像和波的图像的比较
2.巧解波的图象与振动图象综合问题的基本方法比较项目
振动图像
波的图像
研究对象
一个质点
波传播方向上的所有质点
研究内容
某质点位移随时间的变化规律
某时刻所有质点在空间分布的规律
图像
横坐标
表示时间
表示各质点的平衡位置
物理意义
某质点在各时刻的位移
某时刻各质点的位移
振动方向的判断
(看下一时刻的位移)
(同侧法)
Δt后的图形
随时间推移，图像延伸，但已有形状不变
随时间推移，图像沿波的传播方向平移，原有波形做周期性变化
联系
(1)纵坐标均表示质点的位移
(2)纵坐标的最大值均表示振幅
(3)波在传播过程中，各质点都在各自的平衡位置附近振动
【例1】（2023届山东省潍坊市高三下学期三模物理试题）一列简谐横波在时的波形如图甲所示，图乙是坐标原点处质点的振动图像。已知质点的平衡位置坐标为，则（ ）
A．波向左传播B．波的传播速度大小为
C．质点的振动方程为D．质点的振动方程为
【答案】ABC
【详解】A．由题图乙知，当时，质点Q向上运动，结合题图甲可得该波向左传播，故A正确；
B．由题图可知，波长为
周期
该波的波速
故B正确；
CD．经
质点Q振动到最大位移处，由
则
则质点Q的振动方程为
故C正确，D错误。
故选ABC。
【例2】．（2023·山东·校联考模拟预测）如图，图甲为一列简谐横波在时刻的波形图，图乙为质点P的振动图像，Q是平衡位置在x＝4.0m处的质点，下列说法正确的是（ ）
A．时刻，质点Q沿y轴负方向振动
B．这列波的波速为0.8m/s
C．质点Q的振动方程为
D．从到，质点Q通过的路程为70cm
【答案】AD
【详解】A．根据振动图像，质点P在t＝0时刻后的下一时刻的振动方向向上，结合波的图像，可知这列简谐横波向左传播，质点Q沿y轴负方向振动。故A正确；
B．由图甲可得λ＝8m，由图乙知
可得
T＝12s
所以横波的波速为
故B错误；
C．设质点Q的振动方程为
综合以上信息可得质点Q的振动方程为
故C错误；
D．从t＝0s到t＝11s，经历了
质点Q通过的路程为
故D正确。
故选AD。
【例3】（2023春·江西赣州·高三校联考阶段练习）某同学为了研究水波的传播特点，在水面上放有稳定波源，产生的水波沿水平方向传播（视为简谐波），如图甲所示，由该时刻开始计时，在波源的右侧某位置放有浮标，内有速度传感器，图像如图乙所示，向上为正方向，则（ ）
A．水波的波长为16cm
B．水波的传播速度大小为1m/s
C．x=8cm处的质点该时刻向x轴正方向运动
D．浮标放置的位置可能为x=12cm
【答案】AD
【详解】A．由图甲得水波的波长，故A正确；
B．水波的传播速度大小
故B错误；
C．质点只在平衡位置附近y轴方向上下振动，波传播时，质点不会沿x轴正方向移动，故C错误；
D．t=0时刻，质点的速度为0，下一刻方向为正，故浮标处在波谷，可能为x=12cm，故D正确。
故选AD。
【例4】（2023春·天津南开·高三天津市第二南开中学校考开学考试）如图甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图，图乙为介质中x=2m处的质点P以此时刻为计时起点的振动图像。下列说法正确的是（ ）
A．这列波的传播方向是沿x轴负方向B．经过0.15s，质点P沿x轴正方向传播了3m
C．这列波的传播速度是20m/sD．经过0.1s，质点Q的运动方向沿y轴负方向
【答案】CD
【详解】A．根据图乙可知，此时质点P向y轴负方向振动，根据波形平移法可知，这列波的传播方向是沿x轴正方向，故A错误；
B．质点P只是在平衡位置上下振动，并不会随波的传播方向迁移，故B错误；
C．由图甲可知，波长为，由图乙可知，周期为，则波速为
故C正确；
D．由于波沿x轴正方向传播，可知此时质点Q沿y轴正方向运动，根据
可知经过0.1s，质点Q的运动方向沿y轴负方向，故D正确。
故选CD。
题型三 波传播的周期性和多解性问题
1．造成波传播多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。
②空间周期性：波传播的距离Δx与波长λ的关系不明确。
(2)双向性
①传播方向双向性：波的传播方向不确定。
②振动方向双向性：质点振动方向不确定。
2．解决波的多解问题的思路
一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件关系的Δt或Δx，若此关系为时间，则t＝nT＋Δt(n＝0，1，2，…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0，1，2，…)。类型1 时间多解性
【例1】（2023春·广东广州·高三广州市第十六中学校考期中）如图所示，实线为一列沿x轴传播的简谐横波时刻的波形图，虚线（非方格）为时刻的波形图。介质中有P、Q、M三个质点，时刻，三个质点的纵坐标分别为、、。下列说法正确的是（ ）
A．P、Q两质点的速度总是大小相等、方向相反
B．P、M两质点相对平衡位置的位移总是大小相等、方向相反
C．此列波的周期可能为0.8s
D．此列波的波速可能为6m/s
【答案】BC
【详解】AB．由题图可知此列波的波长为6m，而P、Q两质点平衡位置的距离小于半个波长，所以P、Q的振动情况不是总相反；根据三角函数知识可知，P、M两质点平衡位置的距离等于半个波长，所以P、M的振动情况总是相反，A错误，B正确；
CD．在1s内x=3m处质点位移为4cm，即
，
故波的周期为、、、……，由于波长为6m，周期不可能为1s，故波速不可能为6m /s，C正确，D错误。
故选BC。
【例2】（2023·重庆·校联考模拟预测）某均匀介质中，一列简谐横波沿x轴正方向传播，在时刻和时刻的部分波形图分别如图中实线和虚线所示。下列说法正确的是（ ）
A．这列波的波长为6m
B．振源的频率可能为1Hz
C．这列波的波速大小可能为4m/s
D．质点P和质点Q的振动情况完全相同
【答案】C
【详解】A．由题图可知，这列波的波长为8m，故A错误；
BC．波沿x轴正方向传播，在内波传播的距离为
则波速为
当n=1时，可得
若振源的频率为1Hz，则波速为
把带入，可得
由于，所以振源的频率不可能为1Hz，故B错误，C正确；
D．质点P和质点Q的平衡位置相距，所以质点P和质点Q的振动情况不同，故D错误。
故选C。
【例3】（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考期中）最近两年以来，地震在世界各地频频出现，让人感觉地球正处于很“活跃”的时期。地震波既有横波，也有纵波，若我国地震局截获了一列沿x轴正方向传播的地震横波振幅为A，在t（图中实线）与（图中虚线）两个时刻x轴上区间内的波形图如图所示，求：
（1）该地震波质点振动的周期T；
（2）该地震波最小波速为多少；
（3）处的质点在0.2s内通过的最小路程。
【答案】（1），（，1，2，3…）；（2）；（3）
【详解】（1）根据题意有
，（，1，2，3…）
所以
，（，1，2，3…）
（2）由题图知，该地震波的波长为，最大周期为0.8s，根据波速与波长的关系可得，最小波速为
（3）地震横波沿轴正方向传播，t时刻处的质点在，若路程最小，则其振动周期为0.8s，0.2s刚好为周期，故最小路程为
【例4】．（2023春·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考期中）一列简谐横波图像如图所示，t1时刻的波形如图中实线所示，t2时刻的波形如图中虚线所示，已知Δt=t2-t1=0.5s。
（1）若波向右传播，则这列波的可能波速的表达式；
（2）若波向左传播，且3T<Δt<4T，则波速多大？
（3）若波速v=68m/s，则波向哪个方向传播？
【答案】（1）（n=0,1,2,3…）；（2）60m/s；（3）向右传播
【详解】（1）若波向右传播，根据波形的周期性可得
（n=0,1,2,3…）
（2）同理可得，若波向左传播，可得
（n=0,1,2,3…）
由于3T<Δt<4T，则n=3，代入上式可得v=(16×3+12)m/s=60m/s
（3）假设波向右传播，将v=68m/s代入
v=16n+4m/s
解得
n=4
假设成立，故波向右传播。
类型2 空间多解性
【例1】（2023·全国·模拟预测）一列简谐横波在均匀介质中沿着x轴正方向传播，其传播速度v=6m/s，x轴上有平衡位置距离为3m的两个质点P、Q，P、Q两点的振动图像分别如图甲、乙所示，则下列说法正确的是（ ）
A．若P在Q左侧，则最大波长为4m
B．若P在Q右侧，则最大波长为6m
C．若P在Q左侧，则周期可能为
D．周期可能为
【答案】AD
【详解】AC．设波长为，周期为T，P、Q相距最近时的位置关系如图所示，当P在Q左侧时，P、Q两质点之间的平衡位置相距
则最大波长为4m
解得周期
故A正确，C错误；
B．当P在Q（的位置）右侧时，P、Q两质点之间的平衡位置相距
最大波长为12m，故B错误；
D．当P在Q右侧时
解得周期
合并两种情况，周期
故D正确。
故选AD。
【例2】．（2023·山东济南·统考三模）一列简谐横波沿x轴传播，图甲和图乙分别是平衡位置位于x1=1m及x2=4m处两质点的振动图像。下列说法正确的是（ ）
A．波长可能为3mB．波长可能为
C．波速可能为D．波速可能为
【答案】BC
【详解】AB．若波沿x轴负方向传播，则x1=1m及x2=4m的振动相差时间为
则
可得
由题意可知
故对应的波速为
同理，若波沿x轴正方向传播，则x1=1m及x2=4m的振动相差时间为
则
可得
故对应的波速为
故A错误，B正确；
CD．结合AB分析可知，当波沿x轴正方向传播，且时
且波速不可能为，故C正确，D错误。
故选BC。
【例3】（2023春·天津南开·高三天津市第二南开中学校考开学考试）一列横波沿着x轴正方向传播，处在和的两质点A、B的振动图像如图所示，则以下说法错误的是（ ）
A．2.5s末A、B两质点的位移相同
B．2s末A点的速度大于B点的速度
C．该波的波长可能为
D．该波的波速可能为
【答案】C
【详解】A．由图可得，周期为4s，A、B两质点的振动方程分别为
当时
则A正确，不符合题意；
B．由振动图像读出，2s末A质点的位移，处于平衡位置，速度最大；B质点的位移，处于波谷，速度是零，所以2s末A质点的速度大于B质点的速度，则B正确，不符合题意；
C．时刻，质点A正通过平衡位置向上运动，质点B在波峰，波从A向B传播，则AB间的距离
则
因而该波的波长不可能为，故C错误，符合题意；
D．根据
当时，波速为
则D正确，不符合题意。
故选C。
【例4】（2023春·宁夏银川·高三银川唐徕回民中学校考期中）在一列沿水平直线传播的简谐横波上有相距4 m的A、B两点，如图甲、乙分别是A、B两质点的振动图像，已知该波波长大于3 m，求这列波可能的波速。
【答案】若波由A向B传播，v1＝m/s；若波由B向A传播，v1＝40 m/s，v2＝8 m/s。
【详解】由振动图像得质点振动周期
T＝0.4 s
若波由A向B传播，B点比A点晚振动的时间
Δt＝nT＋T（n＝0，1，2，3，…）
所以A、B间的距离为
Δs＝nλ＋λ（n＝0，1，2，3，…）
则波长为
λ＝＝m
因为λ>3 m，所以n＝0
当n＝0时
λ1＝m，v1＝＝m/s
若波由B向A传播，A点比B点晚振动的时间
Δt＝nT＋T（n＝0，1，2，3，…）
所以A、B间的距离为
Δs＝nλ＋λ（n＝0，1，2，3，…）
则波长为
λ＝＝m
λ>3 m，所以n＝0，1
当n＝0时
λ1＝16 m，v1＝40 m/s当n＝1时
λ2＝m，v2＝8 m/s
题型四 波的叠加与干涉
1．波的叠加
在波的叠加中，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和．
2．波的干涉现象中加强点、减弱点的判断方法
(1)公式法：
某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr.
①当两波源振动步调一致时．
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动加强；
若Δr＝(2n＋1)eq \f(λ,2)(n＝0,1,2，…)，则振动减弱．
②当两波源振动步调相反时．
若Δr＝(2n＋1)eq \f(λ,2)(n＝0,1,2，…)，则振动加强；
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动减弱．
(2)图像法：
在某时刻波的干涉的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的交点，一定是加强点，而波峰与波谷的交点一定是减弱点，各加强点或减弱点各自连接形成以两波源为中心向外辐射的连线，形成加强线和减弱线，两种线互相间隔，加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间．
【例1】（2023春·江苏·高三校联考阶段练习）如图所示，一运动场的内道由两个半径R为30m的半圆和两个长为L为40m的直道组成，在两个圆心、分别装有两只扬声器。在调试过程中，两只扬声器同时播放频率f为34Hz的低频声音。已知声音在空气中传播的速度v为340m/s，忽略声音在传播过程中的衰减。求：
（1）此声音的波长；
（2）通过计算判断在运动场的一条直道上有几处声音最强？
【答案】（1）；（2）5处，见解析【详解】（1）由
可得声音的波长为
（2）直道上到两波源的路程差最大为
路程差最小为
当，，时，振动最强，一条直道上有5处声音最强。
【例2】．（2023·陕西咸阳·统考三模）如图所示，、是同一种介质中相距10m的两个振动情况完全一致的相干波源，它们的振动方向垂直于所在的平面，它们振动的周期为，在介质中形成的机械波的波速为 。 已知，在连线上有好几个振动加强的点（不含、），其中距最近的点为（图中未画出），距最近的点为 (图中未画出)，取，。
（1）判断是否为振动加强点；
（2）求、两点间的距离。
【答案】（1）点为振动加强点；（2）
【详解】（1）根据几何关系可知
则有
可知点为振动加强点。
（2）机械波的波长为
根据题意可知
根据几何关系可知
联立解得
【例3】（2023·广东·模拟预测）如图甲所示，两个波源分别位于O点和A点，O点为坐标原点，A点坐标为（8 m，10 m），波源的振动方向沿着z轴（垂直纸面向外为z轴正方向），两个波源产生的简谐横波在均匀介质中沿着xOy平面以1 m/s的速率传播（波一直充满空间）。O处波源的振动图像如图乙所示，A处波源的振动图像如图丙所示。已知B点坐标为（0 m，10 m）、C点坐标为（8 m，0 m）、D点坐标为（12 m，16 m）。已知两列波在传播过程中振幅均不变，下列说法正确的是（ ）
A．质点的振动周期为4 s，简谐横波的波长为4 cm
B．时，B处质点的振幅为2 cm
C．0~6.5 s时间内，C处质点经过的路程为12.5 cm
D．时，D处质点所受回复力方向沿着z轴负方向
【答案】B
【详解】A．由题图乙、丙可知，质点振动的周期为4s，由公式可知，简谐横波的波长为4 m，故A错误；
B．时，O点波源处于波谷位置，因为，所以在O点波源产生的波的作用下B处质点处于波峰，A点波源此时处于波峰位置，，所以在A点波源产生的波的作用下B处质点处于波峰，所以B点属于振动加强点，B处质点振幅为2 cm，故B正确；
C．分析可知C点为振动加强点，振幅为2 cm，0~6 s内，质点振动，通过的路程为12 cm，且质点6.0s时刚好位于平衡位置，6~6.5 s内，质点经过的路程根据正弦函数规律可知为，所以质点在0~6.5 s内通过的路程为，故C错误；
D．根据D点坐标和勾股定理可知
即时在O点波源产生的波的作用下D处质点处于平衡位置，而AD约为，所以时在A点波源产生的波的作用下D处质点位移为负值，所以D处质点所受回复力方向沿着z轴正方向，故D错误。
故选B。
【例4】（2023春·湖南衡阳·高三校考阶段练习）两列简谐横波P、Q在同种介质中分别沿x轴正方向和负方向传播，P波的波源平衡位置位于x = －6m处，振幅A1 = 3cm，Q波的波源平衡位置位于x = 7m处，振幅A2 = 2cm，P波的振动周期为T3s，图示为t = 0时刻两列波的波形图，下列说法正确的是（ ）
A．P波波长小，先到达x = 0处
B．x = 0处为振动加强点
C．Q波的振动频率为
D．t = 6s时，x = 3m处质点位移为0
【答案】CD
【详解】A．由题图可知λP = 3m，λQ = 4m，结合可知
v = 1m/s
故两波同时传到处，A错误；
BC．由可得
，，
则两列波频率不同，无法产生稳定的干涉，B错误、C正确；
D．P波传到处用时6s，恰好两个周期，，故时处质点位移为0，D正确。
故选CD。
【例5】．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）如图甲所示，水面上有两个波源、同时产生两列水波，若两列水波近似为简谐横波，以两波源的连线为x轴建立坐标轴，某时刻的波形图如图乙所示，P、Q为介质中的两点，下列说法正确的是（ ）
A．发出的水波波长大于发出的水波波长
B．两列水波在水中的传播速度大小相等
C．图示时刻，P、Q两点的振动方向相反
D．两列水波相遇时，两波源连线中点处的振动将加强
【答案】BD
【详解】A．由图乙可知，两列水波的波长
故A错误；
B．机械波的波速由介质决定，两列水波在水中的传播速度大小相等，故B正确；
C．图示时刻，P、Q两点的振动方向均沿y轴负方向，振动方向相同，故C错误；
D．两波源连线中点到两波源的波程差为零，振动始终加强，故D正确。
故选BD。
【例6】．（2023春·云南玉溪·高三云南省玉溪第一中学校考期中）如图所示，两位同学分别拉一根长为1.2m的绳两端A、B，t=0时刻，两同学同时抖动绳子两端，使A、B开始在竖直方向做简谐振动，产生沿绳传播的两列波、振源为A的波波速为v1，振源为B的波波速为v2。t=0.4s时，两列波恰好传播到P，Q两点，波形如图所示，则（ ）
A．两列波起振方向相反
B．v1= v2
C．到两列波相遇时，质点A经过的路程为25cm
D．t=1.4s时，x=0.55m处的质点偏离平衡位置的位移为
【答案】BD
【详解】A．两列波恰好传播到P，Q两点，结合同侧法可知振源A的起振方向为竖直向上，振源B的起振方向也是竖直向上，A错误；
B．由图可知，
B正确；
C．质点A的振动周期为
两列波波速相等，故在处相遇，需要的时间为
所以质点A经过的路程为
C错误；
D．左侧波源振动传到处需要的时间为
故t=1.4s时，该处质点已经振动了，左侧波源的振动方程为
代入t=1.4s可得此时左侧波源引起质点处的振动位移为
右侧波源振动传到处需要的时间为
可知t=1.4s时，该处质点已经振动了，右侧波源振动周期为，故右侧波源引起质点处的振动位移为，根据波的叠加原理可得总的位移为，D正确。
故选BD。
题型五 波特有的现象
波的干涉和衍射现象 多普勒效应
1.波的干涉和衍射
波的干涉
波的衍射
条件
两列波的频率必须相同，相位差保持不变
产生明显衍射的条件：障碍物或孔的尺寸比波长小或相差不多
2.多普勒效应
(1)条件：声源和观察者之间有相对运动(距离发生变化)。
(2)现象：观察者感到频率发生变化。
(3)实质：声源频率不变，观察者接收到的频率变化。
【例1】（2023春·天津南开·高三南开中学校考期中）一列简谐横波沿轴正方向传播，时刻波形如图所示，此时波刚好传到点，时质点第一次到达负方向最大位移处，则（ ）
A．此波波源的起振方向沿轴负方向
B．该简谐横波的波速为
C．该简谐横波的频率为
D．该波在传播过程中遇到尺寸为的障碍物会发生明显的衍射现象
【答案】BCD
【详解】A．简谐横波沿轴正方向传播，由“上下坡”法可知，质点P开始振动时的运动方向沿y轴正方向，所以此波波源的起振方向沿y轴正方向，故A错误；
B．t=0.3s时，质点P第一次到达负方向最大位移处，由
可得
由图知，波长
该简谐横波的波速为
B正确；
C．该简谐横波的频率为
现象
形成加强区和减弱区相互隔开的稳定的干涉图样
波能够绕过障碍物或孔继续向前传播
C正确；
D．障碍物尺寸和波长相近或波长大于障碍物尺寸时，会发生明显的衍射现象，所以该波在传播过程中遇到尺寸为的障碍物会发生明显的衍射现象，故D正确。
故选BCD。
【例2】．（2023春·湖北襄阳·高三襄阳四中校考阶段练习）花样游泳被誉为水中芭蕾，某运动员在花样游泳比赛中，有一场景：用手拍皮球，水波向四周散开，这个场景可以简化为如图，波源O起振方向向下，垂直于水平介质平面做简谐运动，所激发的横波在均匀介质中向四周传播。t=0时，离O点10m的质点A开始振动；t=2s时，离O点20m的质点B开始振动，此时质点A第3次回到平衡位置。下列说法正确的是（ ）
A．t=2s时，质点A振动方向向下
B．t=1s时，AB连线中点的质点刚开始振动
C．该波遇到1m的障碍物，会发生明显的衍射现象
D．该波与周期为2s的波相遇，会发生稳定的干涉现象
【答案】ACD
【详解】A．由题意可知，质点A第3次回到平衡位置，周期为
波源O起振方向向下，则t=2s时，质点A回到平衡位置向下振动，A正确；
B．由题意可知，波长为10m。如图，AB连线中点到两虚线距离不相等，则t=1s时，即经半个周期，AB连线中点的质点已经振动，B错误；
C．波长比障碍物大得多，故会发生明显的衍射现象，C正确；
D．两波发生稳定干涉的条件是频率相等，D正确。
故选ACD。
【例3】（2023春·辽宁鞍山·高三统考期中）下列关于机械振动和机械波的说法，正确的是（ ）
A．声源靠近观察者，观察者接收到的声波频率大于声源的频率
B．衍射是横波特有的现象，纵波不能发生衍射现象
C．固有频率为2Hz的振子在6Hz的驱动力作用下做受迫振动的振动频率为8Hz
D．两列相同频率的波的叠加区域内到两波源距离之差为波长整数倍的点一定是振动加强点
【答案】A【详解】A．声源靠近观察者，根据多普勒效应可知，观察者接收到的声波频率大于声源的频率，A正确；
B．衍射是波特有的现象，一切波都能发生衍射现象，B错误；
C．固有频率为2Hz的振子在6Hz的驱动力作用下做受迫振动的振动频率为6Hz，C错误；
D．两列相同频率的波的叠加区域内到两波源距离之差为波长整数倍的点不一定是振动加强点，频率相同、相位差恒定、振动方向一致的两列波，若相位差为，波程差是波长的整数倍则为振动加强点，若相位差为，波程差是波长的整数倍则为振动减弱点，D错误。
故选A。
【例4】．（2023春·海南省直辖县级单位·高三校考期中）关于机械波，下列说法正确的是（ ）
A．机械波从一种介质传到另一种介质时，波的频率、波长均不变
B．障碍物的尺寸比波的波长越小衍射现象越明显
C．两列波在同一介质中相遇一定发生干涉
D．波源和观察者相互接近，波源的频率会变大
【答案】B
【详解】A．机械波从一种介质传到另一种介质，不发生变化的物理量是波的频率，而波速和波长都有可能发生变化，故A错误；
B．波发生明显衍射的条件是孔、缝的宽度或障碍物的尺寸与波长相比差不多或者比波长更小，故障碍物的尺寸一定时，波的波长越大衍射会越明显，故B正确；
C．发生干涉的条件之一是频率相同，因此两列波在同一介质中相遇不一定发生干涉，故C错误；
D．根据多普勒效应，无论波源还是观察者哪一个运动只要是相互接近，间距变小，观察者接收的频率都会增大，但波源的频率不变，故D错误。
故选B。
【例5】．（2023春·福建福州·高三校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．“余音绕梁，三日不绝”，是声音的衍射现象
B．两列波产生干涉现象时，振动加强的介质质点始终位于波峰或波谷
C．声源与观察者相互靠近时，观察者所接收的声波波速大于声源发出的声波波速
D．两列波相遇时，在相遇区域任一点的总位移等于两列波分别引起的位移的矢量和
【答案】D
【详解】A.“余间绕梁三日，不绝于耳”指心理听觉，是音乐专业术语，不是物理学上的发声，故A错误；
B.振动加强点的振幅最大，并不是指该质点始终位于波峰或者波谷，故B错误；C.声源与观察者相互靠近时，观察者所接收的声波波速与声源发出的声波波速相等，故C错误；
D．两列波相遇时，每一列波引起的振动情况都保持不变与相遇前完全相同，而在相遇区域，任一质点的振动则是两列波共同作用的结果，即任一点的总位移等于两列波分别在该点引起的位移的矢量和，故D正确；
故选D。
【例6】．（2023·天津南开·统考二模）波源在坐标原点O沿y轴上下振动，形成的简谐波沿x轴正向传播，波速为2m/s。已知t=0时刻波恰好传到x=20cm的质点处，波形如图所示。则（ ）
A．波源的振动周期为0.2s
B．波源的起振方向一定沿y轴负方向
C．再经过0.4s波恰好传到x=60cm的P点
D．当波源沿x轴正向运动并靠近站在x轴正向相对于地面静止的观察者时，观察者接收到的波的频率为10Hz
【答案】B
【详解】A．波源的振动周期为
故A错误；
B．由于沿x轴正向传播，根据“上下坡”法可知，x=20cm的质点沿y轴负方向振动，而介质中质点起振的方向与波源的起振方向相同，所以波源的起振方向一定沿y轴负方向，故B正确；
C．波在介质中匀速传播，所以经过0.4s，波向前传播的距离为
所以波恰好传到100cm处，故C错误；
D．波源振动的频率为
根据多普勒效应，当波源沿x轴正向运动并靠近站在x轴正向相对于地面静止的观察者时，观察者接收到的波的频率大于10Hz，故D错误。故选B。
【例7】．（2023春·广东佛山·高三统考期中）科学上利用多普勒效应测量太空中星球相对地球的运动速度．某恒星与地球正相互远离，则（ ）
A．恒星发出光的频率增大
B．恒星发出光的波长增大
C．地球接收光的光速减小
D．地球接收光的频率减少
【答案】D
【详解】AB．恒星发出光的频率不变，波长不变，故AB错误；
C．地球接收光的光速不变，故C错误；
D．根据多普勒效应，地球接收光的频率减少，故D正确。
故选D。
【例8】（2022春·山西大同·高三山西省浑源中学校考期中）平静的湖面有相距为1m的两个小木块A、B，距小木块A左侧3m处有一波源在时刻开始向上振动，经4s小木块A第一次达到波峰，再经3s小木块B第一次达到波谷，波源和小木块A、B在一条直线上。
（1）求这列横波的周期和波速；
（2）求这列横波的波长；
（3）若此波在传播过程中遇到一根竖立的芦苇杆，是否会发生明显的衍射现象。
【答案】（1）4s，1m/s；（2）4m；（3）会发生明显的衍射现象
【详解】（1）令x1=3m，x2=1m，波速为v，周期为T，由题意有
，
解得
，
（2）该横波波长为
（3）由于大于竖立芦苇杆的直径，所以当波通过竖立的芦苇杆时会发生明显的衍射现象。
公众号：高中试卷君
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc31986" 题型一 机械波与波的图像 PAGEREF _Tc31986 \h 1
\l "_Tc30385" 类型1 波的形成及传播 PAGEREF _Tc30385 \h 1
\l "_Tc30013" 类型2 波的图像 PAGEREF _Tc30013 \h 5
\l "_Tc5361" 题型二 波的图像和振动图像的理解和应用 PAGEREF _Tc5361 \h 9
\l "_Tc1981" 题型三 波传播的周期性和多解性问题 PAGEREF _Tc1981 \h 13
\l "_Tc3539" 类型1 时间多解性 PAGEREF _Tc3539 \h 14
\l "_Tc9105" 类型2 空间多解性 PAGEREF _Tc9105 \h 17
\l "_Tc24580" 题型四 波的叠加与干涉 PAGEREF _Tc24580 \h 22
\l "_Tc4248" 题型五 波特有的现象 PAGEREF _Tc4248 \h 28
题型一 机械波与波的图像
1．传播特点
(1)波传到任意一点，该点的起振方向都和波源的起振方向相同。
(2)介质中每个质点都做受迫振动，因此，任一质点的振动频率和周期都和波源的振动频率和周期相同。
(3)波从一种介质进入另一种介质，由于介质的情况不同，它的波长和波速可能改变，但频率和周期都不会改变。
(4)波源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离，所以v＝eq \f(λ,T)＝λf。
2．波的传播方向与质点振动方向的互判方法
类型1 波的形成及传播
【例1】（2023·浙江金华·模拟预测）杜甫曾在《曲江》中提到：穿花蛱蝶深深见，点水蜻蜓款款飞。平静水面上的S处，“蜻蜓点水”时形成一列水波向四周传播（可视为简谱波），A、B两点与S在同一条直线上，C、S在另外一条直线上。图示时刻，A在波谷，B、C在不同的波峰上。已知波速为v，A、B连线在水平方向的距离为a，则不正确的是（ ）内容
图像
“上下坡”法
沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动
“同侧”法
波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧
“微平移”法
将波形沿传播方向进行微小的平移，再由对应同一横坐标的两波形曲线上的点来判断振动方向
A．水波的波长为a
B．A点振动频率为
C．到达第一个波峰的时刻，C比A滞后
D．从图示时刻起，经过的时间，B、C之间的距离增大了
【例2】（2023·江苏徐州·统考三模）如图，静止水面同一直线上的A、S、B为三个质点的平衡位置，它们的间距为。一滴水落在S处，形成一列向四周传播的水波（可视为简谐波），当水波的同一波峰经过A、B处时，S处的质点刚好经过平衡位置，且S、A（或B）之间只有一个波谷。已知波的周期为T，则（ ）
A．A、B两处质点的起振方向相反
B．此时S处质点向下振动
C．水波的波长为6a
D．水波的速度为
【例3】．（2023春·浙江湖州·高三统考阶段练习）如图所示，波源O从t=0时刻开始垂直纸面做振幅为10cm的简谐运动，所激发的横波在均匀介质中向四周传播。t=4s时第一次出现如图所示的波形，实线为波峰，虚线为波谷，两个实线圆的半径分别为6.5m和0.5m，下列说法正确的是（ ）
A．该波波长为3m
B．该波周期为3.7s
C．波源O的起振方向向上
D．此时波源O的位移为5cm
【例4】．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）中医是我国传统文化的瑰宝，“悬丝诊脉”更是一门绝技。悬丝诊脉，悬的是“丝”，“诊”的是脉搏通过悬丝传过来的振动，即通过机械波判断出病灶的位置与轻重缓急。如图，假设“丝”上有间距相等的点1、2、3、4、5、6…，且相邻两点间距离为l。待诊病人在搭上丝线后，图中质点1在t=0时开始向上振动，产生的机械波沿丝线向医生传播，t=1.25s时质点1第二次到达最高点，此时质点6刚好开始振动，则下列说法正确的是（ ）
A．该波的波长为2lB．t=1.25s时质点6振动的方向向下
C．t=2s时质点3恰好位于波谷位置D．t=0.75s时质点1和质点3的加速度相反
类型2 波的图像
【例1】（广东省清中、河中、北中、惠中2022-2023学年高三下学期5月联合考试物理试题）“战绳”训练是近年健身的一种流行的项目，如甲图，健身者双手握住双绳一端，上下抖动使绳子振动起来形成绳波，使健身者获得很好的健身效果。健身者抖动其中一根绳子形成的绳波，可看作简谐波，以手的平衡位置为坐标原点，建立xOy坐标系，如乙图是t=0时刻绳子的波形，若抖动的频率是0.5Hz，不考虑绳波传播过程中的能量损失，则（ ）
A．传播速度为8m/s
B．该时刻Q点的振动方向沿y轴正方向
C．该时刻P点坐标为（0，16）
D．从该时刻开始计时，质点Q的振动方程为
【例2】．（2023·云南曲靖·统考二模）如图所示为一列沿x轴正方向传播的简谐横波在时刻的波形，从此时刻开始，介质中的质点P、Q（P、Q连线平行x轴）回到平衡位置的最短时间分别为0.1s、0.4s，下列说法正确的是（ ）
A．该波的周期为B．0~0.75s内质点Q运动的路程为30cm
C．0~0.75s内波传播的距离为9cmD．时刻质点Q加速度最大
【例3】（2023春·河南·高三校联考期中）一列简谐横波正沿x轴正方向传播，时刻的波形图如图所示，P、Q位于平衡位置处，在时，质点P第3次到达波峰，则下面说法正确的是（ ）
A．这列波的周期为0.4sB．这列波的波速为5m/s
C．时质点Q位于波峰D．时质点Q向下回到平衡位置
【例4】（2023春·天津南开·高三天津市第二南开中学校考开学考试）一列简谐横波沿x轴正方向传播，该波的周期，在时刻的波形如图所示，质点A、B、C、D、E在x轴上的位置坐标分别为、、、，。下列说法正确的是（ ）
A．经过0.1s，D点向右移动
B．时，质点E第一次到达波峰
C．该波刚传到E点时，E点将向下振动
D．从时刻开始，在0.5s内质点E通过的路程为12cm
题型二 波的图像和振动图像的理解和应用
1.振动图像和波的图像的比较
比较项目
振动图像
波的图像
2.巧解波的图象与振动图象综合问题的基本方法
【例1】（2023届山东省潍坊市高三下学期三模物理试题）一列简谐横波在时的波形如图甲所示，图乙是坐标原点处质点的振动图像。已知质点的平衡位置坐标为，则（ ）
A．波向左传播B．波的传播速度大小为
C．质点的振动方程为D．质点的振动方程为
【例2】．（2023·山东·校联考模拟预测）如图，图甲为一列简谐横波在研究对象
一个质点
波传播方向上的所有质点
研究内容
某质点位移随时间的变化规律
某时刻所有质点在空间分布的规律
图像
横坐标
表示时间
表示各质点的平衡位置
物理意义
某质点在各时刻的位移
某时刻各质点的位移
振动方向的判断
(看下一时刻的位移)
(同侧法)
Δt后的图形
随时间推移，图像延伸，但已有形状不变
随时间推移，图像沿波的传播方向平移，原有波形做周期性变化
联系
(1)纵坐标均表示质点的位移
(2)纵坐标的最大值均表示振幅
(3)波在传播过程中，各质点都在各自的平衡位置附近振动
时刻的波形图，图乙为质点P的振动图像，Q是平衡位置在x＝4.0m处的质点，下列说法正确的是（ ）
A．时刻，质点Q沿y轴负方向振动
B．这列波的波速为0.8m/s
C．质点Q的振动方程为
D．从到，质点Q通过的路程为70cm
【例3】（2023春·江西赣州·高三校联考阶段练习）某同学为了研究水波的传播特点，在水面上放有稳定波源，产生的水波沿水平方向传播（视为简谐波），如图甲所示，由该时刻开始计时，在波源的右侧某位置放有浮标，内有速度传感器，图像如图乙所示，向上为正方向，则（ ）
A．水波的波长为16cm
B．水波的传播速度大小为1m/s
C．x=8cm处的质点该时刻向x轴正方向运动
D．浮标放置的位置可能为x=12cm
【例4】（2023春·天津南开·高三天津市第二南开中学校考开学考试）如图甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图，图乙为介质中x=2m处的质点P以此时刻为计时起点的振动图像。下列说法正确的是（ ）
A．这列波的传播方向是沿x轴负方向B．经过0.15s，质点P沿x轴正方向传播了3m
C．这列波的传播速度是20m/sD．经过0.1s，质点Q的运动方向沿y轴负方向题型三 波传播的周期性和多解性问题
1．造成波传播多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。
②空间周期性：波传播的距离Δx与波长λ的关系不明确。
(2)双向性
①传播方向双向性：波的传播方向不确定。
②振动方向双向性：质点振动方向不确定。
2．解决波的多解问题的思路
一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件关系的Δt或Δx，若此关系为时间，则t＝nT＋Δt(n＝0，1，2，…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0，1，2，…)。
类型1 时间多解性
【例1】（2023春·广东广州·高三广州市第十六中学校考期中）如图所示，实线为一列沿x轴传播的简谐横波时刻的波形图，虚线（非方格）为时刻的波形图。介质中有P、Q、M三个质点，时刻，三个质点的纵坐标分别为、、。下列说法正确的是（ ）
A．P、Q两质点的速度总是大小相等、方向相反
B．P、M两质点相对平衡位置的位移总是大小相等、方向相反
C．此列波的周期可能为0.8s
D．此列波的波速可能为6m/s
【例2】（2023·重庆·校联考模拟预测）某均匀介质中，一列简谐横波沿x轴正方向传播，在时刻和时刻的部分波形图分别如图中实线和虚线所示。下列说法正确的是（ ）
A．这列波的波长为6m
B．振源的频率可能为1Hz
C．这列波的波速大小可能为4m/s
D．质点P和质点Q的振动情况完全相同
【例3】（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考期中）最近两年以来，地震在世界各地频频出现，让人感觉地球正处于很“活跃”的时期。地震波既有横波，也有纵波，若我国地震局截获了一列沿x轴正方向传播的地震横波振幅为A，在t（图中实线）与（图中虚线）两个时刻x轴上区间内的波形图如图所示，求：
（1）该地震波质点振动的周期T；
（2）该地震波最小波速为多少；
（3）处的质点在0.2s内通过的最小路程。
【例4】．（2023春·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考期中）一列简谐横波图像如图所示，t1时刻的波形如图中实线所示，t2时刻的波形如图中虚线所示，已知Δt=t2-t1=0.5s。
（1）若波向右传播，则这列波的可能波速的表达式；
（2）若波向左传播，且3T<Δt<4T，则波速多大？
（3）若波速v=68m/s，则波向哪个方向传播？
类型2 空间多解性
【例1】（2023·全国·模拟预测）一列简谐横波在均匀介质中沿着x轴正方向传播，其传播速度v=6m/s，x轴上有平衡位置距离为3m的两个质点P、Q，P、Q两点的振动图像分别如图甲、乙所示，则下列说法正确的是（ ）
A．若P在Q左侧，则最大波长为4m
B．若P在Q右侧，则最大波长为6m
C．若P在Q左侧，则周期可能为
D．周期可能为
【例2】．（2023·山东济南·统考三模）一列简谐横波沿x轴传播，图甲和图乙分别是平衡位置位于x1=1m及x2=4m处两质点的振动图像。下列说法正确的是（ ）
A．波长可能为3mB．波长可能为
C．波速可能为D．波速可能为
【例3】（2023春·天津南开·高三天津市第二南开中学校考开学考试）一列横波沿着x轴正方向传播，处在和的两质点A、B的振动图像如图所示，则以下说法错误的是（ ）
A．2.5s末A、B两质点的位移相同
B．2s末A点的速度大于B点的速度C．该波的波长可能为
D．该波的波速可能为
【例4】（2023春·宁夏银川·高三银川唐徕回民中学校考期中）在一列沿水平直线传播的简谐横波上有相距4 m的A、B两点，如图甲、乙分别是A、B两质点的振动图像，已知该波波长大于3 m，求这列波可能的波速。
题型四 波的叠加与干涉
1．波的叠加
在波的叠加中，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和．
2．波的干涉现象中加强点、减弱点的判断方法
(1)公式法：
某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr.
①当两波源振动步调一致时．
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动加强；
若Δr＝(2n＋1)eq \f(λ,2)(n＝0,1,2，…)，则振动减弱．
②当两波源振动步调相反时．
若Δr＝(2n＋1)eq \f(λ,2)(n＝0,1,2，…)，则振动加强；
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动减弱．
(2)图像法：
在某时刻波的干涉的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的交点，一定是加强点，而波峰与波谷的交点一定是减弱点，各加强点或减弱点各自连接形成以两波源为中心向外辐射的连线，形成加强线和减弱线，两种线互相间隔，加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间．
【例1】（2023春·江苏·高三校联考阶段练习）如图所示，一运动场的内道由两个半径R为30m的半圆和两个长为L为40m的直道组成，在两个圆心、分别装有两只扬声器。在调试过程中，两只扬声器同时播放频率f为34Hz的低频声音。已知声音在空气中传播的速度v为340m/s，忽略声音在传播过程中的衰减。求：
（1）此声音的波长；
（2）通过计算判断在运动场的一条直道上有几处声音最强？
【例2】．（2023·陕西咸阳·统考三模）如图所示，、是同一种介质中相距10m的两个振动情况完全一致的相干波源，它们的振动方向垂直于所在的平面，它们振动的周期为，在介质中形成的机械波的波速为 。 已知，在连线上有好几个振动加强的点（不含、），其中距最近的点为（图中未画出），距最近的点为 (图中未画出)，取，。
（1）判断是否为振动加强点；
（2）求、两点间的距离。
【例3】（2023·广东·模拟预测）如图甲所示，两个波源分别位于O点和A点，O点为坐标原点，A点坐标为（8 m，10 m），波源的振动方向沿着z轴（垂直纸面向外为z轴正方向），两个波源产生的简谐横波在均匀介质中沿着xOy平面以1 m/s的速率传播（波一直充满空间）。O处波源的振动图像如图乙所示，A处波源的振动图像如图丙所示。已知B点坐标为（0 m，10 m）、C点坐标为（8 m，0 m）、D点坐标为（12 m，16 m）。已知两列波在传播过程中振幅均不变，下列说法正确的是（ ）
A．质点的振动周期为4 s，简谐横波的波长为4 cm
B．时，B处质点的振幅为2 cm
C．0~6.5 s时间内，C处质点经过的路程为12.5 cm
D．时，D处质点所受回复力方向沿着z轴负方向
【例4】（2023春·湖南衡阳·高三校考阶段练习）两列简谐横波P、Q在同种介质中分别沿x轴正方向和负方向传播，P波的波源平衡位置位于x = －6m处，振幅A1 = 3cm，Q波的波源平衡位置位于x = 7m处，振幅A2 = 2cm，P波的振动周期为T3s，图示为t = 0时刻两列波的波形图，下列说法正确的是（ ）
A．P波波长小，先到达x = 0处
B．x = 0处为振动加强点
C．Q波的振动频率为
D．t = 6s时，x = 3m处质点位移为0
【例5】．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）如图甲所示，水面上有两个波源、同时产生两列水波，若两列水波近似为简谐横波，以两波源的连线为x轴建立坐标轴，某时刻的波形图如图乙所示，P、Q为介质中的两点，下列说法正确的是（ ）
A．发出的水波波长大于发出的水波波长
B．两列水波在水中的传播速度大小相等
C．图示时刻，P、Q两点的振动方向相反
D．两列水波相遇时，两波源连线中点处的振动将加强
【例6】．（2023春·云南玉溪·高三云南省玉溪第一中学校考期中）如图所示，两位同学分别拉一根长为1.2m的绳两端A、B，t=0时刻，两同学同时抖动绳子两端，使A、B开始在竖直方向做简谐振动，产生沿绳传播的两列波、振源为A的波波速为v1，振源为B的波波速为v2。t=0.4s时，两列波恰好传播到P，Q两点，波形如图所示，则（ ）
A．两列波起振方向相反
B．v1= v2
C．到两列波相遇时，质点A经过的路程为25cm
D．t=1.4s时，x=0.55m处的质点偏离平衡位置的位移为
题型五 波特有的现象
波的干涉和衍射现象 多普勒效应
1.波的干涉和衍射
2.多普勒效应
(1)条件：声源和观察者之间有相对运动(距离发生变化)。
(2)现象：观察者感到频率发生变化。波的干涉
波的衍射
条件
两列波的频率必须相同，相位差保持不变
产生明显衍射的条件：障碍物或孔的尺寸比波长小或相差不多
现象
形成加强区和减弱区相互隔开的稳定的干涉图样
波能够绕过障碍物或孔继续向前传播
(3)实质：声源频率不变，观察者接收到的频率变化。
【例1】（2023春·天津南开·高三南开中学校考期中）一列简谐横波沿轴正方向传播，时刻波形如图所示，此时波刚好传到点，时质点第一次到达负方向最大位移处，则（ ）
A．此波波源的起振方向沿轴负方向
B．该简谐横波的波速为
C．该简谐横波的频率为
D．该波在传播过程中遇到尺寸为的障碍物会发生明显的衍射现象
【例2】．（2023春·湖北襄阳·高三襄阳四中校考阶段练习）花样游泳被誉为水中芭蕾，某运动员在花样游泳比赛中，有一场景：用手拍皮球，水波向四周散开，这个场景可以简化为如图，波源O起振方向向下，垂直于水平介质平面做简谐运动，所激发的横波在均匀介质中向四周传播。t=0时，离O点10m的质点A开始振动；t=2s时，离O点20m的质点B开始振动，此时质点A第3次回到平衡位置。下列说法正确的是（ ）
A．t=2s时，质点A振动方向向下
B．t=1s时，AB连线中点的质点刚开始振动
C．该波遇到1m的障碍物，会发生明显的衍射现象
D．该波与周期为2s的波相遇，会发生稳定的干涉现象
【例3】（2023春·辽宁鞍山·高三统考期中）下列关于机械振动和机械波的说法，正确的是（ ）
A．声源靠近观察者，观察者接收到的声波频率大于声源的频率
B．衍射是横波特有的现象，纵波不能发生衍射现象
C．固有频率为2Hz的振子在6Hz的驱动力作用下做受迫振动的振动频率为8Hz
D．两列相同频率的波的叠加区域内到两波源距离之差为波长整数倍的点一定是振动加强点
【例4】．（2023春·海南省直辖县级单位·高三校考期中）关于机械波，下列说法正确的是（ ）A．机械波从一种介质传到另一种介质时，波的频率、波长均不变
B．障碍物的尺寸比波的波长越小衍射现象越明显
C．两列波在同一介质中相遇一定发生干涉
D．波源和观察者相互接近，波源的频率会变大
【例5】．（2023春·福建福州·高三校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．“余音绕梁，三日不绝”，是声音的衍射现象
B．两列波产生干涉现象时，振动加强的介质质点始终位于波峰或波谷
C．声源与观察者相互靠近时，观察者所接收的声波波速大于声源发出的声波波速
D．两列波相遇时，在相遇区域任一点的总位移等于两列波分别引起的位移的矢量和
【例6】．（2023·天津南开·统考二模）波源在坐标原点O沿y轴上下振动，形成的简谐波沿x轴正向传播，波速为2m/s。已知t=0时刻波恰好传到x=20cm的质点处，波形如图所示。则（ ）
A．波源的振动周期为0.2s
B．波源的起振方向一定沿y轴负方向
C．再经过0.4s波恰好传到x=60cm的P点
D．当波源沿x轴正向运动并靠近站在x轴正向相对于地面静止的观察者时，观察者接收到的波的频率为10Hz
【例7】．（2023春·广东佛山·高三统考期中）科学上利用多普勒效应测量太空中星球相对地球的运动速度．某恒星与地球正相互远离，则（ ）
A．恒星发出光的频率增大
B．恒星发出光的波长增大
C．地球接收光的光速减小
D．地球接收光的频率减少
【例8】（2022春·山西大同·高三山西省浑源中学校考期中）平静的湖面有相距为1m的两个小木块A、B，距小木块A左侧3m处有一波源在时刻开始向上振动，经4s小木块A第一次达到波峰，再经3s小木块B第一次达到波谷，波源和小木块A、B在一条直线上。（1）求这列横波的周期和波速；
（2）求这列横波的波长；
（3）若此波在传播过程中遇到一根竖立的芦苇杆，是否会发生明显的衍射现象。
公众号：高中试卷君
专题19 机械波
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc31986" 题型一 机械波与波的图像 PAGEREF _Tc31986 \h 1
\l "_Tc30385" 类型1 波的形成及传播 PAGEREF _Tc30385 \h 1
\l "_Tc30013" 类型2 波的图像 PAGEREF _Tc30013 \h 5
\l "_Tc5361" 题型二 波的图像和振动图像的理解和应用 PAGEREF _Tc5361 \h 9
\l "_Tc1981" 题型三 波传播的周期性和多解性问题 PAGEREF _Tc1981 \h 13
\l "_Tc3539" 类型1 时间多解性 PAGEREF _Tc3539 \h 14
\l "_Tc9105" 类型2 空间多解性 PAGEREF _Tc9105 \h 17
\l "_Tc24580" 题型四 波的叠加与干涉 PAGEREF _Tc24580 \h 22
\l "_Tc4248" 题型五 波特有的现象 PAGEREF _Tc4248 \h 28
题型一 机械波与波的图像
1．传播特点
(1)波传到任意一点，该点的起振方向都和波源的起振方向相同。
(2)介质中每个质点都做受迫振动，因此，任一质点的振动频率和周期都和波源的振动频率和周期相同。
(3)波从一种介质进入另一种介质，由于介质的情况不同，它的波长和波速可能改变，但频率和周期都不会改变。
(4)波源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离，所以v＝eq \f(λ,T)＝λf。
2．波的传播方向与质点振动方向的互判方法
类型1 波的形成及传播
【例1】（2023·浙江金华·模拟预测）杜甫曾在《曲江》中提到：穿花蛱蝶深深见，点水蜻蜓款款飞。平静水面上的S处，“蜻蜓点水”时形成一列水波向四周传播（可视为简谱波），A、B两点与S在同一条直线上，C、S在另外一条直线上。图示时刻，A在波谷，B、C在不同的波峰上。已知波速为v，A、B连线在水平方向的距离为a，则不正确的是（ ）内容
图像
“上下坡”法
沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动
“同侧”法
波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧
“微平移”法
将波形沿传播方向进行微小的平移，再由对应同一横坐标的两波形曲线上的点来判断振动方向
A．水波的波长为a
B．A点振动频率为
C．到达第一个波峰的时刻，C比A滞后
D．从图示时刻起，经过的时间，B、C之间的距离增大了
【答案】ABD
【详解】AB．图示时刻，A在波谷，B在波峰上，A、B连线在水平方向的距离为，可知水波的波长为
A点振动频率为
故AB错误；
C．由图可知到达第一个波峰的时刻，C比A滞后
故C正确；
D．由于质点只是上下振动，不随波传播方向迁移，则B、C之间的距离保持不变，故D错误。
本题选错误的，故选ABD。
【例2】（2023·江苏徐州·统考三模）如图，静止水面同一直线上的A、S、B为三个质点的平衡位置，它们的间距为。一滴水落在S处，形成一列向四周传播的水波（可视为简谐波），当水波的同一波峰经过A、B处时，S处的质点刚好经过平衡位置，且S、A（或B）之间只有一个波谷。已知波的周期为T，则（ ）
A．A、B两处质点的起振方向相反
B．此时S处质点向下振动
C．水波的波长为6a
D．水波的速度为
【答案】D
【详解】A． A、B两处质点的起振方向相同，均与S点起振方向相同，选项A错误；
B．由题意可知，此时S处质点正处于平衡位置向上振动，选项B错误；
C．由题意可知
可得水波的波长为
选项C错误；
D．水波的速度为
选项D正确。
故选D。
【例3】．（2023春·浙江湖州·高三统考阶段练习）如图所示，波源O从t=0时刻开始垂直纸面做振幅为10cm的简谐运动，所激发的横波在均匀介质中向四周传播。t=4s时第一次出现如图所示的波形，实线为波峰，虚线为波谷，两个实线圆的半径分别为6.5m和0.5m，下列说法正确的是（ ）
A．该波波长为3m
B．该波周期为3.7s
C．波源O的起振方向向上
D．此时波源O的位移为5cm
【答案】C
【详解】A．由图可知相邻波峰间的距离即为波长，有
故A错误；
BC．依题意，t=4s时第一次出现如图所示的波形，说明波前与相邻的波峰相距四分之一波长，波前从平衡位置开始向上振动，易知波源的起振方向向上。t=4s时该波已经传播的距离为
则波速为
根据
解得
故B错误；C正确；
D．波源的振动方程为
代入t=4s，可得
故D错误。
故选C。
【例4】．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）中医是我国传统文化的瑰宝，“悬丝诊脉”更是一门绝技。悬丝诊脉，悬的是“丝”，“诊”的是脉搏通过悬丝传过来的振动，即通过机械波判断出病灶的位置与轻重缓急。如图，假设“丝”上有间距相等的点1、2、3、4、5、6…，且相邻两点间距离为l。待诊病人在搭上丝线后，图中质点1在t=0时开始向上振动，产生的机械波沿丝线向医生传播，t=1.25s时质点1第二次到达最高点，此时质点6刚好开始振动，则下列说法正确的是（ ）
A．该波的波长为2lB．t=1.25s时质点6振动的方向向下
C．t=2s时质点3恰好位于波谷位置D．t=0.75s时质点1和质点3的加速度相反
【答案】D
【详解】A．根据题意有
所以
故A错误；
B．介质中质点的起振方向与波源的起振方向相同，所以t=1.25s时质点6振动的方向向上，故B错误；
C．根据题意有
解得
波从质点1传播到质点3需要半个周期，即0.5s，所以在2s时质点3实际振动的时间为1.5s，所以在t=2s时质点3恰好位于平衡位置且向下振动，故C错误；
D．质点1和质点3间的距离等于半个波长，所以两质点振动步调相反，所以t=0.75s时质点1和质点3的加速度相反，故D正确。
故选D。
类型2 波的图像
【例1】（广东省清中、河中、北中、惠中2022-2023学年高三下学期5月联合考试物理试题）“战绳”训练是近年健身的一种流行的项目，如甲图，健身者双手握住双绳一端，上下抖动使绳子振动起来形成绳波，使健身者获得很好的健身效果。健身者抖动其中一根绳子形成的绳波，可看作简谐波，以手的平衡位置为坐标原点，建立xOy坐标系，如乙图是t=0时刻绳子的波形，若抖动的频率是0.5Hz，不考虑绳波传播过程中的能量损失，则（ ）
A．传播速度为8m/s
B．该时刻Q点的振动方向沿y轴正方向
C．该时刻P点坐标为（0，16）
D．从该时刻开始计时，质点Q的振动方程为
【答案】BD
【详解】A．由图乙可知，则绳波的波长为，频率，则有周期
波速为
A错误；
B．由题意可知，绳波沿x轴正方向传播，由上下坡法可知，该时刻Q点的振动方向沿y轴正方向，B正确；
C．由题图乙可知，质点振动的角速度为
对P点，初相位为
从该时刻开始计时，质点P的振动方程为
在t=0时
可知该时刻P点坐标为（0，），C错误；
D．由题图乙可知，质点振动的角速度为
从该时刻开始计时，质点Q的振动方程为
D正确。
故选BD。
【例2】．（2023·云南曲靖·统考二模）如图所示为一列沿x轴正方向传播的简谐横波在时刻的波形，从此时刻开始，介质中的质点P、Q（P、Q连线平行x轴）回到平衡位置的最短时间分别为0.1s、0.4s，下列说法正确的是（ ）
A．该波的周期为B．0~0.75s内质点Q运动的路程为30cmC．0~0.75s内波传播的距离为9cmD．时刻质点Q加速度最大
【答案】AC
【详解】A．该波沿x轴正方向传播，根据波的平移可知，质点P向下振动，质点Q向上振动，且回到平衡位置的最短时间分别为0.1s、0.4s，故
解得
故A正确；
B．由于在时刻，质点Q不是在平衡位置，因此在0~0.75s内，即从时刻开始内，其路程不等于3A，即30cm，故B错误；
C．由图可知
波速为
0~0.75s内波传播的距离为
故C正确；’
D．由于在时刻，质点Q不是在位移最大处，因此，即时刻，质点Q依然不是在位移最大处，其加速度不是最大，故D错误。
故选AC。
【例3】（2023春·河南·高三校联考期中）一列简谐横波正沿x轴正方向传播，时刻的波形图如图所示，P、Q位于平衡位置处，在时，质点P第3次到达波峰，则下面说法正确的是（ ）
A．这列波的周期为0.4sB．这列波的波速为5m/s
C．时质点Q位于波峰D．时质点Q向下回到平衡位置
【答案】AB
【详解】A．由于波沿x轴正方向传播，可知时刻，质点P从平衡位置向上振动，在时，质点P第3次到达波峰，可知
可得周期为
故A正确
B．由图像可知波长为，则波速为
故B正确；
C．由于波沿x轴正方向传播，可知时刻，质点Q从平衡位置向下振动，由于
可知时质点Q位于波谷，故C错误；
D．由于
此时质点Q向上回到平衡位置，故D错误。
故选AB。
【例4】（2023春·天津南开·高三天津市第二南开中学校考开学考试）一列简谐横波沿x轴正方向传播，该波的周期，在时刻的波形如图所示，质点A、B、C、D、E在x轴上的位置坐标分别为、、、，。下列说法正确的是（ ）
A．经过0.1s，D点向右移动
B．时，质点E第一次到达波峰
C．该波刚传到E点时，E点将向下振动
D．从时刻开始，在0.5s内质点E通过的路程为12cm
【答案】BD
【详解】A．质点只上下振动并不随波迁移，故A错误；
B．由图可知波长为，则波速为
时，波传播的距离为
则时，初始时刻C点的振动状态刚好第一次传播到E点，即质点E第一次到达波峰，故B正确；
C．简谐横波沿x轴正方向传播，则该波刚传到E点时，E点将向上振动，故C错误；
D．波传播到E需用时
从时刻开始，在0.5s内质点E恰好振动一个周期，则运动路程为4倍的振幅，即为12cm，故D正确。
故选BD。
题型二 波的图像和振动图像的理解和应用
1.振动图像和波的图像的比较
2.巧解波的图象与振动图象综合问题的基本方法比较项目
振动图像
波的图像
研究对象
一个质点
波传播方向上的所有质点
研究内容
某质点位移随时间的变化规律
某时刻所有质点在空间分布的规律
图像
横坐标
表示时间
表示各质点的平衡位置
物理意义
某质点在各时刻的位移
某时刻各质点的位移
振动方向的判断
(看下一时刻的位移)
(同侧法)
Δt后的图形
随时间推移，图像延伸，但已有形状不变
随时间推移，图像沿波的传播方向平移，原有波形做周期性变化
联系
(1)纵坐标均表示质点的位移
(2)纵坐标的最大值均表示振幅
(3)波在传播过程中，各质点都在各自的平衡位置附近振动
【例1】（2023届山东省潍坊市高三下学期三模物理试题）一列简谐横波在时的波形如图甲所示，图乙是坐标原点处质点的振动图像。已知质点的平衡位置坐标为，则（ ）
A．波向左传播B．波的传播速度大小为
C．质点的振动方程为D．质点的振动方程为
【答案】ABC
【详解】A．由题图乙知，当时，质点Q向上运动，结合题图甲可得该波向左传播，故A正确；
B．由题图可知，波长为
周期
该波的波速
故B正确；
CD．经
质点Q振动到最大位移处，由
则
则质点Q的振动方程为
故C正确，D错误。
故选ABC。
【例2】．（2023·山东·校联考模拟预测）如图，图甲为一列简谐横波在时刻的波形图，图乙为质点P的振动图像，Q是平衡位置在x＝4.0m处的质点，下列说法正确的是（ ）
A．时刻，质点Q沿y轴负方向振动
B．这列波的波速为0.8m/s
C．质点Q的振动方程为
D．从到，质点Q通过的路程为70cm
【答案】AD
【详解】A．根据振动图像，质点P在t＝0时刻后的下一时刻的振动方向向上，结合波的图像，可知这列简谐横波向左传播，质点Q沿y轴负方向振动。故A正确；
B．由图甲可得λ＝8m，由图乙知
可得
T＝12s
所以横波的波速为
故B错误；
C．设质点Q的振动方程为
综合以上信息可得质点Q的振动方程为
故C错误；
D．从t＝0s到t＝11s，经历了
质点Q通过的路程为
故D正确。
故选AD。
【例3】（2023春·江西赣州·高三校联考阶段练习）某同学为了研究水波的传播特点，在水面上放有稳定波源，产生的水波沿水平方向传播（视为简谐波），如图甲所示，由该时刻开始计时，在波源的右侧某位置放有浮标，内有速度传感器，图像如图乙所示，向上为正方向，则（ ）
A．水波的波长为16cm
B．水波的传播速度大小为1m/s
C．x=8cm处的质点该时刻向x轴正方向运动
D．浮标放置的位置可能为x=12cm
【答案】AD
【详解】A．由图甲得水波的波长，故A正确；
B．水波的传播速度大小
故B错误；
C．质点只在平衡位置附近y轴方向上下振动，波传播时，质点不会沿x轴正方向移动，故C错误；
D．t=0时刻，质点的速度为0，下一刻方向为正，故浮标处在波谷，可能为x=12cm，故D正确。
故选AD。
【例4】（2023春·天津南开·高三天津市第二南开中学校考开学考试）如图甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图，图乙为介质中x=2m处的质点P以此时刻为计时起点的振动图像。下列说法正确的是（ ）
A．这列波的传播方向是沿x轴负方向B．经过0.15s，质点P沿x轴正方向传播了3m
C．这列波的传播速度是20m/sD．经过0.1s，质点Q的运动方向沿y轴负方向
【答案】CD
【详解】A．根据图乙可知，此时质点P向y轴负方向振动，根据波形平移法可知，这列波的传播方向是沿x轴正方向，故A错误；
B．质点P只是在平衡位置上下振动，并不会随波的传播方向迁移，故B错误；
C．由图甲可知，波长为，由图乙可知，周期为，则波速为
故C正确；
D．由于波沿x轴正方向传播，可知此时质点Q沿y轴正方向运动，根据
可知经过0.1s，质点Q的运动方向沿y轴负方向，故D正确。
故选CD。
题型三 波传播的周期性和多解性问题
1．造成波传播多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。
②空间周期性：波传播的距离Δx与波长λ的关系不明确。
(2)双向性
①传播方向双向性：波的传播方向不确定。
②振动方向双向性：质点振动方向不确定。
2．解决波的多解问题的思路
一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件关系的Δt或Δx，若此关系为时间，则t＝nT＋Δt(n＝0，1，2，…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0，1，2，…)。类型1 时间多解性
【例1】（2023春·广东广州·高三广州市第十六中学校考期中）如图所示，实线为一列沿x轴传播的简谐横波时刻的波形图，虚线（非方格）为时刻的波形图。介质中有P、Q、M三个质点，时刻，三个质点的纵坐标分别为、、。下列说法正确的是（ ）
A．P、Q两质点的速度总是大小相等、方向相反
B．P、M两质点相对平衡位置的位移总是大小相等、方向相反
C．此列波的周期可能为0.8s
D．此列波的波速可能为6m/s
【答案】BC
【详解】AB．由题图可知此列波的波长为6m，而P、Q两质点平衡位置的距离小于半个波长，所以P、Q的振动情况不是总相反；根据三角函数知识可知，P、M两质点平衡位置的距离等于半个波长，所以P、M的振动情况总是相反，A错误，B正确；
CD．在1s内x=3m处质点位移为4cm，即
，
故波的周期为、、、……，由于波长为6m，周期不可能为1s，故波速不可能为6m /s，C正确，D错误。
故选BC。
【例2】（2023·重庆·校联考模拟预测）某均匀介质中，一列简谐横波沿x轴正方向传播，在时刻和时刻的部分波形图分别如图中实线和虚线所示。下列说法正确的是（ ）
A．这列波的波长为6m
B．振源的频率可能为1Hz
C．这列波的波速大小可能为4m/s
D．质点P和质点Q的振动情况完全相同
【答案】C
【详解】A．由题图可知，这列波的波长为8m，故A错误；
BC．波沿x轴正方向传播，在内波传播的距离为
则波速为
当n=1时，可得
若振源的频率为1Hz，则波速为
把带入，可得
由于，所以振源的频率不可能为1Hz，故B错误，C正确；
D．质点P和质点Q的平衡位置相距，所以质点P和质点Q的振动情况不同，故D错误。
故选C。
【例3】（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考期中）最近两年以来，地震在世界各地频频出现，让人感觉地球正处于很“活跃”的时期。地震波既有横波，也有纵波，若我国地震局截获了一列沿x轴正方向传播的地震横波振幅为A，在t（图中实线）与（图中虚线）两个时刻x轴上区间内的波形图如图所示，求：
（1）该地震波质点振动的周期T；
（2）该地震波最小波速为多少；
（3）处的质点在0.2s内通过的最小路程。
【答案】（1），（，1，2，3…）；（2）；（3）
【详解】（1）根据题意有
，（，1，2，3…）
所以
，（，1，2，3…）
（2）由题图知，该地震波的波长为，最大周期为0.8s，根据波速与波长的关系可得，最小波速为
（3）地震横波沿轴正方向传播，t时刻处的质点在，若路程最小，则其振动周期为0.8s，0.2s刚好为周期，故最小路程为
【例4】．（2023春·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考期中）一列简谐横波图像如图所示，t1时刻的波形如图中实线所示，t2时刻的波形如图中虚线所示，已知Δt=t2-t1=0.5s。
（1）若波向右传播，则这列波的可能波速的表达式；
（2）若波向左传播，且3T<Δt<4T，则波速多大？
（3）若波速v=68m/s，则波向哪个方向传播？
【答案】（1）（n=0,1,2,3…）；（2）60m/s；（3）向右传播
【详解】（1）若波向右传播，根据波形的周期性可得
（n=0,1,2,3…）
（2）同理可得，若波向左传播，可得
（n=0,1,2,3…）
由于3T<Δt<4T，则n=3，代入上式可得v=(16×3+12)m/s=60m/s
（3）假设波向右传播，将v=68m/s代入
v=16n+4m/s
解得
n=4
假设成立，故波向右传播。
类型2 空间多解性
【例1】（2023·全国·模拟预测）一列简谐横波在均匀介质中沿着x轴正方向传播，其传播速度v=6m/s，x轴上有平衡位置距离为3m的两个质点P、Q，P、Q两点的振动图像分别如图甲、乙所示，则下列说法正确的是（ ）
A．若P在Q左侧，则最大波长为4m
B．若P在Q右侧，则最大波长为6m
C．若P在Q左侧，则周期可能为
D．周期可能为
【答案】AD
【详解】AC．设波长为，周期为T，P、Q相距最近时的位置关系如图所示，当P在Q左侧时，P、Q两质点之间的平衡位置相距
则最大波长为4m
解得周期
故A正确，C错误；
B．当P在Q（的位置）右侧时，P、Q两质点之间的平衡位置相距
最大波长为12m，故B错误；
D．当P在Q右侧时
解得周期
合并两种情况，周期
故D正确。
故选AD。
【例2】．（2023·山东济南·统考三模）一列简谐横波沿x轴传播，图甲和图乙分别是平衡位置位于x1=1m及x2=4m处两质点的振动图像。下列说法正确的是（ ）
A．波长可能为3mB．波长可能为
C．波速可能为D．波速可能为
【答案】BC
【详解】AB．若波沿x轴负方向传播，则x1=1m及x2=4m的振动相差时间为
则
可得
由题意可知
故对应的波速为
同理，若波沿x轴正方向传播，则x1=1m及x2=4m的振动相差时间为
则
可得
故对应的波速为
故A错误，B正确；
CD．结合AB分析可知，当波沿x轴正方向传播，且时
且波速不可能为，故C正确，D错误。
故选BC。
【例3】（2023春·天津南开·高三天津市第二南开中学校考开学考试）一列横波沿着x轴正方向传播，处在和的两质点A、B的振动图像如图所示，则以下说法错误的是（ ）
A．2.5s末A、B两质点的位移相同
B．2s末A点的速度大于B点的速度
C．该波的波长可能为
D．该波的波速可能为
【答案】C
【详解】A．由图可得，周期为4s，A、B两质点的振动方程分别为
当时
则A正确，不符合题意；
B．由振动图像读出，2s末A质点的位移，处于平衡位置，速度最大；B质点的位移，处于波谷，速度是零，所以2s末A质点的速度大于B质点的速度，则B正确，不符合题意；
C．时刻，质点A正通过平衡位置向上运动，质点B在波峰，波从A向B传播，则AB间的距离
则
因而该波的波长不可能为，故C错误，符合题意；
D．根据
当时，波速为
则D正确，不符合题意。
故选C。
【例4】（2023春·宁夏银川·高三银川唐徕回民中学校考期中）在一列沿水平直线传播的简谐横波上有相距4 m的A、B两点，如图甲、乙分别是A、B两质点的振动图像，已知该波波长大于3 m，求这列波可能的波速。
【答案】若波由A向B传播，v1＝m/s；若波由B向A传播，v1＝40 m/s，v2＝8 m/s。
【详解】由振动图像得质点振动周期
T＝0.4 s
若波由A向B传播，B点比A点晚振动的时间
Δt＝nT＋T（n＝0，1，2，3，…）
所以A、B间的距离为
Δs＝nλ＋λ（n＝0，1，2，3，…）
则波长为
λ＝＝m
因为λ>3 m，所以n＝0
当n＝0时
λ1＝m，v1＝＝m/s
若波由B向A传播，A点比B点晚振动的时间
Δt＝nT＋T（n＝0，1，2，3，…）
所以A、B间的距离为
Δs＝nλ＋λ（n＝0，1，2，3，…）
则波长为
λ＝＝m
λ>3 m，所以n＝0，1
当n＝0时
λ1＝16 m，v1＝40 m/s当n＝1时
λ2＝m，v2＝8 m/s
题型四 波的叠加与干涉
1．波的叠加
在波的叠加中，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和．
2．波的干涉现象中加强点、减弱点的判断方法
(1)公式法：
某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr.
①当两波源振动步调一致时．
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动加强；
若Δr＝(2n＋1)eq \f(λ,2)(n＝0,1,2，…)，则振动减弱．
②当两波源振动步调相反时．
若Δr＝(2n＋1)eq \f(λ,2)(n＝0,1,2，…)，则振动加强；
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动减弱．
(2)图像法：
在某时刻波的干涉的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的交点，一定是加强点，而波峰与波谷的交点一定是减弱点，各加强点或减弱点各自连接形成以两波源为中心向外辐射的连线，形成加强线和减弱线，两种线互相间隔，加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间．
【例1】（2023春·江苏·高三校联考阶段练习）如图所示，一运动场的内道由两个半径R为30m的半圆和两个长为L为40m的直道组成，在两个圆心、分别装有两只扬声器。在调试过程中，两只扬声器同时播放频率f为34Hz的低频声音。已知声音在空气中传播的速度v为340m/s，忽略声音在传播过程中的衰减。求：
（1）此声音的波长；
（2）通过计算判断在运动场的一条直道上有几处声音最强？
【答案】（1）；（2）5处，见解析【详解】（1）由
可得声音的波长为
（2）直道上到两波源的路程差最大为
路程差最小为
当，，时，振动最强，一条直道上有5处声音最强。
【例2】．（2023·陕西咸阳·统考三模）如图所示，、是同一种介质中相距10m的两个振动情况完全一致的相干波源，它们的振动方向垂直于所在的平面，它们振动的周期为，在介质中形成的机械波的波速为 。 已知，在连线上有好几个振动加强的点（不含、），其中距最近的点为（图中未画出），距最近的点为 (图中未画出)，取，。
（1）判断是否为振动加强点；
（2）求、两点间的距离。
【答案】（1）点为振动加强点；（2）
【详解】（1）根据几何关系可知
则有
可知点为振动加强点。
（2）机械波的波长为
根据题意可知
根据几何关系可知
联立解得
【例3】（2023·广东·模拟预测）如图甲所示，两个波源分别位于O点和A点，O点为坐标原点，A点坐标为（8 m，10 m），波源的振动方向沿着z轴（垂直纸面向外为z轴正方向），两个波源产生的简谐横波在均匀介质中沿着xOy平面以1 m/s的速率传播（波一直充满空间）。O处波源的振动图像如图乙所示，A处波源的振动图像如图丙所示。已知B点坐标为（0 m，10 m）、C点坐标为（8 m，0 m）、D点坐标为（12 m，16 m）。已知两列波在传播过程中振幅均不变，下列说法正确的是（ ）
A．质点的振动周期为4 s，简谐横波的波长为4 cm
B．时，B处质点的振幅为2 cm
C．0~6.5 s时间内，C处质点经过的路程为12.5 cm
D．时，D处质点所受回复力方向沿着z轴负方向
【答案】B
【详解】A．由题图乙、丙可知，质点振动的周期为4s，由公式可知，简谐横波的波长为4 m，故A错误；
B．时，O点波源处于波谷位置，因为，所以在O点波源产生的波的作用下B处质点处于波峰，A点波源此时处于波峰位置，，所以在A点波源产生的波的作用下B处质点处于波峰，所以B点属于振动加强点，B处质点振幅为2 cm，故B正确；
C．分析可知C点为振动加强点，振幅为2 cm，0~6 s内，质点振动，通过的路程为12 cm，且质点6.0s时刚好位于平衡位置，6~6.5 s内，质点经过的路程根据正弦函数规律可知为，所以质点在0~6.5 s内通过的路程为，故C错误；
D．根据D点坐标和勾股定理可知
即时在O点波源产生的波的作用下D处质点处于平衡位置，而AD约为，所以时在A点波源产生的波的作用下D处质点位移为负值，所以D处质点所受回复力方向沿着z轴正方向，故D错误。
故选B。
【例4】（2023春·湖南衡阳·高三校考阶段练习）两列简谐横波P、Q在同种介质中分别沿x轴正方向和负方向传播，P波的波源平衡位置位于x = －6m处，振幅A1 = 3cm，Q波的波源平衡位置位于x = 7m处，振幅A2 = 2cm，P波的振动周期为T3s，图示为t = 0时刻两列波的波形图，下列说法正确的是（ ）
A．P波波长小，先到达x = 0处
B．x = 0处为振动加强点
C．Q波的振动频率为
D．t = 6s时，x = 3m处质点位移为0
【答案】CD
【详解】A．由题图可知λP = 3m，λQ = 4m，结合可知
v = 1m/s
故两波同时传到处，A错误；
BC．由可得
，，
则两列波频率不同，无法产生稳定的干涉，B错误、C正确；
D．P波传到处用时6s，恰好两个周期，，故时处质点位移为0，D正确。
故选CD。
【例5】．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）如图甲所示，水面上有两个波源、同时产生两列水波，若两列水波近似为简谐横波，以两波源的连线为x轴建立坐标轴，某时刻的波形图如图乙所示，P、Q为介质中的两点，下列说法正确的是（ ）
A．发出的水波波长大于发出的水波波长
B．两列水波在水中的传播速度大小相等
C．图示时刻，P、Q两点的振动方向相反
D．两列水波相遇时，两波源连线中点处的振动将加强
【答案】BD
【详解】A．由图乙可知，两列水波的波长
故A错误；
B．机械波的波速由介质决定，两列水波在水中的传播速度大小相等，故B正确；
C．图示时刻，P、Q两点的振动方向均沿y轴负方向，振动方向相同，故C错误；
D．两波源连线中点到两波源的波程差为零，振动始终加强，故D正确。
故选BD。
【例6】．（2023春·云南玉溪·高三云南省玉溪第一中学校考期中）如图所示，两位同学分别拉一根长为1.2m的绳两端A、B，t=0时刻，两同学同时抖动绳子两端，使A、B开始在竖直方向做简谐振动，产生沿绳传播的两列波、振源为A的波波速为v1，振源为B的波波速为v2。t=0.4s时，两列波恰好传播到P，Q两点，波形如图所示，则（ ）
A．两列波起振方向相反
B．v1= v2
C．到两列波相遇时，质点A经过的路程为25cm
D．t=1.4s时，x=0.55m处的质点偏离平衡位置的位移为
【答案】BD
【详解】A．两列波恰好传播到P，Q两点，结合同侧法可知振源A的起振方向为竖直向上，振源B的起振方向也是竖直向上，A错误；
B．由图可知，
B正确；
C．质点A的振动周期为
两列波波速相等，故在处相遇，需要的时间为
所以质点A经过的路程为
C错误；
D．左侧波源振动传到处需要的时间为
故t=1.4s时，该处质点已经振动了，左侧波源的振动方程为
代入t=1.4s可得此时左侧波源引起质点处的振动位移为
右侧波源振动传到处需要的时间为
可知t=1.4s时，该处质点已经振动了，右侧波源振动周期为，故右侧波源引起质点处的振动位移为，根据波的叠加原理可得总的位移为，D正确。
故选BD。
题型五 波特有的现象
波的干涉和衍射现象 多普勒效应
1.波的干涉和衍射
波的干涉
波的衍射
条件
两列波的频率必须相同，相位差保持不变
产生明显衍射的条件：障碍物或孔的尺寸比波长小或相差不多
2.多普勒效应
(1)条件：声源和观察者之间有相对运动(距离发生变化)。
(2)现象：观察者感到频率发生变化。
(3)实质：声源频率不变，观察者接收到的频率变化。
【例1】（2023春·天津南开·高三南开中学校考期中）一列简谐横波沿轴正方向传播，时刻波形如图所示，此时波刚好传到点，时质点第一次到达负方向最大位移处，则（ ）
A．此波波源的起振方向沿轴负方向
B．该简谐横波的波速为
C．该简谐横波的频率为
D．该波在传播过程中遇到尺寸为的障碍物会发生明显的衍射现象
【答案】BCD
【详解】A．简谐横波沿轴正方向传播，由“上下坡”法可知，质点P开始振动时的运动方向沿y轴正方向，所以此波波源的起振方向沿y轴正方向，故A错误；
B．t=0.3s时，质点P第一次到达负方向最大位移处，由
可得
由图知，波长
该简谐横波的波速为
B正确；
C．该简谐横波的频率为
现象
形成加强区和减弱区相互隔开的稳定的干涉图样
波能够绕过障碍物或孔继续向前传播
C正确；
D．障碍物尺寸和波长相近或波长大于障碍物尺寸时，会发生明显的衍射现象，所以该波在传播过程中遇到尺寸为的障碍物会发生明显的衍射现象，故D正确。
故选BCD。
【例2】．（2023春·湖北襄阳·高三襄阳四中校考阶段练习）花样游泳被誉为水中芭蕾，某运动员在花样游泳比赛中，有一场景：用手拍皮球，水波向四周散开，这个场景可以简化为如图，波源O起振方向向下，垂直于水平介质平面做简谐运动，所激发的横波在均匀介质中向四周传播。t=0时，离O点10m的质点A开始振动；t=2s时，离O点20m的质点B开始振动，此时质点A第3次回到平衡位置。下列说法正确的是（ ）
A．t=2s时，质点A振动方向向下
B．t=1s时，AB连线中点的质点刚开始振动
C．该波遇到1m的障碍物，会发生明显的衍射现象
D．该波与周期为2s的波相遇，会发生稳定的干涉现象
【答案】ACD
【详解】A．由题意可知，质点A第3次回到平衡位置，周期为
波源O起振方向向下，则t=2s时，质点A回到平衡位置向下振动，A正确；
B．由题意可知，波长为10m。如图，AB连线中点到两虚线距离不相等，则t=1s时，即经半个周期，AB连线中点的质点已经振动，B错误；
C．波长比障碍物大得多，故会发生明显的衍射现象，C正确；
D．两波发生稳定干涉的条件是频率相等，D正确。
故选ACD。
【例3】（2023春·辽宁鞍山·高三统考期中）下列关于机械振动和机械波的说法，正确的是（ ）
A．声源靠近观察者，观察者接收到的声波频率大于声源的频率
B．衍射是横波特有的现象，纵波不能发生衍射现象
C．固有频率为2Hz的振子在6Hz的驱动力作用下做受迫振动的振动频率为8Hz
D．两列相同频率的波的叠加区域内到两波源距离之差为波长整数倍的点一定是振动加强点
【答案】A【详解】A．声源靠近观察者，根据多普勒效应可知，观察者接收到的声波频率大于声源的频率，A正确；
B．衍射是波特有的现象，一切波都能发生衍射现象，B错误；
C．固有频率为2Hz的振子在6Hz的驱动力作用下做受迫振动的振动频率为6Hz，C错误；
D．两列相同频率的波的叠加区域内到两波源距离之差为波长整数倍的点不一定是振动加强点，频率相同、相位差恒定、振动方向一致的两列波，若相位差为，波程差是波长的整数倍则为振动加强点，若相位差为，波程差是波长的整数倍则为振动减弱点，D错误。
故选A。
【例4】．（2023春·海南省直辖县级单位·高三校考期中）关于机械波，下列说法正确的是（ ）
A．机械波从一种介质传到另一种介质时，波的频率、波长均不变
B．障碍物的尺寸比波的波长越小衍射现象越明显
C．两列波在同一介质中相遇一定发生干涉
D．波源和观察者相互接近，波源的频率会变大
【答案】B
【详解】A．机械波从一种介质传到另一种介质，不发生变化的物理量是波的频率，而波速和波长都有可能发生变化，故A错误；
B．波发生明显衍射的条件是孔、缝的宽度或障碍物的尺寸与波长相比差不多或者比波长更小，故障碍物的尺寸一定时，波的波长越大衍射会越明显，故B正确；
C．发生干涉的条件之一是频率相同，因此两列波在同一介质中相遇不一定发生干涉，故C错误；
D．根据多普勒效应，无论波源还是观察者哪一个运动只要是相互接近，间距变小，观察者接收的频率都会增大，但波源的频率不变，故D错误。
故选B。
【例5】．（2023春·福建福州·高三校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．“余音绕梁，三日不绝”，是声音的衍射现象
B．两列波产生干涉现象时，振动加强的介质质点始终位于波峰或波谷
C．声源与观察者相互靠近时，观察者所接收的声波波速大于声源发出的声波波速
D．两列波相遇时，在相遇区域任一点的总位移等于两列波分别引起的位移的矢量和
【答案】D
【详解】A.“余间绕梁三日，不绝于耳”指心理听觉，是音乐专业术语，不是物理学上的发声，故A错误；
B.振动加强点的振幅最大，并不是指该质点始终位于波峰或者波谷，故B错误；C.声源与观察者相互靠近时，观察者所接收的声波波速与声源发出的声波波速相等，故C错误；
D．两列波相遇时，每一列波引起的振动情况都保持不变与相遇前完全相同，而在相遇区域，任一质点的振动则是两列波共同作用的结果，即任一点的总位移等于两列波分别在该点引起的位移的矢量和，故D正确；
故选D。
【例6】．（2023·天津南开·统考二模）波源在坐标原点O沿y轴上下振动，形成的简谐波沿x轴正向传播，波速为2m/s。已知t=0时刻波恰好传到x=20cm的质点处，波形如图所示。则（ ）
A．波源的振动周期为0.2s
B．波源的起振方向一定沿y轴负方向
C．再经过0.4s波恰好传到x=60cm的P点
D．当波源沿x轴正向运动并靠近站在x轴正向相对于地面静止的观察者时，观察者接收到的波的频率为10Hz
【答案】B
【详解】A．波源的振动周期为
故A错误；
B．由于沿x轴正向传播，根据“上下坡”法可知，x=20cm的质点沿y轴负方向振动，而介质中质点起振的方向与波源的起振方向相同，所以波源的起振方向一定沿y轴负方向，故B正确；
C．波在介质中匀速传播，所以经过0.4s，波向前传播的距离为
所以波恰好传到100cm处，故C错误；
D．波源振动的频率为
根据多普勒效应，当波源沿x轴正向运动并靠近站在x轴正向相对于地面静止的观察者时，观察者接收到的波的频率大于10Hz，故D错误。故选B。
【例7】．（2023春·广东佛山·高三统考期中）科学上利用多普勒效应测量太空中星球相对地球的运动速度．某恒星与地球正相互远离，则（ ）
A．恒星发出光的频率增大
B．恒星发出光的波长增大
C．地球接收光的光速减小
D．地球接收光的频率减少
【答案】D
【详解】AB．恒星发出光的频率不变，波长不变，故AB错误；
C．地球接收光的光速不变，故C错误；
D．根据多普勒效应，地球接收光的频率减少，故D正确。
故选D。
【例8】（2022春·山西大同·高三山西省浑源中学校考期中）平静的湖面有相距为1m的两个小木块A、B，距小木块A左侧3m处有一波源在时刻开始向上振动，经4s小木块A第一次达到波峰，再经3s小木块B第一次达到波谷，波源和小木块A、B在一条直线上。
（1）求这列横波的周期和波速；
（2）求这列横波的波长；
（3）若此波在传播过程中遇到一根竖立的芦苇杆，是否会发生明显的衍射现象。
【答案】（1）4s，1m/s；（2）4m；（3）会发生明显的衍射现象
【详解】（1）令x1=3m，x2=1m，波速为v，周期为T，由题意有
，
解得
，
（2）该横波波长为
（3）由于大于竖立芦苇杆的直径，所以当波通过竖立的芦苇杆时会发生明显的衍射现象。
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