2024年广东省江门市第一中学景贤学校中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了相反数的定义．根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数求解即可．
【详解】解：由相反数的定义可知，的相反数是，
故选：B．
2. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. （笛卡尔爱心曲线）B. （蝴蝶曲线）
C. （费马螺线曲线）D. （科赫曲线）
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形概念（平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）和中心对称图形的概念（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，深刻理解轴对称图形与中心对称图形的概念是解题关键．
3. 第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，杭州奥体博览城核心区建筑总面积2720000平方米，将数2720000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．
4. 下列运算中，计算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是同底数幂的运算、幂的乘方、积的乘方运算，根据运算法则计算即可完成判断．
【详解】解：，则A不符合题意；
，则B符合题意；
，则C不符合题意；
，则D不符合题意；
故选：B．
5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据解不等式组的方法可以求得该不等式组的解集，即可得答案．
【详解】解：解不等式组，得，
表示在数轴上：
故选：A．
【点睛】本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，解题的关键是注意在数轴上表示时要看取实心还是空心圆圈．
6. 如图，，，，则的度数为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质以及三角形外角的性质可得结果．
【详解】解：如图，
，，，
，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，熟知两直线平行，内错角相等以及三角的外角等于与它不相邻的两个内角的度数．
7. 若关于x的方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k＞﹣1且k≠0B. k＞﹣1C. k＜﹣1D. k＜1且k≠0
【答案】A
【解析】
【分析】利用一元二次方程的概念及一元二次方程根的判别式计算即可.
【详解】根据题意得k≠0且△=（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，
所以k＞﹣1且k≠0．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根．
8. 如图，是的内接三角形，，，连接，，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点作于，根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，根据正弦的定义求出，根据弧长公式计算求解．
【详解】解：过点作于，
则，
由圆周角定理得：，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆周角定理、弧长公式是解题的关键．
9. 九章算术是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设雀每只两，燕每只两，根据“五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”可列出方程组，从而可得答案．
【详解】设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为：
．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，确定相等关系列方程组是解本题的关键．
10. 在中，于点，点从点出发沿向点运动，设线段的长为，线段的长为（如图1），而关于的函数图象如图2所示．是函数图象上的最低点．当为锐角三角形时的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得到的长度，分类讨论为直角三角形时的情况即可．
【详解】解：根据题意得：
，点到的距离为，即，此时点到达点，，
当点与点重合时，为直角三角形，则在右侧时，为锐角三角形，
当时，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当为锐角三角形时，，
故选：C．
【点睛】本题为动点函数图象问题，考查了二次函数图象最小值的实际意义以及直角三角形的分类讨论，相似三角形的判定与性质，解题的关键是以为直角三角形作为临界条件解决问题．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 分解因式：2x2﹣8=_______
【答案】2（x+2）（x﹣2）
【解析】
【分析】先提公因式，再运用平方差公式．
【详解】2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键．
12. 化简：_____．
【答案】
【解析】
【分析】先转化为同分母（x﹣2）的分式相加减，然后约分即可得解：
【详解】．
13. 已知、是一元二次方程的两个根，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由于、是一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系可得，而是方程的一个根，可得，即，那么，再把、的值整体代入计算即可．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根，
∴，
∵是方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查根与系数的关系，求代数式的值，一元二次方程解的定义．解题的关键是熟练掌握一元二次方程两根、之间的关系：，．
14. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，分别交于点M，N，N为圆心，大于，两弧交于点P；③作射线交于点D．若，的面积为2，则的面积为 _____．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了基本作图—作已知角的角平分线，角平分线的性质，利用基本作图得到平分，再根据角平分线的性质得点D到的距离相等，于是利用三角形面积公式得到，从而可计算出的面积．
【详解】解：由作法得：平分，
点D到的距离相等，
，
．
故答案为：3．
15. 如图，矩形中，，，以为直径的半圆O与相切于点E，连接，则阴影部分的面积为_____．（结果保留π）
【答案】π
【解析】
【分析】如图所示，连接交于点F，根据切线的性质证四边形为正方形，再证，即可将阴影部分面积转化为扇形的面积，最后利用扇形面积公式求解即可得出答案．
【详解】如图所示，连接交于点F，
∵以为直径的半圆O与相切于点E，
∴，，
在矩形中，
，，
∴四边形为正方形，
∴，，
，
，
，
，
阴影部分面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质、矩形的性质、正方形的判定、全等三角形的判定和性质、扇形的面积公式等知识，正确添加辅助线，从图中得出阴影部分面积的求法是解题的关键．
三、解答题（一）：（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先化简各式，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂．熟记特殊角的三角形函数值，掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
17. 如图，在中， ．
（1）使用直尺和圆规，作交于点D（保留作图痕迹）；
（2）以D为圆心，的长为半径作弧，交于点E，连接 ，．
① °；
②写出图中一个与相等的角 ．
【答案】（1）见详解 （2）①；②
【解析】
【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质和圆周角定理．
（1）利用基本作图，作垂直平分线得到；
（2）①根据等腰三角形的性质得到，则为的直径，然后根据圆周角定理得到；
②先利用得到，再根据圆周角定理得到，根据等角的余角相等得到．
【小问1详解】
如图，即为所作．
【小问2详解】
①，，
，平分，
为的直径，
；
②
，
，
为的直径，
，
，
，，
．
18. 如图，在中，，D为的中点，连接，过点A作，过点C作与相交于点G．
（1）求证：四边形是菱形
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析（2）．
【解析】
【分析】（1）首先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明四边形为平行四边形，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得出AD=DC，进而可得出结论；
（2）由菱形的性质可得出，设BC=3k，AC=4k，运用勾股定理求解即可.
【详解】（1）证明：
∵，
∴四边形为平行四边形．
∵中，，D为边中点，
∴．
∴四边形是菱形．
（2）解：四边形是菱形，
∴．
∵，
∴．
∴．
设BC=3k，AC=4k，
∵，
∴，即
解得，k=2（负舍去）
∴．
【点睛】此题主要考查了菱形的判定与性质以及解直角三角形，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19. 老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2）
（1）求抽查学生总数．
（2）求所抽查学生读课外书册数的平均数．（结果保留整数）
（3）老师手里有1本课外读物，七、八年级两位同学都想借阅，为此九年级的一位同学设计了一个转盘游戏，指针固定不动，分别旋转两个转盘，若先后两次转动出现字母A与B的的混合结果，就借给七年级的同学，否则就借给八年级的同学．你认为这个游戏公平吗？为什么？

【答案】（1）抽查学生总数为24人
（2）所抽查学生读课外书册数的平均数为5册
（3）这个游戏不公平，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的信息关联，求平均数，画树状图求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由读6册的学生 除以所占百分比即可；
（2）求出读册的学生人数，再由平均数的定义列式计算即可；
（3）画出树状图，共有种等可能出现的结果，其中出现字母A与B的的混合结果有种，不出现字母A与B的的混合结果有种，再由概率公式分别求出概率，然后比较即可．
【小问1详解】
解：抽查学生总数为：（人）；
【小问2详解】
解：读5册的学生人数为：（人），
∴所抽查学生读课外书册数的平均数为（册）；
【小问3详解】
解：这个游戏不公平，理由如下：
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中出现字母A与B的混合结果有种，
∴借给七年级的同学的概率，借给八年级的同学的概率，
∵，
∴这个游戏不公平．
20. 如图1，嘉淇在量角器的圆心处下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪．将此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点．

（1）在图1中，过点画出水平线，并标记观测的仰角．若铅垂线在量角器上的读数为，求的值；
（2）如图2，已知嘉淇眼睛离地米，站在处观测的仰角为（1）中的，向前走米到达处，此时观测点的仰角为，求树的高度．（注：，，）
【答案】（1）
（2）树的高度为5.25米
【解析】
【分析】(1)根据互余的性质计算即可．
(2) 过点作，垂足为，则米．设米．解直角三角形求解即可．
【小问1详解】
如图1；
；
【小问2详解】
如图，过点作，垂足为，则米．设米．
在中，（米），
在中，（米），
（米），
解得．
答：树的高度为米．

．
【点睛】本题考查了仰角的解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的基本步骤是解题的关键．
21. 如图，已知点A（1，a）是反比例函数y1=的图象上一点，直线y2=﹣与反比例函数y1=的图象的交点为点B、D，且B（3，﹣1），求：
（Ⅰ）求反比例函数的解析式；
（Ⅱ）求点D坐标，并直接写出y1＞y2时x的取值范围；
（Ⅲ）动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，求点P的坐标．
【答案】（1）反比例函数的解析式为y=﹣；（2）D（﹣2，）；﹣2＜x＜0或x＞3；（3）P（4，0）．
【解析】
【详解】试题分析：（1）把点B（3，﹣1）带入反比例函数中，即可求得k的值；
（2）联立直线和反比例函数的解析式构成方程组，化简为一个一元二次方程，解方程即可得到点D坐标，观察图象可得相应x的取值范围；
（3）把A（1，a）是反比例函数的解析式，求得a的值，可得点A坐标，用待定系数法求得直线AB的解析式，令y=0，解得x的值，即可求得点P的坐标.
试题解析：（1）∵B（3，﹣1）在反比例函数的图象上，
∴-1=，
∴m=-3，
∴反比例函数的解析式为；
（2），
∴=，
x2-x-6=0，
（x-3）（x+2）=0，
x1=3，x2=-2，
当x=-2时，y=，
∴D（－2，）；
y1＞y2时x的取值范围是-2；
（3）∵A（1，a）是反比例函数的图象上一点，
∴a=-3，
∴A（1，-3），
设直线AB为y=kx+b,
，
∴，
∴直线AB为y=x-4，
令y=0，则x=4，
∴P(4，0)
五、解答题（三）：（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22. 如图，在矩形中，，，点为对角线上的动点（不与、重合），以点为圆心在下方作半径为2的半圆，交于点、．
（1）当半圆过点时，求半圆被边所截得的弓形的面积；
（2）若为的中点，在半圆移动的过程中，求的最小值；
（3）当半圆与矩形的边相切时，求的长．
【答案】（1）半圆O被边所截得的弓形的面积为
（2）当点在上时，有最小值，最小值为；
（3）的长为2或．
【解析】
【分析】（1）设半圆与交于，过点作于，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可求，，由扇形面积公式和三角形面积公式可求解；
（2）过点作于，由题意可得点在平行于且与的距离为1的直线上，则当点在上时，有最小值，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解．
【小问1详解】
解：如图1，设半圆与交于，过点作于，
，，，
，，，
，，
，，
半圆被边所截得的弓形的面积；
【小问2详解】
解：如图2，过点作于，
，，
，，
，，
，
为的中点，
，，
点在平行于且与的距离为2的直线上，
当点在上时，有最小值，即最小值；
【小问3详解】
解：如图，当半圆与相切于点，连接，
，，
，
，
；
当半圆与相切于点，连接，
，
∴，
，
，
，
综上所述：的长为2或．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的性质，扇形面积公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
23. 如图，点在抛物线上，且在抛物线C的对称轴右侧，抛物线与y轴交于点B．
（1）写出抛物线C的对称轴和y的最小值，并求a的值；
（2）M为x轴上一动点，连接，将绕点M顺时针旋转得，若点D落在抛物线C上，求出点M的坐标；
（3）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为、，平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．直接写出点移动的最短路程长度．
【答案】（1）对称轴为直线，y的最小值为，；
（2）M坐标为或
（3）点移动的最短路程长度为
【解析】
【分析】（1）根据顶点式写出对称轴与最小值，再将点代入，求出的值即可；
（2）过点D作x轴于E，先求出点的坐标，得到，根据旋转的性质，易证，得到，，设，则，将其代入，求出的值，即可得到点M的坐标；
（）根据抛物线和抛物线的顶点坐标可知，点移动的最短路程为顶点由移到，再根据坐标两点的距离公式求解即可．
【小问1详解】
解：抛物线，
对称轴为直线，抛物线开口向上，顶点坐标为，
y的最小值为，
将点代入得：，
解得：或，
点在抛物线C的对称轴右侧，
；
【小问2详解】
解：如图，过点D作x轴于E，
令，则
，
，
由旋转可得：，，
，
，
轴，
，
，
，，
设，则，
点D落在抛物线C上，
，
解得：或，
点M坐标为或；
【小问3详解】
解：抛物线，
顶点坐标为，
抛物线，
抛物线的顶点坐标为，
点移动的最短路程为顶点由移到，
最短距离为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，坐标与图形，掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．