第九章 模型1条件概率与全概率公式的应用模型 （含解析）2024年高考数学三轮冲刺考点归纳

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【问题背景】我们知道，“条件概率”和“全概率公式”是新 版高中数 学 教 材 中两个 重 点 内容，也是新高考的必考内容之一，在解题过程中并不是完全孤立的，也是有一些规律可循的.
【解决方法】
【典例1】（22-23高三下·河南郑州·期末）有50人报名足球兴趣班，60人报名乒乓球兴趣班，共有70人报名足球或乒乓球兴趣班，若已知某人报名足球兴趣班，则其报名乒乓球兴趣班的概率为（ ）
A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1
【套用模型】
第一步：审题，定概型
关键信息是“已知某人报名足球兴趣班，则其报名乒乓球兴趣班的概率”，判断为条件概率.
【找关键】当题目中涉及“在……的条件（前提）下”“已知……则”等字眼，一般可初步判断为条件概率
第二步：根据概型定策略，代值运算.
直接从条件概率的定义式入手
报名两个兴趣班的人数为50+60-70=40，
记“某人报名足球兴趣班”为事件A，记“某人报名乒乓球兴趣班”为事件B，
则，所以.
第三步：得到结论.
故选A.
【典例2】（2023新课标I卷）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
（1）求第2次投篮的人是乙的概率.
（2）求第i次投篮的人是甲的概率.
（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，，，则.记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求.
【套用模型】
第一步：审题，定概型.
第2次投篮的人是乙受第一次投篮的人是谁的影响，根据题意判断为全概率.
【技巧点拨】若随机事件可以分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体怎样未知，如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式计算
用字母表示事件：记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件.
第二步：根据概型定策略，代值运算.
所以.
第三步：得到结论.
所以第2次投篮的人是乙的概率为0.6.
（2）设，依题可知，，
则，
即.
构造等比数列，设，解得，则.
又，所以是首项为、公比为的等比数列，
即.
（3）因为，所以当时，
，
故.
【典例3】（22-23高三下·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是（ ）
A.该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08
B.该零件是次品的概率为0.03
C.如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98
D.如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为
【套用模型】
第一步：审题，用数学语言翻译已知信息.
记事件A：车床加工的零件为次品.
记事件：任取一个零件，该零件是第i台车床加工的零件.
则.
第二步：判断概型，根据概型定策略，代值运算.
对于A，任取一个零件，其是第1台车床生产出来的次品的概率为，故A错误.
【敲黑板】概率的乘法公式本质上与条件概率公式等价，解题时要灵活运用
对于B，任取一个零件，其是次品的概率为，故B正确.
对于C，如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为，故C正确.
对于D，如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为，故D正确.
第三步：得到结论.
故选BCD.
一、单选题
（23-24高三上·江西·期末）
1．甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（ ）
A．，互斥B．C．D．
（2024·宁夏吴忠·模拟预测）
2．已知甲同学从学校的2个科技类社团，4个艺术类社团，3个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在仅有一个是艺术类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率（ ）
A．B．C．D．
（23-24高三上·安徽合肥·期末）
3．若某地区一种疾病流行，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性，该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为0.0688，则该地区疾病的患病率是（ ）
A．0.02B．0.98C．0.049D．0.05
（2024·云南·模拟预测）
4．小张､小王两人计划报一些兴趣班，他们分别从“篮球､绘画､书法､游泳､钢琴”这五个随机选择一个，记事件：“两人至少有一人选择篮球”，事件：“两人选择的兴趣班不同”，则概率（ ）
A．B．C．D．
（2024·福建福州·模拟预测）
5．甲、乙、丙三个地区分别有、、的人患了流感，且、、构成以为公差的等差数列．已知这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地区的概率最大，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
（2024·四川德阳·模拟预测）
6．质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7……，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件，这两个数都是素数；事件：这两个数不是孪生素数，则（ ）
A．B．C．D．
（2024·江苏宿迁·一模）
7．人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（ ）
A．B．C．D．
（2024·河南信阳·二模）
8．随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
（2024·湖北武汉·模拟预测）
9．“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为 ．
（2023·四川成都·一模）
10．石室校园，望楼汉阙，红墙掩映，步移景异！现有甲、乙、丙、丁四位校友到“文翁化蜀”、“锦水文风”、“魁星阁”、“银杏大道”4处景点追忆石室读书时光.若每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了锦水文风”，则 .
（2024·云南昆明·模拟预测）
11．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.3，0.5，0.6．飞机被一人击中而落地的概率为0.2，被两人击中而落地的概率为0.8，若三人都击中，飞机必定被击落．则飞机被击落的概率为 ．
（23-24高三上·江苏扬州·期末）
12．有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮件，并将其标记为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为，被标记为垃圾邮件的有的概率是正常邮件，被标记为正常邮件的有的概率是垃圾邮件，则垃圾邮件被该系统成功过滤（即垃圾邮件被标记为垃圾邮件）的概率为 .
三、解答题
（2023·河南·三模）
13．某学校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%．学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的，，．若主持人随机从场下学生中选一人参与互动．
(1)求选到的学生是艺术生的概率；
(2)如果选到的学生是艺术生，判断其来自哪个班的可能性最大．
（2024·广东江门·一模）
14．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，且传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为：发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.假设发送信号0和1是等可能的.
(1)已知接收的信号为1，且，求发送的信号是0的概率；
(2)现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).已知发送1，若采用三次传输方案译码为1的概率大于采用单次传输方案译码为1的概率，求β的取值范围.
参考答案：
1．C
【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】因为每次只取一球，故，是互斥的事件，故A正确；
由题意得，，，，
，故B，D均正确；
因为，故C错误.
故选：C.
2．A
【分析】设事件为“仅有一个是艺术类社团”，事件为“另一个是体育类社团的概率”，利用条件概率公式可得结论.
【详解】设事件为“仅有一个是艺术类社团”，事件为“另一个是体育类社团的概率”，
则，，
.
故选：A.
3．A
【分析】根据条件概率以及对立事件的概率，结合题意写出对应概率，利用全概率公式，可得答案.
【详解】设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件，
则
故所求概率，解得.
故选：A.
4．C
【分析】根据相互独立事件及对立事件概率计算公式及条件概率公式进行计算即可.
【详解】由题意可知：两人都没选择篮球，即，
所以，
而：有一人选择篮球，另一人选别的兴趣班，
则，
所以，
故选:C.
5．D
【分析】设事件、、分别为“此人来自甲、乙、丙三个地区”，事件为“此人患了流感”．利用条件概率公式计算出，根据题中条件可得出关于的不等式组，即可解得的取值范围，即可得解.
【详解】设事件、、分别为“此人来自甲、乙、丙三个地区”，
事件、、分别为“此人患了流感，且分别来自甲、乙、丙地区”，
事件为“此人患了流感”．
由题可知，，，，
，
由条件概率公式可得，
，，
由题意可得，即，解得，
故选：D.
6．D
【分析】根据条件概率的计算方法求得正确答案.
【详解】不超过的自然数有个，其中素数有共个，
孪生素数有和，和，和，和，共组.
所以，，
所以.
故选：D
7．C
【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果.
【详解】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B，
则，
由贝叶斯公式得：，
故选：C．
8．B
【分析】设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，利用全概率公式以及条件概率公式即可得到答案.
【详解】设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，
由题意可知：，
则，
，
若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是.
故选：B.
9．
【分析】定义从出发最终从1号口出的概率为，结合独立乘法、互斥加法列出方程组即可求解.
【详解】设从出发最终从1号口出的概率为，所以，解得.
故答案为：.
10．
【分析】根据题意先分别求出，再根据条件概率公式即可得解.
【详解】由题意可知，4人去4个不同的景点，总事件数为，事件的总数为，
所以，
事件和事件同时发生，
即“只有甲去了锦水文风，另外3人去了另外3个不同的景点”，
则事件的总数为，
所以，
所以.
故答案为：.
11．
【分析】分飞机被几人击中情况由条件概率公式和全概率公式求解.
【详解】解析：设事件，事件，，，，
由题意可得，，，，
，，
0.36，
，
由全概率公式得，所以飞机被击落的概率为．
故答案为：
12．
【分析】记“正常邮件”，“标记为正常邮件”，根据题设有，，，再应用对立事件、条件概率、全概率及贝叶斯公式求垃圾邮件被该系统成功过滤的概率.
【详解】记“正常邮件”，“标记为正常邮件”，则，，，
所以，，
故，
所以.
故答案为：
13．(1)
(2)来自丙班的可能性最大
【分析】（1）依据题意根据全概率公式计算即可；
（2）根据条件概率公式分别计算，即可判断.
【详解】（1）设“任选一名学生恰好是艺术生”，
“所选学生来自甲班”，“所选学生来自乙班”,
“所选学生来自丙班”．由题可知：
，，，
，，

.
（2）；


所以其来自丙班的可能性最高．
14．(1)
(2)
【分析】（1）由题意确定发送的信号为0、1的概率以及接收信号为0、1的概率，根据全概率公式可求出已知接收的信号为1的概率，根据条件概率的计算公式，即可求得答案；
（2）分别求出采用三次传输方案译码为1的概率和采用单次传输方案译码为1的概率，由题意列出不等式，解不等式，即可求得答案.
【详解】（1）设A：发送的信号为1，B：接收到的信号为1，
则：发送的信号为0，：接收到的信号为0，
则，
故
，
故；
（2）采用三次传输方案译码为1的概率为，
采用单次传输方案译码为1的概率为，
由题意得
而，故，
故.