2023-2024学年河南省南阳市唐河第一高级中学高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

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这是一份2023-2024学年河南省南阳市唐河第一高级中学高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={x|(x+1)(x−12)≤0}，B={x|x>6}，则A∩B=( )
A. (6,12)B. [12,+∞)C. (6,12]D. [−1,+∞)
2.使“12x>1”成立的一个充分不必要条件是(( )
A. x>0B. x<12C. 03.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
那么函数f(x)一定存在零点的区间是( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,+∞)
4.函数f(x)=(x−1x)csx在[−3π2,0)∪(0,3π2]上的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+m4=0有两个不相等的实数根x1，x2.若1x1+1x2=4m，则m的值是( )
A. 2B. −1C. 2或−1D. 不存在
6.某食品加工厂2021年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2022年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元(lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)( )
A. 2026年B. 2027年C. 2028年D. 2029
7.设a=lg0.20.3，b=lg23，c=lg35，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>cB. c>b>aC. b>a>cD. b>c>a
8.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足：对∀x1、x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，都有x2f(x1)−x1f(x2)x1−x2>0成立，且f(2)=4，则不等式f(x)x>2的解集为( )
A. (4,+∞)B. (0,4)C. (0,2)D. (2,+∞)
9.已知正数x，y，z满足3x=5y=15z，则下列说法中正确的是( )
A. x+y>(12+ 2)zB. 3x>5y>15z
C. 1x+12y=1zD. xy>4z2
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
10.已知x，y∈R，且x>y>0，则下列说法错误的是( )
A. 1x−1y>0B. sinx−siny>0C. (12)x−(12)y<0D. xlnx>ylny
11.已知函数f(x)=csx−sinx，则( )
A. 函数f(x)的值域为[− 2, 2]
B. 点(π4,0)是函数f(x)的一个对称中心
C. 函数f(x)在区间[π4,5π4]上是减函数
D. 若函数f(x)在区间[−a,a]上是减函数，则a的最大值为π4
12.数学上，高斯符号(Gaussmark)是指对取整符号和取小符号的统称，用于数论等领域.定义在数学特别是数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分研究小数部分，因而引入高斯符号.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数.比如：
[1]=1，[0]=0，[−1]=−1，[−1.2]=−2，[1.3]=1…，已知函数f(x)=[x]x(x>0)，则下列说法不正确的是( )
A. f(x)的值域为[0,1)B. f(x)在(1,+∞)为减函数
C. 方程f(x)=12无实根D. 方程f(x)=712仅有一个实根
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知角α的终边上一点(1,m)，且sinα= 63，则m=______.
14.已知扇形的半径为3，圆心角的弧度数是2，则扇形的面积与周长的比值为______.
15.函数y=lg(ax2+ax+1)的定义域是R，则a的取值范围是______.
16.已知函数f(x)=|lg2(x−1)|,x>1,(x+1)2,x≤1,若关于x的方程f(x)=m有4个不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=2sin(ωx+π3)+1(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求f(π6)的值及函数f(x)单调递增区间；
(2)求f(x)在区间[0,π2]上的最值.
18.(本小题12分)
已知集合A={x|a−1(1)若a=2，求A∪B；
(2)若A∩(∁RB)=A，求实数a的取值范围.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=lga1−mxx+1(a>0,a≠1,m≠−1)，是定义在(−1,1)上的奇函数.
(1)求实数m的值；
(2)判断函数f(x)在(−1,1)上的单调性；
(3)若f(12)>0且f(b−2)+f(2b−2)>0，求实数b的取值范围.
20.(本小题12分)
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．现有一个筒车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O，筒车上的盛水桶抽象为圆O上的点P，已知圆O的半径为4m，圆心O距离水面2m，且当圆O上点P从水中浮现时(图中点P)开始计算时间．
(1)根据如图所示的直角坐标系，将点P到水面的距离h(单位：m在水面下，h为负数)表示为时间t(单位：s)的函数，并求t=13时，点P到水面的距离；
(2)在点P从P0开始转动的一圈内，点P到水面的距离不低于4m的时间有多长？
21.(本小题12分)
2023年8月8日，为期12天的第31届世界大学生夏季运动会在成都圆满落幕.“天府之国”以一场青春盛宴，为来自世界113个国家和地区的6500名运动员留下了永恒的记忆.在这期间，成都大熊猫繁育研究基地成为各参赛代表团的热门参观地，大熊猫玩偶成为了颇受欢迎的纪念品.某大熊猫玩偶生产公司设计了某款新产品，为生产该产品需要引进新型设备.已知购买该新型设备需要5万元，之后每生产x(10000x∈N)万件产品，还需另外投入原料费及其他费用f(x)万元，且f(x)=12x2,0(1)写出利润W(x)(万元)关于产量x(万件)的函数解析式.
(2)该产品产量为多少万件时，公司所获的利润最大？其最大利润为多少万元？
22.(本小题12分)
已知三个函数f(x)=lg2(ax2−x+1)，g(x)=x2+bx−2(x>0)，h(x)=2f(x)−5x−1x−1(x<0).
(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)当a=1时，若函数g(x)的图像上存在A、B两个不同的点分别与h(x)图像上的A1、B1两点关于y轴对称，求实数b的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：集合A={x|(x+1)(x−12)≤0}={x|−1≤x≤12}，
B={x|x>6}，
所以A∩B={x|6故选：C.
解不等式化简集合A，根据交集的定义计算即可．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：因为12x>1，则1−2x2x>0，则0结合选项，使“12x>1”成立的一个充分不必要条件为选项D，
故选：D.
根据充分不必要条件的定义可解．
本题考查充分不必要条件的定义，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由所给的表格可得f(1)=0.1>0，f(2)=−0.9<0，
故函数f(x)一定存在零点的区间是(1,2)，
故选B.
根据f(1)=0.1>0，f(2)=−0.9<0，结合函数零点的判定定理得出结论．
本题考查函数零点的判定定理的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为f(−x)=(−x+1x)csx=−f(x)，
所以f(x)为奇函数，故排除C；
当x∈(0,3π2]时，令f(x)=(x−1x)csx=0，则x=1或π2或3π2，
由图可知，A符合，D不符合；
又f(π6)= 32(π6−6π)<0，故排除B；
故选：A.
根据函数的奇偶性，特殊值的函数值的符号及函数的零点分析，利用排除法即可得解．
本题考查函数的奇偶性和零点问题，属于中档题．
5.【答案】A
【解析】解：由关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+m4=0有两个不相等的实数根x1，x2知，m≠0△=(m+2)2−4m⋅m4>0，
解得m>−1且m≠0.
∵x1+x2=m+2m，x1x2=14，
∴1x1+1x2=x1+x2x1⋅x2=m+2m14=4(m+2)m=4m，
∴m=2或−1，
∵m>−1，∴m=2.
故选：A.
由根与系数的关系，可得x1+x2=m+2m，x1x2=14，又由1x1+1x2=4m，即可求得m的值．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系与判别式的应用．此题难度适中，注意掌握如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，那么有x1+x2=−ba，x1x2=ca的应用．
6.【答案】C
【解析】解：设第n年获利y元，则y=20×1.2n，n是正整数，2022年是第一年，
所以20×1.2n>60，解得n>lg1.23=lg3lg1.2=lg3lg3+2lg2−1≈+2×0.3010−1≈6.03，
所以n≥7，即从2028年开始这家加工厂年获利超过60万元．
故选：C.
根据题意设出解析式，再用对数的相关知识求解即可．
本题考查了函数在实际问题中的运用，也考查了转化思想和运算能力，是基础题．
7.【答案】D
【解析】解：因为32>23，
所以lg232>lg223，即2lg23>3，
所以b=lg23>32，
因为52<33，
所以lg352所以c<32，
同时c=lg35>1，
所以1而a=lg0.20.3<1，
所以b>32>c>1>a.
故选：D.
由已知结合对数函数的单调性即可比较大小．
本题主要考查了对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：设g(x)=f(x)x，
对于任意x1>x2>0，
g(x1)−g(x2)=f(x1)x1−f(x2)x2=x2f(x1)−x1f(x2)x1x2，
对∀x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，都有x2f(x1)−x1f(x2)x1x2>0恒成立，
所以x2f(x1)−x1f(x2)>0，
所以g(x1)−g(x2)=f(x1)x1−f(x2)x2=x2f(x1)−x1f(x2)x1x2>0，
所以函数g(x)在区间(0,+∞)上为增函数，
f(2)=4，则g(2)=f(2)2=2，
不等式式f(x)x>2等价为g(x)>g(2)，
所以x>2，
所以不等式f(x)>2x的解集为(2,+∞)，
故选：D.
设g(x)=f(x)x，用单调性的定义分析g(x)的单调性，可得函数g(x)在区间(0,+∞)上为增函数，由f(2)=4，得g(2)=f(2)2=2，不等式式f(x)x>2等价为g(x)>g(2)，结合单调性，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
9.【答案】D
【解析】解：设3x=5y=15z=m>0，
则x=lg3m，y=lg5m，z=lg15m，
A：因为x+yz=xz+yz=lg3mlg15m+lg5mlg15m=lg15lg3+lg15lg5=2+(lg5lg3+lg3lg5)>2+2 lg5lg3⋅lg3lg5=2+2=4>12+ 2，故A错误，
B：因为5x=5lgm3=lgm243，3y=3lgm5=lgm125，所以5x>3y，即3x<5y，故B错误，
C：1x+12y=lgm3+12lgm5=lgm3 5≠1z=lgm15，故C错误，
D：xyz2=xz⋅yz=lg15lg3⋅lg15lg5=(lg3+lg5)2lg3lg5=2+(lg3lg5+lg5lg3)>2+2 lg3lg5⋅lg5lg3=4，即xy>4z2，故D正确，
故选：D.
根据指数与对数的互化求出x，y，z，然后根据对数的运算性质以及换底公式对各个选项逐个化简即可判断求解．
本题考查了对数值的比较大小，涉及到基本不等式的应用，属于中档题．
10.【答案】ABD
【解析】解：A选项，1x−1y=y−xxy<0，所以1x<1y，A选项错误．
B选项，取x=2π，y=π，此时sinx=siny，B选项错误．
C选项，因为函数y=(12)x单调递减，所以(12)x<(12)y，C选项正确．
D选项，设f(x)=xlnx，则f′(x)=lnx+1，所以当x∈(0,1e)时，f(x)单调递减，若x,y∈(0,1e)，则xlnx故选：ABD.
利用作差法判断A选项；通过正弦函数，利用特例法判断B选项；利用函数的单调性判断C、D选项．
本题考查利用作差法及函数的单调性比较大小，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：因为f(x)=csx−sinx=− 2sin(x−π4).
对于A选项，函数f(x)的值域为[− 2, 2]，A对；
对于B选项，∵f(π4)=− 2sin0=0，故点(π4,0)是函数f(x)的一个对称中心，B对；
对于C选项，当π4≤x≤5π4时，0≤x−π4≤π，故函数f(x)在区间[π4,5π4]上不单调，C错；
对于D选项，由题意a>0且函数f(x)在[−a,a]上为减函数，
当−a≤x≤a时，−a−π4≤x−π4≤a−π4，且−π4∈[−a−π4,a−π4]，
所以，[−a−π4,a−π4]⊆[−π2,π2]，则−a−π4≥−π2a−π4≤π2a>0，解得0故a的最大值为π4，D对．
故选：ABD.
利用辅助角公式可得出f(x)=− 2sin(x−π4)，利用正弦型函数的值域可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；利用正弦型函数的单调性可判断CD选项．
本题考查的知识要点：三角函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
12.【答案】AB
【解析】解：由高斯函数的定义可得：当0当1≤x<2时，[x]=1，则f(x)=[x]x=1x；
当2≤x<3时，[x]=2，则f(x)=[x]x=2x；
当3≤x<4时，[x]=3，则f(x)=[x]x=3x；
当4≤x<5时，[x]=4，则f(x)=[x]x=4x，
绘制函数图象如图所示：
对于A，由图可知，f(x)在(0,+∞)上的值域为(12,1]∪{0},不正确；
对于B，当x≥1时，f(x)的每段函数都是单调递减，但是f(x)在(1,+∞)不是减函数，不正确；
对于C，由选项A知，f(x)在(0,+∞)上的值域为(12,1]∪{0},
所以方程f(x)=12无实根，正确；
对于D，当1≤x<2时，f(x)=712，即1x=712，解得x=127∈[1,2),
当2≤x<3时，f(x)=712，即2x=712，解得x=247∉[2,3),
结合函数f(x)图象知，方程f(x)=712仅有一个实根127，故正确．
故选：AB.
先进行分段化简函数，并画函数图象，再结合图象逐项判断即可．
本题属于新概念题，考查了分段函数的性质、反比例函数的性质及数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
13.【答案】 2
【解析】解：由角α的终边上一点(1,m)，且sinα= 63，
可得m 1+m2= 63.
解之得m= 2或m=− 2(舍).
故答案为： 2.
由题意，利用正弦函数的定义列出关于m的方程，解之即可求得m的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
14.【答案】34
【解析】解：因为扇形的半径为3，圆心角的弧度数是2，所以扇形的面积为S=12×2×32=9，
又扇形的弧长为2×3=6，所以扇形的周长为6+2×3=12，
所以扇形的面积与周长的比值为912=34.
故答案为：34.
根据扇形弧长及面积公式计算即可．
本题主要考查了扇形的弧长及面积公式的应用，属于基础题．
15.【答案】[0,4)
【解析】解：当a=0时，函数解析式为：y=lg1=0，其定义域为R，满足题意，
当a≠0时，应满足：a>0Δ=a2−4a<0，求解不等式组可得：0综上可得，实数a的取值范围是[0,4).
故答案为：[0,4).
由题意分类讨论a=0和a≠0两种情况确定实数a的取值范围即可．
本题主要考查对数函数的性质，属于基础题．
16.【答案】(2,25716]
【解析】解：由f(x)的解析式作出f(x)的图象，如图所示：
方程f(x)=m有4个不等实数根等价于y=f(x)的图象与直线y=m有4个不同的公共点，
则0则由图可知，x1+x2=−2，1716≤x3<2所以f(x3)=−lg2(x3−1)，f(x4)=lg2(x4−1)，
由−lg2(x3−1)=lg2(x4−1)，得1x3−1=x4−1，
所以x1+x2+x3+x4=−2+x3+x4=(x3−1)+(x4−1)=1x4−1+x4−1，
设t=x4−1(1根据对勾函数单调性知g(t)=1t+t在区间(1,16]上单调递增，
所以g(t)∈(2,25716],
即x1+x2+x3+x4的取值范围是(2,25716].
故答案为：(2,25716].
画出函数图象，根据方程的根的个数转化为y=f(x)的图象与直线y=m有4个不同的公共点，数形结合求得m范围，以及x1，x2，x3，x4之间的关系及对应范围，即可求解．
本题考查了对数函数、二次函数的性质及转化思想、数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
17.【答案】解：(1)f(x)=2sin(ωx+π3)+1(ω>0)的最小正周期为π，则2πω=π，ω=2，
f(x)=2sin(2x+π3)+1，f(π6)=2sin(2×π6+π3)+1= 3+1；
取2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈Z，解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12,k∈Z，
故f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12],k∈Z；
(2)x∈[0,π2]，则2x+π3∈[π3,4π3]，
当2x+π3=π2，即x=π12时，f(x)max=f(π12)=3；
当2x+π3=4π3，即x=π2时，f(x)min=f(π2)=− 3+1；
故f(x)的最大值为3，最小值为− 3+1.
【解析】(1)根据周期确定ω=2，得到函数解析式后，代入计算f(π6)的值，取2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈Z，解得答案．
(2)首先确定2x+π3∈[π3,4π3]，根据正弦函数性质计算得到答案．
本题考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．
18.【答案】解：(1)当a=2时，A={x|1∴A∪B={x|−7≤x<7}；
(2)A∩(∁RB)=A，则A是∁RB的子集，∁RB=(−∞,−7)∪(4,+∞)，
当a−1≥2a+3，即a≤−4时，A=⌀，满足题意，
当a>−4时，a>−42a+3≤−7或a>−4a−1≥4，
解得：a≥5，
综上得a的取值范围是：(−∞,−4]∪[5,+∞).
【解析】(1)根据并集的知识求得正确答案；
(2)判断出A是∁RB的子集，根据A是否是空集进行分类讨论，由此列不等式来求得a的取值范围．
本题主要考查了集合的基本运算，考查了集合间的包含关系，属于基础题．
19.【答案】解：(1)∵函数f(x)是定义在(−1,1)上的奇函数，
∴f(−x)+f(x)=0，
即lga1+mx1−x+lga1−mxx+1=0，即1+mx1−x⋅1−mxx−1=1，
整理得1−m2x2=1−x2对定义域内的x都成立，
∴m2=1，
∴m=1或m=−1(舍去)，∴m=1，
经检验，m=1适合题意，
∴m=1；
(2)由(1)可得f(x)=lga1−xx+1=lga(−1+2x+1)，
∵x∈(−1,1)上，u=2x+1单调递减，
∴当a>1时，y=lgau在定义域内单调递增，
由复合函数的单调性可得，函数f(x)在(−1,1)单调递减，
当0由复合函数的单调性可得，函数f(x)在(−1,1)单调递增，
∴当a>1时，f(x)在(−1,1)上是减函数，
当0(3)∵f(12)=lga13>0，∴0由(2)f(x)在(−1,1)上是增函数，又f(x)是奇函数，
∴f(b−2)+f(2b−2)>0等价于f(b−2)>−f(2b−2)=f(2−2b)，
又f(x)的定义域为(−1,1)，
∴−12−2b，解得：43∴b的取值范围是(43,32).
【解析】(1)根据f(−x)+f(x)=0在(−1,1)上恒成立列出恒等式，从而得出m的值；
(2)利用定义判断即可；
(3)根据单调性、奇偶性和定义域列出不等式组，从而求出b的范围．
本题考查了函数奇偶性、单调性的判断与应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)设P(x,y)，则点P到水面的距离h=2+y；
由题可知，OP0与Ox的夹角为π6；
OP在时间t转过的角度为5×2π60×t=π6t；
由图可知，点P的纵坐标y=4sin(−π6+π6t)；
因此，则点P到水面的距离h=2+y=4sin(π6t−π6)+2；
当t=13时，h=4sin(π6×13−π6)+2=2，所以点P到水面的距离为2m.
(2)根据题意，点P到水面的距离不低于4m，应满足：
4sin(π6t−π6)+2≥4，得sin(π6t−π6)≥12；
因为筒车转动一圈需要12秒，从P0开始转动一圈，则0≤t≤12，
得−π6≤π6t−π6≤11π6，
所以π6≤π6t−π6≤5π6，
解得2≤t≤6；
因此在点P从P0开始转动的一圈内，点P到水面的距离不低于4m的时间有4s.
【解析】(1)设点P(x,y)，利用点P到水面的距离h=2+y求出函数的解析式，计算t=13时h的值即可．
(2)利用解析式列出不等式，求解0≤t≤12时的解集，即可得出结论．
本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
21.【答案】解：(1)当0当x≥100时，W(x)=20x−(21x+2lgx−380)−5=−x−2lgx+375，
所以W(x)=20x−12x2−5,0(2)当0则当x=20时，W(x)取得最大值，最大值为195，
当x≥100时，W(x)=−x−2lgx+375，且W(x)单调递减，
则当x=100时，W(x)取得最大值，最大值为271，
综上，当该产品产量为100万件时，利润最大，最大利润为271万元．
【解析】(1)由销售额与成本费用之差，计算利润；
(2)利用配方法和函数的单调性，求最大值．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)f(x)=lg2(ax2−x+1)，函数f(x)的定义域为R，
∴ax2−x+1>0在R上恒成立，
∴a>0Δ=1−4a<0，解得a>14，
故实数a的取值范围为(14,+∞)；
(2)h(x)=2f(x)−5x−1x−1(x<0)，f(x)=lg2(ax2−x+1)，a=1，则h(x)=2f(x)−5x−1x−1=x2−x−4xx−1(x<0)，
函数g(x)的图像上存在A、B两个不同的点分别与h(x)图像上的A1、B1两点关于y轴对称，转化为g(x)=h(−x)在(0,+∞)上有两个不相等的实数根，
∴x2+bx−2=x2+x−4xx+1在(0,+∞)上有两个不相等的实数根，即(b−1)x2+(b+1)x−2=0在(0,+∞)上有两个不相等的实数根，
∵−2<0，
∴b−1<0x=−b+12(b−1)>0Δ=(b+1)2+8(b−1)>0，解得4 2−5故实数b的取值范围为(4 2−5,1).
【解析】(1)题意转化为ax2−x+1>0在R上恒成立，根据一元二次方程根与系数的关系和方程的判别式列出关于a的不等式，求解即可得出答案；
(2)由题意得h(x)=x2−x−4xx−1(x<0)，题意转化为g(x)=h(−x)在(0,+∞)上有两个不相等的实数根，即(b−1)x2+(b+1)x−2=0在(0,+∞)上有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系和方程的判别式列出关于b的不等式，求解即可得出答案．
本题考查函数与方程的综合运用和一元二次方程根与系数的关系，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．x
0
1
2
3
f(x)
3.1
0.1
−0.9
−3