2023-2024学年河北省沧州市高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

展开

这是一份2023-2024学年河北省沧州市高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合M={x|2≤x≤4}，N={x||x|>3}，则M∩N=( )
A. {x|3C. {x|−32.已知命题p：∃x∈R，ex−2≤0，则命题p的否定是( )
A. ∃x∈R，ex−2>0B. ∀x∈R，ex−2≥0
C. ∀x∈R，ex−2>0D. ∃x∈R，ex−2≥0
3.函数f(x)=x12−2−x−1的零点所在的区间是( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
4.已知x∈R，则“x>1”是“lg2(x−1)<1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知点P(sinα,tanα)在第二象限，则角α在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
6.已知正数x，y满足3x+2y=2，则32x+1y的最小值为( )
A. 6B. 254C. 132D. 252
7.已知函数f(x)=(5a−3)x−3a,x≤1,lgax,x>1在R上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. (1,32]B. (35,32]C. (1,32)D. (1,+∞)
8.若a=2.1−1，b=sin31∘，c=tan31∘，则a，b，c的大小关系为( )
A. b二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若aA. d−a>c−bB. c−adb
10.已知函数f(x)=2cs(5π6−2x)，则下列结论正确的是( )
A. 2π为函数f(x)的一个周期
B. 点(π3,0)是函数f(x)图象的一个对称中心
C. 函数f(x)的图象关于直线x=−π12对称
D. 函数g(x)=2sin(2x−π3)与f(x)为同一个函数
11.下列说法正确的有( )
A. 若一个扇形弧长的值与面积的值都是5，则这个扇形圆心角的大小是52
B. 已知3x=4y=6，则2x+1y=2
C. 函数f(x)=x+1x在其定义域上单调递减
D. 若幂函数f(x)=(k2+k−1)x1+k的图象过点(2,12)，则k=1
12.已知x1，x2是关于x的方程x2−2ax+2=0(a∈R)的两个不相等的实数根，则下列说法正确的有( )
A. 若1x1+1x2=2，则a=2
B. 若x1<132
C. 若0<α<β<π2，且x1=tanα，x2=tanβ，则α+β为锐角
D. 若x1，x2均小于2，则a∈(−∞,− 2)∪( 2,32)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.不等式x+32−x≥0的解集为______.
14.函数y=lg12(−x2+4x+5)的单调递增区间是______.
15.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+1)=f(x−3)，当x∈(0,2)时，f(x)=x2−2x，则f(2023)=______.
16.已知函数f(x)=ax+1ax(a>1)，若f(2a+3)≥f(2−4a)，则实数a的取值范围为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：
(1)1 (49)3+(2023π+1)0−(8116)14+e−ln8；
(2)(lg38+lg194)(lg2 3+lg169).
18.(本小题12分)
已知角α的终边经过点(−1,−2).
(1)求sin(3π2−α)+2sin(−π+α)cs(−3π2−α)−3cs(3π−α)的值；
(2)求2cs2α−sin2α−sin2α的值.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=4x+2x−6.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)=a有两个不同的解，求实数a的取值范围.
20.(本小题12分)
中国信通院近期公布的最新数据显示，2023年9月，国内手机出货量同比增长近六成，多个市场咨询报告也显示，国内手机市场在逐渐回暖.新一波“换机潮”即将到来，主要原因是今年秋季多个市场品牌发布旗舰机型，受到不少消费者的青睐，市场大卖.某手机生产厂家看到了商机，为了进一步增加市场竞争力，计划2024年利用更先进的技术生产某款高端手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本360万元，预售价每部1.5万元，且最多生产8万部，若每生产x千部手机，需另投入成本H(x)万元，H(x)=20x2+300x,0(1)求2024年的利润W(x)(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式；(利润=销售额-成本)
(2)2024年此款手机产量为多少部时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=2 3sinx2csx2+2cs2x2+a−1的最大值为1.
(1)求实数a的值及函数f(x)的单调递减区间；
(2)若将函数f(x)图象上所有的点向上平移1个单位长度，再将横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，然后向右平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在[−π6,π3]上的值域.
22.(本小题12分)
因函数y=x+kx(k>0)的图象形状像对勾，我们称形如“y=x+kx(k>0)”的函数为“对勾函数”.该函数具有性质：在(0, k]上单调递减，在( k,+∞)上单调递增.
(1)已知f(x)=x2+2x+4x+2，x∈[−1,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；
(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)=a(lg2x)2−4alg2x+7a−2(a>0)，若对任意x1∈[−1,1]，总存在x2∈[12,8]，使得f(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵M={x|2≤x≤4}，N={x|x>3或x<−3}，
∴M∩N={x|3故选：A.
解绝对值不等式求出集合N，然后进行交集的运算即可．
本题考查解绝对值不等式和集合的交集运算，考查学生的运算求解能力，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：命题p：∃x∈R，ex−2≤0，
则命题p的否定是：∀x∈R，ex−2>0.
故选：C.
存在改任意，将结论取反，即可求解．
本题考查含有一个量词的命题的否定，考查学生的逻辑思维能力，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵函数f(x)=x12−2−x−1，
且f(1)=1−12−1=−12<0，f(2)= 2−14−1>0，
且f(x)在[0,+∞)上单调递增，
∴函数f(x)=x12−2−x−1的零点所在的区间是(1,2).
故选：B.
直接根据零点判定定理求解即可．
本题考查函数的零点存在定理，考查学生的运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由lg2(x−1)<1，可得1∵{x|11}，
∴x>1是lg2(x−1)<1的必要不充分条件．
故选：B.
由对数函数性质先求出对数不等式的解集，然后结合集合的包含关系即可判断．
本题考查充分条件和必要条件的定义、解对数不等式，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了三角函数值的符号与角的关系，属于基础题．
点P(sinα,tanα)在第二象限，得到sinα<0tanα>0，即可得出．
【解答】
解：∵点P(sinα,tanα)在第二象限，
∴sinα<0tanα>0，
∴α在第三象限．
故选C.
6.【答案】B
【解析】解：因为正数x，y满足3x+2y=2，
所以32x+1y=12(32x+1y)(3x+2y)=12(92+2+3yx+3xy)≥12×(92+2+6)=254=12(132+3yx+3xy)≥12(132+2 3yx⋅3xy)=254，
当且仅当x=y=25时，等号成立，因此32x+1y的最小值为254.
故选：B.
由已知结合乘1法，利用基本不等式即可求解．
本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑是解决本题的关键，考查学生灵活运用条件进行合理变形的能力以及运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：因为函数f(x)在R上单调递增，
所以5a−3>0a>12a−3≤0，解得1故实数a的取值范围是(1,32].
故选：A.
根据已知条件，结合函数的单调性，列出不等式组，即可求解．
本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查学生数形结合的思想方法，考查学生综合运用知识的能力，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：∵a=2.1−1，b=sin31∘，c=tan31∘，
tan31∘=sin31∘cs31∘>sin31∘1=sin31∘>sin30∘=12>12.1=2.1−1，
∴a故选：D.
利用三角函数值、指数幂的大小比较、函数的性质及不等式的放缩等知识求解．
本题考查三角函数值、指数幂的大小比较、函数的性质及不等式的放缩等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】ACD
【解析】解：因为a−b>0，
因为0c>0，所以d−a>c−b，故A正确；
令a=−6d−b，故B不正确；
因为a0，所以ac2因为a因为0−ca，所以db故选：ACD.
对于选项A，C和D，直接利用不等式的性质判断即可；对于选项B，举出反例即可判断．
本题考查不等式的基本性质及其应用，考查学生的数学运算素养，属于中档题．
10.【答案】ACD
【解析】解：由于函数f(x)=2cs(5π6−2x)，故函数f(x)的最小正周期为2π2=π，
所以2π也是函数f(x)的一个周期，故A正确；
当x=π3时．f(π3)=2csπ6≠0，故B不正确；
当x=−π12时，f(−π12)=2csπ=−2，故C正确；
f(x)=2cs(5π6−2x)=2cs[π2−(2x−π3)]=2sin(2x−π3)，故D正确．
故选：ACD.
直接利用余弦函数的性质对各选项一一判断即可．
本题考查三角函数的周期、对称轴、对称中心等图象性质，考查诱导公式的应用，考查学生综合运用知识的能力，属于中档题．
11.【答案】AB
【解析】解：设这个扇形的圆心角为α，半径为r，∵其弧长的值与面积的值都是5，
∴5=αr，5=12αr2，解得α=52，故A正确；
∵3x=4y=6∴x=lg36，y=lg46，则2x+1y=2lg63+lg64=lg636=2，故B正确；
对于C∵f(x)=1+1x∴其定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，∵−1<1，且f(−1)=0∴f(x)在其定义域上不是单调递减的，故C不正确；
当k=1时，f(x)=(k2+k−1)x1+1=x2.
∵f(2)=4≠12，故D不正确．
故选：AB.
A项，利用弧长公式，扇形面积公式即可得；B项，利用对数运算可求值；C项，举反例；D项，利用幂函数定义，再代入点验证即可．
本题考查扇形的面积和弧长公式，指数与对数互化运算，函数单调性的定义以及幂函数的定义，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：∵x1，x2是关于x的方程x2−2ax+2=0(a∈R)的两个不相等的实数根，∴Δ=4a2−8>0.
∴a> 2或a<− 2，由根与系数的关系得x1+x2=2a，x1x2=2，∵1x1+1x2=2，则2x1x2=x1+x2，
∴4=2a，∴a=2，故A正确；
令f(x)=x2−2ax+2，若x1<132，故B正确；
若0<α<β<π2，且x1=tanα，x2=tanβ，则x1+x2>0，由Δ>02a>0，∴a> 2，
∵tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=2a1−2=−2a<−2 2，∵a+β∈(0,π)，∴a+β为钝角，故C不正确；
若x1，x2均小于2，
则f(2)>0Δ>0a<2，即4−4a+2>04a2−8>0a<2，∴a∈(−∞.− 2)∪( 2,32)，故D正确．
故选：ABD.
通过根与系数的关系，求解判断A；利用零点判断定理判断B；通过两角和与差的三角函数，转化求解判断C；利用韦达定理，列出不等式，转化求解即可．
本题考查一元二次方程的根的分布，根与系数的关系，两角和的正切公式，零点存在定理，考查学生综合运用知识的能力、逻辑推理能力和数学运算能力，属于难题．
13.【答案】[−3,2)
【解析】解：x+32−x≥0，即x+3x−2≤0，
则(x+3)(x−2)≤0且x−2≠0，解得−3≤x<2，
故不等式的解集为[−3,2).
故答案为：[−3,2).
根据已知条件，结合分式不等式的解法，即可求解．
本题考查分式不等式的解法，考查学生变形转化和运算求解的能力，属于基础题．
14.【答案】[2,5)
【解析】解：要使函数有意义，则−x2+4x+5>0，解得−1令t=−x2+4x+5=−(x−2)2+9，则函数t在(−1,2)上递增，在[2,5)上递减，
又因函数y=lg12x在定义域上单调递减，
故由复合函数的单调性知函数y=lg12(−x2+4x+5)的单调递增区间是[2,5)
故答案为：[2,5).
先根据对数函数的真数大于零求定义域，再把复合函数分成二次函数和对数函数，分别在定义域内判断两个基本初等函数的单调性，再由“同增异减”求原函数的递增区间．
本题的考点是复合函数的单调性，对于对数函数需要先求出定义域，这也是容易出错的地方；再把原函数分成几个基本初等函数分别判断单调性，再利用“同增异减”求原函数的单调性．
15.【答案】1
【解析】解：∵f(x+1)=f(x−3)，
∴f(x+4)=f(x)，
∴4是f(x)的一个周期，
∴f(2023)=f(4×506−1)=f(−1)=−f(1)=−(1−2)=1.
故答案为：1.
由已知先求出函数的周期，结合周期及已知区间上的函数解析式即可求解．
本题考查抽象函数的奇偶性、周期性应用，考查学生综合运用知识的能力，考查学生函数抽象、逻辑思维和运算求解的能力，属于中档题．
16.【答案】(1,52]
【解析】解：因为f(x)的定义域为R，又f(−x)=1ax+ax=f(x)，所以f(x)为偶函数，
设t=ax，a>1，
当x≥0时，t≥1，则y=t+1t(t≥1)，由对勾函数性质知y=t+1t在[1,+∞)上单调递增，
所以a>1时，f(x)=ax+1ax在x∈[0,+∞)上单调递增，
则f(2a+3)≥f(2−4a)可转化为f(|2a+3|)≥f(|2−4a|)，
所以|2a+3|≥|2−4a|，解得1故实数a的取值范围为(1,52].
先判断函数的单调性及奇偶性，利用单调性及奇偶性即可求解不等式．
本题考查偶函数的定义及性质的综合应用，函数与不等式的应用，考查逻辑推理与转化化归能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)原式=1(23)3+1−32+eln18=278−12+18=3.
(2)(lg38+lg194)(lg23+lg169)=(lg38−lg92)(lg2 3+lg2 3)
=(3lg32−lg32)(lg2 3+lg2 3)
=(2lg23)×lg23
=2.
【解析】(1)由已知结合指数的运算性质即可求解；
(2)结合对数的运算性质即可求解．
本题考查指数与对数的运算，考查学生运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：由条件知tanα=−2−1=2.
(1)sin(3π2−α)+2sin(−π+α)cs(−3π2−α)−3cs(3π−α)=−csα−2sinαsinα+3csα=−1+2tanαtanα+3=−55=−1.
(2)2csα−sin2α−sin2α=2csα−2sinαcsα−sin2α=
2cs2α−2sinαcsα−sin2αcs2α+sin2α=2−2tanα−tan2α1+tan2α=−65.
【解析】(1)利用任意角函数定义确定tanα的值；(2)利用齐次式的方法即可求值．
本题考查三角函数的定义、诱导公式、倍角公式、同角三角函数关系式，三角函数公式的灵活运用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)设x<0，−x>0，
∵当x>0时，f(x)=4x+2x−6，
∴f(−x)=4−x+2−x−6，
∵f(x)是奇函数，f(−x)=−f(x)，
∴−f(x)=4−x+2−x−6，
∴f(x)=6−4−x−2−x，
又f(0)=0，
∴f(x)=4x+2x−6,x>00,x=06−4−x−2−x,x<0；
(2)易得当x>0时，f(x)=4x+2x−6单调递增，则f(x)>f(0)=−4，
又f(x)是定义在R上的奇函数，∴x<0时，f(x)也单调递增，且f(x)<4，
∴f(x)=a有两个不同的解，等价于y=f(x)与y=a的图象有两个不同的交点，
∴实数a的取值范围为(−4,0)∪(0,4).
【解析】(1)由已知x>0时的函数解析式先求出x<0时的函数解析式，结合奇函数的性质求出f(0)，即可求解；
(2)问题转化为y=f(x)与y=a有两个交点，结合奇函数的性质即可求解．
本题考查函数奇偶性的应用及函数解析式的求解，考查学生数形结合的思想和化归转化的能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)当0当40≤x≤80时，W(x)=1500x−(1200x+9600x)−360=300x−9600x−360，
所以W(x)=−20x2+1200x−360,(0(2)当0W(x)max=W(30)=17640(万元)，
当40≤x≤80时，W(x)=300x−9600x−360单调递增，
所以W(x)max=W(80)=300×80−960080−360=23520(万元)，
因为23520>17640，
所以2024年此款手机产量为8万部时，企业所获利润最大，最大利润是23520万元．
【解析】(1)由题，W(x)=1500x−H(x)−360，然后结合已知条件即可求解；
(2)分类讨论，利用分段函数的最值问题即可求解．
本题考查函数解析式的求解以及分段函数最值的计算，考查二次函数求最值、利用函数单调性求最值的方法，考查学生的运算能力和推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)函数f(x)=2 3sinx2csx2+2cs2x2+a−1= 3sinx+csx+a=2sin(x+π6)+a.
因为f(x)的最大值为1，所以当sin(x+π6)=1时，f(x)max=2+a=1，
则a=−1，故实数a的值为−1.
所以f(x)=2sin(x+π6)−1，
令2kπ+π2≤x+π6≤2kπ+3π2，k∈Z，解得2kπ+π3≤x≤2kπ+4π3，k∈Z.
即函数f(x)的单调递减区间为[2kπ+π3,2kπ+4π3]，k∈Z；
(2)将f(x)=2sin(x+π6)−1图象上所有的点向上平移1个单位长度得到y=2sin(x+π6)的图象，
再将横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变得到y=2sin(2x+π6)，
然后向右平移π3个单位长度得到g(x)=2sin[2(x−π3)+π6]=−2cs2x，
因为x∈[−π6,π3]，所以2x∈[−π3,2π3]，则cs2x∈[−12,1].
所以g(x)=−2cs2x∈[−2,1]，即函数g(x)的值域为[−2,1].
【解析】(1)根据二倍角公式和辅助角公式化简f(x)，由函数的最大值为1求出a值，利用正弦函数的性质求出函数的单调递减区间；
(2)由题意得出g(x)的解析式，再根据正弦函数的性质求出值域．
本题考查三角恒等变换，考查三角函数的图象平移、伸缩变换以及三角函数值域的求法，考查学生综合运用知识和运算求解的能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)设n=x+2，∵x∈[−1,1]，∴n∈[1,3]，
则h(n)=n+4n(n∈[1,3])，
由函数y=x+kx(k>0)的性质可知，
h(n)在n∈[1,2]上单调递减，在n∈(2,3]上单调递增，
∴f(x)在x∈[−1,0]上单调递减，在x∈(0,1]上单调递增，
∴f(x)min=f(0)=2.f(x)=max{f(−1),f(1))=3,即f(x)∈[2,3]，
∴f(x)的单调递减区间为[−1,0]，单调递增区间为(0,1],值域为[2,3]；
(2)当x∈[12,8]时，令t=lg2x，则t∈[−1,3]，
则函数m(t)=at2−4at+7a−2=a(t−2)2+3a−2，
∵a>0，∴当t∈[−1,3]时，
∴m(t)的值域为[3a−2,12a−2]，
∴对任意x1∈[−1,1]，总存在x2∈[12,8]，使得f(x1)=g(x2)成立，
∴[2,3]⊆[3a−2,12a−2]，
∴3a−2≤212a−2≥3，解得512≤a≤43，
即实数a的取值范围为[512,43].
【解析】(1)设n=x+2，由题意可得h(n)=n+4n(n∈[1,3])，再利用对勾函数的性质求解即可；
(2)由题意可得函数m(t)的值域为[3a−2,12a−2](t=lg2x)包含f(x)的值域[2,3]，根据集合间的包含关系求解即可．
本题考查“对勾函数”y=x+kx(k>0)的性质及其应用，考查恒成立问题和存在性问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，考查集合之间的包含关系，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题．