云南省昆明市第一中学2023-2024学年高三下学期第七次高考适应性考试数学试题（Word版附解析）

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本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的解法，求得集合，再结合集合交集的运算，即可求解.
详解】由不等式，即，解得，即，
又由，所以.
故选：C．
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系直接判断即可.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“，”的否定为：“，”，
故选：C．
3. 甲、乙、丙三人参加一次考试，考试的结果相互独立，他们合格的概率分别为，，，则三人中恰有两人合格的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设出基本事件，将所求事件表示出来，利用互斥事件的概率加法公式和独立事件的积的概率公式求解即得.
【详解】设甲、乙、丙三人参加考试合格事件分别为，则,而三人中恰有两人合格记为：,
因考试的结果相互独立，且，，两两互斥，故得三人中恰有两人合格的概率为：
.
故选：B．
4. 已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过作直线与及其渐近线在第一象限分别交于，两点，且为的中点．若等腰三角形的底边为，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得，根据双曲线的定义知，在直角三角形中应用勾股定理可得，的关系，即可求解.
【详解】
连接，由△是底边为的等腰三角形且为的中点，得，
由知，由双曲线的定义知，所以，
在直角三角形中，，所以，
所以离心率.
故选：C.
5. 向量的广义坐标是用于描述向量或系统状态的一组数值，其选择取决于问题的特定背景和需求．在物理学、工程学、计算机图形学等领域，广义坐标被广泛应用．比如，物理学中的振动系统可能采用角度作为广义坐标，而工程学中的结构分析可能使用特定坐标系来简化问题．通过选择适当的广义坐标，可以更自然地描述问题，简化数学表达，提高问题的可解性，并使模型更符合实际场景．已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点．对于内任意一点P，若，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的（ ）
A. 点关于点O的对称点不一定为
B. A，B两点间的距离为
C. 若向量平行于向量，则的值不一定为0
D. 若线段的中点为C，则点C的广义坐标为
【答案】D
【解析】
【分析】根据广义坐标的定义，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量共线性质逐一判断即可.
【详解】对于A，，设关于点的对称点为，则，
因为，不共线，所以，A错误；
对于B，因为，
所以，
当向量，是相互垂直的单位向量时，，两点间的距离为，否则距离不为，B错误；
对于C，当与中至少一个是时，结论成立；
当与都不为时，设（），有，即，所以，C错误；
对于D，，
所以线段中点的广义坐标为，D正确
故选：D
6. 的展开式中，项的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】写出展开式通项，令的次数为，的次数为，求出参数的值，代入通项后即可得解.
【详解】因为的展开式通项为，
的展开式通项为，
所以，的展开式通项为，
其中，，
由可得，
所以，展开式中项的系数为.
故选：C.
7. 已知线段是圆的一条动弦，且，若点P为直线上的任意一点，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆的性质和勾股定理得到，根据平面向量的线性运算得到，然后将取最小值转化为取最小，然后求的最小值即可.
【详解】
解析：取中点为，连接，，
因为是圆的一条动弦，且，
所以，
又，，即，
因此取最小值，即是取最小值，所以只需取最小，
又点为直线上的任意一点，
所以原点到直线的距离即是的最小值，
即，即.
故选：D.
8. 已知是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为（ ）
A. 1012B. 2024C. 4048D. 8096
【答案】B
【解析】
【分析】由已知函数表达式变形后分别设出，两点坐标，再利用反函数的性质结合两直线垂直，斜率之积的关系得到结果.
【详解】由得，由得，
设点坐标为，点的坐标为，
又与的图象关于直线对称，且的图象也关于直线对称，
则点，关于直线对称，即，得，
故选：B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若为上的单调函数，则
B. 若时，在上有最小值，无最大值
C. 若为奇函数，则
D. 当时，在处的切线方程为
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项利用导数恒正或恒负可解得；B选项求导，判断单调区间和单调性得出极值；C选项利用奇函数的性质求出；D选项利用导数的意义结合点斜式求出.
【详解】A：若为上的单调函数，则，，则，故A错；
B：当时，，令，得，，则在上单调递减，在上单调递增，在处取最小值，无最大值，故B对；
C：由于，则为奇函数时，，故C对；
D：当时，，，则，切点为，切线方程为，故D对；
故选：BCD．
10. 设z，，均为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则B.
C. 若，则的最大值为2D. 若复数，则
【答案】CD
【解析】
【分析】举出反例即可判断AB；根据复数的几何意义即可判断C；根据共轭复数的定义结合复数的乘法运算及复数的模的计算公式即可判断D.
【详解】对于A，若，，，
但，，A错误；
对于B，设（，），
当，均不为0时，为虚数，
而为实数，所以不成立，B错误；
对于C，由，
得复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
而的几何意义为复数对应的点与两点间的距离，
所以当点运动到时，最大，取最大值，最大值为2，C正确；
对于D，设（，），（，），
由，则，
所以，
，
所以，D正确；
故选：CD．
11. 一个球与正方体的各个面相切，过球心作截面，则截面的可能图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】分析过球心的截面与正方体的侧面平行和正方体的侧面不平行两种情况即可.
【详解】当截面平行于正方体的一个侧面时可得A；当截面过不平行于侧面可得B；但无论如何都不能截得C和D.
故选：AB．
12. 已知函数（ ）
A. 在上单调递增B. 在上单调递增
C. 在上有唯一零点D. 在上有最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】求导，由单调性分析极值与零点逐一判断即可.
【详解】，
令，当时，，上单调递减，
当时，，在上单调递增；
在上取极小值为，，，在上有两个零点，，所以，A C错，B D对，
故选：BD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，，则______．
【答案】27
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的定义，利用方程组法求出函数的解析式，即可得解.
【详解】因为，分别为定义在上的奇函数和偶函数，
而，①
所以，即，②
由①②得，所以．
故答案为：.
14. 已知抛物线与直线在第一、四象限分别交于A，B两点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】将直线方程与抛物线方程联立求出交点的横坐标，根据抛物线的定义求出和的长，利用三角形面积公式求解.
【详解】因为直线过点，所以，，三点共线，
联立直线与抛物线方程， ，得，
解得：，，
所以，，
因为，所以，
又因为，所以．
故答案为：4.

15. 某同学的通用技术作品如图所示，该作品由两个相同的正四棱柱制作而成，已知正四棱柱的底面边长为，这两个正四棱柱的公共部分构成的八面体体积为______．
【答案】
【解析】
【分析】先判断出公共部分是两个底面重叠的正四棱锥，再计算体积即可.
【详解】公共部分是两个正四棱锥且底面重叠的空间几何体，底面是为边长的正方形，
底面积为，其中一个正四棱锥的高为，
则这两个正四棱柱的公共部分构成的八面体体积为．
故答案为：.
16. 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.3，0.5，0.6．飞机被一人击中而落地的概率为0.2，被两人击中而落地的概率为0.8，若三人都击中，飞机必定被击落．则飞机被击落的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】分飞机被几人击中情况由条件概率公式和全概率公式求解.
【详解】解析：设事件，事件，，，，
由题意可得，，，，
，，
0.36，
，
由全概率公式得，所以飞机被击落的概率为．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若恒成立，求实数t的取值范围．
【答案】17.
18. ．
【解析】
【分析】（1）由与的关系式消去得到递推式，根据等差数列定义求得；
（2）求出的表达式，记为，判断数列的单调性，求得其最大值，即得实数t的取值范围.
【小问1详解】
因为（）， 所以（），
两式相减得（）， 又因为，所以，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以．
【小问2详解】
由（1），所以，令，
则，所以，当时，，
故（，）为减函数，而，又因为恒成立，
所以，所以实数的取值范围为．
18. 在中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知，．
（1）若的面积等于，求的周长；
（2）若，求．
【答案】（1）6； （2）.
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理和三角形面积公式求得，结合已知条件即可求得三角形周长；
（2）根据已知条件求得，结合余弦定理求得，再根据正弦定理求得，进而解得，再求即可.
小问1详解】
由余弦定理得，，整理得：，
又因为的面积等于，所以，得；
联立方程组，即，
解得（舍去）或，
所以的周长为．
【小问2详解】
因为，由正弦定理得：，
联立方程组，则，
解得（舍去）或，则，
所以，
又因为，所以，即，所以， 故，
.
19. 某校举行知识竞赛，最后一个名额要在A，B两名同学中产生，测试方案如下：A，B两名学生各自从给定的4个问题中随机抽取3个问题作答，在这4个问题中，已知A能正确作答其中的3个，B能正确作答每个问题的概率都是，A，B两名同学作答问题相互独立．
（1）求A，B两名同学恰好共答对2个问题的概率；
（2）若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，简要说明理由．
【答案】（1）
（2）应该选择学生，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据离散型随机变量以及古典概型的概率公式，结合概率乘法公式，可得答案；
（2）根据数学期望以及方差的意义，可得答案.
【小问1详解】
设同学答对的题数为，则随机变量的所有可能取值为，.
则，；
设同学答对的题数为，则随机变量的所有可能取值为，，，.
，，
，.
所以，两名同学恰好共答对个问题的概率为.
【小问2详解】
由（1）知，，；
而，.
因为，<．所以应该选择学生．
20. 如图，四棱锥中，，，．
（1）证明：；
（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，，，即可得到和都是等边三角形，从而得到，，则平面，从而得到，再由，即可得证；
（2）依题意可得二面角的平面角为，在平面内作交于点，由面面垂直的性质得到平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【小问1详解】
取的中点，连接，，，
因为，，
所以和都是等边三角形，
所以，，，平面，
所以平面，平面，所以，
因为，所以，所以.
【小问2详解】
由（1）知，，则二面角的平面角为，，
且平面，平面，所以平面平面，平面平面，
在平面内作交于点，所以平面，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，则，取，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
21. 一动圆圆E与圆外切，同时与圆内切．
（1）求动圆圆心E的轨迹方程；
（2）设A为E的右顶点，若直线与x轴交于点M，与E相交于点B，C（点B在点M，C之间），若N为线段上的点，且满足，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据圆与圆内切、外切的性质，结合椭圆的定义进行求解即可；
（2）将直线方程与椭圆方程联立，消去根，得到一元二次方程，据一元二次方程根与系数关系确定点的位置，结合等边对等角、外角性质进行运算证明即可.
【小问1详解】
设动圆E圆心坐标，半径为，由题意可知，，，
当与相外切时，有；①
当与相内切时，有．②
将①②两式的两边分别相加，得，所以的轨迹为椭圆，
所以，所以，
所以动圆圆心的轨迹方程为．
【小问2详解】
由（1）可知，圆心的轨迹方程，设点，，
联立，得，
则，即，
，.
因为，所以，所以，
即，
所以，，所以点在直线上，
所以，即，因为为△的一个外角，
所以.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用一元二次方程根与系数确定点的位置.
22. 已知函数和．
（1）讨论与的单调性；
（2）若在上恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）在区间内单调递增；在区间内单调递减；
（2）．
【解析】
【分析】（1）求出定义域，求导得到，得到在区间内单调递增，对二次求导，得到，在区间内单调递减；
（2）不等式变形为，先判断，再证明不等式成立即可.
【小问1详解】
的定义域为，则，
所以在区间内单调递增，
，
令，，
则，
当时，，则，
当时，，则，
在区间内单调递增，在区间内单调递减，
注意到，故，
所以在区间内单调递减；
【小问2详解】
，即，
因为，故，
若，左边时，，而，
此时不等式不成立.
故，下面符合.
构造函数，，
当时，，
则，故此时恒成立，
当时，，
设，
则，
故为上的增函数，故，故为上的增函数，
故.
综上，对任意恒成立，故恒成立.
综上，满足条件的实数的取值范围为．
【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.