2024年辽宁省大连市第七十六中学中考一模演练数学试题（原卷版+解析版）

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（本试卷共23道题 满分120分 考试时间：120分钟）
考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效
第一部分 选择题(共30分)
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知一组数据如下：12，15，19，8，6，10，则这组数据的中位数为（ ）
A. B. C. 11D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数，一组数据按照从小到大的顺序排列，处在最中间的那个数据或处在最中间两个数据的平均数即为这组数据的中位数，据此求解即可．
【详解】解：把这组数据从小到大排列为6，8，10，12，15，19，处在最中间的两个数为10，12，则中位数为，
故选：C．
2. 赫米纳尔·丹德林是一位著名的法国数学家．他在圆锥与圆的切线等研究上取得了巨大的成果，并且举世闻名的丹德林双球（如图）就以他的名字命名．在双球中，一个球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行．利用这个模型，丹德林证明了平面截圆锥的截面为椭圆．若图中所示为该模型的正面，且该模型不具有透光性，则丹德林双球的正视图为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力．细心观察原立体图形中几何体的位置关系是解决问题的关键．
【详解】解：从正面看，可得如下图形：

故选：D．
3. 下列图形中不属于轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．
根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故A选项符合题意；
B、C、D都是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
4. 截至2024年2月24日，日本东京电力公司开始将福岛第一核电站的核污染水排放入海已满半年．2023年8月24日，不顾日本国内外多方强烈反对，日方正式开始将福岛第一核电站的核污染水排放至太平洋．截至2023年11月，东电分3次排放了合计约2.34万吨核污染水．东电在2024年度将福岛第一核电站约5.46万吨核污染水排入大海，排放分7次进行．从2023年到2024年日本排放核污水的总吨数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用有理数加法，科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定和的值．
【详解】解：2023年到2024年日本排放核污水总吨数为万吨，
用用科学记数法表示为：万，
故选：B．
5. 在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A、B两点，点A在点B的右侧，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的解法，解题的关键是掌握直线与抛物线联立组成方程组求交点问题．
【详解】解：∵抛物线与直线交于A、B两点，点A在点B的右侧，
∴联立抛物线与直线得：
，即：，
解得：，，
则，
故选：A．
6. 如图，在中，、、为半径，连接、、．若，，则的度数为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：由圆周角定理可得：，
，
∴，
又∵，
∴，
故选：C．
7. 已知一次函数，当时，，则k值为（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的性质，待定系数法求解析式等，深度理解一次函数的性质是解题关键．
【详解】解：当时，一次函数y随x增大而增大，
∴当时，且当时，，
令，，得：，解得，不符题意，
令，，得：，解得，不符题意，
当时，一次函数y随x增大而减小，
∴当时，且当时，，
令，，得：，解得，
令，，得：，解得，符合题意，
故选：D．
8. 在玩一类卡牌游戏时，作为游戏中“法官”的小胖将卡片平均分给其他参与游戏的同学（小胖作为法官不持有卡牌），每轮每人分发一张卡牌．在分发了2轮之后，小胖发现，手中原来的x张卡牌现在仅剩3张，而参与游戏的总人数为y人，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，，
故选：B．
9. 已知某扇形弧长为，圆心角为，则扇形面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查扇形的面积计算、弧长的计算，解答本题的关键是明确题意，求出相应的面积．
根据扇形的弧长为，圆心角为，可以求得该扇形所在圆的半径，然后根据扇形面积公式，即可求得扇形的面积．
【详解】解：∵扇形的弧长为，圆心角为，
，
，
，
故答案为：D.
10. 如图，在中，以A、B为圆心，、长为半径分别作弧交于点，连接、，在上截取点M，以点为圆心，长为半径作弧交于点N，以大于的长分别以点M、N为圆心作弧交于一点，点与这点连线的直线交于点P，交于I．若，，则的长为（ ）
A. B. C. D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】通过作图痕迹推导出，为等腰三角形，为角平分线；通过三角形全等，证明，结合角平分线的性质，可得；在中用勾股定理，计算出；再由，推出，得出和的比，最后结合的长度得出的长度．
【详解】延长交于点O，作交的延长线于点H，
由题意可知，，，是的角平分线，
在和中
，
在和中
，，
又，
，
在中，，，
，
平分，过点I作交于K，
在和中
设为x，则，，
在中，，
即
可得，
即，
，
，，，，
，，
又，，
，
又，
，
不妨设，，，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查段已知线段及角平分线的作图，角平分线的性质，全等三角形的证明，勾股定理的应用，相似三角形的证明与应用，合理作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. （a2）3=_____．
【答案】a6
【解析】
【详解】分析：直接根据幂的乘方法则运算即可．
详解：原式=a6．
故答案为a6．
点睛：本题考查了幂的乘方与积的乘法：（am）n=amn（m，n是正整数）；（ab）n=anbn（n是正整数）．
12. 已知在平面直角坐标系中存在点，将点A向右平移2个单位后，以原点O为旋转中心逆时针旋转后得到点，则的坐标为__________；
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平移变换，旋转变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
【详解】解：将点A向右平移2个单位后，可得，
过，分别作轴的垂线，垂足为，，则，，，
由旋转可知，，，则，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
13. 某考试院在命制试卷时，命制了A、B、C三套卷，且三套卷难度相当．公平起见，考试院决定在三套卷中随机抽取2套分别下发给甲、乙两地使用，每套卷子被抽到的概率相同，则抽到A、C卷的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，解题的关键是依据题意画出树状图或列出表格．
【详解】解：列表如下：
由表可知，共有6种等可能的结果；其中抽到、卷的有2种结果，
∴抽到、卷概率为，
故答案为：．
14. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线上有一动点A，连接并延长至点B，使得，点C在x轴上，连接交双曲线于点D，延长交x轴于点E．若，，，则k的值为__________．

【答案】18
【解析】
【分析】取中点，连接，由中位线定理可得，，进而可得，结合题意得，则，进而得，则，过点作，过点作，，则，可得，，，再通过解直角三角形求得，，可得，解得：，即可求解．
【详解】解：取中点，连接，
∵，即为的中点，
∴为的中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，则，
∴，则，
过点作，过点作，

∵，设，
∴，则，，，
∴，则，，
∴，
∵，
∴，
，
则，
∴，
∵，在上，
∴，解得：，
∴，
故答案为：18．
【点睛】本题考了反比例函数与几何综合，三角形中位线定理，解直角三角形等知识点，添加辅助线构造直角三角形，求得，的坐标是解决问题的关键．
15. 如图，在边长为2的正方形中，点E在正方形内部且．连接，以、为边构造，连接，则线段的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先证明，得出，推导出点F的运动轨迹为半圆，再根据两点之间线段最短，推导出最小值．
【详解】连接和，
四边形是正方形，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
在和中
，
，
点F在以为直径的圆上运动，圆心O为的中点，
如图所示，，即，
当且仅当C、F、O三点共线时，最小，
，
在中，，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段的最小值问题，正方形的性质，平行四边形的性质，圆周角定理及其推论，三角形全等的证明，正确作出辅助线，推导出F的运动轨迹是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. 计算：（其中、1或）；
【答案】0
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解决问题的关键．
【详解】解：原式
．
17. 如图①、②所示，A品种小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，B品种小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．

（1）哪种小麦的单位面积产量高?
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?
【答案】（1）品种小麦的单位面积产量高
（2）品种小麦的单位面积产量是品种小麦的单位面积产量的倍
【解析】
【分析】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
（1）根据题意可以求得两块试验田的面积，从而可以求得哪种小麦的单位面积产量高；
（2）根据“高单位面积产量除以低的单位面积产量”进行计算求解即可．
【小问1详解】
解：品种小麦的试验田面积是，则单位面积产量是，
品种小麦的试验田面积是，则单位面积产量是，
∵，
∴，，
∴
∴，
∴，
∴品种小麦的单位面积产量高；
【小问2详解】
，
即：品种小麦的单位面积产量是品种小麦的单位面积产量的倍．
18. 【问题提出】
在一次课外活动中，小明为了探究人类记忆曲线的变化情况，决定通过让小组成员背单词的方法进行研究分析．
【收集数据】小明让小组的8位同学在一天内背诵6个单词．为了确保实验的准确性，小明没有让同学们在课余时间对单词进行复习．第2天课下，小明对单词记忆情况进行了调查，绘制统计图如下（如图1，其中横轴代表小组人员编号，纵轴代表记忆单词数量）；
【分析数据】
（1）小明统计小组成员单词记忆情况的方式为_________（选填“普查”“抽样检测”或“假设分析”）；
（2）小组成员记忆单词数量的极差为____________；
（3）求小组成员记忆单词数量的平均数和方差；
（4）若学校有1000人，估计在此调查中第二天单词记忆量高于4个的人数；
【统计总结】
小明连续收集了7天同学们对于第一天单词的记忆数量，经过统计后，取合适的自变量和因变量在坐标系中通过描点连线的方法绘制图象如下图（图中横轴代表天数，纵轴代表遗忘速度）：
（5）根据小明绘制的图象简图，请你对于记忆单词给出一点建议（要求：结合函数图象，且不多于50字）
________________________________．
【答案】（1）普查（2）5（3）平均数是4；方差是3（4）估计在此调查中第二天单词记忆量高于4个的人数为500人（5）建议见解析
【解析】
【分析】本题考查了极差、平均数及方差计算、用样本估计总体及调查方式选择，根据题意先确定调查方式，再计算平均数及方差，用样本估计总体并根据图象作出分析．
【详解】解：（1）小明统计小组成员单词记忆情况的方式为普查，
故答案为：普查；
（2）小组成员记忆单词数量的极差为，
故答案为：5；
（3）平均数是，
方差为
，
小组成员记忆单词数量的平均数是4；方差是3；
（4）小组成员中第二天单词记忆量高于4个的人数有4个，
人，
估计在此调查中第二天单词记忆量高于4个的人数为500人；
（5）从函数图象来看，刚开始的几天遗忘速度较快，后期遗忘速度变慢，根据规律建议记忆单词后一定要在后期及时复习巩固，这样记忆效果才会更好．
19. 某网络公司给出了下列三种上宽带网的收费方式(如下表)
根据表格回答：
（1）请写出A、B、C上网时间t（单位：h）关于总费用y（单位：元）的函数解析式；
（2）试探究选取哪种方式能够节省上网费用，并说明理由．
【答案】（1）；，；
（2）见详解．
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，解答时求出函数的解析式、利用不等式是关键．
（1）根据表中给出A，B，C三种上宽带网的收费方式，分别写出，即可解答；
（2）根据不等式的应用，可得答案．
【小问1详解】
解：当时，，
当时，，
；
当时，，
当时，，
，
；
【小问2详解】
解：①，解得，
当时，，A种方式能节省上网费用；
②当时，，
，解得，，
即时，B种方式能节省上网费用；
③当时，C种方式能节省上网费用．
20. 如图，在⊙O中，四边形内接于，连接，，点E在延长线上，且．
（1）探究与的位置关系，并证明；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）与相切，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，切线的证明，解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
（1）连接，可知是的直径，得，则，由，，得，则，即可证得与相切；
（2）由题意可知，在通过解直角三角形求得，则，得，，再根据勾股定理即可求解．
【小问1详解】
与相切，
证明：连接，
∵，
∴是的直径，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，则，
∴与相切；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵，，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
∴．
21. 如图1，大连大黑山被誉为辽南第一山的大黑山．大黑山拔海而起，滨岸而立，怪石嶙峋，气势壮观．如图2，假设有一航线l经过大黑山景区且与地面平行，现有一架客机沿航线l飞经景区上空，机上有一乘客使用测距相机进行拍照．当飞机恰好飞经主峰峰顶A时，该乘客自上而下正对主峰进行拍照，测得客机到主峰A的距离为，山谷谷底C到客机B的仰角为．
（1）求点A到直线的距离；
（2）飞机又以的速度向右飞行了到达点D．此时乘客测得点E关于客机的仰角为，，．根据以上信息和参考数据，求主峰A和次峰E之间的距离．
（结果保留根号，参考数据：，）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查解俯仰角直角三角形和勾股定理的应用，
（1）延长交地面与F，连接．则，，进而可得出，过点A作与点G，则即可求解．
（2）过点A作交于点K，根据题意得，结合解直角三角形求得、，和，根据勾股定理求得．
【小问1详解】
延长交地面与F，连接．
则，
∴，
过点A作与点G，
∵
∴，
故点A到直线的距离为．
【小问2详解】
过点A作交于点K，如图，
∵飞机以的速度向右飞行了到达点D，
∴，
∵乘客测得点E关于客机的仰角为，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故主峰A和次峰E之间的距离．
22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：两条切线的函数解析式分别为：，：．

（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线C与x轴的两个交点分别为A、B，切线切抛物线于点C，、交于点D．
①求的值；
②点E为抛物线C上一动点，过E分别作、的平行线分别交抛物线C于G、F，连接．点H为的中点．试判断点的纵坐标是否是定值？若是定值，请求出这个定值，若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①；②点的纵坐标不是定值，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由抛物线与直线相切可得方程，均只有一个解，进而可得，，求解即可；
（2）①根据题意求得，，，，进而可得，
由勾股定理可得：，，，过点作轴，则，过点作，由求得即可求解；
②设，由题意设的解析式为：，将代入即可求得的解析式为：，同理可得的解析式为：，联立抛物线与可得：，可得，，则，同理可得：，，则，由此可得，即可判断点的纵坐标与点的横坐标有关，不是定值．
【小问1详解】
解：∵抛物线C：两条切线的函数解析式分别为：，：．
∴方程，均只有一个解，
即：，均只有一个解，
则，，
解得：，，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
对于，令，则，解得：，，
∴，，
由抛物线与切线可得：，解得：，
当，，则切点，
由抛物线与切线可得：，解得：，
当，，则切点为，即切点为，
联立切线与切线可得，解得：，则，则，
对于，当时，，则，
∴，
由勾股定理可得：，，，
过点作轴，则，过点作，

∵，
∴，
∴，
②点的纵坐标不是定值，理由如下：
设，
由题意设的解析式为：，
将代入可得：，解得：，
则的解析式为：，
同理可得：的解析式为：，
联立抛物线与可得：，
整理得：，解得：，，则，
同理可得：，，则，
∵点H为的中点
∴，
即：点的纵坐标与点的横坐标有关，不是定值．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合问题，二次函数与一元二次方程，求正弦值等知识点，设出点的坐标，根据平行得函数解析式求得，的纵坐标是解决问题的关键．
23. 综合与实践
问题情境：数学课上，于老师出示了一个问题：
“如图，在中，，过B作，连接．直线经过的中点E．在上截取点F，使，过F作交于点H，垂足为G，连接．请直接写出图中与相等的角．”
独立思考：（1）请解答于老师提出的问题．
实践探究：（2）在原有条件不变的情况下，于老师提出了新问题，请你解答．
“的度数是否为定值?若为定值，请求出的度数；若不是定值，请求出的度数变化范围．”
问题解决：（3）数学活动小组的同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，保留原题条件，如果给出图中任意两条线段的长度，则图中所有已经用字母标记的任意线段的长度均可求．该小组提出下面的问题，请你解答．
“在原题的条件下，若，，求的长．”
【答案】（1）与相等的角是；（2）的度数为定值，，理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余即可求解；
（2）过点，点分别作，垂直于，先，得，再根据直角三角形两锐角互余证得，过点作垂直于，可证，得，可知，进而可知平分，得；
（3）结合题意又勾股定理可得，根据，可得，由，，可知，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）与相等的角是，理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即：与相等的角是；
（2）的度数为定值，，理由如下：
过点，点分别作，垂直于，则，
∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，则，，
∴，
过点作垂直于，则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴平分，
∴；
（3）∵点为中点，，
∴，则，
∵，
∴，则，
∵，，则，
∴，
∴．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，角平分线的判定等知识，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
乙
甲
收费方式
月使用费/元
包时上网时间
超时费/（元）
A
30
25
0.05
B
50
50
0.05
C
120