2023-2024学年北京市海淀实验中学高一（下）学科展示数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市海淀实验中学高一（下）学科展示数学试卷（3月份）（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若角α的终边经过点P(−2,3)，则tanα=( )
A. −23B. 23C. −32D. 32
2.已知向量a=(1,2)，则|a|=( )
A. 3B. 3C. 5D. 5
3.MB−BA+BO+OM=( )
A. ABB. BAC. MBD. BM
4.在△ABC中，A为钝角，则点P(csA,tanB)( )
A. 在第一象限B. 在第二象限C. 在第三象限D. 在第四象限
5.sin210°=( )
A. −12B. 12C. − 32D. 32
6.如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF的中点，则AG=( )
A. 23AB+13ADB. 13AB+23ADC. 34AB+34ADD. 23AB+23AD
7.如图，在平面直角坐标系中，AB、CD、EF、GH分别是单位圆上的四段弧，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若sinαA. AB
B. CD
C. EF
D. GH
8.在△ABC中，若sinA−2csA= 102，则tanA的值为( )
A. −3B. 3C. −3或13D. 3或−13
9.“sinα=csβ”是“α+β=π2+2kπ(k∈Z)”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
10.已知函数f(x)=(x−1)3.Q是f(x)的图象上一点，若在f(x)的图象上存在不同的两点M，N，使得OM=2OQ−ON成立，其中O是坐标原点，则这样的点Q( )
A. 有且仅有1个B. 有且仅有2个C. 有且仅有3个D. 可以有无数个
二、填空题：本题共5小题，共18分。
11.已知向量a=(1,−2)，b=(3,1)，则a+2b= ______．
12.已知csα4sinα−2csα=16，则tanα= ______．
13.在△ABC中，点D满足BD=4DC，若AD=xAB+yAC，则x−y= ______．
14.时间经过4h(时)，时针转了______度，等于______弧度；若时针长度是1厘米，则时针4h(时)转出的扇形面积是______平方厘米．
15.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=12×(弦×矢+矢2).弧田如图，由圆弧和所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为2π3，弦长为2 3米的弧田.按照上述方法计算弧田的矢为______米；面积为______平方米．
三、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算求值：
(1)sin5π+sin256π+cs253π+tan(−254π)；
(2)sin2120°+cs180°+tan45°−cs2(−330°)+sin(−210°)．
17.(本小题9分)
已知函数f(x)=1−cs2xsinx．
(Ⅰ)求f(x)的定义域；
(Ⅱ)若f(θ)=2 55，且θ∈(π2,π)，求tan(π−θ)的值．
18.(本小题9分)
已知点A(5,−2)，B(−1,4)，C(3,3)，M是线段AB的中点．
(Ⅰ)求点M和AB的坐标；
(Ⅱ)若D是x轴上一点，且满足BD//CM，求点D的坐标．
19.(本小题12分)
已知角α是第三象限角，且f(α)=cs(π2−α)cs(2π−α)tan(α+π)tan(−α−π)sin(−π−α)．
(1)化简f(α)；
(2)若sin(α−π)=15，求f(α)的值；
(3)若α=−2310°，求f(α)的值．
20.(本小题10分)
若定义域R的函数f(x)满足：
①∀x1，x2∈R，(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]≥0，②∃T>0，∀x∈R，f(x+T)=f(x)+1.则称函数f(x)满足性质P(T)．
(Ⅰ)判断函数f(x)=2x与g(x)=sinx是否满足性质P(T)，若满足，求出T的值；
(Ⅱ)若函数f(x)满足性质P(2)，判断是否存在实数a，使得对任意x∈R，都有f(x+a)−f(x)=2021，并说明理由；
(Ⅲ)若函数f(x)满足性质P(4)，且f(−2)=0.对任意的x∈(−2,2)，都有f(−x)=−f(x)，求函数g(t)=tf(t)+f(t)f(4t)的值域．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵角α的终边经过点P(−2,3)，
∴tanα=3−2=−32，
故选：C．
利用任意角的三角函数的定义求解．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意，向量a=(1,2)，则|a|= 12+22= 5，
即|a|= 5，
故选：D．
根据题意，由向量的坐标结合向量的模的计算公式，计算可得答案．
本题考查向量模的计算，关键是理解向量的坐标以及向量模的定义．
3.【答案】A
【解析】解：因为：MB−BA+BO+OM=OM+MB+BO−BA=AB，
故选：A．
根据向量的减法的运算法则进行求解即可．
本题主要考查平面向量的基本运算，比较基础．
4.【答案】B
【解析】解：△ABC中，A为钝角，所以B为锐角，
所以csA<0，tanB>0，
所以点P(csA,tanB)在第二象限内．
故选：B．
根据三角形内角和定理与三角函数值的符号法则，判断即可．
本题考查了三角形内角和定理与三角函数值符号的判断问题，是基础题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查利用诱导公式进行化简所给的式子，属于基础题．
由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．
【解答】
解：sin210°=sin(180°+30°)=−sin30°=−12，
故选：A．
6.【答案】C
【解析】【分析】
建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示，列出方程组，即可求出AG=xAB+yAD中的x与y的值．
本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，也考查了数形结合的解题思想，是基础题目．
【解答】
解：建立平面直角坐标系，如图所示；
矩形ABCD中，AB=2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF中点，
设B(2,0)，则D(0,1)，E(2,12)，F(1,1)，
∴G(32,34)；
∴AG=(32,34)，AB=(2,0)，AD=(0,1)，
设AG=xAB+yAD，
则(32,34)=(2x,y)，
即2x=32y=34，
解得x=34，y=34；
∴AG=34AB+34AD．
故选：C．
7.【答案】C
【解析】解：若P在AB段，正弦大于余弦，sinα若P在CD段，正切最大，余弦最小，则sinα若P在EF段，正切最大，正弦最小，sinα若P在GH段，余弦为正值，正弦和正切为负值，sinα∴P所在的圆弧最有可能的是EF．
故选：C．
根据三角函数线的定义，分别进行判断排除即可得答案．
本题主要考查三角函数象限和符号的应用，分别判断三角函数线的大小是解决本题的关键，是中档题．
8.【答案】A
【解析】解：由题意，在△ABC中，sinA=2csA+ 102，
所以sin2A+cs2A=(2csA+ 102)2+cs2A=1，整理可得5cs2A+2 10csA+32=0，
解得sinA=3 1010csA=− 1010，或sinA=− 1010csA=−3 1010(舍去)，
所以tanA=sinAcsA=−3．
故选：A．
利用同角三角函数的基本关系求得sinA和csA的值，可得tanA的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，考查了转化思想和方程思想，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】解：sinα=csβ⇒cs(π2−α)=csβ，
∴β=2kπ±(π2−α)，k∈Z．
化为：α+β=π2+2kπ，k∈Z，或β−α=−π2+2kπ，k∈Z，
∴“sinα=csβ“是“α+β=π2+2kπ，k∈Z“的必要不充分条件．
故选：B．
sinα=csβ⇒cs(π2−α)=csβ，可得β=2kπ±(π2−α)，k∈Z.即可判断出结论．
本题考查了三角函数方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10.【答案】A
【解析】解：因为OM=2OQ−ON，则OM+ON=2OQ，所以Q为MN的中点，
因为函数f(x)=(x−1)3关于点(1,0)成中心对称，
所以当Q的坐标为(1,0)时，取关于点Q对称的点M，N符合题意，
M，N在(1,0)两侧时，中点也要在函数f(x)上，只能是(1,0)，
M，N在(1,0)同侧时，相当于M，Q，N所在的直线与f(x)在一侧有3个交点，不可能成立，
故满足条件的Q只有一个，
故选：A．
先由已知可得Q为M，N的中点，然后根据函数f(x)的对称性即可做出判断．
本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到函数的对称性，考查了学生的分析问题的能力，属于中档题．
11.【答案】(7,0)
【解析】解：∵a=(1,−2)，b=(3,1)，
∴a+2b=(1,−2)+2(3,1)=(7,0)，
故答案为：(7,0)．
根据向量的坐标运算求出a+2b的坐标即可．
本题考查了向量的坐标运算，是基础题．
12.【答案】2
【解析】解：∵csα4sinα−2csα=16，
∴14tanα−2=16，
∴4tanα−2=6，
∴tanα=2，
故答案为：2．
对已知等式分子分母同时除以csα，即可求出tanα的值．
本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，是基础题．
13.【答案】−35
【解析】解：在△ABC中，点D满足BD=4DC，若AD=xAB+yAC，
如图，可知AD=15AB+45AC，
所以x=15，y=45，
则x−y=−35．
故答案为：−35．
利用已知条件画出图形，利用平面向量的基本定理，求解x，y即可．
本题考查平面向量的基本定理的应用，是基础题．
14.【答案】−120 −2π3 π3
【解析】解：时针一小时转过−30°，所以时间经过4h时针转了−120°，即−120°=−(120×π180)rad=−2π3rad，
又时针长度是1厘米，则时针4h(时)转出的扇形面积S=12×2π3×12=π3(平方厘米)．
故答案为：−120；−2π3；π3．
根据任意角的概念及角度制与弧度制的转化关系化为弧度制，再由扇形面积公式计算可得．
本题主要考查了弧度制的定义，考查了扇形的面积公式，属于基础题．
15.【答案】1 3+12
【解析】解：如图所示，过O作OM⊥AB于M，OM的延长线交AB于C．
则∠AOB=2π3，AB=2 3m，所以∠AOM=∠MOB=π3，AM=MB= 3m，
所以AO=AMsin∠AOM= 3 32=2m，OM=OAcs∠AOM=1m，
所以CM=OC−OM=1m，
则弧田面积是12×(2 3×1+12)= 3+12(m2)．
故答案为：1； 3+12．
如图所示，过O作OM⊥AB于M，OM的延长线交AB于C，利用锐角三角函数求出AO、OM，即可求出CM，再由弧田面积公式计算可得．
本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
16.【答案】解：(1)sin5π+sin256π+cs253π+tan(−254π)
=sin(π+4π)+sin(16π+4π)+cs(13π+8π)+tan(34π−7π)
=sinπ+sin16π+cs13π+tan34π=0+12+12−1=0；
(2)sin2120°+cs180°+tan45°−cs2(−330°)+sin(−210°)
=( 32)2−1+1−cs2(30°−360°)+sin(150°−360°)
=34−cs230°+sin150°=34−( 32)2+12=12．
【解析】(1)(2)根据诱导公式，结合特殊角的三角函数值，化简计算，即可得出答案．
本题主要考查了诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
17.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知sinx≠0，
∴x≠kπ(k∈Z)，
∴f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}．
(Ⅱ)f(x)=1−cs2xsinx=sin2xsinx=sinx，
∵f(θ)=2 55，
∴sinθ=2 55，
又∵θ∈(π2,π)，∴csθ=− 1−sin2θ=− 55，
∴tan(π−θ)=−tanθ=−sinθcsθ=2．
【解析】(Ⅰ)由sinx≠0即可求出f(x)的定义域．
(Ⅱ)先化简函数f(x)的解析式，再代入f(θ)=2 55，得到sinθ=2 55，在根据同角三角函数间的基本关系和角θ的范围求解即可．
本题主要考查了三角函数的恒等变形及化简，考查了同角三角函数间的基本关系，是基础题．
18.【答案】解：(Ⅰ)∵A(5，−2)，B(−1,4)，M是线段AB的中点，
∴M(5−12,−2+42)=(2,1)，
AB=OB−OA=(−1,4)−(5,−2)=(−6,6)；
(Ⅱ)设D(x,0)，则BD=(x+1,−4)，CM=(−1,−2)，
∵∴(x+1)⋅(−2)−(−4)⋅(−1)=0，解得：x=−3，
∴点D的坐标是(−3,0)．
【解析】(Ⅰ)根据向量的运算性质计算即可；(Ⅱ)根据向量的线性运算计算即可．
本题考查了向量的坐标运算，考查平行向量，是基础题．
19.【答案】解：(1)f(α)=cs(π2−α)cs(2π−α)tan(α+π)tan(−α−π)sin(−π−α)=sinα⋅csα⋅tanα−tanα⋅sinα=−csα．
(2)∵sin(α−π)=15，∴sinα=−15，
∵α是第三象限角，
∴csα=− 1−sin2α=−2 65，
∴f(α)=−csα=2 65．
(3)∵α=−2310°=−(12×180°+150°)，
∴csα=cs150°=− 32，
∴f(α)=−csα= 32．
【解析】(1)利用诱导公式进行化简，即可；
(2)先利用诱导公式可得sinα的值，再由同角三角函数的平方关系求得csα的值后，得解；
(3)由−2310°=−(12×180°+150°)，以及诱导公式，可得解．
本题主要考查诱导公式的应用，还涉及同角三角函数的关系式、角在各象限的符号，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
20.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=2x为增函数，满足性质①，
对于②，由∀x∈R，f(x+T)=f(x)+1有2(x+T)=2x+1，
所以2T=1，T=12，
所以函数f(x)=2x满足性质P(12).
函数g(x)=sinx显然不满足①，所以不满足性质P(T)．
(Ⅱ)存在，理由如下：
由∀x∈R，f(x+2)=f(x)+1．
可得f(x+2n)=f(x+2n−2)+1=f(x+2n−4)+2=f(x+2n−6)+3=…=f(x)+n(n∈N*)，
即f(x+2n)−f(x)=n，
令n=2021，得a=2n=4042．
(Ⅲ)依题意，对任意的x∈(−2,2)，都有f(−x)=−f(x)，所以f(0)=0，
因为函数f(x)满足性质P(4)，
由①可得，在区间[−2,0]上有f(−2)≤f(x)≤f(0)，
又因为f(−2)=0，所以0≤f(x)≤0，可得任意x∈[−2,0]，f(x)=0，
又因为对任意的x∈(−2,2)，都有f(−x)=−f(x)，
所以任意的x∈[−2,2)，f(x)=0，
递推可得任意的x∈[4k−2,4k+2)，k∈Z，有f(x)=k，
函数g(t)=tf(t)(f(4t)+1)，因为f(t)≠0，所以t∉[−2,2)，
由②及f(−2)=0，可得f(2)=1，
所以当t=2时，g(2)=21×(1+1)=1，
当|t|>2时，4t∈(−2,2)，所以f(4t)=0，
即|t|>2时，g(t)=tf(t)，
所以当t∈[4k−2,4k+2)(k∈Z,k≠0,t≠2)时，g(t)=tk，
当k≥1时，g(t)∈[4k−2k,4k+2k)=[4−2k，4+2k)(当k=1时，g(t)≠2，需要排除)，
此时2k随k的增大而减小，所以[4−2k+1,4+2k+1)⫋[4−2k，4+2k)，
所以求值域，只需取k=1，得g(t)∈[4−21,4+21)=[2，6)，
当k<0时，g(t)∈(4k+2k,4k−2k]=(4+2k，4−2k]，
此时2k随k的增大而减小，所以(4+2k−1,4−2k−1]⫋(4+2k，4−2k]，
只需取k=−1，得g(t)∈(4+2−1,4−2−1]=(2，6]．
综上，函数g(t)的值域为{1}∪(2,6]．
【解析】(Ⅰ)利用定义分别判断即可求解得结论；
(Ⅱ)由②计算可得f(x+2n)=f(x)+n，即f(x+2n)−f(x)=n，令n=2021即可求得a的值；
(Ⅲ)根据已知可得任意的x∈[−2,2)，f(x)=0，递推可得任意的x∈[4k−2,4k+2)，k∈Z，有f(x)=k，由f(t)≠0，可得t∉[−2,2)，分t=2，|t|>2两种情况分别求出g(t)的值域即可得解．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查新定义，函数值域的求法，考查逻辑推理与运算求解能力，属于难题．