江苏省宿迁市沭阳县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂乘法计算并判定A；根据完全平方公式计算并判定B；根据合并同类项法则计算并判定C；根据积的乘方和幂的乘方计算并判定D．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查同底数幂乘法，完全平方公式，合并同类，积的乘方和幂的乘方，熟练掌握同底数幂乘法法则、完全平方公式，合并同类法则、积的乘方和幂的乘方法则是解题的关键．
2. 若一个三角形的两边长分别为3和5，则第三边长可以是（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果．
【详解】根据三角形的三边关系，得
第三边应大于，而小于，
故第三边的长度，
这个三角形的第三边长可以是4．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系列出不等式，然后解不等式，确定取值范围即可．
3. 如图，下列能判定的条件有（ ）
①；②；③；④．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴；故①符合题意；
∵，
∴，不能判定；故②不符合题意；
∵，
∴；故③符合题意；
∵，
∴；故④符合题意；
故选：C．
4. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（ ）
A 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据多边形的内角和公式与多边形的外角和定理列式进行计算即可解答．
【详解】设这个多边形是n边形，根据题意，得
，
解得：，
∴这个多边形是六边形．
故选：D
5. 将两把相同的直尺如图放置．若，则的度数等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】互补关系求出，互余关系求出，再用互补关系即可得出结果．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查余角和补角的计算．正确的识图，确定角度之间的和差关系，是解题的关键．
6. 已知，则的值为 （ ）
A. 3B. 6C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】由逐步代入可得答案．
【详解】解：，



故选D．
【点睛】本题考查的是代数式的求值，考查了用平方差公式分解因式，掌握整体代入的方法是解题的关键．
7. 如图，将纸片沿折叠，使点A落在四边形内点位置，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的内角和定理求出的度数，根据折叠的性质，得到，进而得到，即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵折叠，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，折叠的性质，熟练掌握折痕是角平分线，三角形的内角和是，是解题的关键．
8. 如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”，例如：因为，所以称24为“完美数”，下面4个数中为“完美数”的是（ ）
A. 2020B. 2024C. 2025D. 2026
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可设这两个连续奇数分别为和（n为正整数），即得这个“完美数”为，即为8的倍数，从而即可求解．
【详解】解：∵一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”，
∴可设这两个连续奇数分别为和（n为正整数），
∴这个“完美数”，
∴这个“完美数”为8的倍数．
观察各选项可知只有B．2024是8的倍数，
∴这4个数中2024是“完美数”．
故选B．
【点睛】本题考查整式混合运算的应用．理解“完美数”的定义是解题关键．
二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸的相应位置上）
9. 华为搭载了最新一代处理器麒麟，这款芯片采用了最先进的制造工艺，已知，将用科学记数法表示为：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
10. 若式子有意义，则实数x的取值范围为____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查负整数指数幂及分式有意义的条件，根据分式有意义条件得到，即可解题．
【详解】解：式子有意义，
，
，
故答案为：．
11. 如图，图中以BC为边的三角形的个数为_____．

【答案】4．
【解析】
【分析】根据三角形的定义即可得到结论．
【详解】解：∵以BC为公共边的三角形有△BCD，△BCE，△BCF，△ABC，
∴以BC为公共边的三角形的个数是4个．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题．
12. 已知a＋b＝5，ab＝6，则a2＋b2＝_____．
【答案】13
【解析】
【分析】由题意利用完全平方和公式可得，进而整体代入a＋b＝5，ab＝6即可得出答案.
【详解】解：.
故答案为：13.
【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握和利用完全平方和公式进行变形是解题的关键，注意整体思维的运用.
13. 如图，在一块长方形草坪中间，有一条处处宽的“曲径”，则“曲径”的面积为 _________ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据平移的性质可得，这块草地的绿地部分可看作是长为，宽为的矩形，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意可得：这块草地的绿地面积为，
则“曲径”的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
14. _____．
【答案】
【解析】
【分析】逆运用同底数幂的乘法和积的乘方公式计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查幂的乘法和积的乘方公式．熟记公式并能逆运用是解题关键
15. 若多项式是一个完全平方式，其中a为正整数，则a的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】利用完全平方公式的结构特征：常数项为一次项系数一半的平方，计算即可求出a的值．
【详解】∵多项式是一个完全平方式，而，
∴a=，
∵a为正整数，
∴a=3，
故答案为：3．
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
16. 如图，一束光线从点C出发，经过平面镜AB反射后，沿与AF平行的线段DE射出（此时∠1＝∠2），若测得∠DCF＝100°，则∠A＝_____
【答案】50°
【解析】
【分析】由平行线的性质可得∠1＝∠2＝∠A，由外角的性质可求解．
【详解】解：∵DE∥AF，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠A，
∵∠DCF＝∠A+∠1＝2∠A＝100°，
∴∠A＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．
17. 若，则的值是___．
【答案】
【解析】
【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法进行计算即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查了幂的运算，掌握幂的乘方，同底数幂的乘法是解题的关键．
18. 如图点B在线段上，在线段同侧作正方形及正方形，连接得到．当时，的面积记为；当时，的面积记为；当时，的面积记为……，则___________．

【答案】
【解析】
【分析】连接，，与同底等高，与面积相等，求差时利用平方差公式计算即可．
【详解】解：连接，

∵在正方形和正方形中，，平分，平分，
∴，
∴，
∴与同底等高，
∴与面积相等，
∴时，，时，，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的面积、图形的变化类的规律，掌握正方形性质的应用，其中利用与同底等高，推出面积相等是解题关键．
三、解答题（本大题共有10小题，8＋8＋8＋8＋10＋10＋10＋10＋12＋12＝96分．请在答题纸的指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
（1）
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先运用零次幂、负整数次幂、乘方化简，然后再计算即可；
（2）先根据积的乘方、同底数幂乘法法则计算，然后再合并同类项即可．
【小问1详解】
解：，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算、整式的混合运算等知识点，掌握零次幂、负整数次幂、乘方、积的乘方、同底数幂乘法法则是解答本题的关键．
20. 将下列各式因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接提取公因式即可；
（2）先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
．
【点睛】题目主要考查因式分解的方法，包括提公因式法及公式法，熟练掌握这两种方法是解题关键．
21. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．首先利用平方差公式和单项式乘多项式法则去括号、再合并同类项，得到最简式，把x、y的值代入最简式求解，即可解题．
详解】解：，
，
，
，，
上式，
，
．
22. 如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将经过一次平移后得到 ，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用格点和直尺画图：
（1）补全；
（2）请在边上找一点D，使得线段平分的面积，在图上作出线段；
（3）利用格点在图中画出边上的高线；
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平移的概念分别作出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）作边上的中线即可；
（3）根据三角形的高的概念求解即可.
【小问1详解】
如图所示，即为所求．
【小问2详解】
如图，线段即为所求；
【小问3详解】
如图，线段即为所求；
【点睛】本题考查作图—平移变换，以及三角形的中线和高线，解题的关键是掌握平移变换的定义与性质．
23. 如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E分别在AB、AC上，且∠ADE=∠AED．DE与BC平行吗？为什么？
【答案】DE与BC平行，理由见解析
【解析】
【分析】先根据三角形内角和定理用∠A表示出∠B及∠ADE的度数，进而利用平行线的判定定理得出结论．
【详解】解：DE与BC平行．
理由：∵在△ABC中，∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝，
∵∠ADE＝∠AED，
∴∠ADE＝∠AED＝，
∴∠B＝∠ADE，
∴DE∥BC．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，三角形内角和定理，熟知同位角相等，两直线平行是解答此题的关键．
24. （1）若，则_____；若，则 ；
（2）若，求x的值．
【答案】（1）3；2；（2）
【解析】
【分析】（1）由，可得的值，由，可得，从而可得的值；
（2）把化为，再建立方程求解即可．
【详解】解（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：3；2；
（2）由题可知，
∴，
∴，
即 ，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算，积的乘方运算及其逆运算，一元一次方程的应用，掌握以上运算的运算法则是解本题的关键．
25. 如图，中，，，，，求．

【答案】
【解析】
【分析】先求出，再根据直角三角形的性质得出，进而根据各角之间的关系得出答案．
【详解】∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，平角定义等，确定各角之间的数量关系是解题的关键．
26. 定义一种新运算“★”：
；
；
观察上述各式的运算方法，解答下列问题：
（1）请按照以上新运算“★”的运算方法，写出的运算表达式；
（2）若，求y的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了新定义的运算，解一元一次方程，理解新定义运算是解题的关键．
（1）根据新运算的运算方法即可求解；
（2）根据新运算的运算表达式得到关于y的一元一次方程，解方程即可解题．
【小问1详解】
解：由题知，；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
．
27. 在学习《整式乘法与因式分解》一章时，我们从计算图形面积入手，利用两种不同的方法计算同一个图形的面积，这样就可以得到一个等式，从而得到一些整式的乘法法则、乘法公式，进一步解决一些问题，这种解决问题的方法称之为面积法．
（1）如图1，边长为a的正方形纸片，在其右边和下边同时剪去宽为b的长方形，计算剩余纸片（图中阴影部分）的面积，可得等式______；
（2）如图2的梯形是由两个三边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法表示这个梯形的面积．
方法一：______；
方法二：______；
根据上面两个代数式，试说明；
（3）利用（2）中的结论计算：在直角三角形中，一条直角边a的长为6，斜边c的长为10，求另一直角边b的长度；
（4）如图3，在直角三角形中，，，垂足为D．且，．求的长．
【答案】（1）
（2），，说明见解析
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用：
（1）用两种不同方式计算阴影部分面积即可求解；
（2）用三个直角三角形可得梯形面积为，直接利用梯形面积计算公式可得梯形面积为，由此可得等式，化简即可；
（3）直接利用（2）中等式，代入求解即可；
（4）利用（2）中等式，再结合等面积法求解即可．
【小问1详解】
解：由题意可得阴影部分面积为：，
阴影部分面积为：，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：方法一：，
方法二：，
∴
∴，
∴；
【小问3详解】
解：由（2）得，得：，
即：，
解得：或（舍去）；
【小问4详解】
解：由（2）得，，
∴，
∴，
∵：
∴
∴．
28. 在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．（其中）

（1）将三角尺如图1所示叠放在一起．
①与大小关系是________；
②与的数量关系是________．
（2）小亮固定其中一块三角尺不变，绕点顺时针转动另一块三角尺，从图2与重合开始，到图3的与在一条直线上时结束，探索的一边与的一边平行的情况．
①求当时，如图4所示，的大小；
②直接写出的其余所有可能值．
【答案】（1）①相等；②
（2）①；②或或或
【解析】
【分析】（1）①利用同角的余角相等，即可得到答案；
②根据，，即可得到；
（2）①过点O作则AB∥CD∥OE，即可得到30°，45°即可得到答案；
②分情况讨论：当时；当时，当时，当时，分别根据平行线的性质进行计算即可．
【小问1详解】
解：①与大小关系是相等；
∵，，
∴，
故答案为：相等；
②与的数量关系是：；
∵，，
∴；
【小问2详解】
解：①过点O作，

∵，
∴，
∴，，
∴；
②当时，如图，则；

当时，如图，则；

当时，如图，则，
∴；

当时，则，
∴；

∴综上所述：的其余可能值为或或或．
【点睛】本题考查了同角的余角相等，角的和差计算，平行线的判定和性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质，正确分类讨论．