2024届高三数学二轮复习重难点2-5三角形中的范围与最值问题（七类考点题型）讲义

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【方法归纳】在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：（1）利用基本不等式求范围或最值；
（2）利用三角函数求范围或最值；（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；（4）根据三角形解的个数求范围或最值；（5）利用二次函数求范围或最值．
【题型总结】
题型一 边长类最值及范围问题
【例题1】．（2024·浙江义乌高三学校联考期末）已知锐角内角的对边分别为.若.
(1)求； (2)若，求的范围.
【解析】（1）由正弦定理，
又，得；
（2）因为，
所以，
，因为三角形为锐角三角形，
所以，解得，
令，所以，
所以.
【例题2】（2023秋·吉林长春高三质量检测）在①；②；③.三个条件中选一个，补充在下面的横线处，并解答问题.
在中，内角A､B､C的对边分别为a､b､c，的面积为S，且满足___________
(1)求A的大小；
(2)设的面积为，点D在边上，且，求的最小值.
【解析】（1）选①，由，由正弦定理得，
中，∴，
，则，
所以，，可得，则，
因此，；
选②，，，则，
∴，得；
选③，，由正弦定理和切化弦得，中，
∴
中，，∴，得
（2）由，有，
由，有，
∴
，等号成立时即，∴的最小值为.
【例题3】．（2023·四川泸州高三联考）在中，内角，，所对的边分别，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，当仅有一解时，写出的范围，并求的取值范围.
【解析】（1）
，即， ，
， .
（2）根据题意，由正弦定理得，则，
仅有一解，
或，即或，或，
当时，，所以，所以；
当时，由正弦定理得，
，
，，，
，即，
综上，.
【变式1-1】．（2023秋·山东青岛高三第一次模拟）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角C； (2)设BC的中点为D，且，求的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）已知等式，由正弦定理和两角和的正弦公式化简，可求角C；
（2）设，由正弦定理，把表示成的三角函数，利用三角函数的性质求取值范围.
【详解】（1）中，，由正弦定理得．
所以，
即，
所以；
又，则，所以，
则有，又因为，则，即；
（2）设，则中，由可知，
由正弦定理及可得，
所以，，
所以，
由可知，，，
所以．
即的取值范围.
【变式1-2】（2023秋·安徽合肥市第七中学校考三模）在锐角中，角的对边分别为，且，，依次组成等差数列.
（1）求的值； （2）若，求的取值范围.
【答案】（1）2；（2）
【解析】（1）由条件得：，
所以，由正弦定理得：，所以.
（2）及，则，角一定为锐角，
又为锐角三角形，所以
由余弦定理得：，
所以，即，解得：，
又，所以. 又 ，
令，则，
，所以在上递增，又，，
所以的取值范围是.
【变式1-3】（2023秋·山西长治高三统考模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
（1）求证：；
（2）若是锐角三角形，，求的范围.
【解析】（1）由两角差的正弦公式，可得，
又由正弦定理和余弦定理，可得
，
所以
（2）由（1）知

因为是锐角三角形，所以，可得，
又由，可得，所以，所以，
所以，可得，符合.
所以实数的取值范围是.
【变式1-4】（2023秋·辽宁实验中学校考模拟预测）如图，在平面凸四边形ABCD中，，，，．
(1)若，求；(2)求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】(1)先利用余弦定理得到，根据边的关系得到AB⊥DB，进而得出∠ABC=120°，再利用余弦定理即可求解；
(2) 设∠ADB=θ，利用余弦定理分别求出,相加后整理变形得到关于角的三角函数，利用正弦函数的图象和性质即可求解.
【详解】（1）在△ABD中，因为，DA=2，∠DAB=60°，由余弦定理得，解得，由，得AB⊥DB，此时Rt△CDB≌Rt△ABD，可得∠ABC=120°．
在△ABC中，AB=1，BC=2，由余弦定理得，解得，所以．
（2）设∠ADB=θ，由题意可知，
在△ABD中，由余弦定理得，在△ACD中，，由余弦定理得，在中，因为，所以，
所以，
因为，所以，，
所以的取值范围是．
【变式1-5】（2023·云南大理统考一模）在中，分别为内角的对边，.
（1）若，求的值；（2）求的最大值.
【答案】（1）1；（2）
【解析】（1）由得,
即，即
即,因为,
所以,即,由得，故.
（2）由结合余弦定理得,
则,于是,即.
解得,故当时，有最大值.
题型二 中线及高线类最值及范围问题
【例题1】．（2023·宁夏银川一中三模）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角C的大小； (2)若，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
【答案】(1)； (2)
【分析】（1）由正弦定理化角为边得，再利用余弦定理可得结果；
（2）由余弦定理结合数量积运算得，由正弦定理可得，，所以，结合角的范围，利用三角函数性质可求得的范围，即可得出答案.
【详解】（1）已知，
由正弦定理可得，即，
所以，
因为，所以．
（2）由余弦定理可得，
又，
则，
由正弦定理可得，
所以，，
所以，
由题意得，解得，则，
所以，所以，
所以，所以中线CD长的取值范围为．
【例题2】．（2023辽宁鞍山市第一中学校校考一模）在锐角中，设边所对的角分别为，且．
(1)求角的取值范围；(2)若，求中边上的高的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据正余弦定理及三角恒等变换结合条件可得，然后根据三角形为锐角三角形进而即得；
（2）根据三角形面积公式及正弦定理可得，然后根据三角恒等变换及正切函数的性质结合条件即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，，又，
所以，整理可得，
所以或(舍去)，
所以，又为锐角三角形，
所以，所以；
（2）由题可知，即，
又，所以，
所以，
由，可得，所以，
所以，
即中边上的高的取值范围是.
【变式2-1】．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）在锐角中，，，则中线的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理边化角，结合已知求出边b长的取值范围，再借助平面向量用b表示出中线的长，求出函数值域作答.
【详解】令的内角所对边分别为，由正弦定理及得，即，
锐角中，，即，同理，
于是，解得，又线段为边上的中线，
则，又，于是，
因此，当时，，，
所以中线的取值范围是.
故选：D
【变式2-2】．（2023·河北保定高三模拟预测）在锐角三角形中，，．
(1)求．(2)求边上的高的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据三角形的内角和定理结合正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；
（2）设边上的高为，则，再利用正弦定理及三角函数求出的范围，即可得解，注意三角形为锐角三角形.
【详解】（1）设的内角，，的对边分别为，，，
因为，，
所以，
由正弦定理，得，整理得，
由余弦定理得，
又，所以；
（2）设边上的高为，则，
由正弦定理，得，
由为锐角三角形，
得，得，则，
所以，从而，
故边上的高的取值范围是．
题型三 三角形外接圆、内切圆半径类范围问题
【例题1】．（2023·河北保定高三模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．
(1)求的外接圆半径R；(2)求内切圆半径r的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由正弦边角关系可得，应用余弦定理即可求，进而确定其大小；
（2）由正弦定理有，，根据余弦定理有，结合（1）及，应用三角恒等变换有，由三角形内角性质、正弦函数性质求范围即可.
【详解】（1）因为，由正弦边角关系得，即，
由余弦定理，得，又，所以，
由，则.
（2）由正弦定理得，所以，，
由余弦定理，得，所以，
利用等面积法可得，
则
，
∵，∴，故，则，
所以，故.
【例题2】．（2023·山东济南统考二模）已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，．
(1)求角B的大小；(2)若为钝角三角形，且，求外接圆半径的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用正弦定理结合条件，进行边角转化即可得出结果；
（2）利用正弦定理，将边转角，再结合条件得到，再利用角的范围即可得出结果.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
得到，又，所以，
故，即，所以，
又，所以，得到.
（2）由正弦定理，得到，，
所以
，所以，
又因为为钝角三角形，且，又由（1）知，所以，
所以，由的图像与性质知，所以
【变式3-1】．（2023·河南开封七校联考二模）在中，角的对边分别为，已知，且.
(1)求的外接圆半径；(2)求内切圆半径的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由正弦定理及余弦定理求得，由求；
（2）由正弦定理求的范围，再用求得后即可求的取值范围.
【详解】（1）由正弦定理，，可得
再由余弦定理，，又，所以.
因为，所以.
（2）由（1）可知：，则.
则.
在中，由正弦定理，
，所以，
则
，
又，所以，
所以，
，所以.
题型四 角度类最值及范围问题
【例题1】．（2023·陕西咸阳高三模拟预测）在中，角、、所对的边长分别为，若成等比数列，则角的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由成等比数列，可得，然后利用余弦定理表示出，进行化简后利用基本不等式求出的最小值，根据的范围以及余弦函数的单调性，即可求解.
【详解】因为成等比数列，可得，
则，（当且仅当时取等号），
由于在三角形中，且在上为减函数，
所以角的取值范围是：.
故选：B.
【例题2】．（2023·河北唐山高三专题检测）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；(2)求的取值范围.
【解析】（1）因为，
所以，即.
因为，所以.
因为，所以.
（2）由（1）知
.
因为，所以，
因为，所以，
所以，
即的取值范围是.
【例题3】．（2023·江苏扬州统考模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为，已知.
(1)证明：；(2)求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）由和差角公式化简得，由正弦定理边角化即可求解，
（2）由锐角三角形满足，根据基本不等式即可求解.
【详解】（1），
，
，由正弦定理得：.
（2）锐角，
，
当且仅当时等号成立，
当时，，当时，，
所以.
【变式4-1】（2023·福建福州·统考二模）记的内角，，的对边分别为，，．已知．
（1）求的值：（2）求的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由余弦定理可得，
代入，得到，化简得，
即.由正弦定理可得，
即，展开得，
即，所以．
（2）由得，
故，
当且仅当，即时等号成立．
因为，所以，所以的最大值为.
【变式4-2】（2023·陕西宝鸡高级中学校考三模）已知分别为锐角ABC内角的对边，．
(1)证明：；(2)求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，三角恒等变换解决即可；
（2）由条件求的范围，结合正弦函数性质求的范围，利用三角恒等变换得，由此可求其范围.
【详解】（1）∵．
∴，
∴，
因为为锐角三角形内角，所以，，所以，
所以，即；
（2）由题意得，解得，所以，
由正弦定理得，
因为函数在上单调递减，所以当时，，
所以当时，，所以，
∴的取值范围为．
【变式4-3】（2023秋·河南洛阳高三专题检测）已知的内角、、的对边分别为、、，且．
(1)判断的形状并给出证明；
(2)若，求的取值范围．
【解析】（1）为等腰三角形或直角三角形，证明如下：
由及正弦定理得，，
即，
即，
整理得，所以，
故或，
又、、为的内角，所以或，
因此为等腰三角形或直角三角形．
（2）由（1）及知为直角三角形且不是等腰三角形，
且，故，且，
所以，
因为，故，
得，所以，
因此的取值范围为．
【变式4-4】（2023秋·山西长治高三附中校考）在锐角中，角所对的边分别是，满足.
（1）求证：；（2）求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由及余弦定理，得，
由正弦定理得：，
又，，
，，
都是锐角，，即.
（2）令，
由（1）得，
在锐角三角形中，，即，解得，，
令，，
又函数在上单调递增，，
故的取值范围是.
【变式4-5】．（2023·四川绵阳统考三模）已知分别为的内角所对的边，，且．
(1)求；(2)求的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用向量的数量积的定义及正弦定理的边角化即可求解；
（2）根据（1）的结论及三角形的内角和定理，利用诱导公式、两角和的正弦公式及降幂公式，结合辅助角公式及三角函数的性质即可解.
【详解】（1），
由及正弦定理，得，
得，代入得，
又因为，所以．
（2）由（1）知，所以.
所以
，
因为,所以，所以，
所以，
故的取值范围是.
题型五 周长类最值及范围问题
【例题1】．（2023·辽宁大连高三开学考试）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求B；(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.
【解析】（1）在中，，由正弦定理得：，
整理得，由余弦定理得：，而，
所以.
（2）由（1）知，，由正弦定理得：，
则，而，令，
在锐角中，，解得，，
于是得，则，
所以周长的取值范围是.
【例题2】．（2023·重庆八中高三阶段检测）已知向量，，函数．
(1)求函数在上的值域；
(2)若的内角、、所对的边分别为、、，且，，求的周长的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）利用数量积的坐标表示求出函数并化简，再根据三角函数的性质求值域作答.
（2）由（1）求出，借助余弦定理求出的范围，即可求解作答．
(1)（1）依题意，，
由得，，
所以在上的值域为.
(2)由得，，，则有，解得，
在中，由余弦定理得，，
当且仅当时取“=“，即有，又因为，则，
因此，
所以的周长的取值范围为．
【例题3】．（2023·江西赣州·统考模拟预测）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的周长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将表示为角的形式，结合三角恒等变换以及三角函数的值域等知识确定正确答案.
【详解】，
由正弦定理得，
，
由于，
所以，
所以，
由于，所以，所以，
所以，则，
函数的开口向上，对称轴为，
所以.
故选：A
【变式5-1】．（2023·陕西榆林高三模拟）在①；②；③；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
在锐角中，内角、、，的对边分别是、、，且______
(1)求角的大小；(2)若，求周长的范围．
【解析】（1）选①，由可得，
，则，可得，；
选②，由可得，
即，即，
，则，故，；
选③，由及正弦定理可得，
、，则，所以，，
故，
，，因此，.
（2）由正弦定理可得，则，，
，
因为为锐角三角形，则，可得，
所以，，则，
故.
【变式5-2】．（2023·浙江省金华高三模拟预测）已知函数，其中，若实数满足时，的最小值为．
(1)求的值及的对称中心；
(2)在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，求周长的取值范围．
【答案】(1)，对称中心；(2)
【分析】（1）先由倍角公式及辅助角公式化简得，再结合已知求得周期即可求出，由正弦函数的对称性即可求得对称中心；
（2）先求出，再由正弦定理求得，再借助三角恒等变换及三角函数的值域即可求得周长的取值范围．
(1)
，
显然的最大值为1，最小值为，则时，的最小值等于，则，则，；
令，解得，则的对称中心为；
(2)
，，又，则，
由正弦定理得，则，
则周长为
，又，则，
则，故周长的取值范围为.
题型六 面积类最值及范围问题
【例题1】（2023·辽宁沈阳高三重庆校考检测）已知函数．
（1）求函数的值域； （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求△ABC的面积S的最大值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（2）在△ABC中中，由余弦定理、结合均值不等式求最值
【解析】（1），
∴的值域为．
（2），
即，由 ,得 ∴，即，
又，即，
∴， ∴，当且仅当时取得．
【例题2】．（2023·云南曲靖高三统考模拟预测）在平面四边形中，，，，.
(1)求；(2)若为锐角三角形，求的面积的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）在中，由正弦定理可得，从而求得.
（2）解法一：由（1）求得，
，从而，再利用，即可求得面积的取值范围；解法二：作于，作于，交于，求得，，，分别求出，，利用即可求得范围.
【详解】（1）在中，
由正弦定理可得，所以，
又，所以.
（2）解法一：由（1）可知，
，
因为为锐角，所以，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
，
因为，且为锐角三角形，
所以，所以，
所以，
所以，所以，即，
所以的面积的取值范围为.

解法二：由（1）可知，，
因为为锐角，所以，，
如图，作于，作于，交于，

所以，，
所以，
又，所以.
由图可知，
仅当在线段上（不含端点）时，为锐角三角形，
所以，即.
所以面积的取值范围为.
【例题3】．（2023·江苏苏州·高三常熟中学校考）如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地，其中，，．物业管理部门拟在中间开挖一个三角形人工湖，其中，都在边上（，均不与重合，在，之间），且．
(1)若在距离点处，求点，之间的距离；
(2)设，
①求出的面积关于的表达式；
②为节省投入资金，三角形人工湖的面积要尽可能小，试确定的值，使得面积最小，并求出这个最小面积．
【解析】（1）∵，，，，∴，，
∴由余弦定理，，，
∴．
在中．
（2）①∵，∴，
在中，，
在中，，
∴，
又中边上的高为，
∴，．
②当，时，最小且．
【变式6-1】．（2023·江苏无锡高三模拟预测）已知在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，．
(1)求角A的值；(2)若，求面积的范围．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)∵，，，
∴
．
又，∴．又为锐角三角形，
∴或 ∴或（舍去），∴．
(2)由正弦定理知，
又∵，，∴，
∴．
故得到：，∴，
∴面积的范围为
【变式6-2】（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知中，内角，，所对的边分别为，，，且满足.
（1）求角的大小；
（2）设是边上的高，且，求面积的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）法一：左边，
右边，
由题意得
，即，
又因为，所以.
法二：左边，
右边，
由题意得，
又因为，所以.
（2）由，
由余弦定理得，
，
，当且仅当时取“等号”，
而，故
【变式6-3】（2023河南洛阳一中高三阶段检测（理））已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且．
(1)求角C的大小；
(2)若△ABC为锐角三角形，且，求△ABC面积的取值范围．
【解析】（1）由以及，
可得，
即，
即，
即，
即，
由于，故，又，故，
故或，
解得或（舍去），
故.
（2）由正弦定理得，即，．
所以的面积，
．
因为为锐角三角形，
所以，
所以，所以，
故面积的取值范围是．
【变式6-4】（2023·江苏镇江高三联考模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，，，，．
（1）若，求；
（2）记 与 的面积分别记为和，求的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵，∴，
，，
，，
∴
；
（2）设，，∴，
∴，∴，①


，
当且仅当，时取最大值 ；综上， ， 的最大值是 .
题型七 向量类最值及范围问题
【例题1】．（2023·河北石家庄第一中学校考模拟预测）在中，，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，利用余弦定理可求得，根据向量数量积定义可得，利用三角形三边关系可求得的范围，结合二次函数性质可求得结果.
【详解】设，则，
由余弦定理得：，
；
，，，
即的取值范围为.
故选：D.
【例题2】．（2023·四川达州高三模拟预测）在中，角A，B，C所对应的边为a，b，c．已知的面积，其外接圆半径，且．
(1)求；(2)若A为钝角，P为外接圆上的一点，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】(1)由三角形面积公式求得，已知等式由正弦定理边化角，化简得，可解得；
（2）由（1）得，则，建立平面直角坐标系，设，利用向量的坐标运算求，由三角函数的值域求取值范围.
【详解】（1）由，得，
，
由正弦定理，，
则，
由，
得，
化简得，由，，
解得，因此.
（2）由（1）得，若A为钝角，则，则，如图建立平面直角坐标系，
则，设．
则，，，
有，，，
则．
由，则，
所以的取值范围为.
【变式7-1】．（2023·吉林长春高三校考模拟预测）周长为4的，若分别是的对边，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用平面向量的数量积公式结合余弦定理可得，再根据三角形两边之和大于第三边结合基本不等式求出，然后利用二次函数的性质求解即可.
【详解】因为周长为4的，分别是的对边，且，
所以
，
令，
∴，
∴，解得，
又∵，∴，∴
故，又在上递减，
∴，
故答案为：.
【变式7-2】．（2023秋·安徽合肥市第二中学校考二模）已知点为锐角的外接圆上任意一点，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设的外接圆的半径为，根据向量线性运算和数量积运算公式化简可得，根据正弦定理可求，再求出的范围，结合三角函数性质可求的范围.
【详解】因为，
所以
所以，
设的外接圆的半径为，则
所以，
所以，
在中，由正弦定理可得，
又，所以，
所以，所以，
因为，所以，因为，
所以，所以，
又，所以，故，
所以，所以，
又在上都为增函数，
所以，故，
又，，，
，故，
所以，
其中当时，即点与点重合时左侧等号成立，
所以的取值范围为.
故选：B.