2023-2024学年江苏省南京师大附中宿迁分校九年级（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京师大附中宿迁分校九年级（上）期末数学试卷(含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程属于一元二次方程的是( )
A. ax2+x=2B. x+y=9C. x2+2x=0D. x+1x=9
2.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数是9.2环，方差分别为S甲2=0.54，S乙2=0.61，S丙2=0.50，S丁2=0.63，则射击成绩最稳定的是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
3.如果两个相似三角形的面积比为1：2，那么它们的对应角平分线的比为( )
A. 1：4B. 1：2C. 1：16D. 1： 2
4.正六边形的中心角为( )
A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°
5.如图，已知⊙O，点A，B，C，D，E在圆上，弧AE的度数为60°，则∠B+∠D=( )
A. 120°
B. 150°
C. 140°
D. 160°
6.如图，△AOB和△COD是位似图形，点O是位似中心，CD=2AB.若点A的坐标为(2,1)，则点C的坐标为( )
A. (−6,−3)
B. (−5,−3)
C. (−4,−2)
D. (−4,−3)
7.如图，已知D是△ABC的边AC上一点，根据下列条件，不能判定△CAB∽△CBD的是( )
A. ∠A=∠CBD
B. ∠CBA=∠CDB
C. AB⋅CD=BD⋅BC
D. BC2=AC⋅CD
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，D、F分别是边AB、BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+ 32FB的最小值是( )
A. 52B. 32C. 72D. 3
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.如果a5=b3(b≠0)，那么a−bb= ______．
10.关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为−2，则另一个根是______．
11.圆锥侧面积为8πcm2，侧面展开扇形的半径为4cm，圆锥底圆半径为______cm．
12.如果点G是△ABC的重心，且AG=6，那么边BC上的中线长为______．
13.如图，乐器上的一根弦AB的长度为20cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是弦AB靠近点B的黄金分割点，则线段AC的长度为______cm．
14.小华酷爱足球运动.一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系为：h=−4t2+12t，则足球距离地面的最大高度为______m.
15.已知抛物线y=−2(x−1)2+m经过点A(−1,y1)、B(2,y2)两点，则y1、y2的大小关系是______．
16.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，将△ABC绕点B旋转到△DBE的位置，其中点D与点A对应，点E与点C对应.如果图中阴影部分的面积为15，那么∠CBE的正切值是______．
17.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6，CD=4，BD=14.点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为______．
18.已知函数y1=kx+4k−2(k是常数，k≠0)，y2=ax2+4ax−5a(a是常数，a≠0)，在同一平面直角坐标系中，若无论k为何值，函数y1和y2的图象总有公共点，则a的取值范围是______．
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
(1)解方程：x(x+4)=2x+8；
(2)计算：2cs30°+|tan60°−1|− 3．
20.(本小题8分)
如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，使∠ABD=∠C．
(1)说明△ABD∽△ACB；
(2)AB=3，AD=2，求线段AC的长．
21.(本小题8分)
从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加羽毛球单打比赛．
(1)若甲一定被选中参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，则恰好选中乙的概率是______；
(2)任意选取2名学生参加比赛，求选中丙的概率.(用树状图或列表的方法求解)
22.(本小题8分)
全校学生进行了一次心理健康知识竞赛，现从男、女生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩x，将20名学生的成绩分为四组(A：60≤x<70，B：70≤x<80，C：80≤x<90，D：90≤x≤100)进行整理，部分信息如下：
女生的竞赛成绩：76，100，87，100，92，94，91，100，94，86．
男生的竞赛成绩在C组中的数据为：83，84，86，88．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)a= ______，b= ______，c= ______；
(2)已知全校共有1400名学生，给竞赛成绩x≥90的学生发证书，请估计该校应准备多少张证书？
23.(本小题10分)
已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点(2,0)和点C．
(1)若点C坐标为(1,3)，
①求这个二次函数的表达式；
②当−1≤x≤2时，直接写出y的取值范围．
(2)若点C坐标为(1,m)且该函数的图象开口向上，直接写出m的取值范围．
24.(本小题10分)
已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)连接BE，求证：BE2=EH⋅EA；
(3)若⊙O的半径为10，sinA=35，求BH的长．
25.(本小题10分)
为满足市场需求，某超市在新年来临前夕，购进一款商品，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，如果每盒售价每提高1元，则每天要少卖出20盒．
(1)试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式；
(2)要使每天销售的利润为600元，且让顾客得到最大的实惠．售价应定为多少元？
(3)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P(元)最大？最大利润是多少？
26.(本小题10分)
如图1是一种折叠椅示意图，忽略其支架等器件的宽度，支架与座板均用线段表示，得到它的侧面的简化结构图，如图2所示.若座板CD平行于地面，前支架AB与后支架OF分别与CD交于点E，D，量得ED=20cm，DF=40cm，∠AED=58°，∠ODC=76°．
(1)求椅子座板CD距离地面BF的高度；
(2)求两支架着地点B，F之间的距离.(精确到0.1cm)
(参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin76°≈0.97，cs76°≈0.24，tan76°≈4.00)
27.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M(0,t)，N(0,t+2)，对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：若∠MPN=30°，则称点P为线段MN的“亲近点”．
(1)当t=0时，
①在点A(2 3,0)，B(3,2)，C(−2 3,2)，D(−1,−3)中，线段MN的“亲近点”的是______；
②点P在直线y=1上，若点P为线段MN的“亲近点”，则点P的坐标为______；
(2)若直线y=− 3x−3上总存在线段MN的“亲近点”，则t的取值范围是______．
28.(本小题12分)
如图，抛物线y=−12x2+2x+6与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，直线y=x−2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC交于点F．
(1)点F的坐标为______；
(2)如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，若PMQN=114，求点P的坐标；
(3)如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒4 2个单位长度的速度运动，当SE=SG，且tan∠SEG=12时，求点G的运动时间t．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解；A、当a=0时，ax2+x=2不是一元二次方程，不符合题意；
B、x+y=9含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C、x2+2x=0是一元二次方程，符合题意；
D、x+1x=9不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：C．
根据一元二次方程的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
2.【答案】C
【解析】解：∵S甲2=0.54，S乙2=0.61，S丙2=0.50，S丁2=0.63，
∴丙的方差最小，成绩最稳定，
故选C．
方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，由此即可判断．
本题考查方差的定义、算术平均数等知识，记住方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
3.【答案】D
【解析】解：∵两个相似三角形的面积比为1：2，
∴两个相似三角形的相似比为1： 2，
∴它们的对应角平分线的比为1： 2．
故选：D．
根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得到两个三角形的相似比，而相似三角形的对应角平分线的比等于相似比，由此得解．
本题主要考查的是相似三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
4.【答案】A
【解析】解：正六边形的中心角是：360°÷6=60°．
故选：A．
据正多边形的中心角的定义，可得正六边形的中心角是：360°÷6=60°．
此题考查了正多边形的中心角．此题比较简单，注意准确掌握定义是关键．
5.【答案】B
【解析】解：如图，连接AB，
∵弧AE的度数为60°，
∴∠ABE=30°，
∵四边形ABCD为⊙O内接四边形，
∴∠ABC+∠D=180°，
∴∠EBC+∠D=180°−30°=150°，
故选：B．
连接AB，根据圆周角定理求出∠ABE=30°，再根据圆内接四边形的对角互补计算，得到答案．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵△AOB和△COD是位似图形，点O是位似中心，CD=2AB，
∴位似比为2，
∵点A的坐标为(2,1)，
∴点C的坐标为(−4,−2)．
故选：C．
先确定为位似比为2，然后把点的横纵坐标都乘以−2即可．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
7.【答案】C
【解析】解：∵∠C是公共角，
∴再加上∠A=∠CBD或∠CBA=∠CDB都可以证明△CAB∽△CBD，故A，B不符合题意，
C选项中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C符合题意．
∵∠C=∠C，
若再添加CDBC=BCAC，即BC2=AC⋅CD，可证明△CAB∽△CBD，故D不符合题意．
故选：C．
根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．
本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵AE⊥CD，
∴∠AGC=90°，
∴点G在以AC为直径的圆上运动，
过B作BH⊥AB，作FH⊥BH于H，
∵∠B=30°，
在Rt△FBH中，BH=12BF，
∴FH= BF2−BH2= 32BF，
∴GF+ 32FB=GF+FH，
∴当G、F、H共线时，GF+FH最小，
∴过O作OM⊥BH于M，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，
∴AC=2，
∴OA=1，
作OK⊥AB于K，得∠AOK=30°，
∴AK=12，
∴四边形OMBK是矩形，
∴BK=OM=72，
∵OG+GH≥OM，
∴1+GH≥72，
∴GH≥52，
∴GH最小值为52，
∴GF+ 32FB最小值为52．
故选：A．
首先由∠AGC=90°，AC=2，发现G在以AC为直径的圆上运动，再通过构造直角三角形将 32FB转化为FH，将所求问题转化为常规两条线段和最小问题来解决．
本题主要考查以直角三角形为背景的两条线段和最小问题，
9.【答案】23
【解析】解：设a5=b3=k，
∴a=5k，b=3k，
∴a−bb=5k−3k3k=23，
故答案为：23．
利用设k法进行计算，即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
10.【答案】−3
【解析】【分析】
本题主要考查根与系数的关系，掌握两根之和等于−ba、两根之积等于ca是解题的关键．设另一根为x，利用根与系数的关系可求得x的值．
【解答】
解：设方程的另一根为x，
∵方程x2+5x+m=0的一个根为−2，
∴x+(−2)=−5，解得x=−3，
即方程的另一根是−3，
故答案为−3．
11.【答案】2
【解析】解：设圆锥底圆半径为r cm，
根据题意得12×2π×r×4=8π，
解得r=2，
故答案为：2．
设圆锥底圆半径为r cm，根据扇形的面积公式求解即可．
本题考查了圆锥的计算，记忆圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题关键．
12.【答案】9
【解析】解：如图，连接AG，延长AG交BC于点D．
∵点G是△ABC的重心，
∴DG=12AG=12×6=3，AD为BC边上的中线，
∵AD=AG+DG=6+3=9，
∴BC边上的中线长为9．
故答案为：9．
延长AG交BC于D，如图，利用三角形重心的性质得DG=12AG=3，AD为BC边上的中线，然后AG+DG即可．
本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
13.【答案】(10 5−10)
【解析】解：∵点C是弦AB靠近点B的黄金分割点，AB=20cm，
∴AC= 5−12AB= 5−12×20=(10 5−10)(cm)，
故答案为：(10 5−10)．
直接由黄金比值列式计算即可．
此题考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比进行计算是解题的关键．
14.【答案】9
【解析】解：∵h=−4t2+12t，
a=−4，b=12，c=0，
∴足球距地面的最大高度是：4×(−4)×0−1224×(−4)=9m，
故答案为：9．
a=−4开口方向向下，最大值为顶点y值，由公式可得答案．
此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握二次函数的顶点坐标公式．
15.【答案】y1【解析】解：∵抛物线y=−2(x−1)2+m，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，
∴B(−1,y1)关于对称轴的对称点为(3,y1)，
∵1<2<3，
∴y1故答案为：y1首先确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，根据二次函数的性质即可判断y1，y2的大小关系．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
16.【答案】12
【解析】解：过点F作FG⊥BD于点G，
∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB= AC2+BC2= 82+62=10．
SRt△ABC=12AC⋅BC=12×8×6=24，
∵S阴影=15，
∴S△BEF=SRt△ABC−S阴影=24−15=9．
∵由旋转可得BD=BA=10，S△DBE=S△ABC=24，
∴S△BDF=S△DBE−S△BEF=24−9=15，
∵S△BDF=12BD⋅FG，即15=12×10⋅FG，
∴FG=3．
∵由旋转有BE=BC=6，S△BEF=12EF⋅BE，
∴12EF⋅6=9，
∴EF=3，
∵由旋转得∠E=∠C=90°，
在Rt△BEF中，BF= BE2+EF2= 62+32=3 5，
∵FG⊥BD，
在Rt△BFG中，BG= BF2−FG2= (3 5)2−32=6，
∴tan∠GBF=FGBG=36=12．
∵由旋转得∠CBE=∠FBG，
∴tan∠CBE=tan∠FBG=12．
故答案为：12．
过点F作FG⊥BD于点G，由∠ACB=90°可得AB= AC2+BC2=10，SRt△ABC=12AC⋅BC=24，从而S△BEF=SRt△ABC−S阴影=9，S△BDF=S△DBE−S△BEF=15，根据三角形的面积公式可求得FG=3，EF=3，再根据勾股定理，在Rt△BEF中，BF= BE2+EF2=3 5，在Rt△BFG中，BG= BF2−FG2=6，从而tan∠GBF=FGBG=12，由旋转得到∠CBE=∠FBG，则tan∠CBE=tan∠FBG=12．
本题考查正切函数的定义，旋转的性质，勾股定理，熟知旋转的性质是解题的关键．
17.【答案】8.4或2或12
【解析】解：设DP=x，则BP=BD−x=14−x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴当ABCD=BPDP时，△ABP∽△CDP，
即64=14−xx；
解得x=285，
BP=14−285=8.4；
当ABDP=BPDC时，△ABP∽△PDC，
即6x=14−x4，
整理得x2−14x+24=0，
解得x1=2，x2=12，
BP=14−2=12或BP=14−12=2．
∴当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与△ABP相似．
故答案为：8.4或2或12．
设DP=x，则BP=BD−x=14−x，根据垂直的定义得到∠B=∠D=90°，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当ABCD=BPDP时，△ABP∽△CDP，即64=14−xx；当ABDP=BPDC时，△ABP∽△PDC，即6x=14−x4；然后分别解方程求出x即可．
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
18.【答案】a<0或a≥25
【解析】解：∵y1=kx+4k−2=k(x+4)−2，
∴函数y1=kx+4k−2(k是常数，k≠0)的图象过定点(−4,−2)，
∵y2=ax2+4ax−5a=a(x+5)(x−1)，
∴函数y2=ax2+4ax−5a(a是常数，a≠0)与x轴的交点为(−5,0)，(1,0)，
当a<0时，无论k为何值，函数y1和y2的图象总有公共点，
∴a<0满足题意；
当a>0时，∵无论k为何值，函数y1和y2的图象总有公共点，
∴x=−4时，y2≤−2，即16a−16a−5a≤−2，
解得a≥25，
∴a≥25满足题意；
∴无论k为何值，函数y1和y2的图象总有公共点，则a的取值范围是a<0或a≥25．
故答案为：a<0或a≥25．
求得函数y1=kx+4k−2(k是常数，k≠0)的图象过定点(−4,2)，函数y2=ax2+4ax−5a(a是常数，a≠0)与x轴的交点为(−5,0)，(1,0)，然后分两种情况讨论即可求得a的取值．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，分类讨论、数形结合是解题的关键．
19.【答案】解：(1)x(x+4)=2x+8，
整理，得x2+2x−8=0，
因式分解，得(x+4)(x−2)=0，
∴x+4=0或x−2=0，
∴x1=−4，x2=2；
(2)2cs30°+|tan60°−1|− 3
=2× 32+| 3−1|− 3
= 3+ 3−1− 3
= 3−1．
【解析】(1)将方程化为一般形式后，采用因式分解法求解即可；
(2)根据特殊角的三角函数值、绝对值概念及二次根式的运算求解即可．
本题考查解一元二次方程，特殊角的三角函数，绝对值，二次根式的运算，正确记忆相关是解题关键．
20.【答案】解：(1)∵∠ABD=∠C，∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB；
(2)∵△ABD∽△ACB，
∴AD：AB=AB：AC，
∵AB=3，AD=2，
∴2：3=3：AC，
∴AC=92．
【解析】(1)根据∠ABD=∠C，再由公共角，利用两对角对应相等的三角形相似即可得证；
(2)由相似得比例，即可求出AC的长．
此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
21.【答案】13
【解析】解：(1)由甲一定被选中参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，共有甲、乙，甲、丙，甲、丁三种等可能，符合条件的情况数有1种，
∴甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中乙的概率是13；
(2)列表如下：
所有的等可能的情况数有12种，符合条件的情况数有6种，
所以选中丙的概率为：612=12．
(1)利用例举法例举所有的等可能的情况数，再利用概率公式进行计算即可；
(2)先列表得到所有的等可能的情况数以及符合条件的情况数，再利用概率公式进行计算即可．
本题考查的是利用例举法，列表法或画树状图的方法求解简单随机事件的概率，概率公式的应用，掌握例举法与列表法求解概率是解本题的关键．
22.【答案】83.5 92 100
【解析】解：(1)中位数a=83+842=83.5，
b=110×(76+100+87+100+92+94+91+100+94+86)=92，
众数c=100．
故答案为：83.5，92，100；
(2)1400×7+220=630(人)．
答：估计该校应准备630张证书．
(1)根据平均数，中位数，众数的定义解决问题即可；
(2)利用样本估计总体的思想解决问题．
本题考查众数，平均数，中位数，样本估计总体等知识，解题的关键是掌握基本知识，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)①把(2,0)和C(1,3)分别代入y=ax2+bx+2得4a+2b+2=0a+b+2=3，
解得a=−2b=3，
∴这个二次函数的表达式为y=−2x2+3x+2；
②∵y=−2(x−34)2+258，
∴当x=34时，y有最大值258，
当x=−1时，y=−2x2+3x+2=−2−3+2=−3；
当x=2时，y=−2x2+3x+2=−2×4+3×2+2=0，
∴当−1≤x≤2时，y的取值范围为−3≤y≤258；
(2)把(2,0)和C(1,m)分别代入y=ax2+bx+2得4a+2b+2=0a+b+2=m，
解得a=1−m，
∵该函数的图象开口向上，
∴a>0，
即1−m>0，
解得m<1．
【解析】(1)①把(2,0)和C(1,3)分别代入y=ax2+bx+2中得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可；
②先抛物线解析式配成顶点式，则根据二次函数的性质得到当x=34时，y有最大值258，再分别计算出x=−1和x=2所对应的函数值，然后写出当−1≤x≤2时，y的取值范围；
(2)把(2,0)和C(1,m)分别代入y=ax2+bx+2中，则可用m表示a得到a=1−m，然后根据二次函数的性质得到1−m>0，最后解不等式即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征．
24.【答案】(1)证明：如图1中，
∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，
∴∠ODB=∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD=90°，
∴∠ODB+∠DBF=90°，
∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；
(2)证明：连接AC，如图2所示：
∵OF⊥BC，
∴BE=CE，BE=CE，
∴∠CAE=∠ECB，
∵∠CEA=∠HEC，
∴△CEH∽△AEC，
∴CEEH=EACE，
∴CE2=EH⋅EA，
∴BE2=EH⋅EA；
(3)解：连接BE，如图3所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵⊙O的半径为10，sin∠BAE=35，
∴AB=20，BE=AB⋅sin∠BAE=20×35=12，
∴EA= AB2−BE2=16，
∵BE=CE，
∴BE=CE=12，
∵CE2=EH⋅EA，
∴EH=9，
∴在Rt△BEH中，BH= BE2+EH2= 122+92=15．
【解析】本题考查圆综合题、切线的判定和性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题．
(1)如图1中，欲证明BD是切线，只要证明AB⊥BD即可；
(2)连接AC，如图2所示，欲证明CE2=EH⋅EA，只要证明△CEH∽△AEC即可；
(3)连接BE，如图3所示，由CE2=EH⋅EA，可得EH=9，在Rt△BEH中，根据BH= BE2+EH2，计算即可．
25.【答案】解：(1)由题意得销售量y=700−20(x−45)=−20x+1600，
∴每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式为y=−20x+1600(45≤x<80)；
(2)由题意得：(x−40)(−20x+1600)=600，
整理得：x2−120x+350=0，
解得：x1=50，x2=70，
∵要让顾客得到最大的实惠，
∴x=50，
∴售价应定为50元；
(3)P=(x−40)(−20x+1600)
=−20x2+2400x−64000
=−20(x−60)2+8000，
∵a=−20<0，45≤x<80，
∴当x=60时，P有最大值，最大值为8000，
∴每盒售价定为60元时，每天销售的利润P(元)最大，最大利润是8000元．
【解析】(1)根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量与每盒售价x(元)之间的函数关系式；
(2)根据利润=1盒商品所获得的利润×销售量列出方程，解方程取较小的值即可；
(3)根据利润=1盒商品所获得的利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
本题考查的是二次函数、一次函数与一元二次方程在实际生活中的应用，主要利用了利润=1盒商品子所获得的利润×销售量，求得销售量与x之间的函数关系式是解题的关键．
26.【答案】解：过点E，D分别作EH⊥BF于H，作DG⊥BF于G，
∴∠EHB=∠DGF=90°，
∵ED/​/BF，
∴∠OED=∠OBF=58°，∠ODE=∠DFG=76°，
(1)在Rt△DGF中，DF=40，
∵sin∠DFG=sin76°=DGDF≈0.97，
∴DG=0.97×40=38.8(cm)，
∴椅子座板CD距离地面BF的高度是38.8cm．
(2)在Rt△DGF中，DF=40，
∴cs∠DFG=cs76°=FGFD≈0.24，
∴FG=0.24×40=9.6(cm)，
∵ED/​/BF，EH⊥BF，DG⊥BF，
∴四边形EDHG是矩形，
∴EH=DG=38.8cm，ED=HG=20cm，
在Rt△EBH中，EH=38.8，
∵tan∠EBH=tan58°=EHBH≈1.60，
∴BH≈24.25(cm)，
∴BF=BH+HG+GF=24.25+20+9.6≈53.9(cm)，
∴两支架着地点BF之间的距离约为53.9cm．
【解析】过点E，D分别作EH⊥BF于H，作DG⊥BF于G，由平行线的性质得到∠OED=∠OBF=58°，∠ODE=∠DFG=76°．
(1)由锐角的正弦求出GD的长，即可解决问题；
(2)由矩形的性质得到HG=ED，由锐角的余弦求出GF的长，由锐角的正切求出BH的长，即可求出BF的长．
本题考查解直角三角形的应用，关键是作辅助线构造直角三角形，应用锐角的三角函数定义来解决问题．
27.【答案】A、C (2+ 3,1)或(−2− 3,1) −11≤t≤3
【解析】解：(1)①如图1中，线段MN的“亲近点”是A、C．
当t=0时，点M(0,0)，N(0,2)，
由点A(2 3,0)，B(3,2)，C(−2 3,2)，D(−1,−3)中，
在△MAN中，MA=2 3，MN=2，∠AMN=90°，
∴AN= AM2+MN2= 12+4=4，
∴AN=2MN，
∴∠MAN=30°，故A是线段MN的“亲近点”，
∵C(−2 3,2)，N(0,2)，
∴CN⊥MN，
在△MCN中，MC=2 3，MN=2，∠CMN=90°，
∴CM= CN2+MN2= 12+4=4，
∴CM=2MN，
∴∠MCN=30°，故C是线段MN的“亲近点”，
故答案为：A、C．
②如图2，作△MPN的外接圆C，连接MC，NC，
∵点M(0,t)，N(0,t+2)，
∴MN=2，
∵∠MPN=30°，
∴∠MCN=60°，
∵MC=NC，
∴△MNC是等边三角形，
∴MC=NC=MN=2，
∴PC=2，
∵点P在直线y=1上，
∴MD=ND=12MN=1，
∵CD⊥MN，
∴CD= 3，
∴PD=2+ 3，
∴P(2+ 3,1)，
同理得P(−2− 3,1)，
故答案为：(2+ 3,1)或(−2− 3,1)；
(2)如图3，作△MPN的外接圆C，过C点作EF⊥y轴于点E，交直线y=− 3x−3于点F，
∵A(t,0)，B(6+t,0)，
∴MN=2，
∵CM=CN，∠MCN=60°，
∴ME=NE=1，CE= 3，
∴C(− 3,t+1)，
设直线y=− 3x−3与x轴、y轴的交点分别为A、B，
∴A(− 3,0)，B(0,−3)，
∴AB= OA2+OB2= 3+9=2 3，
∴AB=2OA，
∴∠ABO=30°，
∴BE=t+1+3=t+4，
∴EF=t+4 3，
F(−t+4 3,t+1)，
∴CF=− 3+t+4 3，
当CP⊥AB时，CP=2，
∵∠PCF+∠PFC=90°，∠PFC+∠ABO=90°，
∴∠PCF=∠ABO=30°，
∴PF=2 33，CF=4 33，
∴− 3+t+4 3=4 33，解得t=3，
如图4，作△MPN的外接圆C，过C点作EF⊥y轴于点E，交直线y=− 3x−3于点F，
同理得C( 3,t+1)，
F(−t+4 3,t+1)，
∴CF=− 3−t+4 3，
当CP⊥AB时，CP=2，
∵∠PCF+∠PFC=90°，∠PFC+∠MBP=90°，
∴∠PCF=∠MBP=∠ABO=30°，
∴PF=2 33，CF=4 33，
∴− 3−t+4 3=4 33，解得t=−11，
∴−11≤t≤3时，直线y=− 3x−3上总存在线段MN的“亲近点”．
故答案为：−11≤t≤3．
(1)①A、C是线段AB的“海安点”，只要证明∠MAN=30°，∠MCN=30°即可；
②根据点P在直线y=1上画图，作△MPN的外接圆C，连接MC，NC，可知MN=2，⊙C的半径为2，最后计算PD的长可得点P的坐标；
(2)当△MNP的外接圆与直线y=− 3x−3相切时，直线上开始存在线段MN的“亲近点”，再根据圆与切线的关系求出t的临界值，即可求t的取值范围．
本题是一次函数综合题，考查一次函数的图象及性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点，特殊位置解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考压轴题．
28.【答案】(4,2)
【解析】解：(1)在抛物线y=−12x2+2x+6中，
令y=0，则−12x2+2x+6=0，
∴x=−2或x=6，
∴A(−2,0)，B(6,0)，
令x=0，则y=6，
∴C(0,6)，
在直线y=x−2，令y=0，则x=2，
∴E(2,0)，
令x=0，则y=−2，
∴D(0,−2)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴b=66k+b=0，
∴k=−1b=6，
∴y=−x+6，
联立y=−x+6y=x−2，
解得x=4y=2，
∴F(4,2)，
故答案为(4,2)；
(2)如图1，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴交于点H，
∵PM⊥BC，QN⊥BC，
∴∠PMF=∠QNF，
∴△PMF∽△QNF，
∴PMQN=PFQF，
∵PMQN=114，
∴PFQF=114，
∵FH/​/PG，
∴FQPQ=FHPG=415，
∵FH=2，
∴PG=152，
∴P点纵坐标为152，
∴−12x2+2x+6=152，
∴x=1或x=3，
∴P(1,152)或P(3,152)；
(3)如图2，过点S作SK⊥EG于点K，SH⊥x轴于点H，交EG于点L，
由题意得，EG=4 2t，
∵SE=SG，
∴EK=GK=12EG=2 2t，
在Rt△SEK中，tan∠SEG=SKEK=12，
∴SK= 2t，
∵E(2,0)，D(0,−2)，
∴OE=OD，
∴△ODE是等腰直角三角形，
∴∠OED=45°，
∴∠KEH=∠OED=45°，
∴△EHL为等腰直角三角形，
∴LK=SK= 2t，SL= 2SK=2t，
∴EL=EK−LK= 2t，
∴EH=LH=t，
∴OH=OE+EH=t+2，SH=SL+LH=3t，
∴S(t+2,3t)，
∴−12(t+2)2+2(t+2)+6=3t，
∴t=2或t=−8(舍)，
∴点G的运动时间为2s．
(1)先求出B(6,0)，C(0,6)，再求出直线BC的解析式为y=−x+6，联立y=−x+6y=x−2即可求F点坐标；
(2)过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴交于点H，证明△PMF∽△QNF，得PFQF=114，再由FH/​/PG，得FHPG=415，可求PG=152，即为P点纵坐标为152，则可求P(1,152)或P(3,152)；
(3)过点S作SK⊥EG于点K，SH⊥x轴于点H，交EG于点L，证明△ODE是等腰直角三角形，△EHL为等腰直角三角形，则有LK=SK= 2t，SL= 2SK=2t，EL= 2t，EH=LH=t，OH=t+2，SH=3t，求出S(t+2,3t)，求出t=2，则可得点G的运动时间为2s．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活运用平移、三角形相似是解题的关键．性别
平均数
中位数
最高分
众数
男生
83
a
98
76
女生
b
93
100
c
甲
乙
丙
丁
甲
甲、乙
甲、丙
甲、丁
乙
乙、甲
乙、丙
乙、丁
丙
丙、甲
丙、乙
丙、丁
丁
丁、甲
丁、乙
丁、丙