广东省东莞市长安实验中学2023-2024学年九年级下册开学数学试题（含解析）

这是一份广东省东莞市长安实验中学2023-2024学年九年级下册开学数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．的绝对值等于（ ）
A．B．3C．D．
2．下列四个图标中，中心对称的图形有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．中欧班列是共建“一带一路”的旗舰项目和明星品牌，是亚欧各国深化务实合作的重要载体．中欧班列“青岛号”自胶州开往哈萨克斯坦，全程7900公里．将7900用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．估计的值在（ ）
A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间
5．已知一元二次方程有一个根为1，则k的值为（ ）
A．2B．C．D．3
6．袁隆平院士被誉为“世界杂交水稻之父”，他研究的水稻，不仅高产，而且抗倒伏．在某次实验中，他的团队对甲、乙两种水稻品种进行产量稳定实验，各选取了8块条件相同的试验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为1200千克/亩，方差为，．为保证产量稳定，适合推广的品种为（ ）
A．甲B．乙C．甲、乙均可D．无法确定
7．已知与是位似图形，且与的面积比为，则与的相似比是（ ）
A．B．C．D．
8．已知点在反比例函数的图象上．若，则（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在中，，点在轴上，将绕点顺时针旋转，点的对应点的坐标为（ ）．
A．B．C．D．
10．如图，抛物线与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴为直线，下列结论：

①；②；③当时，的取值范围是；
④点都在抛物线上，则．
其中正确的结论的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．分解因式： ．
12．从，0，，，，中任取一个数，取到无理数的概率是 ．
13．将抛物线向左平移4个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ．
14．如果一个正边形的每个内角为，那么这个正边形的边数为 ．
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，斜边AB=2，O是AB的中点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆心角为90°的扇形OEF，弧EF经过点C，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（一）（本大题2小题，每小题5分，共10分）
16．计算：
17．先化简，再求值：，其中．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
18．已知：如图，网格中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上．
(1)画出绕点A逆时针旋转后的图形；
(2)求旋转过程中点所经过的路线长．
19．交警大队为了考察在一个路口的某个时段来往车辆的车速情况，随机抽取了40辆车的车速(单位：)，得到如下的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题：
(Ⅰ)图中的值为______；
(Ⅱ)求这40个样本数据的平均数、众数和中位数.
20．在哈尔滨疫情中，某蔬菜公司要将本公司物资，紧急运往香坊区进行物资援助，经与运输部门协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车，已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2900元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2800元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同．
(1)求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元？
(2)若蔬菜公司决定租用6辆运输车，且此次租车费用不超过5700元，那么该公司至少租用几辆甲型汽车？
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚为起点，沿途修建，两段长度相等的观光索道，最终到达山顶处，中途设计了一段与平行的观光平台．索道与的夹角为，与水平线夹角为，点的垂直高度为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点，，在同一水平线上．）
(1)求索道的长（结果精确到）；
(2)求山顶点到水平地面的距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，）
22．如图在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，与轴相交于点，已知点的坐标分别为和．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)点为反比例函数图象的任意一点，若，求点的坐标．
23．已知在中，，，经过点交于点．
(1)如图①，若为直径，交于点，连接，求的大小；
(2)如图②，若与相切，连接，求的大小．
六、解答题（四）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．在正方形ABCD中，E是BC的一点，在BC延长线上取点F使，过点F作FG⊥ED交ED于点M，交AB于点G，交CD于点N．
(1)证明：△CDE≌△MFE；
(2)若E是BC的中点，证明：；
(3)在（2）的条件下，求的值．
25．如图，点是轴上的点，线段轴，是的中点，连接并延长交轴于点，二次函数的图象经过的三点，与轴的另一交点为．
(1)点的坐标为______，点的坐标为______；
(2)求二次函数的表达式；
(3)在线段上有动点（不与重合），过作轴交直线于，以为边在的右侧作正方形，当点在抛物线上时，求点的坐标
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查绝对值，解题的关键是掌握正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
根据负数的绝对值是它的相反数求解即可．
【解答】解：的绝对值等于3，
故选：B．
2．B
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐个判断即可得．
【解答】解：由中心对称图形的定义可知，第一个和第二个图标都不是中心对称图形，第三个和第四个图标都是中心对称图形，
即中心对称的图形有2个，
故选：B．
【点拨】本题考查了中心对称图形，熟记中心对称图形的概念是解题关键．
3．C
【分析】将一个数表示为的形式，其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：，
故选：C．
【点拨】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．
4．D
【分析】本题考查了无理数的估算，掌握估算的方法是解题的关键．
根据，得出的大小，继而即可求解．
【解答】解：，
，
．
故选：D．
5．D
【分析】把代入方程得即可解得．
【解答】把代入方程得，
解得．
故选：D．
【点拨】此题考查了已知一元二次方程的解求参数，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解得概念．
6．A
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：，，
，
为保证产量稳定，适合推广的品种为甲，
故选：A．
【点拨】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7．A
【分析】本题考查的是求两位似三角形的相似比，掌握位似三角形的面积的比等于相似比的平方是银题的关键．
根据位似三角形面积的比等于相似比的平方进行解答即可．
【解答】解：∵与是位似图形，且与的面积比为，
∴与的相似比，
故选：A．
8．A
【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据k值判定反比例函数图象分居的象限是解题关键．
据反比例函数的所在的象限，判断即可．
【解答】解：∵，
∴在反比例函数的图象分居于第一、三象限，
点，，，在反比例函数的图象上，且，
∴，，
．
故选：A．
9．D
【分析】本题考查作图-旋转变换，平面直角坐标系，将绕点顺时针旋转，得到，过点A作轴，垂足为D，过点作轴，垂足为，根据点坐标系的距离即可求解．
【解答】解：如图，将绕点顺时针旋转，得到，过点A作轴，垂足为D，过点作轴，垂足为，
，
，
由旋转的性质得：，
，
故选：D．
10．C
【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴、抛物线与轴交点情况及抛物线的性质进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：根据函数的对称性，抛物线与轴的另外一个交点的坐标为；
①函数对称轴在轴右侧，则，而，故，
故①正确，符合题意；
②，即，
而时，，即，
，
．
②正确，符合题意；
③由图象知，当时，的取值范围是，
③错误，不符合题意；
④从图象看，当时，，
当时，，
有，
故④正确，符合题意；
正确的有①②④关，共3个．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数图象与不等式的关系．对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点．
11．
【分析】原式提取，再利用平方差公式分解即可．
【解答】原式=．
故答案为：．
【点拨】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12．
【分析】此题主要考查无理数，用概率公式求概率．如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
先判定出这6个数中的无理数个数，再根据概率公式计算即可．
【解答】解：∵，0，，，，这6个数中，有，这2个数是无理数，
∴
故答案为：．
13．
【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
先将解析式化成顶点式，再根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线向左平移4个单位长度所得抛物线解析式为：，即；
故答案为：．
14．5
【分析】根据多边形的内角和公式列出算式，计算即可．
【解答】解：解：由题意得，解得，，
解得：，
故答案为：5．
【点拨】本题考查的是正多边形的内角问题，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
15．
【分析】证明△AMO≌△CNO，将四边形CMON的面积转化为△ACO的面积，即可用割补法求出阴影部分的面积．
【解答】解：∵点O是AB的中点，
∴AO=BO=CO=1，
∵∠ACB=90°，∠EOF=90°，
∴∠CMO+∠CNO=180°，
又∠AMO+∠CMO=180°，
∴∠AMO=∠CNO，
又∠A=∠B，AO=CO，
∴△AMO≌△CNO．
∴四边形CMON的面积=△CMO的面积+△CNO的面积=△CMO的面积+△CNO的面积=△ACO的面积=△ABC面积的一半．
∴阴影部分的面积=扇形OEF的面积－四边形CMON的面积=扇形OEF的面积－△ACO的面积=．
故答案为．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定，求阴影部分的面积，解决此题的关键是合理作出辅助线．
16．3
【分析】分别计算零次幂，特殊角的正弦值，化简二次根式，绝对值，再合并即可．
【解答】解：原式

．
【点拨】本题考查的是零次幂的含义，特殊角的三角函数值，化简二次根式与绝对值，掌握以上基础运算是解本题的关键．
17．，
【分析】本题考查分式的化简求值、二次根式化简，解答本题的关键是掌握分式混合运算法则．
先算括号内的式子，然后计算括号外的除法，再将的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：
，
当时，原式．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查旋转作图，弧长的计算．掌握利用旋转的性质作旋转图形和弧长的计算公式是解题的关键．
（1）分别作出点，绕点逆时针旋转后得到的对应点，再顺次连接即可得；
（2）根据弧长公式计算可得．
【解答】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：旋转过程中点所经过的路线长，即为的长，
的长，
答：旋转过程中点所经过的路线长为．
19．（I）35；（II）这组样本数据的平均数为52.2；中位数为52；众数为53.
【分析】(Ⅰ)求出53km/h的车辆与总车辆的比即可得m的值；(Ⅱ)根据平均数、众数和中位数的定义求解即可；
【解答】（I）4+6+12+14+4=40（辆）
∴×100%=35%，
∴m=35，
故答案为35
（II）平均数：，
∵在这组样本数据中，53出现了14次，出现的次数最多，
∴这组样本数据的众数为53.
∵将这组样本数据从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是52，
有，
∴这组样本数据的中位数为52.
【点拨】本题考查了条形统计图，扇形统计图，掌握平均数、众数和中位数的定义是解题的关键．
20．(1)租用一辆甲型汽车费用是900元，租用一辆乙型汽车的费用是1000元
(2)该公司至少租用3辆甲型汽车
【分析】（1）设租用一辆甲型汽车费用是元，一辆乙型汽车的费用是元，根据题意列出二元一次方程组，解方程即可得到答案；
（2）设租用甲型汽车辆，则租用乙型汽车辆，根据题意列出不等式，解不等式即可得到答案．
【解答】（1）解：设租用一辆甲型汽车费用是元，一辆乙型汽车的费用是元，
得，
解得，
答：租用一辆甲型汽车费用是900元，租用一辆乙型汽车的费用是1000元；
（2）解：设租用甲型汽车辆，则租用乙型汽车辆，
由题意得：，
解得，
答：那么该公司至少租用3辆甲型汽车．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的实际应用以及一元一次不等式的实际应用，解题的关键是读懂题意，找准等量关系式，列出方程组和不等式．
21．(1)索道；
(2)山顶点到水平地面的距离．
【分析】本题考查解直角三角形解决实际应用题，解题的关键是熟练掌握三角函数的概念．
（1）根据的余弦直接求解即可得到答案；
（2）过点作，垂足为点，根据，两段长度相等及与水平线夹角为，求出到的距离即可得到答案；
【解答】（1）在中，
索道；
（2）过点作，垂足为点
在中，
山顶点到水平地面的距离．
22．(1)
(2)或
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象与x轴的交点，坐标与图形，三角形面积，数形结合是解题关键．
（1）先通过一次函数求出点B坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式；
（2）根据图象求出，再根据求出，根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】（1）解：把代入，
得，
解得：，
∴，
把代入，
得，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）解：把代入得：，
即点的坐标为：，
把代入，
得，
解得：，
∴，
，
，
，
，
∴，
当点的纵坐标为3时，则，解得，
当点的纵坐标为时，则，解得，
点的坐标为或．
23．(1)
(2)
【分析】（1）利用等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角计算即可．
（2）利用切线的性质，圆心角与圆周角关系定理计算即可．
【解答】（1）解：，，
．
四边形是内接四边形，
．
是直径，
．
．
（2）解：如图，连接，．
与相切，
．
．
，
．
，
．
．
．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，切线的性质，圆心角与圆周角关系定理，熟练掌握并灵活运用这些知识是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据EF=ED，以及公共角∠DEC，利用AAS即可证得；
（2）根据点E是BC边的中点，即有，在结合（1）的结论，可得，即可证明，则有；
（3）设正方形ABCD的边长为2，即有AD=DC=CB=BA=2，则有BE=EC=1，根据（2）的结论有，即可证得，则有，根据平行的性质有．利用勾股定理求出，则可求出，则问题得解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，，
∴，
又∵，，
∴；
（2）∵点E是BC边的中点，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
在Rt△GBE和Rt△GME中，
，，
∴，
∴；
（3）设正方形ABCD的边长为2，即有AD=DC=CB=BA=2，
则有BE=EC=1，
根据（2）的结论有，
∴，
∵根据（1）的结论有，
即有，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
，
∴．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行的判定与性质等知识，证明出是解答本题的关键．
25．(1)，
(2)抛物线的解析式为；
(3)点坐标．
【分析】（1）对于抛物线，令得，可得，由题意、关于对称轴对称，由此可以求出坐标．
（2）由，得到，把代入抛物线的解析式即可求出，解决问题．
（3）如图2中，设．根据条件可推出，把坐标代入抛物线解析式求出，即可解决问题．
【解答】（1）解：如图1中，
对于抛物线，令得，
，
对称轴，
∵轴，
、关于对称轴对称，
，，
故答案为：，；
（2）解：∵，
，
在和中，
，
，
，
，
把代入得
，
，
抛物线的解析式为；
（3）解：如图2中，设．
，，
直线的解析式为，
，
四边形是正方形，
，
，
点在抛物线上，
，
整理得到，
解得或（舍弃），
点坐标．
【点拨】本题考查二次函数综合题、一次函数、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会利用参数解决问题．