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2023-2024学年海南省海口市海南中学高三（下）第六次月考数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年海南省海口市海南中学高三（下）第六次月考数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的75百分位数为( )
A. 8.7B. 9.0C. 8.85D. 8.6
2.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为2 2，其左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为 3，则双曲线的渐近线方程为( )
A. y=± 3xB. y=± 62xC. y=± 2xD. y=± 102x
3.已知等差数列{an}，则k=2是a1+a11=ak+a10成立的条件．( )
A. 充要B. 充分不必要C. 必要不充分D. 既不充分也不必要
4.已知平面α、β，直线l⊂α，直线m不在平面α上，下列说法正确的是( )
A. 若α//β，m//β，则l//mB. 若α//β，m⊥β，则l⊥m
C. 若l//m，α//β，则m//βD. 若l⊥m，m//β，则α⊥β
5.2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有( )
A. 1120B. 7200C. 8640D. 14400
6.已知tan(β−α)=12，tanα=−17，α，β∈(0,π)，则2β−α的值是( )
A. −π4B. π4C. 3π4D. −3π4
7.已知点P在圆(x−1)2+y2=1上，点A的坐标为(−1,1)，O为原点，则AO⋅AP的取值范围是( )
A. [−3,3]B. [3+ 2,5]C. [3− 2,2]D. [3− 2,3+ 2]
8.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈(π12,π4)，则该椭圆的离心率e的取值范围是( )
A. (12,23)B. ( 22, 63)C. ( 22,2 23)D. ( 33,23)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到y=sin2x的图象，则( )
A. f(x)的最小正周期为πB. f(x)的图象关于直线x=5π6对称
C. f(x)在(0,π4)上单调递增D. 当x∈[0,π4]时，f(x)的最小值为12
10.已知z1，z2是两个虚数，则下列结论中正确的是( )
A. 若z1=z−2，则z1+z2与z1z2均为实数B. 若z1+z2与z1z2均为实数，则z1=z−2
C. 若z1，z2均为纯虚数，则z1z2为实数D. 若z1z2为实数，则z1，z2均为纯虚数
11.设函数f(x)的定义域为R，满足f(1+x)=−f(1−x)，且f(2+x)=f(2−x)，当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+b，若f(0)+f(3)=6，则以下正确的是( )
A. f(x+4)=f(x)B. a=−2C. b=12D. f(172)=2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合A={a−2,a2+4a,10}，若−3∈A，则实数a的值为______．
13.对x，y定义了一种新运算F，规定F(x,y)=ax+by2x+y(其中a，b均为非零常数).例如：F(0,1)=a×0+b×12×0+1=b，已知F(1,−1)=−2，F(4,2)=1，若关于m的不等式组F(2m,5−4m)≤4F(m,3−2m)>p恰好有两个整数解，则实数p的取值范围是______．
14.已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是 62， 62，1，则此三棱锥的外接球的体积为______；此三棱锥的内切球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=ax−1−lnx，a∈R．
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若函数f(x)在x=1处取得极值，对∀x∈(0,+∞)，f(x)≥bx−2恒成立，求实数b的取值范围．
16.(本小题15分)
某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是23，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是115.乙、丙两个家庭都回答正确的概率是35，各家庭是否回答正确互不影响，
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
17.(本小题15分)
如图，AB是半球O的直径，AB=4，M，N依次是底面AB上的两个三等分点，P是半球面上一点，且∠PON=60°．
(1)证明：PB⊥PM；
(2)若点P在底面圆上的射影为ON中点，求直线PM与平面PAB所成的角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1的离心率为2，过C上的动点M作曲线C的两渐近线的垂线，垂足分别为A和B，△ABM的面积为3 316．
(1)求曲线C的方程；
(2)如图，曲线C的左顶点为D，点N位于原点与右顶点之间，过点N的直线与曲线C交于G、R两点，直线l过N且垂直于x轴，直线DG、DR分别与l交于P、Q两点，若O、D、P、Q四点共圆，求点N的坐标．
19.(本小题17分)
某中学高一学生组建了数学研究性学习小组.在一次研究活动中，他们定义了一种新运算“⊕”：x⊕y=ln(ex+ey)(e为自然对数的底数，e≈2.718)，x，y∈R.进一步研究，发现该运算有许多奇妙的性质，如：x⊕y=y⊕x，(x⊕y)⊕z=x⊕(y⊕z)等等．
(1)对任意实数a，b，c，请判断(a⊕b)+c=(a+c)⊕(b+c)是否成立？若成立请证明；若不成立，请举反例说明；
(2)若a=tx2(t>0)，b=x+1，c=−tx2−2，f(x)=(a+b)⊕(b−c)−ln(e2+1).定义闭区间[x1,x2](x1答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意8×75%=6，所以该组数据的75百分位数为8.7+9.02=8.85．
故选：C．
由百分位数的定义即可求解．
本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：依题意可得2a=2 2，即a= 2；
不妨取左焦点F(−c,0)到渐近线y=bax的距离为 3，
即d=|−bac| 1+(ba)2=b= 3，
所以渐近线方程为y=± 62x．
故选：B．
根据双曲线的性质利用点到直线距离公式可得a= 2，b= 3，可得渐近线方程．
本题考查双曲线渐近线的性质，属于中档题．
3.【答案】B
【解析】解：等差数列{an}，
当公差d=0时，k可取任意值，
当公差d≠0时，由等差数列通项公式得a1+a11=a2+a10，
则k=2⇔a1+a11=ak+a10，
∴k=2是a1+a11=ak+a10成立的充分不必要条件．
故选：B．
当公差d=0时，k可取任意值，当公差d≠0时，由等差数列通项公式得a1+a11=a2+a10，从而得到k=2是a1+a11=ak+a10成立的充要条件．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．
【解答】
解：对于A，若α//β，m//β，则l//m或l与m异面，故A错误；
对于B，若α//β，m⊥β，则m⊥α，又l⊂α，则l⊥m，故B正确；
对于C，若l//m，α//β，则m//β或m⊂β，故C错误；
对于D，若l⊥m，m//β，则α//β或α与β相交，故D错误．
故选：B．
5.【答案】B
【解析】解：甲与乙相邻有A22种不同的排法，将甲与乙看作是一个整体，与除丙外的5人排好，有A66种不同的排法，
再将丙排入隔开的不在两端的5个空中，有C51种不同的排法，
所以共有A22A66C51=7200种不同的排法．
故选：B．
相邻问题用捆绑法看成一个整体，丙不排在两端可先排好其他人后再排丙．
本题考查了相邻问题中的捆绑法，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：因为tan(β−α)=12，tanα=−17<0，α，β∈(0,π)，
则tanβ=tan[(β−α)+α]=12−171−12×(−17)=13∈(0,1)，
可知α∈(π2,π)，β∈(0,π4)，
则2β−α∈(−π,0)，
又因为tan2β=2tanβ1−tan2β=2×131−(13)2=34>0，
可得tan(2β−α)=tan2β−tanα1+tan2β⋅tanα=34−(−17)1+34×(−17)=1，
所以2β−α=−3π4．
故选：D．
根据tanβ=tan[(β−α)+α]求出tanβ，从而可得α，β的范围，即可得出2β−α的范围，再求tan2β和tan(2β−α)的值，即可得结果．
本题考查了两角和与差的三角函数，属中档题．
7.【答案】D
【解析】解：易知圆(x−1)2+y2=1的圆心坐标为C(1,0)，半径为r=1，
连接AC，CP，易知|CP|=1，如图所示：
易得AO=(1,−1),AC=(2,−1)，所以AO⋅AC=2+1=3，
则AO⋅AP=AO⋅(AC+CP)=AO⋅AC+AO⋅CP=3+AO⋅CP，
设AO,CP夹角为θ，则θ∈[0,π]，
所以AO⋅AP=3+AO⋅CP=3+|AO||CP|csθ=3+ 2csθ，
又csθ∈[−1,1]，
可得AO⋅AP∈[3− 2,3+ 2]．
故选：D．
根据圆心C(1,0)和点A(−1,1)的坐标，可得AO⋅AP=AO⋅(AC+CP)，再由数量积的定义以及坐标运算即可得出结果．
本题考查平面向量数量积的运算，属中档题．
8.【答案】B
【解析】解：设椭圆的左焦点为M，则|AM|+|AF|=2a，
根据椭圆的对称性可得四边形AMBF为矩形，所以|AB|=|MF|=2c，
因为AF⊥BF，∠ABF=α，
所以|AF|=2csinα，|AM|=2ccsα，
则|AF|+|AM|=2a，即ca=1sinα+csα=1 2sin(α+π4)，
因为α∈(π12,π4)，则α+π4∈(π3,π2)，所以sin(α+π4)∈( 32,1)，
则 2sin(α+π4)∈( 62, 2)，
所以ca∈( 22, 63)，
故选：B．
设出椭圆的左焦点M，则|AM|+|AF|=2a，根据椭圆的对称性可得四边形AMBF为矩形，所以|AB|=|MF|=2c，然后根据AF⊥BF，∠ABF=α，
所以|AF|=2csinα，|AM|=2ccsα，则|AF|+|AM|=2a，化简即可求解．
本题考查了椭圆的几何性质，涉及到三角函数求范围的问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．
9.【答案】AD
【解析】解：根据将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到y=sin2x的图象，
可得把y=sin2x的图象向左平移π6个单位长度，可得函数f(x)=sin(2x+π3)的图象，
可得f(x)的最小正周期为2π2=π，故A正确；
令x=5π6，求得f(x)=0，不是最值，
故f(x)的图象不关于直线x=5π6对称，故B错误；
当x∈(0,π4)时，2x+π3∈(π3,5π6)，f(x)不单调，故C错误；
当x∈[0,π4]时，2x+π3∈[π3,5π6]，故当2x+π3=5π6时，f(x)取得最小值为12，故D正确．
故选：AD．
函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
10.【答案】ABC
【解析】解：设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R,b≠0,d≠0).z1+z2=a+c+(b+d)i，z1z2=ac−bd+(ad+bc)i．
若z1=z2−，则a=c，b+d=0，所以z1+z2=2a∈R，z1z2=a2+b2∈R，所以A正确；
若z1+z2与z1z2均为实数，则b+d=0，且ad+bc=0，又b≠0，d≠0，所以a=c，所以B正确；
若z1，z2均为纯虚数，则a=c=0，所以z1z2=cd∈R，所以C正确；
取z1=2+2i，z2=1+i，则z1z2为实数，但z1，z2不是纯虚数，所以D错误．
故选：ABC．
根据复数的四则运算，结合共轭复数的定义即可求解ABC，举反例即可求解D．
本题考查复数的运算，属于基础题．
11.【答案】AB
【解析】解：因为f(1+x)=−f(1−x)，则
所以f[1+(x−1)]=−f[1−(x−1)]，即f(x)=−f(2−x)，
又f(2+x)=f(2−x)，
所以f(x)=−f(2+x)，
所以f(x+4)=f(x+2+2)=−f(x+2)=f(x)，即f(x+4)=f(x)，故A正确；
f(0)+f(3)=−f(2)+f(1)=−(4a+b)+a+b=6，
所以a=−2，故B正确；
在f(1+x)=−f(1−x)中，令x=0，得f(1)=−f(1)，
即a+b=−(a+b)，解得b=2，故C错误；
f(172)=f(8+12)=f(12)=−f(32)=−(−2×94+2)=52，故D错误．
故选：AB．
由抽象解析式变形推导出函数的周期，判断A，再利用已知条件变形f(0)+f(3)，即可判断B，利用已知抽象等式，赋值x=1，即可求解b，判断C，再利用函数的周期，以及已知抽象等式和函数解析式，即可判断D．
本题主要考查抽象函数及其应用，属于中档题．
12.【答案】−3
【解析】解：−3∈A，所以a−2=−3或a2+4a=−3，解得a=−1，−3，根据集合元素互异性，a=−3．
故答案为−3．
利用元素与集合的关系，−3是集合A中的元素解出a值，再将解出的a值代入集合A进行检验，满足集合元素互异性．
本题考查了元素与集合的关系，集合元素互异性．学生容易遗忘集合元素互异性，而导致解答错误．
13.【答案】[−13,43)
【解析】解：由F(1,−1)=−2，F(4,2)=1得，a×1+b×(−1)2×1−1=−2a×4+b×22×4+2=1，
即a−b=−24a+2b=10，
解得a=1，b=3，
所以F(x,y)=x+3y2x+y，则不等式组F(2m,5−4m)≤4F(m,3−2m)>p可化为3−2m≤4−5m>3p−9，
解得−12≤m<9−3p5．
因为不等式组F(2m,5−4m)≤4F(m,3−2m)>p恰好有2个整数解，
所以1<9−3p5≤2，解得−13≤p<43，.
故答案为：[−13,43)．
根据新定义运算结合条件列方程组先求出a，b；再将新不等式组转化为一元一次不等式组并化简，再利用不等式组的解恰好有2个整数可得m的不等关系，从而得出结论．
本题考查新定义运算，解题关键是正确理解新定义，利用新定义把问题转化为我们熟知的一元一次不等式组求解，属于中档题．
14.【答案】7 7π6 (20−8 6)π
【解析】解：①已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是 62， 62，1，
如图所示：
即S△AOB=S△AOC= 62，S△BOC=1，
故AO，BO，CO两两垂直；
所以BO=CO，
故12⋅CO⋅BO=1，整理得CO=BO= 2，
所以12⋅AO⋅BO= 62，解得AO= 3，
所以三棱锥的外接球的半径满足(2R)2=( 2)2+( 2)2+( 3)2，解得R2=74，即R= 72，
故V球=43⋅π⋅( 72)3=7 7π6．
②首先利用OC=OB= 2，OA= 3，
利用勾股定理AB=AC= 5，BC=2，
所以S△ABC=12×2×2=2，
利用等体积转换法，设内切球的半径为r，
所以13×12× 2× 2× 3=13×(S△ABC+S△BOC+S△AOC+S△AOB)⋅r，解得r=1 3+ 2= 3− 2，
故S球=4⋅π⋅r2=(20−8 6)π．
首先利用三棱锥的三个侧面的两两垂直求出AO，BO，CO两两垂直；进一步求出AO，BO，CO的值，进一步利用三棱锥和外接球的关系求出外接球的半径和内切球的半径，求出三棱锥的外接球的体积，最后利用等体积转换法求出内切球的半径，最后求出内切球的表面积．
本题考查的知识要点：三角形的面积公式，三棱锥和外接球与内切球的关系，外接球的半径和内切球的半径的求法，球的表面积公式和体积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
15.【答案】解：(Ⅰ)在区间(0,+∞)上，f′(x)=a−1x=ax−1x．
①若a≤0，则f′(x)<0，f(x)是区间(0,+∞)上的减函数；
②若a>0，令f′(x)=0得x=1a．
在区间(0,1a)上，f′(x)<0，函数f(x)是减函数；
在区间(1a,+∞)上，f′(x)>0，函数f(x)是增函数；
综上所述，①当a≤0时，f(x)的递减区间是(0,+∞)，无递增区间；
②当a>0时，f(x)的递增区间是(1a,+∞)，递减区间是(0,1a)．
(II)因为函数f(x)在x=1处取得极值，所以f′(1)=0
解得a=1，经检验满足题意．
由已知f(x)≥bx−2，则x+1−lnxx≥b
令g(x)=x+1−lnxx=1+1x−lnxx，则g′(x)=−1x2−1−lnxx2=lnx−2x
易得g(x)在(0,e2]上递减，在[e2,+∞)上递增，
所以g(x)min=g(e2)=1−1e2，即b≤1−1e2．
【解析】①对函数进行求导，然后令导函数大于0求出x的范围，令导函数小于0求出x的范围，即可得到答案；
②由函数f(x)在x=1处取得极值求出a的值，再依据不等式恒成立时所取的条件，求出实数b的取值范围即可．
本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．
16.【答案】解：(1)记“甲家庭回答正确这道题”为事件A，“乙家庭回答正确这道题”为事件B，
“丙家庭回答正确这道题”为事件C，
则P(A)=23，P(A−)P(C−)=115，P(A)=23,P(A−)P(C−)=115,P(B)P(C)=35，
即[1−P(A)][1−P(C)]=115，P(A)=23,P(A−)P(C−)=115,P(B)P(C)=35，
所以P(B)=34，P(C)=45，
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为34，45；
(2)有3个家庭回答正确的概率为P3=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=23×34×45=25，
有2个家庭回答正确的概率为：
P2=P(A−BC+AB−C+ABC−)=13×34×45+23×14×45+23×34×15=1330，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率P=P2+P3=1330+25=56．
【解析】(1)根据独立事件的乘法公式计算即可得；
(2)利用独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式计算即可得．
本题考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：(1)证明：连接AM，OM，MN，PN，
∵M，N依次是底面AB的两个三等分点，∴四边形OMNB为菱形，
设MB∩ON=Q，则Q为ON的中点，且ON⊥MB，
又∵OP=ON，∠PON=60°，故△OPN为等边三角形，
连接PQ，则ON⊥PQ，又∵MB∩PQ=Q，∴ON⊥面PMB，
∵PB⊂面PMB，∴ON⊥PB，∵M，N依次是底面AB的两个三等分点，∴ON//AM，
∴AM⊥PB，又因为AB是半球O的直径，P是半球面上一点，因此PA⊥PB，
又AM∩PA=A，∴PB⊥面PAM，∵PM⊂面PAM，∴PB⊥PM；
(2)根据题意可知PQ⊥面AMB，如图建立空间直角坐标系，
则P(0,0, 3)，M( 3,0,0)，B(− 3,0,0)，A( 3,−2,0)，
PM=( 3,0,− 3)，PA=( 3,−2,− 3)，BA=(2 3,−2,0)，
则n⋅PA= 3x−2y− 3z=0n⋅BA=2 3x−2y=0，令x=1，则y= 3，z=−1，因此n=(1, 3,−1)，
设直线PM与平面PAB所成角为θ，
∴sinθ=|n⋅PM|n||PM||=2 3 5× 6= 105，
直线PM与平面PAB所成的角的正弦值为 105．
【解析】(1)连接AM，OM，MN，PN，由已知可证ON⊥面PMB，进而可证AM⊥PB，PA⊥PB，可证PB⊥面PAM，可证结论；
(2)建立空间直角坐标系，利用向量示求直线PM与平面PAB所成的角的正弦值．
本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，属中档题．
18.【答案】解：(1)由e=2得ca=2，又c2=a2+b2，得到b= 3a，
∴渐近线方程为y=± 3x，则双曲线方程为x2a2−y23a2=1，即3x2−y2=3a2，
设M(x,y)，则M到渐近线的距离分别为|MA|=| 3x−y|2，|MB|=| 3x+y|2，
两渐近线的夹角为60°，∵M，A，O，B四点共圆，∴∠AMB=60°或120°，
∴△ABM的面积为12|MA||MB|sin∠AMB= 34|3x2−y2|4=3 316a2=3 316
⇒a2=1⇒x2−y23=1，
∴曲线C的方程为：x2−y23=1．
(2)如图，∵O，D，P，Q四点共圆，
∴∠DPQ+∠DOQ=π∠NOQ+∠DOQ=π⇒∠DPQ=∠NQQ⇒tan∠DPQ=tan∠NOQ⇒1tan∠ODP=tan∠NOQ⇒kDPkOQ=1，
设G(x1,y1)，R(x2,y2)，N(t,0)，t∈(0,1)．
∵D(−1,0)，∴lDR：y=y2x2+1(x+1)，令x=t得Q(t,y2(t+1)x2+1)，
当lGR的斜率为0时不符合题意；
当lGR的斜率不为0时，设lGR：x=my+t，
x=my+t3x2−y2=3⇒(3m2−1)y2+6mty+3(t2−1)=0，
y1+y2=−6mt3m2−1，y1y2=3(t2−1)3m2−1，
∴kDPkOQ=y1x1+1⋅y2(t+1)t(x2+1)=1，即t+1t=(x1+1)(x2+1)y1y2，
∵(x1+1)(x2+1)y1y2=m2y1y2+m(t+1)(y1+y2)+(t+1)2y1y2=−(t+1)23m2−13(t2−1)3m2−1=−(t+1)23(t2−1)，
∴t+1t=−(t+1)23(t2−1)⇒t=34∈(0,1)，符合，∴N(34,0)．
【解析】(1)由双曲线的性质可得b= 3a，从而可得渐近线方程，利用点到直线的距离公式，三角形面积公式可求得a的值，进而可得双曲线方程；
(2)由四点共圆的性质可推出kDPkOQ=1，设lGR：x=my+t，与双曲线方程联立，利用根与系数的关系即可求解N点坐标
本题主要考查双曲线的性质及标准方程，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题．
19.【答案】解：(1)证明：因为a⊕b=ln(ea+eb)，
所以a⊕b=ln(ea+eb)+c，
因为(a+c)⊕(b+c)=ln(ea+c+eb+c)=ln[(ea+eb)⋅ec]=ln(ea+eb)+lnec=ln(ea+eb)+c，
所以a⊕b=(a+c)⊕(b+c)．
(2)因为(a+b)⊕(b−c)=ln(ea+b+eb−c)=ln(etx2+x+1+etx2+x+3)=ln[etx2+x+1(1+e2)]=lnetx2+x+1+ln(e2+1)，
所以f(x)=lnetx2+x+1=tx2+x+1，函数定义域为(0,+∞)，
易知f(x)=tx2+x+1是开口向上的二次函数，对称轴为x=−12t，
因为x2−x1=1，
不妨设x1+x2≥−1t，
当x1≥−12t时，f(x)在[x1,x2]上单调递增，
所以f(x2)−f(x1)=(tx22+x2+1)−(tx12+x1+1)=t[(x1+1)2−x12]+1=2tx1+t+1≥1，
即2t⋅(−12t)+t+1≥1，
解得t≥1，
当x1<−12t，即x2>−12t时，
易知f(x)在[x1,−12t)内单调递减，[−12t,x2)内单调递增，
又f(x2)−f(−12t)=(tx22+x2+1)−(1−14t)=t(x2+12t)2≥1，
由x2−x1=1x1+x2≥−1t，
可得x2−1+x2=2x2−1≥−1t，
即x2+12t≥12，
则(x2+12t)2≥14，
所以14t≥1，
解得t≥4，
故正数t的最小值为4．
【解析】(1)根据新定义以及对数运算证得(a⊕b)+c=(a+c)⊕(b+c)成立．
(2)先求得f(x)的解析式，结合差比较法列不等式，由此求得t的取值范围，进而求得正数t的最小值．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理和运算能力．
1.数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的75百分位数为( )
A. 8.7B. 9.0C. 8.85D. 8.6
2.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为2 2，其左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为 3，则双曲线的渐近线方程为( )
A. y=± 3xB. y=± 62xC. y=± 2xD. y=± 102x
3.已知等差数列{an}，则k=2是a1+a11=ak+a10成立的条件．( )
A. 充要B. 充分不必要C. 必要不充分D. 既不充分也不必要
4.已知平面α、β，直线l⊂α，直线m不在平面α上，下列说法正确的是( )
A. 若α//β，m//β，则l//mB. 若α//β，m⊥β，则l⊥m
C. 若l//m，α//β，则m//βD. 若l⊥m，m//β，则α⊥β
5.2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有( )
A. 1120B. 7200C. 8640D. 14400
6.已知tan(β−α)=12，tanα=−17，α，β∈(0,π)，则2β−α的值是( )
A. −π4B. π4C. 3π4D. −3π4
7.已知点P在圆(x−1)2+y2=1上，点A的坐标为(−1,1)，O为原点，则AO⋅AP的取值范围是( )
A. [−3,3]B. [3+ 2,5]C. [3− 2,2]D. [3− 2,3+ 2]
8.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈(π12,π4)，则该椭圆的离心率e的取值范围是( )
A. (12,23)B. ( 22, 63)C. ( 22,2 23)D. ( 33,23)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到y=sin2x的图象，则( )
A. f(x)的最小正周期为πB. f(x)的图象关于直线x=5π6对称
C. f(x)在(0,π4)上单调递增D. 当x∈[0,π4]时，f(x)的最小值为12
10.已知z1，z2是两个虚数，则下列结论中正确的是( )
A. 若z1=z−2，则z1+z2与z1z2均为实数B. 若z1+z2与z1z2均为实数，则z1=z−2
C. 若z1，z2均为纯虚数，则z1z2为实数D. 若z1z2为实数，则z1，z2均为纯虚数
11.设函数f(x)的定义域为R，满足f(1+x)=−f(1−x)，且f(2+x)=f(2−x)，当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+b，若f(0)+f(3)=6，则以下正确的是( )
A. f(x+4)=f(x)B. a=−2C. b=12D. f(172)=2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合A={a−2,a2+4a,10}，若−3∈A，则实数a的值为______．
13.对x，y定义了一种新运算F，规定F(x,y)=ax+by2x+y(其中a，b均为非零常数).例如：F(0,1)=a×0+b×12×0+1=b，已知F(1,−1)=−2，F(4,2)=1，若关于m的不等式组F(2m,5−4m)≤4F(m,3−2m)>p恰好有两个整数解，则实数p的取值范围是______．
14.已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是 62， 62，1，则此三棱锥的外接球的体积为______；此三棱锥的内切球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=ax−1−lnx，a∈R．
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若函数f(x)在x=1处取得极值，对∀x∈(0,+∞)，f(x)≥bx−2恒成立，求实数b的取值范围．
16.(本小题15分)
某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是23，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是115.乙、丙两个家庭都回答正确的概率是35，各家庭是否回答正确互不影响，
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
17.(本小题15分)
如图，AB是半球O的直径，AB=4，M，N依次是底面AB上的两个三等分点，P是半球面上一点，且∠PON=60°．
(1)证明：PB⊥PM；
(2)若点P在底面圆上的射影为ON中点，求直线PM与平面PAB所成的角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1的离心率为2，过C上的动点M作曲线C的两渐近线的垂线，垂足分别为A和B，△ABM的面积为3 316．
(1)求曲线C的方程；
(2)如图，曲线C的左顶点为D，点N位于原点与右顶点之间，过点N的直线与曲线C交于G、R两点，直线l过N且垂直于x轴，直线DG、DR分别与l交于P、Q两点，若O、D、P、Q四点共圆，求点N的坐标．
19.(本小题17分)
某中学高一学生组建了数学研究性学习小组.在一次研究活动中，他们定义了一种新运算“⊕”：x⊕y=ln(ex+ey)(e为自然对数的底数，e≈2.718)，x，y∈R.进一步研究，发现该运算有许多奇妙的性质，如：x⊕y=y⊕x，(x⊕y)⊕z=x⊕(y⊕z)等等．
(1)对任意实数a，b，c，请判断(a⊕b)+c=(a+c)⊕(b+c)是否成立？若成立请证明；若不成立，请举反例说明；
(2)若a=tx2(t>0)，b=x+1，c=−tx2−2，f(x)=(a+b)⊕(b−c)−ln(e2+1).定义闭区间[x1,x2](x1
1.【答案】C
【解析】解：由题意8×75%=6，所以该组数据的75百分位数为8.7+9.02=8.85．
故选：C．
由百分位数的定义即可求解．
本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：依题意可得2a=2 2，即a= 2；
不妨取左焦点F(−c,0)到渐近线y=bax的距离为 3，
即d=|−bac| 1+(ba)2=b= 3，
所以渐近线方程为y=± 62x．
故选：B．
根据双曲线的性质利用点到直线距离公式可得a= 2，b= 3，可得渐近线方程．
本题考查双曲线渐近线的性质，属于中档题．
3.【答案】B
【解析】解：等差数列{an}，
当公差d=0时，k可取任意值，
当公差d≠0时，由等差数列通项公式得a1+a11=a2+a10，
则k=2⇔a1+a11=ak+a10，
∴k=2是a1+a11=ak+a10成立的充分不必要条件．
故选：B．
当公差d=0时，k可取任意值，当公差d≠0时，由等差数列通项公式得a1+a11=a2+a10，从而得到k=2是a1+a11=ak+a10成立的充要条件．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．
【解答】
解：对于A，若α//β，m//β，则l//m或l与m异面，故A错误；
对于B，若α//β，m⊥β，则m⊥α，又l⊂α，则l⊥m，故B正确；
对于C，若l//m，α//β，则m//β或m⊂β，故C错误；
对于D，若l⊥m，m//β，则α//β或α与β相交，故D错误．
故选：B．
5.【答案】B
【解析】解：甲与乙相邻有A22种不同的排法，将甲与乙看作是一个整体，与除丙外的5人排好，有A66种不同的排法，
再将丙排入隔开的不在两端的5个空中，有C51种不同的排法，
所以共有A22A66C51=7200种不同的排法．
故选：B．
相邻问题用捆绑法看成一个整体，丙不排在两端可先排好其他人后再排丙．
本题考查了相邻问题中的捆绑法，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：因为tan(β−α)=12，tanα=−17<0，α，β∈(0,π)，
则tanβ=tan[(β−α)+α]=12−171−12×(−17)=13∈(0,1)，
可知α∈(π2,π)，β∈(0,π4)，
则2β−α∈(−π,0)，
又因为tan2β=2tanβ1−tan2β=2×131−(13)2=34>0，
可得tan(2β−α)=tan2β−tanα1+tan2β⋅tanα=34−(−17)1+34×(−17)=1，
所以2β−α=−3π4．
故选：D．
根据tanβ=tan[(β−α)+α]求出tanβ，从而可得α，β的范围，即可得出2β−α的范围，再求tan2β和tan(2β−α)的值，即可得结果．
本题考查了两角和与差的三角函数，属中档题．
7.【答案】D
【解析】解：易知圆(x−1)2+y2=1的圆心坐标为C(1,0)，半径为r=1，
连接AC，CP，易知|CP|=1，如图所示：
易得AO=(1,−1),AC=(2,−1)，所以AO⋅AC=2+1=3，
则AO⋅AP=AO⋅(AC+CP)=AO⋅AC+AO⋅CP=3+AO⋅CP，
设AO,CP夹角为θ，则θ∈[0,π]，
所以AO⋅AP=3+AO⋅CP=3+|AO||CP|csθ=3+ 2csθ，
又csθ∈[−1,1]，
可得AO⋅AP∈[3− 2,3+ 2]．
故选：D．
根据圆心C(1,0)和点A(−1,1)的坐标，可得AO⋅AP=AO⋅(AC+CP)，再由数量积的定义以及坐标运算即可得出结果．
本题考查平面向量数量积的运算，属中档题．
8.【答案】B
【解析】解：设椭圆的左焦点为M，则|AM|+|AF|=2a，
根据椭圆的对称性可得四边形AMBF为矩形，所以|AB|=|MF|=2c，
因为AF⊥BF，∠ABF=α，
所以|AF|=2csinα，|AM|=2ccsα，
则|AF|+|AM|=2a，即ca=1sinα+csα=1 2sin(α+π4)，
因为α∈(π12,π4)，则α+π4∈(π3,π2)，所以sin(α+π4)∈( 32,1)，
则 2sin(α+π4)∈( 62, 2)，
所以ca∈( 22, 63)，
故选：B．
设出椭圆的左焦点M，则|AM|+|AF|=2a，根据椭圆的对称性可得四边形AMBF为矩形，所以|AB|=|MF|=2c，然后根据AF⊥BF，∠ABF=α，
所以|AF|=2csinα，|AM|=2ccsα，则|AF|+|AM|=2a，化简即可求解．
本题考查了椭圆的几何性质，涉及到三角函数求范围的问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．
9.【答案】AD
【解析】解：根据将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到y=sin2x的图象，
可得把y=sin2x的图象向左平移π6个单位长度，可得函数f(x)=sin(2x+π3)的图象，
可得f(x)的最小正周期为2π2=π，故A正确；
令x=5π6，求得f(x)=0，不是最值，
故f(x)的图象不关于直线x=5π6对称，故B错误；
当x∈(0,π4)时，2x+π3∈(π3,5π6)，f(x)不单调，故C错误；
当x∈[0,π4]时，2x+π3∈[π3,5π6]，故当2x+π3=5π6时，f(x)取得最小值为12，故D正确．
故选：AD．
函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
10.【答案】ABC
【解析】解：设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R,b≠0,d≠0).z1+z2=a+c+(b+d)i，z1z2=ac−bd+(ad+bc)i．
若z1=z2−，则a=c，b+d=0，所以z1+z2=2a∈R，z1z2=a2+b2∈R，所以A正确；
若z1+z2与z1z2均为实数，则b+d=0，且ad+bc=0，又b≠0，d≠0，所以a=c，所以B正确；
若z1，z2均为纯虚数，则a=c=0，所以z1z2=cd∈R，所以C正确；
取z1=2+2i，z2=1+i，则z1z2为实数，但z1，z2不是纯虚数，所以D错误．
故选：ABC．
根据复数的四则运算，结合共轭复数的定义即可求解ABC，举反例即可求解D．
本题考查复数的运算，属于基础题．
11.【答案】AB
【解析】解：因为f(1+x)=−f(1−x)，则
所以f[1+(x−1)]=−f[1−(x−1)]，即f(x)=−f(2−x)，
又f(2+x)=f(2−x)，
所以f(x)=−f(2+x)，
所以f(x+4)=f(x+2+2)=−f(x+2)=f(x)，即f(x+4)=f(x)，故A正确；
f(0)+f(3)=−f(2)+f(1)=−(4a+b)+a+b=6，
所以a=−2，故B正确；
在f(1+x)=−f(1−x)中，令x=0，得f(1)=−f(1)，
即a+b=−(a+b)，解得b=2，故C错误；
f(172)=f(8+12)=f(12)=−f(32)=−(−2×94+2)=52，故D错误．
故选：AB．
由抽象解析式变形推导出函数的周期，判断A，再利用已知条件变形f(0)+f(3)，即可判断B，利用已知抽象等式，赋值x=1，即可求解b，判断C，再利用函数的周期，以及已知抽象等式和函数解析式，即可判断D．
本题主要考查抽象函数及其应用，属于中档题．
12.【答案】−3
【解析】解：−3∈A，所以a−2=−3或a2+4a=−3，解得a=−1，−3，根据集合元素互异性，a=−3．
故答案为−3．
利用元素与集合的关系，−3是集合A中的元素解出a值，再将解出的a值代入集合A进行检验，满足集合元素互异性．
本题考查了元素与集合的关系，集合元素互异性．学生容易遗忘集合元素互异性，而导致解答错误．
13.【答案】[−13,43)
【解析】解：由F(1,−1)=−2，F(4,2)=1得，a×1+b×(−1)2×1−1=−2a×4+b×22×4+2=1，
即a−b=−24a+2b=10，
解得a=1，b=3，
所以F(x,y)=x+3y2x+y，则不等式组F(2m,5−4m)≤4F(m,3−2m)>p可化为3−2m≤4−5m>3p−9，
解得−12≤m<9−3p5．
因为不等式组F(2m,5−4m)≤4F(m,3−2m)>p恰好有2个整数解，
所以1<9−3p5≤2，解得−13≤p<43，.
故答案为：[−13,43)．
根据新定义运算结合条件列方程组先求出a，b；再将新不等式组转化为一元一次不等式组并化简，再利用不等式组的解恰好有2个整数可得m的不等关系，从而得出结论．
本题考查新定义运算，解题关键是正确理解新定义，利用新定义把问题转化为我们熟知的一元一次不等式组求解，属于中档题．
14.【答案】7 7π6 (20−8 6)π
【解析】解：①已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是 62， 62，1，
如图所示：
即S△AOB=S△AOC= 62，S△BOC=1，
故AO，BO，CO两两垂直；
所以BO=CO，
故12⋅CO⋅BO=1，整理得CO=BO= 2，
所以12⋅AO⋅BO= 62，解得AO= 3，
所以三棱锥的外接球的半径满足(2R)2=( 2)2+( 2)2+( 3)2，解得R2=74，即R= 72，
故V球=43⋅π⋅( 72)3=7 7π6．
②首先利用OC=OB= 2，OA= 3，
利用勾股定理AB=AC= 5，BC=2，
所以S△ABC=12×2×2=2，
利用等体积转换法，设内切球的半径为r，
所以13×12× 2× 2× 3=13×(S△ABC+S△BOC+S△AOC+S△AOB)⋅r，解得r=1 3+ 2= 3− 2，
故S球=4⋅π⋅r2=(20−8 6)π．
首先利用三棱锥的三个侧面的两两垂直求出AO，BO，CO两两垂直；进一步求出AO，BO，CO的值，进一步利用三棱锥和外接球的关系求出外接球的半径和内切球的半径，求出三棱锥的外接球的体积，最后利用等体积转换法求出内切球的半径，最后求出内切球的表面积．
本题考查的知识要点：三角形的面积公式，三棱锥和外接球与内切球的关系，外接球的半径和内切球的半径的求法，球的表面积公式和体积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
15.【答案】解：(Ⅰ)在区间(0,+∞)上，f′(x)=a−1x=ax−1x．
①若a≤0，则f′(x)<0，f(x)是区间(0,+∞)上的减函数；
②若a>0，令f′(x)=0得x=1a．
在区间(0,1a)上，f′(x)<0，函数f(x)是减函数；
在区间(1a,+∞)上，f′(x)>0，函数f(x)是增函数；
综上所述，①当a≤0时，f(x)的递减区间是(0,+∞)，无递增区间；
②当a>0时，f(x)的递增区间是(1a,+∞)，递减区间是(0,1a)．
(II)因为函数f(x)在x=1处取得极值，所以f′(1)=0
解得a=1，经检验满足题意．
由已知f(x)≥bx−2，则x+1−lnxx≥b
令g(x)=x+1−lnxx=1+1x−lnxx，则g′(x)=−1x2−1−lnxx2=lnx−2x
易得g(x)在(0,e2]上递减，在[e2,+∞)上递增，
所以g(x)min=g(e2)=1−1e2，即b≤1−1e2．
【解析】①对函数进行求导，然后令导函数大于0求出x的范围，令导函数小于0求出x的范围，即可得到答案；
②由函数f(x)在x=1处取得极值求出a的值，再依据不等式恒成立时所取的条件，求出实数b的取值范围即可．
本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．
16.【答案】解：(1)记“甲家庭回答正确这道题”为事件A，“乙家庭回答正确这道题”为事件B，
“丙家庭回答正确这道题”为事件C，
则P(A)=23，P(A−)P(C−)=115，P(A)=23,P(A−)P(C−)=115,P(B)P(C)=35，
即[1−P(A)][1−P(C)]=115，P(A)=23,P(A−)P(C−)=115,P(B)P(C)=35，
所以P(B)=34，P(C)=45，
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为34，45；
(2)有3个家庭回答正确的概率为P3=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=23×34×45=25，
有2个家庭回答正确的概率为：
P2=P(A−BC+AB−C+ABC−)=13×34×45+23×14×45+23×34×15=1330，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率P=P2+P3=1330+25=56．
【解析】(1)根据独立事件的乘法公式计算即可得；
(2)利用独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式计算即可得．
本题考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：(1)证明：连接AM，OM，MN，PN，
∵M，N依次是底面AB的两个三等分点，∴四边形OMNB为菱形，
设MB∩ON=Q，则Q为ON的中点，且ON⊥MB，
又∵OP=ON，∠PON=60°，故△OPN为等边三角形，
连接PQ，则ON⊥PQ，又∵MB∩PQ=Q，∴ON⊥面PMB，
∵PB⊂面PMB，∴ON⊥PB，∵M，N依次是底面AB的两个三等分点，∴ON//AM，
∴AM⊥PB，又因为AB是半球O的直径，P是半球面上一点，因此PA⊥PB，
又AM∩PA=A，∴PB⊥面PAM，∵PM⊂面PAM，∴PB⊥PM；
(2)根据题意可知PQ⊥面AMB，如图建立空间直角坐标系，
则P(0,0, 3)，M( 3,0,0)，B(− 3,0,0)，A( 3,−2,0)，
PM=( 3,0,− 3)，PA=( 3,−2,− 3)，BA=(2 3,−2,0)，
则n⋅PA= 3x−2y− 3z=0n⋅BA=2 3x−2y=0，令x=1，则y= 3，z=−1，因此n=(1, 3,−1)，
设直线PM与平面PAB所成角为θ，
∴sinθ=|n⋅PM|n||PM||=2 3 5× 6= 105，
直线PM与平面PAB所成的角的正弦值为 105．
【解析】(1)连接AM，OM，MN，PN，由已知可证ON⊥面PMB，进而可证AM⊥PB，PA⊥PB，可证PB⊥面PAM，可证结论；
(2)建立空间直角坐标系，利用向量示求直线PM与平面PAB所成的角的正弦值．
本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，属中档题．
18.【答案】解：(1)由e=2得ca=2，又c2=a2+b2，得到b= 3a，
∴渐近线方程为y=± 3x，则双曲线方程为x2a2−y23a2=1，即3x2−y2=3a2，
设M(x,y)，则M到渐近线的距离分别为|MA|=| 3x−y|2，|MB|=| 3x+y|2，
两渐近线的夹角为60°，∵M，A，O，B四点共圆，∴∠AMB=60°或120°，
∴△ABM的面积为12|MA||MB|sin∠AMB= 34|3x2−y2|4=3 316a2=3 316
⇒a2=1⇒x2−y23=1，
∴曲线C的方程为：x2−y23=1．
(2)如图，∵O，D，P，Q四点共圆，
∴∠DPQ+∠DOQ=π∠NOQ+∠DOQ=π⇒∠DPQ=∠NQQ⇒tan∠DPQ=tan∠NOQ⇒1tan∠ODP=tan∠NOQ⇒kDPkOQ=1，
设G(x1,y1)，R(x2,y2)，N(t,0)，t∈(0,1)．
∵D(−1,0)，∴lDR：y=y2x2+1(x+1)，令x=t得Q(t,y2(t+1)x2+1)，
当lGR的斜率为0时不符合题意；
当lGR的斜率不为0时，设lGR：x=my+t，
x=my+t3x2−y2=3⇒(3m2−1)y2+6mty+3(t2−1)=0，
y1+y2=−6mt3m2−1，y1y2=3(t2−1)3m2−1，
∴kDPkOQ=y1x1+1⋅y2(t+1)t(x2+1)=1，即t+1t=(x1+1)(x2+1)y1y2，
∵(x1+1)(x2+1)y1y2=m2y1y2+m(t+1)(y1+y2)+(t+1)2y1y2=−(t+1)23m2−13(t2−1)3m2−1=−(t+1)23(t2−1)，
∴t+1t=−(t+1)23(t2−1)⇒t=34∈(0,1)，符合，∴N(34,0)．
【解析】(1)由双曲线的性质可得b= 3a，从而可得渐近线方程，利用点到直线的距离公式，三角形面积公式可求得a的值，进而可得双曲线方程；
(2)由四点共圆的性质可推出kDPkOQ=1，设lGR：x=my+t，与双曲线方程联立，利用根与系数的关系即可求解N点坐标
本题主要考查双曲线的性质及标准方程，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题．
19.【答案】解：(1)证明：因为a⊕b=ln(ea+eb)，
所以a⊕b=ln(ea+eb)+c，
因为(a+c)⊕(b+c)=ln(ea+c+eb+c)=ln[(ea+eb)⋅ec]=ln(ea+eb)+lnec=ln(ea+eb)+c，
所以a⊕b=(a+c)⊕(b+c)．
(2)因为(a+b)⊕(b−c)=ln(ea+b+eb−c)=ln(etx2+x+1+etx2+x+3)=ln[etx2+x+1(1+e2)]=lnetx2+x+1+ln(e2+1)，
所以f(x)=lnetx2+x+1=tx2+x+1，函数定义域为(0,+∞)，
易知f(x)=tx2+x+1是开口向上的二次函数，对称轴为x=−12t，
因为x2−x1=1，
不妨设x1+x2≥−1t，
当x1≥−12t时，f(x)在[x1,x2]上单调递增，
所以f(x2)−f(x1)=(tx22+x2+1)−(tx12+x1+1)=t[(x1+1)2−x12]+1=2tx1+t+1≥1，
即2t⋅(−12t)+t+1≥1，
解得t≥1，
当x1<−12t，即x2>−12t时，
易知f(x)在[x1,−12t)内单调递减，[−12t,x2)内单调递增，
又f(x2)−f(−12t)=(tx22+x2+1)−(1−14t)=t(x2+12t)2≥1，
由x2−x1=1x1+x2≥−1t，
可得x2−1+x2=2x2−1≥−1t，
即x2+12t≥12，
则(x2+12t)2≥14，
所以14t≥1，
解得t≥4，
故正数t的最小值为4．
【解析】(1)根据新定义以及对数运算证得(a⊕b)+c=(a+c)⊕(b+c)成立．
(2)先求得f(x)的解析式，结合差比较法列不等式，由此求得t的取值范围，进而求得正数t的最小值．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理和运算能力．
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