云南省红河哈尼族彝族自治州蒙自市第一中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（Word版附解析）

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高一年级数学试卷
（考试时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、姓名、考场、座位号、班级在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由并集概念以及区间的表示即可得解.
【详解】集合，，则.
故选：D.
2. 函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，得到的图象，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由三角函数图象的平移与伸缩变换求解即可.
【详解】的图象向右平移个单位长度，
得到的图象，
再把横坐标缩短为原来的一半，得到的图象.
故选：C.
3. 下列函数中，是偶函数，最小正周期为且在区间上单调递增的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦、余弦、正切函数的性质一一判断即可.
【详解】对于A：为最小正周期为的奇函数，故A错误；
对于B：为最小正周期为的偶函数，
当时，所以在区间上单调递增，故B正确；
对于C：令，则，，
所以为偶函数，
又的图象是由的图象将轴下方部分关于轴对称上去，轴及轴上方部分不变，
最小正周期为，且在上单调递减且函数值为正，
所以的最小正周期为，且在上单调递减，故C错误；
对于D：为最小正周期为的奇函数，故D错误.
故选：B
4. 已知函数零点在区间内，，则的值为（ ）
A. －2B. －1C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得在上单调递增，且，即可得到结果.
【详解】因为函数定义域为，且在上单调递增，
且，，即，
由零点存在定理可得，的零点区间为，所以.
故选：B
5. 在一个空房间中大声讲话会产生回音，这个现象叫做“混响”．用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为，则经过秒后这段声音的声强变为，其中是一个常数．把混响时间定义为声音的声强衰减到原来的所需的时间，则约为（参考数据：）（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知公式及对数运算可得结果.
【详解】由题意，，即，等号两边同时取自然对数得
，即，所以．
故选：C．
6. 棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】由棣莫弗公式化简结合复数的几何意义即可得出答案.
【详解】，
在复平面内所对应的点为，在第二象限.
故选：B.
7. 在中，若，且，那么一定是（ ）
A. 等腰直角三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形D. 等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由两角和的正弦公式并结合正弦定理可得，即，又由化简可得，得，从而可求解.
【详解】，则，
因为，所以，则，
又因为，，则，
则，即，
即，又因为，则，
所以，即.
即一定是等边三角形，故D正确.
故选：D.
8. 设是定义域为的偶函数，且为奇函数.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据所给函数性质求出函数周期，利用周期化简即可得解.
【详解】由为奇函数，得，
得的图象关于点对称，所以.
又因为是定义域为的偶函数，所以，，
所以的周期为4，
所以.
故选：A.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 圆柱的侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由已知中圆柱的侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形，我们可以分圆柱的底面周长为4cm，高为2cm的和圆柱的底面周长为2cm，高为4cm，两种情况分别由体积公式即可求解.
【详解】侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形，
若圆柱的底面周长为4cm，则底面半径，，
此时圆柱的体积
若圆柱的底面周长为2cm，则底面半径，，
此时圆柱的体积
故选：BD
10. 已知向量，，则（ ）
A. 若与垂直，则B. 若，则的值为-5
C. 若，则D. 若，则与夹角为60°
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，由向量垂直得数量积为0，列方程即可验算；对于B，先由向量平行列方程得参数，再由数量积验算即可；对于C，由向量线性运算、模的坐标运算公式验算即可；对于D，由向量模的夹角的余弦坐标公式验算即可.
【详解】对于A，若与垂直，则，解得，故A正确；
对于B，若，则，解得，此时，故B正确；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，若，则，注意到此时，
与的夹角的余弦值为，故D错误.
故选：ABC.
11. 已知函数，下列结论正确的是（ ）
A. 在区间单调递增
B. 函数图象的对称轴为直线
C. 函数在有5个零点
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据条件得，再利用的图象与性质，对各个选项逐一分析判断，即可求出结果.
【详解】， 其图象如图，
对于选项A，当时，，，易知在区间单调递减，所以选项A错误，
对于选项B，因为的对称轴为，而的对称轴也是，所以选项B正确，
对于选项C，当时，，此时，有无数多个零点，所以选项C错误，
对于选项D，因为，又偶函数在递减，所以，故选项D正确，
故选：BD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据体积公式和面积公式列式计算.
【详解】设此球的半径为，则，
解得.
故答案为：.
13. 已知非零向量满足，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量减法的三角形法则得三角形为等边三角形，根据等边三角形的几何特征进行计算即可.
【详解】如图当时，为等边三角形，
则为线段的长度，
所以.
故答案为：.

14. 在中，，，其面积为，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用三角形的面积公式求得，利用余弦定理求得，结合正弦定理求得正确答案.
【详解】依题意，，
由余弦定理得，，
由正弦定理得.
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知不等式，的解集是．
（1）求常数的值；
（2）若关于的不等式的解集为，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得和为关于的方程的两根且，利用韦达定理得到方程，求出的值；
（2）依题意可得关于的不等式的解集为，则，即可求出的取值范围.
【小问1详解】
因为的解集是，
所以和为关于的方程的两根且，
所以，解得.
【小问2详解】
由（1）可得关于的不等式的解集为，
所以，解得，
即的取值范围为.
16. 已知，.
（1）若，且、、三点共线，求的值.
（2）当实数为何值时，与垂直？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由、、C三点共线，可得与共线，列出方程即可得到的值；
（2）根据题意，由平面向量垂直的坐标运算，代入公式，即可得到结果.
【小问1详解】
由题意可得，，
且、、三点共线，则可得，
即，
解得；
【小问2详解】
由题意可得，，
因为与垂直，则可得,
解得.
17. 在中，已知．
（1）求的大小；
（2）请从条件①：，条件②：，这两个条件中任选一个作为条件，求和的值．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分
【答案】（1）或
（2）选条件①，，，选条件②，，
【解析】
【分析】（1）先用正弦定理求出角A；
（2）选条件①：先判断出，分别求出，利用两角和的余弦公式即可求出，再用余弦定理求出a；选条件②：先判断出，分别求出，利用两角和的余弦公式即可求出，再用正弦定理求出a．
【小问1详解】
中，因为，所以，
由正弦定理得：，所以，
且，所以或.
【小问2详解】
选条件①：，则，所以（舍去）.
此时，，，，
所以
.
即，
由余弦定理得：，
即，解得：（舍去）．
选条件②：.
因为，所以，所以（舍去）.
此时，，，，
所以
，
即.所以，
由正弦定理得：，
即，即.
18. 如图，已知是边长为的正方形的中心，质点从点出发沿方向，同时质点也从点出发沿方向在该正方形上运动，直至它们首次相遇为止．已知质点的速度为，质点的速度为．
（1）请将表示为时间（单位：）的函数______；
（2）求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，建立平面直角坐标系，求出各点坐标，分，与，利用向量的数量积的坐标表示，即可求出的表达式，
（2）根据（1）的结论及分段函数分段处理，结合一次函数与二次函数的性质即可求解.
【小问1详解】
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，解得，所以，
当时，，
则，
当时，，
则，
当时，，
则，
综上，
【小问2详解】
当时由（1）知单调递减，
所以当时，取得最小值，最小值为．
当时，由知，当时，取得最小值，最小值为；
当时，由知，当时，取得最小值，最小值为0．
综上的最小值为．
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：
已知的内角，，所对的边分别为，，，且
（1）求；
（2）若，设点为的费马点，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案；
（2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案.
【小问1详解】
由已知中，
即，
故，由正弦定理可得，
故直角三角形，即.
【小问2详解】
由（1），所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，，，由
得：，整理得，
则