2024届高三数学二轮复习热点2-3指数函数、对数函数与幂函数（考点八大题型）讲义

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【考情透析】
指数函数、对数函数与幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位，从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推论，能运用它们的性质解决具体的问题。考生在复习过程中要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。
【考题总结】
核心考点题型一 指数幂与对数式的化简求值
【例题1】（2023·四川成都·校联考模拟预测）若a-1-a1=4， 则a-2+a2的值为（ ）
A．8B．16C．2D．18
【例题2】（2022·全国·河南安阳市第二中学校联考、）若，，则______．
【变式1-1】（2023·天津河西·统考一模）已知3a=4b=m, 1a+12b=2，则m的值为（ ）
A．36B．6C．6D．46
【变式1-2】（2023秋·河南商丘·辽宁沈阳高三校联考）若函数（，且），则（ ）
A．1010 B．1011 C．2022 D．2023
【变式1-3】（2023秋·云南昆明高三校考）已知，，且，则的最小值为______.
核心考点题型二 指对幂函数的定义与解析式
【例题1】（2023·四川绵阳高三专题检测）函数是以a为底数的对数函数，则等于
A．3 B． C． D．
【例题2】（2023上·吉林长春·高三校考）函数y=a2-5a+7ax+6-2a是指数函数，则有（ ）
A．a=2或a=3B．a=3
C．a=2D．a>2，且a≠3
【例题3】（2023秋·陕西汉中高三校联考期中）已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（ ）
A． B．或 C． D．
【变式2-1】（2023秋·山西运城统考一模）若对数函数且）的图象经过点，则实数______.
【变式2-2】．（2023·北京·高三检测）已知幂函数是偶函数，在上递增的，且满足.请写出一个满足条件的的值，__________.
【变式2-3】．（2023秋·江苏·金陵中学模拟预测）已知是正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（ ）
A．B．9C．D．2
核心考点题型三 指对幂函数的定义域与值域
【例题1】．（2023秋·海南高三模拟）下面关于函数的性质，说法正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．在定义域上单调递减D．点是图象的对称中心
【例题2】（2023·山东济南一中校考模拟预测）若函数()的值域是，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例题3】（2023秋·山西大同高三校考检测）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿､欧拉并列为世界四大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：.已知函数，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023秋·四川宜宾高三校考检测）若函数的定义域为，则的取值范围是______．
【变式3-2】（2023上·江西吉安高三校考）已知函数fx=3x-2,x⩽1,x12,1A．-∞,2 B．-2,2 C．1,4D．-∞,4
【变式3-3】（2022秋·江西宜春丰城中学校考）已知是对数函数，并且它的图像过点，，其中．
（1）当时，求在上的最大值与最小值；
（2）求在上的最小值．
核心考点题型四 指对幂函数的图像及其应用
【例题1】（2023秋·云南大理高三校联考）函数，，的图象如图所示，则，，的图象所对应的编号依次为（ ）
A．①②③ B．③①② C．③②① D．①③②
【例题2】（2023•湖南长沙高三校级模拟）在图中，二次函数y＝ax2+bx与指数函数y＝（ab）x的图象只可为（ ）
A． B． C． D．
【例题3】（2024上·江西九江高三模拟）如图所示是函数y=xmn（m、n∈N*且互质）的图象，则（ ）
A．m，n是奇数且mn<1B．m是偶数，n是奇数，且mn<1
C．m是偶数，n是奇数，且mn>1D．m，n是偶数，且mn>1
【变式4-1】（2021春•开封期末）函数y＝|lg（x+1）|的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-2】（2023秋·辽宁盘锦高三校考）已知幂函数在上单调递减，则的图象过定点（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2023·河北唐山统考一模）函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（ ）
A． B． C． D．
核心考点题型五 指对幂函数的单调性
【例题1】（2023秋·吉林四平高三统考期中）下列函数中，在区间0,+∞上单调递减的是（ ）
A．y=lg2xB．y=2-xC．y=x+1D．y=x3
【例题2】（2023秋·广西南宁高三开学考试）若（且）在R上为增函数，则的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】．（2023秋·陕西榆林一模）幂函数在上单调递增，在上单调递减，能够使是奇函数的一组整数m，n的值依次是________．
【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）若函数(且)在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2023·吉林·东北师大附中模拟预测（理））已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
【变式5-4】．（2023·河北石家庄·模拟预测）已知函数是偶函数，则（ ）
A．B．在上是单调函数
C．的最小值为1D．方程有两个不相等的实数根
核心考点题型六 指对幂比较大小
【例题1】．（2023·四川泸州高三模拟预测）设，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【例题2】．（2023·山东烟台高三模拟）已知，，，则，，的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
【例题3】．（2023·山西太原高三模拟）均为正实数，且，，，则的大小顺序为
A．B．C．D．
【例题4】．（2024·甘肃兰州高三模拟）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C．D．
【变式6-1】．若，，，，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A． B． C．D．
【变式6-2】．（2023·云南大理高三模拟）已知，，，则，，的大小关系为( )
A． B． C．D．
【变式6-3】（2023·河南开封第一中学校考一模）已知是定义在上的偶函数，且在是增函数，记，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-4】（2023秋·江苏扬州高三校联考）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
核心考点题型七 指对幂不等式
【例题1】．（2023·江苏泰州高三检测）若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C．D．
【例题2】．（2023上·河北石家庄精英中学高三校考）若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例题3】．（2024上·重庆九龙坡·高三检测）已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若方程只有一个解，求的取值范围．
【变式7-1】．（2024上·四川眉山·高三统考期末）已知函数，不等式恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C．D．
【变式7-2】．（2023上·湖北宜昌·高三校联考期中）若实数，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【变式7-3】．（2024上·广西桂林·高三统考期末）已知函数.
(1)当时，解不等式；(2)若的最大值是，求的值；
(3)已知，，当的定义域为时，的值域为，求实数的取值范围.
核心考点题型八 指对幂的综合问题
【例题1】．（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高二统考期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数值域为 B．函数是增函数
C．不等式的解集为
D．
【例题2】．（2024上·江苏徐州·高三统考期末）已知函数，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【例题3】．（2023上·新疆乌鲁木齐市第二十三中学校考）已知函数，若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式8-1】．（2024上·北京石景山·高三统考期末）设函数，则是（ ）
A．偶函数，且在区间单调递增 B．奇函数，且在区间单调递减
C．偶函数，且在区间单调递增 D．奇函数，且在区间单调递减
【变式8-2】．（2024上·北京通州·高三统考期末）已知函数，实数满足.若对任意的，总有不等式成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．4D．6
【变式8-3】．（2024上·吉林长春·高三长春吉大附中实验学校校考期末）已知函数，若函数有4个零点，且其4个零点，，，成等差数列，则（ ）
A．函数是偶函数B．
C．D．
【变式8-4】．（2024上·重庆南开中学高二校考期末）已知定义在上的函数．
(1)当时，解关于的不等式：；
(2)若函数的图象与函数的图象恰有两个不同的交点，求实数的取值范围．