江西省景德镇市乐平市2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 的倒数是（ ）
A. 6B. C. D.
2. 搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭于年月日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中有这样一道题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十；今将钱三十，得酒二斗，问醇酒、行酒各得几何？”其意思是：今有醇酒（优质酒)1斗，价值50钱；行酒（劣质酒)1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒，问能买醇酒、行酒各多少斗？设能买醇酒x斗，行酒y斗，可列出关于x，y的二元一次方程组（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是（ ）

A. B. C. D.
6. 已知二次函数与轴正半轴交于和两点（点在点的左边），方程的解为或（），则的大小关系可能是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 因式分解：______．
8. 点关于轴的对称点为点，则点的坐标为________．
9. 据《人民日报》（2023年5月9日）报道，我国海洋经济复苏态势强劲，在建和新开工的海上风电项目建设总规模约为18000000千瓦，比上年同期翻一番其中18000000用科学记数法表示为___________．
10. 空竹是我国传统的一项游戏，其器材简单但是动作花样繁多，深受大众喜爱．彤彤在跑步时发现广场上抖空竹的老奶奶的某个动作可以抽象成一个简单的数学图形，如图所示，，，，则的度数是____________．

11. 如图，等边被矩形所截，，线段被截成三等份．若的面积为，图中阴影部分的面积为______．
12. 已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“不动点”，例如：直线，上存在“不动点”．若函数的图象上存在唯一“不动点”，则________．
三、解答题（本大题共5小题，每小趐6分，共30分）
13. （1）计算：；
（2）如图，是的中点，．求证：．
14. 先化简，再求值：，其中x满足．
15. 在落实“双减”政策过程中，某中学开展了丰富多彩的课后服务活动，设置了A．体育锻炼，B．劳动创造，C．经典阅读，D．科普探索四大板块课程．若该校小丽和小慧两名同学随机选择一个板块课程．
（1）小慧选择“D．科普探索”课程的概率是 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求小丽和小慧选择同一个板块课程的概率．
16. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，，．

（1）求反比例函数解析式；
（2）点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，且，求点C的坐标．
17. 已知：如图，是的直径，点C在上，请用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）．

（1）如图①，若M是半圆的中点，且与C点在同侧，画出的平分线．并说明理由；
（2）如图②，若，画出的平分线．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为调查学生对杭州亚运会了解情况，学校随机抽取了部分学生进行“我所了解的杭州亚运会”问卷调查，规定每人必须且只能在“非常了解”“一般了解”“有点了解”“很不了解”四个选项中选择一项，并根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据上面提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，该校一共抽样调查了______名学生，扇形统计图中“非常了解”项目所对应的扇形圆心角的度数是______°，并补全条形统计图；
（2）若该校共有1200名学生，试估计该校学生中知道第19届杭州亚运会的人数（知道包括“有点了解”“一般了解”和“非常了解”）；
（3）学校在选择“非常了解”的学生中任选6名进行“亚运知识我知道”小测试，其中5名学生的分数（单位：分）分别为76，84，92，80，80，这6名学生的分数的中位数为81，求第6名学生的分数．
19. 如图1是某住户窗户上方安装的遮阳篷，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．其中是垂直于墙面的遮阳篷，表示窗户，表示直角遮阳篷．如图2，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳篷的夹角最大，且最大角；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳篷的夹角最小，且最小角．
（1）如图3，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当时，求的长．
（2）如图2，要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．当时，根据上述方案及数据，求遮阳篷的长．（结果精确到）（参考数据：）
20. 如图，是的外接圆，是的直径，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，垂足为E，交于点，求的长．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 小红在学习菱形的概念后，对菱形进一步开展探究活动：如图①，在菱形中，，为对角线．
（1）【问题解决】
如图②，点E为延长线上一点，连接，在线段上取点F使，点G为与的交点，则的度数是 度；
（2）【问题探究】
如图③，点E为延长线上一点，连接，在线段上取点F，使，判断形状，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
如图③，在（2）的条件下，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
22. 陕北窑洞，具有十分浓厚的民俗风情和土气息． 如图所示，某窑洞口的下部近似为矩形 ，上部近似为一条抛物线． 已知 米，米，窑洞的最高点 (抛物线的顶点)高地面 的距离为 米．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户，使得点 在矩形 的边上，点 在抛物线上，那么这个正方形窗户 的边长为多少米？
六、解答题（本大题共12分）
23. 问题提出 如图（1），在和中，，，，点在内部，直线与交于点，线段，，之间存在怎样数量关系？
问题探究 （1）先将问题特殊化．如图（2），当点，重合时，直接写出一个等式，表示，，之间数量关系；
（2）再探究一般情形．如图（1），当点，不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展 如图（3），在和中，，，（是常数），点在内部，直线与交于点，直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系．