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上海市静安区2024届高三下学期期中教学质量调研数学试卷（原卷版+解析版）
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这是一份上海市静安区2024届高三下学期期中教学质量调研数学试卷（原卷版+解析版），文件包含上海市静安区2024届高三下学期期中教学质量调研数学试卷原卷版docx、上海市静安区2024届高三下学期期中教学质量调研数学试卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2024.4
一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分．
1. 中国国旗上所有颜色组成的集合为________．
2. 已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为________．
3. 函数的定义域为________．
4. 若单位向量、满足，则________．
5. 某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩服从正态分布（试卷满分150分），统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭区间的学生人数约为_______．
6. 已知物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则在时间段内，物体的瞬时速度为的时刻_______（单位：s）．
7. 已知等比数列前项和为，则的值为________．
8. 在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是_______．（请填入全部正确的序号）
①；②；③；④．
9. 正四棱锥底面边长为2，高为3，则点到不经过点的侧面的距离为_______．
10. 某工厂生产的产品以100个为一批．在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的．假定每一批产品中的次品最多不超过2个，并且其中恰有（0，1，2）个次品的概率如下：
则各批产品通过检查的概率为________．（精确到0.01）
11. 已知实数，记．若函数在区间上最小值为，则的值为________．
12. 我们称如图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点都满足方程，现将一边在x轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点“爱心线”上任意一点的最小距离为，则用表示心吧面积的最大值为_______．
二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分．每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑．
13. 函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
14. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（ ）
A. 若,,则 ；B. 若,,,则 ；
C. 若，，则 ；D. 若，，，,则．
15. 设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
16. 如果一个非空集合上定义了一个运算，满足如下性质，则称关于运算构成一个群.
（1） 封闭性，即对于任意的，有；
（2） 结合律，即对于任意的，有；
（3） 对于任意的，方程与在中都有解．
例如，整数集关于整数的加法（）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于任意的，方程与都有整数解；而实数集关于实数的乘法（）不构成群，因为方程没有实数解.
以下关于“群”真命题有（ ）
①自然数集关于自然数加法（）构成群；
②有理数集关于有理数的乘法（）构成群；
③平面向量集关于向量的数量积（）构成群；
④复数集关于复数的加法（）构成群.
A. 0个；B. 1个；C. 2个；D. 3个.
三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17. 在中，角、、的对边分别为、、，已知，，．
（1）求角的大小；
（2）求的值．
18. 某高中随机抽取名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）.
（1）求身高不低于170cm的学生人数；
（2）将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人．
① 求从这三个组分别抽取的学生人数；
② 若要从6名学生中抽取2人，求组中至少有1人被抽中的概率．
19. 如图1所示，是水平放置的矩形，，．如图2所示，将沿矩形的对角线向上翻折，使得平面平面．
（1）求四面体的体积；
（2）试判断与证明以下两个问题：
① 在平面上是否存在经过点的直线，使得？
② 在平面上是否存在经过点的直线，使得？
20. 江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点与点． 现在准备以地平面上的点与点为起点建造上、下桥坡道，要求：①；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为 （坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸．
（1）请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来；
（2）并按你方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米）
（3）若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算）．
21. 已知，记（且）．
（1）当（是自然对数的底）时，试讨论函数的单调性和最值；
（2）试讨论函数的奇偶性；
（3）拓展与探究：
① 当在什么范围取值时，函数的图象在轴上存在对称中心？请说明理由；
②请提出函数的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明）
一批产品中有次品的个数
0
1
2
概率
0.3
0.5
0.2
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2024.4
一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分．
1. 中国国旗上所有颜色组成的集合为________．
2. 已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为________．
3. 函数的定义域为________．
4. 若单位向量、满足，则________．
5. 某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩服从正态分布（试卷满分150分），统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭区间的学生人数约为_______．
6. 已知物体的位移（单位：m）与时间（单位：s）满足函数关系，则在时间段内，物体的瞬时速度为的时刻_______（单位：s）．
7. 已知等比数列前项和为，则的值为________．
8. 在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是_______．（请填入全部正确的序号）
①；②；③；④．
9. 正四棱锥底面边长为2，高为3，则点到不经过点的侧面的距离为_______．
10. 某工厂生产的产品以100个为一批．在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的．假定每一批产品中的次品最多不超过2个，并且其中恰有（0，1，2）个次品的概率如下：
则各批产品通过检查的概率为________．（精确到0.01）
11. 已知实数，记．若函数在区间上最小值为，则的值为________．
12. 我们称如图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点都满足方程，现将一边在x轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点“爱心线”上任意一点的最小距离为，则用表示心吧面积的最大值为_______．
二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分．每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑．
13. 函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
14. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（ ）
A. 若,,则 ；B. 若,,,则 ；
C. 若，，则 ；D. 若，，，,则．
15. 设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
16. 如果一个非空集合上定义了一个运算，满足如下性质，则称关于运算构成一个群.
（1） 封闭性，即对于任意的，有；
（2） 结合律，即对于任意的，有；
（3） 对于任意的，方程与在中都有解．
例如，整数集关于整数的加法（）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于任意的，方程与都有整数解；而实数集关于实数的乘法（）不构成群，因为方程没有实数解.
以下关于“群”真命题有（ ）
①自然数集关于自然数加法（）构成群；
②有理数集关于有理数的乘法（）构成群；
③平面向量集关于向量的数量积（）构成群；
④复数集关于复数的加法（）构成群.
A. 0个；B. 1个；C. 2个；D. 3个.
三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17. 在中，角、、的对边分别为、、，已知，，．
（1）求角的大小；
（2）求的值．
18. 某高中随机抽取名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）.
（1）求身高不低于170cm的学生人数；
（2）将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人．
① 求从这三个组分别抽取的学生人数；
② 若要从6名学生中抽取2人，求组中至少有1人被抽中的概率．
19. 如图1所示，是水平放置的矩形，，．如图2所示，将沿矩形的对角线向上翻折，使得平面平面．
（1）求四面体的体积；
（2）试判断与证明以下两个问题：
① 在平面上是否存在经过点的直线，使得？
② 在平面上是否存在经过点的直线，使得？
20. 江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点与点． 现在准备以地平面上的点与点为起点建造上、下桥坡道，要求：①；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为 （坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸．
（1）请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来；
（2）并按你方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米）
（3）若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算）．
21. 已知，记（且）．
（1）当（是自然对数的底）时，试讨论函数的单调性和最值；
（2）试讨论函数的奇偶性；
（3）拓展与探究：
① 当在什么范围取值时，函数的图象在轴上存在对称中心？请说明理由；
②请提出函数的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明）
一批产品中有次品的个数
0
1
2
概率
0.3
0.5
0.2
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