贵州省毕节市大方县育才学校2023-2024学年八年级下册3月月考数学试题（含解析）

这是一份贵州省毕节市大方县育才学校2023-2024学年八年级下册3月月考数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共计 12 小题，每题 3 分，共计36分）
1．设，为常数，给出下列不等式①；②；③；④，其中正确的不等式有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小圆里的表示（ ）

A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
3．如图， 在等边三角形ABC中， AD⊥BC于点D， 则∠BAD的度数为（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
4．下列命题中，假命题是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余B．等腰三角形的两底角相等
C．面积相等的两个三角形全等D．有一个角是的等腰三角形是等边三角形
5．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（ ）

A．85°B．75°C．65°D．70°
6．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若点到的距离是，则的长为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点．若，则（ ）

A．B．C．D．
8．下列数学式子：①；②；③；④；⑤；其中是不等式的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
9．与2的差不大于0，用不等式表示为（ ）
A．B．C．D．
10．若，，则的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．任意有理数
11．如图，直线相交于点，，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．以下三角形中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
卷II（非选择题）
二、填空题（本题共计 4 小题，每题 4 分，共计16分）
13．已知等腰三角形底边为，一腰上的中线分此三角形的周长成两部分，其差为，则腰长为 ．
14．在中，，，则等于 ．
15．如图，在中，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，交于，交于；②分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于．如果＝，＝，的面积为，则的面积为 ．
16．若（a－4）2+|b－2|=0，则有两边长为a、b的等腰三角形的周长为 ．
三、解答题（本题共计 9 小题，共计98分）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．解方程组：
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，求证：BE＝CF．
20．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AE是BC边上的高，AD平分∠BAC．
(1)求∠BAD的度数；
(2)求∠EAD的度数．
21．在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，的周长为，求的周长．
22．如图，点D、E在的边上，，求证：．
23．如图，已知点E，F在线段AB上，，，.求证：.
24．如图，在中，，点为的中点，边的垂直平分线交，，于点，，，连接、．

(1)求证：为等腰三角形；
(2)若，求的度数．
25．如图，和均为等边三角形，且点，在同一直线上，连结，交和分别于点，连结．

(1)请说出的理由；
(2)试说出的理由；
(3)试猜想是什么特殊的三角形，并加以证明．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据不等式的基本性质进行判断．
【解答】解：①，
．故①正确；
②若时，．故②错误；
③，
．故③正确；
④，
，
则，即．故④错误．
综上所述，正确的不等式是①③，共2个．
故选：B．
【点拨】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
2．D
【分析】根据三角形的分类可直接得到答案．
【解答】解：，
图中小圆里的表示等边三角形，
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形根据边分类的情况是解题的关键．
3．D
【分析】根据等边三角形的 “三线合一”，即可求解．
【解答】解：∵三角形ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵AD⊥BC于点D，
∴ ．
故选：D
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的 “三线合一”是解题的关键．
4．C
【分析】根据直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的概念、等边三角形的判定定理判断即可．
【解答】解：A、直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题；
B、等腰三角形的两底角相等，本选项说法是真命题；
C、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；
D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，本选项说法是真命题；
故选：C．
【点拨】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．A
【分析】由∠ACD=∠A+∠B得出∠ACD的度数．
【解答】∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD=2∠ACE=120°，
∵∠ACD=∠B+∠A，
∴∠A=120°-35°=85°，
故选：A．
【点拨】考查了三角形的外角的性质和角平分线的定义，解题关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
6．A
【分析】本题考查了平行线的性质及角平分线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
过点作，根据平行线的性质可得，又根据角平分线的性质可得，进而可求解．
【解答】过点作，如图：
点P到的距离是4，
，
，，
，
和分别平分和，
，，
，
故选：A．
7．C
【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质，解题关键是利用垂直平分线的性质添加辅助线构造等腰三角形．
连接，根据垂直平分线性质可得，则等腰三角形中，可推得直角三角形中，，又因为含角的直角三角形中，较短直角边是斜边的一半，故．
【解答】连接，

是的垂直平分线，
，
，
又，
，
，
则在直角三角形中，．
故选：C．
8．C
【分析】根据不等式的定义：用不等号连接的式子是不等式，逐个进行判断即可．
【解答】解：①，是不等式，符合题意；
②，是不等式，符合题意；
③，是等式，不符合题意；
④，是多项式，不符合题意；
⑤，是不等式，符合题意；
综上：是不等式的有①②⑤，共3个，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了不等式的定义，解题的关键是掌握用不等号连接的式子是不等式．
9．D
【分析】根据差运算、不大于的定义列出不等式即可．
【解答】解：由题意，用不等式表示为，
故选：D．
【点拨】本题考查了列一元一次不等式，熟练掌握“不大于是指小于或等于”是解题关键．
10．C
【分析】本题考查了不等式的性质：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
不等式的两边除以，得出，知不等号的方向不变，根据不等式的性质，即可求出的取值范围．
【解答】解：，，
．
故选：．
11．D
【分析】分别以点为顶点的等腰三角形有种情况，分别为，，，从这三方面考虑点的位置即可；
【解答】解：当时；
以点为圆心，的长为半径作圆，与直线在点两侧各有一个交点，此时点有个；
当时；
以点为圆心，的长为半径作圆，与直线有一个交点，此时点有个；
当时；
作的垂直平分线，与直线有一个交点，此时点有个；
∴满足条件的点总共有个；
故选：D．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形为等腰三角形，因此要注意分类讨论，由每种情况的特点选择合适的方法确定点是解题的关键．
12．D
【分析】根据等边三角形的定义即可判断．
【解答】解：①有两个角等于60°的三角形是等边三角形，
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，
③三个角都相等的三角形是等边三角形，
④三边都相等的三角形是等边三角形，
故选：D．
【点拨】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识．等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
13．6或10##10或6
【分析】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论是解题的关键．
由题意可知两部分之差可以是底边与腰之差，也可能是腰与底边之差，解答时应注意．设等腰三角形的腰长是，根据其中一部分比另一部分长2，列方程求解．
【解答】解：如图，设等腰三角形的腰长是．
当与的差是2时，即，
解得：，
10，10，8能够组成三角形，符合题意；
当与的差是2时，即，
解得：，
6，6，8能够组成三角形，符合题意．
综上所述，腰长是6或10．
故答案为：6或10．
14．3
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质．由已知三角形两个角都是，可判定三角形是等边三角形，进而利用等边三角形的性质得出结论．
【解答】解：中，，
，
是等边三角形，
又，
，
故答案为：3．
15．
【分析】本题考查了作图基本作图：作已知角的角平分线，也考查了角平分线的性质．过点作于，于，如图，利用基本作图得平分，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式计算出，从而可计算出．
【解答】解：过点作于，于，如图，
由作法得平分，
，
，
，
，
．
故答案为：20．
16．10
【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b，再根据等腰三角形和三角形三边关系分情况讨论求解即可．
【解答】解：根据题意得，a－4=0，b－2=0，
解得a=4，b=2，
①若2是腰长，则底边为4，三角形的三边分别为2、2、4，不能组成三角形，
②若4是腰长，则底边为2，三角形的三边分别为4、4、2，能组成三角形，周长=4+4+2=10．
故答案为：10．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，解决本题的关键是要熟练掌握非负数的非负性质和三角形三边关系．
17．(1)
(2)2
【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，再合并同类项，即可求解；
（2）利用平方差公式、二次根式的性质进行计算，即可求解．
【解答】（1）解：
（2）解：
【点拨】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、平方差公式是解题的关键．
18．
【分析】利用加减消元法解方程组即可．
【解答】解：
得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
方程组的解集为．
【点拨】本题考查的是解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题关键．
19．见解析
【分析】证明即可证明BE＝CF．
【解答】证明：∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE＝DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中
，
∴，
∴BE＝CF．
【点拨】本题考查了HL证明三角形全等，以及全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
20．(1)30°
(2)10°
【分析】（1）先根据三角形内角和求出∠BAC的度数，再利用角平分线解答即可；
（2）根据三角形外角性质求出∠ADE的度数，再利用直角三角形中两个锐角互余解答即可．
【解答】（1）解：∵在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－50°－70°=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠BAC=30°．
（2）解：∵∠ADE是△ABD的外角，
∴∠ADE=∠B+∠BAD=50°+30°=80°，
∵AE是BC边上的高，
∴∠DAE=90°－∠ADE=10°．
【点拨】本题考查了三角形的角平分线、高的概念，三角形内角和，三角形外角的性质等知识点．熟记各个性质是解题关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证；
（2）将的周长转化为的长即可求得．
【解答】（1）解：∵的垂直平分线交于点D，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵的垂直平分线交于点D，，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴的周长．
【点拨】此题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用．
22．证明见解析
【分析】本题主要考查了三线合一定理，过点A作C于P，利用三线合一得到P为及的中点，再根据线段之间的关系即可得证．
【解答】证明：如图，过点A作C于P．
∵
∴；
∵，
∴，
∴，
∴．
23．证明见解析
【分析】先根据线段的和差可得，再根据可得和都是直角三角形，然后根据直角三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质即可得证．
【解答】证明：，
，即，
，
和都是直角三角形，
在和中，，
，
．
【点拨】本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握直角三角形全等的判定定理是解题关键．
24．(1)见解析．
(2)
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，先求得，根据等腰三角形三线合一的性质，可求得．
（2）根据等腰三角形三线合一的性质，可求得，根据三角形内角和定理可求得的度数，结合即可求得答案．
【解答】（1）∵为线段的垂直平分线，
∴．
∵，点为的中点，
∴为线段的垂直平分线．
∴．
∴．
∴为等腰三角形．
（2）∵，点为的中点，
∴为的平分线．
∴．
∴．
∴．
∵为等腰三角形，
∴．
∴．
【点拨】本题主要考查等腰三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角的性质，牢记等腰三角形的性质（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）是解题的关键．
25．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)是等边三角形，证明见解析．
【分析】（1）利用证明即可得出答案；
（2）根据，推出，由，点、、在同一条直线上，得出，根据即可证明；
（3）由，推出，根据即可证明．
【解答】（1）解：∵和均为等边三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，点、、在同一条直线上，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：是等边三角形，理由如下：
∵，
∴（全等三角形的对应边相等），
又∵，
∴是等边三角形（有一内角为度的等腰三角形为等边三角形）．
【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质、邻补角定义、全等三角形的判定与性质，关键是利用好全等三角形以及等边三角形的性质．