2023-2024学年广西示范性高中高一（下）调研数学试卷（3月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年广西示范性高中高一（下）调研数学试卷（3月份）(含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={0,1,2,3,4}，B={x|x2−4x+3≤0}，则A∩B=( )
A. {0,1,2,3}B. {1,2,3}C. {0,1,3,4}D. {1,4}
2.在△ABC中“sinA= 32”是“A=π3”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.函数y=a2x−1+1(a>0且a≠1)的图象必过点( )
A. (0,2)B. (12,2)C. (12,1)D. (12,0)
4.命题“∀x>1，lg3x>0”的否定是( )
A. ∀x≤1，lg3x>0B. ∀x>1，lg3x≥0
C. ∃x≤1，lg3x≤0D. ∃x>1，lg3x≤0
5.若函数f(x)=ax2+(2b+a)x−a+b是定义在[2a,2−a]上的偶函数，则a−b=( )
A. −3B. −4C. 3D. 2
6.已知a=lg20.5,b=30.3,c=sin1，则a，b，c的大小关系为( )
A. a7.已知a>0，b>0，且a+3b=2，则1a+1+13b的最小值为( )
A. 23B. 1C. 43D. 2
8.已知函数f(x)=42x+2+sinπx，则f(11012)+f(21012)+⋯+f(20231012)=( )
A. 2020B. 2021C. 2022D. 2023
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a，b，c，d是实数，则下列说法正确的是( )
A. a+1a≥2B. 若a>b>0，则1a<1b
C. 若a>b，c>d，则a+c>b+dD. 若abd
10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)的最小正周期为π
B. 直线x=π3是f(x)图象的一条对称轴
C. 点(5π6,0)是f(x)图象的一个对称中心
D. 函数f(x)在区间[−π3,0]上单调递减
11.已知函数f(x)=|lg2x|,02，若方程f(x)=k有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且x1A. 0C. x1x2+x3+x4=6D. x1+2x2>3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=(m−1)xm是幂函数，则f(2)= ______．
13.已知扇形OAB的圆心角为4rad，其周长是6cm，则该扇形的面积是______cm2．
14.设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6，则f(133)=______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
化简，求值：
(1)(−5)0+3−2×2713+lg24；
(2)若α=π4，求sin(α−2π)cs(π2−α)tan(3π−α)cs(π−α)sin(5π2+α)的值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=2x2+3x，
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[12,4]上的最小值和最大值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=2sin(2x+π6)−1,x∈R，
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)把y=f(x)的图象向右平移π6个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，若g(x)在区间[−π3,m]上的最大值为3，求实数m的取值范围．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=2x+a⋅2−x是定义在R上的偶函数．
(1)求a的值，并证明函数f(x)在[0,+∞)上单调递增；
(2)求函数h(x)=f(x)+f(2x)，x∈[0,1]的值域．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=lgmx−3x+3(0(1)判断函数f(x)的奇偶性并证明；
(2)令g(x)=f(x−3)，
①判断函数g(x)在(6,+∞)上的单调性(不必说明理由)；
②是否存在6<α<β，使得函数g(x)在区间[α,β]的值域为[lgmmβ,lgmmα]？若存在，求出此时m的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由不等式x2−4x+3≤0，解得1≤x≤3，
可得B={x|1≤x≤3}，
又由A={0,1,2,3,4}，
所以A∩B={1,2,3}．
故选：B．
根据不等式的解法，求得集合B={x|1≤x≤3}，结合集合交集的运算，即可求解．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵A=π3⇒sinA= 32，
又当sinA= 32时，A=π3+kπ，k∈Z，
∴sinA= 32推不出A=π3，
∴sinA= 32是A=π3的必要不充分条件，
故选：B．
由题意看命题A=π3与sinA= 32是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．
此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的判断，考查三角函数的函数值与自变量的对应，本题是一道基础题．
3.【答案】B
【解析】解：指数数函数的定义，令2x−1=0，解得x=12，此时y=a0+1=2，
故函数f(x)=a2x−1+2(a>0且a≠1)恒过定点(12,2)
故选：B．
令2x−1=0，此时y=1+1，可得所给的函数的图象恒过定点．
本题考点是指数函数的单调性与特殊点，考查指数函数恒过定点的问题，由指数函数定义可直接得到幂指数为0时，指数式的值一定为0，利用此规律即可求得函数图象恒过定点的坐标，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：命题“∀x>1，lg3x>0”为全称量词命题，其否定是“∃x>1，lg3x≤0”．
故选：D．
根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可．
本题主要考查全称命题的否定，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：根据题意，因为函数f(x)是定义在[2a,2−a]上的偶函数，所以定义域关于原点对称，
可得2−a=−2a，所以a=−2，
由f(−x)=f(x)，可得a(−x)2+(2b+a)(−x)−a+b=ax2+(2b+a)x−a+b，变形可得2b+a=0，解得b=1，
所以a−b=−3．
故选：A．
根据题意，由偶函数定义域的要求可得2−a=−2a，可得a的值，进而可得2b+a=0，求出a的值，即可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意偶函数的定义，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：因为a=lg20.530=1，
而0<1<π2，
所以0所以a故选：C．
由对数函数、指数函数以及正弦函数单调性即可得解．
本题主要考查了对数函数和指数函数的性质，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：因为a>0，b>0，且a+3b=2，所以a+1+3b=3，
所以1a+1+13b=13(1a+1+13b)[(a+1)+3b]
=13(2+3ba+1+a+13b)≥13(2+2 3ba+1⋅a+13b)=43，
当且仅当3ba+1=a+13b，即a=b=12时取等号，
所以1a+1+13b的最小值为43．
故选：C．
依题意可得a+1+3b=3，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：f(x)+f(2−x)=42x+2+sinπx+422−x+2+sin(2π−πx)
=42x+2+sinπx+4×2x22+2×2x−sinπx=42x+2+2×2x2+2x=2，
所以2[f(11012)+f(21012)+⋯+f(20231012)]
=[(f(11012)+f(20231012))+(f(21012)+f(20221012))+⋯+(f(20231012)+f(11012))]
=2×2023=4046．
所以f(11012)+f(21012)+⋯+f(20231012)=2023．
故选：D．
依题意可得f(x)+f(2−x)=2，再倒序相加即可得解．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A，当a<0时，a+1a<0，故A项错误；
对于B，当a>b>0时，两边都除以正数ab，得1a<1b，故B项正确；
对于C，当a>b，c>d，则a+c>b+d，显然成立，故C项正确；
对于D，若a故选：BC．
根据题意，通过取特殊值进行检验，判断出A、D两项的正误；利用不等式的基本性质判断出B、C两项的正误，即可得到本题的答案．
本题主要考查不等式的基本性质及其应用，考查计算能力，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：设f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T，
由图象可知7π12−π12=12T，解得T=π，故A选项正确；
因为ω>0，所以ω=2πT，解得ω=2，如图可知：A=2，故f(x)=2sin(2x+φ)．
将(7π12,−2)代入解析式得sin(π6+φ)=1，
因为0<φ<π，则π6+φ=π2，得φ=π3，故f(x)=2sin(2x+π3)．
当x=π3时，2x+π3=π，则点(π3,0)是函数f(x)的对称中心，即直线x=π3不是其对称轴，故B选项错误；
当x=5π6时，2x+π3=2π，则点(5π6,0)是函数f(x)的对称中心，故C选项正确；
因当x∈[−π3,0]时，取z=2x+π3∈[−π3,π3]，而y=sinz在[−π3,π3]上单调递增，故f(x)在区间[−π3,0]上单调递增，故D选项错误．
故选：AC．
根据函数的图象读取周期信息即得A项，根据周期确定ω值，根据图象经过的点确定φ，推得函数解析式f(x)=2sin(2x+π3)，对于B，C，D项只需将2x+π3看成整体角，结合正弦函数的图象逐一验证其对称性和单调性等性质即得．
本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的对称性、单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】BD
【解析】解：如图所示，在同一个平面直角坐标系内作f(x)=|lg2x|,x≤2x2−6x+9,x>2和y=k的图象，从图象可知：
要使方程f(x)=k有四个不同的零点，只需0对于B，因为f(12)=|lg212|=1，f(2)=|lg22|=1，f(4)=42−6×4+9=1，
且函数y=x2−6x+9关于x=3对称，
由图可得12且−lg2x1=lg2x2，x3+x4=6，
所以lg2x2+lg2x1=lg2(x1x2)=0，所以x1x2=1，则x1=1x2，
所以2x1+x2=2x2+x2,(1令g(x)=x+2x≥2 x⋅2x=2 2，当且仅当x= 2时取最小值2 2，
所以2x1+x2≥2 2，故B正确；
对于C，x1，x2是|lg2x|=k(0所以−lg2x1=lg2x2，即lg2x1+lg2x2=0，
所以lg2x1x2=0，所以x1x2=1；由x3，x4是x2−6x+9=k(0所以x1x2+x3+x4=5，即x1x2+x3+x4=6不成立，故C错误；
对于D，由x1x2=1，得x1+2x2=1x2+2x2，(1令h(x)=2x+1x,(1所以h(x)>h(1)=3，
即x1+2x2>3，故D正确．
故选：BD．
在同一个平面直角坐标系内作y=f(x)和y=k的图象，结合图象可判断A，由图可知12本题考查函数零点与方程根的关系，转化和数形结合的数学思想方法，属中档题．
12.【答案】4
【解析】解：因为函数f(x)=(m−1)xm是幂函数，
所以m−1=1，解得m=2，∴f(x)=x2，∴f(2)=4．
故答案为：4．
根据幂函数的定义求出参数m的值，即可得到函数解析式，再代入计算可得．
本题主要考查幂函数的概念，属于基础题．
13.【答案】2
【解析】解：设扇形半径为r，弧长为l，因为扇形OAB的圆心角为4rad，其周长是6cm，
所以l+2r=6l=|α|r=4r，解得：l=4r=1，所以该扇形的面积S=12lr=12×4×1=2cm2．
故答案为：2．
根据扇形的弧长和面积公式，即可求解．
本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
14.【答案】329
【解析】解：根据题意，f(x+1)为奇函数，函数图象关于点(1,0)对称，则有f(1)=0，且f(x+1)=−f(−x+1)，
又由f(x+2)偶函数，则f(x)关于直线x=2对称，则有f(x+2)=f(−x+2)，
则有f[(x+1)+1]=−f[−(x+1)+1]=−f(−x)，即f(x+2)=−f(−x)，
则有f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，即f(x+4)=f(x)．
当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+b．
f(0)=f(−1+1)=−f(2)=−4a−b，
f(3)=f(1+2)=f(−1+2)=f(1)=a+b，
又f(0)+f(3)=6，则有−3a=6，解得a=−2，
又由f(1)=a+b=0，则b=−a=2，
∴当x∈[1,2]时，f(x)=−2x2+2，
f(133)=f(4+13)=f(13)=−f(53)=−(−2×259+2)=329；
故答案为：329
根据题意，由函数的对称性可得f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，即f(x+4)=f(x)，结合函数的解析式求出f(0)+f(3)的表达式，求出a、b的值，利用函数的周期性、对称性分析可得f(133)=f(4+13)=f(13)=−f(53)，计算可得答案．
本题考查抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性和周期性的综合应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)(−5)0+3−2×2713+lg24=1+19×3+2=103；
(2)sin(α−2π)cs(π2−α)tan(3π−α)cs(π−α)sin(5π2+α)=sinαsinαtan[2π+(π−α)]−csαsin[2π+(π2+α)]=sin2α(−tanα)−csαsin(π2+α)=−sin3α−cs3α=tan3α，
所以当α=π4时，原式=tan3π4=1．
【解析】(1)利用分数指数幂和对数的运算性质化简计算即得；
(2)利用诱导公式化简，再运用同角的三角函数基本关系式即可求得．
本题考查了分数指数幂和对数的运算性质，考查了诱导公式，同角的三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
16.【答案】解：(1)依题意，函数f(x)是定义在R上的奇函数，
当x=0时，f(x)=0，
当x>0时，−x<0，f(−x)=2(−x)2−3x=2x2−3x，
又f(x)是奇函数，∴f(x)=−f(−x)=−2x2+3x，
∴f(x)的解析式为f(x)=2x2+3x,x<00,x=0−2x2+3x,x>0．
(2)依题意可知当x∈[12,4]时，f(x)=−2x2+3x=−2(x−34)2+98，
所以函数f(x)在[12,34]上单调递增，在[34,4]上单调递减，
则f(x)min=f(4)=−20，
f(x)max=f(34)=98，
所以f(x)在区间[12,4]上的最小值和最大值分别为−20，98．
【解析】(1)当x=0时，f(x)=0，x>0时，由f(x)=−f(−x)即可得解；
(2)由二次函数的性质分析f(x)在区间[12,4]上的单调性，进而求出其最值即可．
本题考查函数的最值，涉及函数奇偶性的性质和应用，属于基础题．
17.【答案】解：(1)∵f(x)=2sin(2x+π6)−1,x∈R，
∴f(x)的最小正周期T=π．
由−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,(k∈Z)得−π3+kπ≤x≤π6+kπ,(k∈Z)，
∴f(x)的单调递增区间是[−π3+kπ,π6+kπ],k∈Z；
(2)把y=f(x)的图象向右平移π6个单位得到y=2sin[2(x−π6)+π6]−1=2sin(2x−π6)−1，
再向上平移2个单位长度，得到g(x)=2sin(2x−π6)+1的图象．
由−π3≤x≤m，得−5π6≤2x−π6≤2m−π6，取z=2x−π6，则z∈[−5π6,2m−π6]，
因为g(x)在区间[−π3,m]上的最大值为3，
所以y=sinz在区间[−5π6,2m−π6]上的最大值为1．

作出y=sinz在区间[−5π6,2m−π6]上的图象，可知须使2m−π6≥π2，即m≥π3，
所以m的取值范围为[π3,+∞)．
【解析】(1)由正弦型函数的周期公式可得其周期，将2x+π6看成整体角，利用正弦函数的单调区间解不等式即得；
(2)根据平移变换求出g(x)=2sin(2x−π6)+1，取z=2x−π6，由−π3≤x≤m求得z∈[−5π6,2m−π6]，作出函数y=sinz在区间[−5π6,2m−π6]上的图象，须使2m−π6≥π2解之即得．
本题主要考查了正弦函数的单调性，周期性及最值的求解，还考查了函数图象变换，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为函数f(x)在R上为偶函数，所以f(x)=f(−x)，
解得2x+a⋅2−x=2−x+a⋅2x，(1−a)(2x−2−x)=0恒成立，即a=1．
所以f(x)=2x+2−x，
对任意的0≤x1因为0≤x10,2x1+x2−1>0，
所以f(x1)(2)函数h(x)=f(x)+f(2x)=2x+2−x+22x+2−2x=(2x+2−x)2+(2x+2−x)−2．
令t(x)=2x+2−x=2x+12x，因为x∈[0,1]，所以2x∈[1,2]，所以t∈[2,52]，
令φ(t)=t2+t−2，故函数φ(t)在[2,52]单调递增，
当t=2时，f(x)min=φ(2)=4；
当t=52时，f(x)max=φ(52)=274．
则函数h(x)的值域为[4,274]．
【解析】(1)由偶函数的定义即可得关于a的恒等式，由此即可求得a，根据单调性的定义证明即可；
(2)通过换元法，结合指数函数、对勾函数性质即可将原问题转换为闭区间上的二次函数最值，由此即可得解．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性定义的应用，还考查了指数函数，对数函数及二次函数的性质在函数值域求解中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)f(x)是奇函数，证明如下：
f(x)的定义域为(−∞,−3)∪(3,+∞)，关于原点对称，
∵f(−x)=lgm−x−3−x+3=lgmx+3x−3=lgm(x−3x+3)−1=−f(x)，故f(x)为奇函数；
(2)∵g(x)=f(x−3)=lgmx−6x，
①g(x)在(6,+∞)上单调递减．
②假设存在β>α>6，使g(x)在[α,β]的值域为[lgmmβ,lgmmα]．
由①知，g(x)在(6,+∞)上单调递减．则有lgmα−6α=lgmmαlgmβ−6β=lgmmβ，
∴α−6α=mαβ−6β=mβ，
所以α，β是方程x−6x=mx在(6,+∞)上的两个不相等的实数根，
即m=1x−6x2(x>6)，令t=1x(0即直线y=m与函数y=−6t2+t的图象在(0,16)上有两个交点，
如图所示：

所以，m∈(0,124)．
【解析】(1)先求出函数定义域，然后检验f(−x)与f(x)的关系即可判断；
(2)①结合基本初等函数的单调性即可判断；
②结合函数的单调性及对数函数的性质转化为方差解的个数，结合函数图象即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的判断，还考查了单调性及奇偶性的综合应用，属于中档题．