2024年吉林省名校调研（省命题七十七）中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年吉林省名校调研（省命题七十七）中考数学一模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.54的倒数是( )
A. −54B. −45C. 54D. 45
2.2023年12月31日据云南网报道，云南单体最大光伏项目在临沧市镇康县忙丙乡顺利并网发电，标志着360兆瓦光伏复合项目全部建成投产，与相同发电量的火电相比，每年可节约标准煤197000吨，可减少多种大气污染物的排放.其中数据197000用科学记数法表示为( )
A. 1.97×106B. 1.97×105C. 19.7×106D. 19.7×105
3.如图所示的几何体，主视图是( )
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. 3+ 2=5B. x8÷x2=x4C. 2× 3= 5D. (a5)2=a10
5.已知⊙O中半径OC=3，∠BAC=30°，则弦BC的长度为( )
A. 3
B. 32
C. 3 2
D. 2 3
6.某口琴社团为练习口琴，第一次用1200元买了若干把口琴，第二次在同一家商店用2200元买同一款的口琴，这次商家每把口琴优惠5元，结果比第一次多买了20把.求第一次每把口琴的售价为多少元？若设第一次买的口琴为每把x元，列方程正确的是( )
A. 1200x−5−2200x=20B. 2200x−1200x−5=20
C. 1200x−2200x−5=20D. 2200x−5−1200x=20
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.分解因式：a2b−b3=______．
8.不等式2x−4>8的解集为______．
9.若关于x的方程x2−2x+m=0有两个相等的实数根，则m=______．
10.如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点A与直尺的一边重合，若∠1=30°，则∠2的度数是______°.
11.如图，已知等边△ABC边长为4，点D是边AB上一点，BD=1，以点A为圆心，BD的长为半径画弧交AC于点E，连接DE，分别以点E和点D为圆心，大于12DE的长为半径画弧分别交于点G和点H，作直线GH交AD于点F，则△AEF的周长等于______．
12.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是△ABC的角平分线.把△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点B的对应点是点E，则点D与点F之间的距离是______．
13.如图，△ABC中，AC=AB=9，∠C=65°，以点A为圆心，AB长为半径画DE，若∠1=∠2，则DE的长(结果保留π)为______．
14.某市民广场有一个直径16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头(喷水头高度忽略不计)，各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3米处达最高5米，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的他站立时必须在离水池中心O______米以内．
三、解答题：本题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题5分)
先化简，再求值：(1−2x−1)⋅x2−xx2−6x+9，其中x=4．
16.(本小题5分)
如图，点E、F在BD上，且AB=CD，BF=DE，AE=CF，求证：∠AEO=∠CFO．
17.(本小题5分)
为美化校园环境，学校计划分两次购进杜鹃花和四季海棠两种花卉.第一次购进60盆杜鹃花，80盆四季海棠，共花费1700元；第二次购进100盆杜鹃花，160盆四季海棠，共花费3100元，且每次购进的单价相同.求杜鹃花、四季海棠每盆的价格分别是多少元？
18.(本小题5分)
一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“长”“春”“冰”“雪”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
(1)若从中任取一个球，则球上的汉字刚好是“长”的概率为______；
(2)从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用画树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“冰雪”的概率．
19.(本小题7分)
如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点上，请按下列要求计算并用无刻度的直尺画出图形.(保留作图痕迹)
(1)如图1，在△ABC中，tanB= ______；
(2)如图2，在AC边上取一点D，使得tan∠ABD=12；
(3)如图3，在AC边上找一点E，使得S△ABE：S△BEC=3．
20.(本小题7分)
某款SUV型汽车后备厢门正常开启时如图所示，该车型高AB=1.7m，后备厢门长BC=1.2m，当后备厢门正常开启后，∠ABC=120°.某车主的储藏室空间高度为2.45m，问该车停入储藏室后能否正常开启后备厢门．
21.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，反比例函数y=kx(x>0)的图象分别与AB、BC交于点D(4,1)和点E，且D为AB的中点．
(1)求反比例函数的解析式和点E的坐标；
(2)若一次函数y=mx+n与反比例函数y=kx(x>0)的图象相交于D、E两点，直接写出不等式mx+n>kx的解集．
22.(本小题7分)
科学实验是获取经验事实和检验科学假说、理论真理性的重要途径，某校为进一步培养学生实践创新能力，提高学生科学素养，营造爱科学、学科学、用科学的浓厚氛围，将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，学校科技部随机对该校部分学生进行了“最希望演示的一项实验”问卷调查，得到下列不完整的统计图，请结合统计图，回答下列问题：

(1)求此次调查中接受调查的人数；
(2)通过计算，请补全条形统计图；
(3)如果这所学校有1500名学生，请估计该校最希望演示B项实验的学生有多少人？
23.(本小题8分)
甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息解答下列问题：
(1)甲队在开挖后6小时内，每小时挖______m.
(2)当2≤x≤6时，求y乙与x的之间的函数关系式．
(3)直接写出开挖后几小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差5m．
24.(本小题8分)
综合与实践
【问题情境】
如图①，小颖将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在射线BD上，点B的对应点记为B′，折痕与边AD、BC分别交于点E、F．
【活动猜想】
(1)如图②，当点B′与点D重合时，请判断四边形BEDF的形状并证明；
【问题解决】
(2)在矩形纸片ABCD中，若边AB=2，BC=2 3，AC与BD交于点O．
①请判断A′B′与对角线AC的位置关系并仅就图③说明理由；
②当B′D=1时，请直接写出此时AE的长．
25.(本小题10分)
如图，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，BC=3.点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC向终点C运动.同时，点Q也从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线BC运动.当点P到达点C时，P、Q同时停止运动.以PQ为对角线作矩形PNQM，PN/​/AB.设矩形PNQM和△ACB重叠部分面积为S(S>0)，点P运动的时间为t秒．
(1)线段PQ的长为______(用含t的代数式表示)．
(2)当点N落在AC上时，求t的值．
(3)当点N在△ACB内部时，求S与t的之间函数关系式．
(4)连结AM，当线段AM将矩形PNQM分成两部分的面积比1：3时，直接写出t的值．
26.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c(b、c为常数)的对称轴为直线x=1，与y轴交点坐标为(0,3)．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)当点(m−1,1)在此抛物线上，且抛物线在x>m时，y随x的增大而减小，则m的值是______；
(3)点A、点B均在这个抛物线上(点A在点B的左侧)，点A的横坐标为m，点B的横坐标为4−m.将此抛物线上A、B两点之间的部分(包括A、B两点)记为图象G．
①当点A在x轴上方，图象G的最高点与最低点的纵坐标差为6时，求m的值；
②设点D(m,m)，点E(m,1−m)，将线段DE绕点D逆时针旋转90°后得到线段DF，连结EF，当△DEF和图象G有公共点时，直接写出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：54的倒数是45，
故选：D．
乘积是1的两个数互为倒数，由此计算即可．
本题考查了倒数，熟知倒数的定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：197000=1.97×105，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】解：这个立体图形的主视图为：
．
故选：B．
根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握解答几何体三视图的画法是正确解答的前提．
4.【答案】D
【解析】解：A． 3与 2不能合并，所以A选项不符合题意；
B.x8÷x2=x6，所以B选项不符合题意；
C. 2× 3= 2×3= 6，所以C选项不符合题意；
D.(a5)2=a10，所以D选项符合题意．
故选：D．
根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据同底数幂的除法法则对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据幂的乘方对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．也考查了整式的运算．
5.【答案】A
【解析】解：连接OB，
∵OC=3，∠BAC=30°，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴BC=OC=3．
故选：A．
根据OC=3，∠BAC=30°，由圆周角定理可得到∠BOC=60°，即可证明△BOC是等边三角形，即可求得答案．
本题考查圆周角定理及等边三角形的判定与性质，掌握圆周角定理是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：设设第一次买的口琴为每把x元，根据题意可得，2200x−5−1200x=20，
故选：D．
设设第一次买的口琴为每把x元，根据这次商家每把口琴优惠5元，列出方程解答即可．
本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程解答即可．
7.【答案】b(a+b)(a−b)
【解析】解：原式=b(a2−b2)=b(a+b)(a−b)，
故答案为：b(a+b)(a−b)
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
8.【答案】x>6
【解析】解：∵2x−4>8，
∴2x>12，
∴x>6，
故答案为：x>6．
根据解一元一次不等式的方法可以解答本题．
本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
9.【答案】1
【解析】解：∵关于x的方程x2−2x+m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=(−2)2−4m=0，
解得：m=1．
故答案为：1．
根据题意，关于x的方程x2−2x+m=0有两个相等的实数根，由根的判别式Δ=b2−4ac=(−2)2−4m=0得出关于m的方程，然后解关于m的方程即可．
本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式Δ=b2−4ac与根的关系是解题关键．
10.【答案】60
【解析】解：∵∠1+∠3=90°，∠1=30°，
∴∠3=90°−∠1=60°，
∵直尺的两边平行，
∴∠2=∠3=60°
故答案为：60．
本题主要利用两直线平行，同旁内角互补以及对顶角相等进行做题．
本题考查了正确观察图形，熟练掌握平行线的性质和对顶角相等．
11.【答案】4
【解析】解：由作图可知，GH垂直平分线段DE，
∴FD=FE，
∵AB=AC=4，BD=AE=1，
∴AD=AB−BD=3，
∴△AEF的周长=AF+EF+AE=AF+FD+AE=AD+AE=3+1=4．
故答案为：4．
证明FD=FE，证明△AEF的周长=AD+AE，可得结论．
本题考查作图−复杂作图，等边三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．
12.【答案】4 2
【解析】解：连接DF，如图，
∵AB=AC=5，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD=12BC=3，
在Rt△ABD中，AD= AB2−BD2= 52−32=4，
∵△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，
∴AF=AD=4，∠DAF=90°，
∴△ADF为等腰直角三角形，
∴DF= 2AD=4 2，
即点D与点F之间的距离是4 2．
故答案为：4 2．
连接DF，如图，先根据等腰三角形的“三线合一”得到AD⊥BC，BD=CD=3，再利用勾股定理计算出AD=4，接着利用旋转的性质得到AF=AD=4，∠DAF=90°，所以△ADF为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出DF即可．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．
13.【答案】52π
【解析】【分析】
本题考查了扇形的弧长，等腰三角形的性质，求出∠DAE的度数是解题的关键．先由等腰三角形的性质得出∠CAB=50°.再由∠1=∠2得到∠CAB=∠DAE=50°，然后根据弧长公式解答即可．
【解答】
解：∵AB=AC=9，∠C=65°，
∴∠CAB=50°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
∴∠CAB=∠DAE=50°，
∴弧DE的长为50π×9180=52π.
14.【答案】7
【解析】解：设OA右侧的抛物线的解析式为y=a(x−3)2+5，
∵某市民广场有一个直径16米的圆形喷水池，
∴该抛物线过点(8,0)，
∴0=a(8−3)2+5，得a=−15，
∴OA右侧的抛物线的解析式为y=−15(x−3)2+5=−15x2+65x+165，
当y=1.8时，1.8=−15(x−3)2+5，得x1=7，x2=−1，
∵各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，点A的坐标为(0,165)，
∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心O7米以内，
故答案为：7．
根据题意，可以设出OA右侧的抛物线解析式，然后根据题意，可以求得抛物线的解析式，再令y=1.8求出x的值，再结合函数图象，即可得到王师傅应站在离中心O多少米的范围内才不会被淋湿．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
15.【答案】解：原式=(x−1x−1−2x−1)⋅x(x−1)(x−3)2
=x−3x−1⋅x(x−1)(x−3)2
=xx−3，
当x=4时，原式=44−3=4．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
16.【答案】证明：∵BF=DE，
∴BF−EF=DE−EF，
即BE=DF，
在△ABE和△DFC中，
AB=CDBE=DFAE=CF，
∴△ABE≌△CDF(SSS)，
∴∠AEB=∠CFD，
∴∠AEO=∠CFO．
【解析】根据SSS证明△ABE≌△CDF即可推出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
17.【答案】解：设杜鹃花每盒的价格是x元，四季海棠每盒的价格是y元，根据题意，得
60x+80y=1700100x+160y=3100，
解得x=15y=10．
答：杜鹃花每盆的价格是15元，四季海案每盆的价格是10元．
【解析】设杜鹃花的价格是x元，四季海棠每盆的价格是y元，根据第一次购进60盆杜鹃花，80盆四季海棠，共花费1700元：第二次购进100盆杜鹃花，160盆四季海案，共花费3100元，列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
18.【答案】14
【解析】解：(1)∵有分别标有汉字“长”“春”“冰”“雪”的四个小球，
∴从中任取一个球，球上的汉字刚好是“明”的概率为14．
故答案为：14；
(2)画树状图如图．
共有12种可能的结果，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“冰雪”的结果有2种，
∴取出的两个球上的汉字恰能组成“冰雪”的概率是：212=16．
(1)直接利用概率公式计算即可．
(2)画树状图得出所有等可能的结果数，以及取出的两个球上的汉字恰能组成“冰雪”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
19.【答案】1
【解析】解：(1)由勾股定理得，AC=AB= 32+12= 10，BC= 22+42=2 5，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∴tanB=ACAB=1．
故答案为：1．
(2)由(1)可知，AC=AB，∠BAC=90°，
如图2，取AC的中点D，连接BD，
则tan∠ABD=ADAB=12ACAB=12，
则点D即为所求．
(3)如图3，取格点M，N，使CM=1，AN=3，CM/​/AN，连接MN交AC于点E，
则△CME∽△ANE，
∴AECE=ANCM=3，
∵S△ABE=12AE⋅AB，S△BEC=12EC⋅AB，
∴S△ABE：S△BEC=3，
则点E即为所求．
(1)利用勾股定理可得AC=AB，∠BAC=90°，则tanB=ACAB=1．
(2)取AC的中点D，结合三角函数的定义可知，点D即为所求．
(3)取格点M，N，使CM=1，AN=3，CM/​/AN，连接MN交AC于点E，可得△CME∽△ANE，则AECE=ANCM=3，进而可得S△ABE：S△BEC=3，即点E为所求．
本题考查作图—应用与设计作图、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握解直角三角形、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
20.【答案】解：过点C作CD⊥AB交延长线于点D，
∵∠ABC=120°，
∴∠CBD=60°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD=30°，
∴BD=BC⋅sin∠BCD=1.2×12=0.6(米)，
∴AD=AB+BD=1.7+0.6=2.3(米)，
∵2.3<2.45，
∴该车停入储藏室后能够正常开启后备厢门．

【解析】过点C作CD⊥AB交延长线于点D，求出AD即可判断．
本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题关键．
21.【答案】解：(1)∵点D(4,1)在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴k=4×1=4，
∴反比例函数的表达式为：y=4x，
∵点D(4,1)，
∴AD=1，
∵点D为AB的中点，四边形OABC是矩形，
∴AB=2，
∴点B的坐标为(4,2)，
∴点E的纵坐标为2
∵点E在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴2=4x，
解得：x=2，
∴点E的坐标为(2,2)；
(2)由(1)可知：点D(4,1)，点E(2,2)，
又∵一次函数y=mx+n与反比例函数y=kx(x>0)的图象相交于D、E两点，
∴结合函数的图象得：当2kx，
∴不等式mx+n>kx的解集为：2【解析】(1)将点D(4,1)代入y=kx(x>0)之中求出k=4，由此可得反比例函数的解析式；根据点D(4,1)，及点D为AB的中点得点B(4,2)，则点E的纵坐标为2由此可得点E的坐标；
(2)由(1)可知：点D(4,1)，点E(2,2)，结合函数的图象即可得出不等式mx+n>kx的解集．
此题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，待定系数法求反比例函数的表达式，函数与不等式组之间的关系，理解函数图象上的点满足函数的表达式，熟练掌握待定系数法求反比例函数的表达式，利用数相结合思想直接得出不等式的解集是解决问题的关键．
22.【答案】解：(1)根据题意，得18÷36%=50(人)，
故此次调查中接受调查的人数为50人．
(2)C类的人数为50−4−8−18=20(人)，补图如下：

(3)1500×850=240(人)，
答：估计该校最希望演示B项实验的学生有240人．
【解析】(1)根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量即可；
(2)先计算C类的人数为50−4−8−18=20(人)，完善统计图即可．
(3)用总人数乘以样本中演示B项实验的学生的占比即可得到答案．
本题考查了条形统计图、扇形统计图，样本估计总体等知识，熟练掌握统计图的意义，准确理解题意和计算是解题的关键．
23.【答案】10
【解析】解：(1)根据图象可知，甲队在开挖后6小时内，每小时挖606=10(米)，
故答案为：10；
(2)设乙队在2≤x≤6的时段内y乙与x之间的函数关系式为y乙=kx+b(k≠0)，
由图可知，函数图象过点(2,30)、(6,50)，
∴2k+b=306k+b=50，
解得k=5b=20，
∴当2≤x≤6时，y乙与x的之间的函数关系式为y乙=5x+20；
(3)当0≤x≤2时，设y乙与x的函数解析式为y乙=mx，
可得2m=30，
解得m=15，
即y乙=15x；
设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式y甲=k1x，
由图可知，函数图象过点(6,60)，
∴6k1=60，
解得k1=10，
∴y甲=10x；
当0≤x≤2时，15x−10x=5，
解得x=1；
当2解得x=3或x=5．
答：当两队所挖的河渠长度之差为5m时，x的值为1h或3h或5h．
(1)结合图象，用甲6小时挖的长度÷时间，即可得出结论；
(2)根据图中的信息利用待定系数法即可确定函数关系式；
(3)先用待定系数法求出y甲与x的之间的函数关系式以及当0≤x≤2时y乙与x的函数解析式，然后根据他们所挖河渠长度差为5米，列出方程，解方程即可．
此题主要考查学生对函数图象掌握情况及利用待定系数法求一次函数关系式，理解题意是解题的关键．
24.【答案】解：(1)四边形BEDF为菱形．
证明：由折叠得点B′与点B关于直线EF对称，
∴直线EF垂直平分BB′，
∵点B′与点D重合，
∴直线EF垂直平分BD，
∴BE=DE，BF=DF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠DEF=∠BFE，
∵∠DFE=∠BFE，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF，
∴BE=DE=BF=DF，
∴四边形BEDF是菱形；
(2)①A′B′//AC，
证明：如图3，∵∠ABC=90°，AB=2，BC=2 3，
∴BD=AC= AB2+BC2=4，
∴OA=OC=12AC=2，OB=OD=12BD=2，
∴AB=OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠ABO=60°，
∵∠A′B′B=∠ABO=60°，
∴∠A′B′B=∠AOB，
∴A′B′//AC．
②AE的长度为 33或 3，
理由：如图3，点B′在线段BD上，设A′B′交AD于点G，
∵∠A′=∠BAD=90°，∠A′B′B=∠ABO=60°，
∴∠ADB=90°−∠ABO=30°，
∴∠A′GE=∠B′GD=∠A′B′B−∠ADB=30°，
∴∠ADB=∠B′GD，
∴B′G=B′D=1，
∵A′B′=AB=2，
∴A′G=A′B′−B′G=2−1=1，
∵A′EA′G=tan∠A′GE=tan30°= 33，
∴AE=A′E= 33A′G= 33×1= 33；
如图4，点B′在线段BD的延长线上，延长AD、A′B′交于点H，
∵∠B′DH=∠ADB=30°，
∴∠H=∠A′B′B−∠A′DH=30°，
∴∠B′DH=∠H，
∴B′H=B′D=1，
∴A′H=A′B′+B′H=3=2+1=3，
∵HE=2A′E，
∴A′H= HE2−A′E2= 3A′E=3，
∴AE=A′E= 3，
综上所述，AE的长度为 33或 3．
【解析】(1)由折叠得点B′与点B关于直线EF对称，则直线EF垂直平分BD，所以BE=DE，BF=DF，由矩形的性质得AD//BC，则∠DEF=∠BFE，而∠DFE=∠BFE，所以∠DEF=∠DFE，则DE=DF，所以BE=DE=BF=DF，即可证明四边形BEDF是菱形，于是得到问题的答案；
(2)①由∠ABC=90°，AB=2，BC=2 3，求得BD=AC=4，所以AB=OA=OB=2，则∠AOB=∠ABO=60°，而∠A′B′B=∠ABO=60°，所以∠A′B′B=∠AOB，则A′B′/​/AC；
②分两种情况讨论，一是点B′在线段BD上，设A′B′交AD于点G，可证明∠ADB=∠B′GD=30°，则B′G=B′D=1，求得A′G=A′B′−B′G=1，求出AE=A′E= 33；二是点B′在线段BD的延长线上，延长AD、A′B′交于点H，可证明∠B′DH=∠H=30°，则B′H=B′D=1，求得A′H=A′B′+B′H=3，因为HE=2A′E，A′H= 3A′E=3，求得AE=A′E= 3，于是得到问题的答案．
此题是几何变换综合题，重点考查了矩形的性质、轴对称的性质、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识．
25.【答案】2t
【解析】解：(1)PQ=BQ−BP=3t−t=2t，
故答案为：2t；
(2)如图1，
∵PN/​/AB，
∴∠CPN=∠B=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠PNQ=90°，
∴∠CNQ+∠CNP=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠CNP+∠CPN=90°，
∴∠CNQ=∠CPN=30°，
在Rt△CNQ中，CQ=BQ−BC=3t−3，∠CNQ=30°，
∴QN=2CQ=2(3t−3)，
在Rt△PNQ中，PQ=2t，∠CPN=30°，QN=2(3t−3)，
由PQ=2AN得，
2t=4(3t−3)，
∴t=65；
(3)如图2，
当点Q在BC上时，即0PN=PQ⋅cs∠QPN=2t⋅⋅cs30°= 3t，QN=PQ⋅sin∠QPN=2t⋅sin30°=t，
∴S=S△PNQ=12PN⋅QN=12× 3t⋅t= 32t2，
如图3，
当点Q在BC时，即1设QN交AC于点D，
∵CQ=BQ−BC=3t−3，∠QCD=90°，∠PQN=90°−∠QPN=90°−60°=30°，
∴CD=CQ⋅tan∠PQN= 3(3t−3)，
∴S△CDQ=12CD⋅CQ= 32(3t−3)2，
∴S= 32t2− 32(3t−3)2=−4 3t2+9 3t−9 32，
∴S= 32t2(0(4)如图5，
当点Q在BC上，AM交QN于E时，
由S△MNQ=14S矩形PMQN得，
12MQ⋅QE=14MQ⋅QN，
∴QE=12QN=12t，
∵MQ/​/AB，
∴△MQE∽△AFE，
∴MQAF=QEEF，
∵QF=BQ⋅sianB=3t⋅sin30°=32t，BF=BQ⋅csB=3 32t，
∴EF=QF−QE=32t−12t=t，AF=AB−BF=2 3−3 32t，
∴ 3t2 3−3 32t=12tt，
∴t=47，
如图5，
当点Q在BC上时，AM交PN于O时，
同理可得：点O是PN的中点，
作PG⊥A版于G，作OH⊥AB于H，
可得△AOH∽△OMP，
∴ OHMP=AHOP，
∵BG= 32BP= 32t，GH=OP= 32t，AB=2 3，
∴AH=2 3− 3t，
∵OH=PG=12t，PM=t，
∴12tt=2 3− 3t 32t，
∴t=85，
综上所述：t=47或85．
(1)PQ=BQ−BP=2t；
(2)在Rt△CNQ中，CQ=BQ−BC=3t−3，∠CNQ=30°，可得QN=2CQ=2(3t−3)，在Rt△PNQ中，PQ=2t，∠CPN=30°，QN=2(3t−3)，由PQ=2AN得，2t=4(3t−3)，从而得出结果；
(3)当点Q在BC上时，即0(4)当点Q在BC上，AM交QN于E时，可得出QE=12QN=12t，根据△MQE∽△AFE，从而MQAF=QEEF，从而得出 3t2 3−3 32t=12tt，求得t=47；当点Q在BC上时，AM交PN于O时，同理可得：点O是PN的中点，作PG⊥A版于G，作OH⊥AB于H，根据△AOH∽△OMP得出 OHMP=AHOP，从而得出12tt=2 3− 3t 32t，求得t=85．
本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，矩形的性质和判定等知识，解决问题的关键是分类讨论．
26.【答案】2+ 3
【解析】解：(1)∵抛物线y=−x2+bx+c的对称轴为直线x=1，
∴−b2×(−1)=1，
∴b=2，
∵抛物线与y轴交点坐标为(0,3)，
∴c=3，
∴此抛物线对应的函数表达式为y=−x2+2x+3；
(2)∵点(m−1,1)在此抛物线上，
∴−(m−1)2+2(m−1)+3=1，
解得m=2+ 3或m=2− 3，
∵x>m时，y随x的增大而减小，
∴m≥1，
∴m=2+ 3，
故答案为：2+ 3；
(3)①抛物线解析式为y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
令y=0，得：0=−(x−1)2+4，
解得：x=−1或x=3，
故抛物线与x轴的交点为(−1,0)，(3,0)，对称轴为直线x=1；顶点坐标为(1,4)，
由题意得：A(m,−m2+2m+3)，B(4−m,−m2+6m−5)，
当−14−(−m2+6m−5)=6，
解得：m=3− 6或m=3+ 6(不合题意，舍去)；
当1−m2+2m+3−(−m2+6m−5)=6，
解得：m=12(不合题意，舍去)，
综上所述：图象G的最高点与最低点的纵坐标差为6时，m的值为3− 6；
②∵A点的横坐标为m，
∴A点坐标为(m,−m2+2m+3)，
当F点在DE左侧时，如图1，
当A点与D点重合时，−m2+2m+3=m，
解得m=1+ 132或m=1− 132；
当A点与E点重合时，−m2+2m+3=1−m，
解得m=3+ 172或m=3− 172；
∴1− 132≤m≤3− 172时，△DEF与图象G有公共点；
当F点在DE右侧时，如图2，
∵D(m,m)，E(m,1−m)，
∴DE=2m−1，
∵DE=DF，
∴F(3m−1,m)，
当F点在抛物线上时，m=−(3m−1)2+2(3m−1)+3，
解得m=0或m=119；
当B点在DF上时，m=−(4−m)2+2(4−m)+3，
解得m=5− 52或m=5+ 52；
∴当119≤m≤5− 52时，△DEF与图象G有公共点；
综上所述：1− 132≤m≤3− 172或119≤m≤5− 52时，△DEF与图象G有公共点．
(1)根据对称轴求出b的值，再由抛物线与y轴的交点坐标求出c的值；
(2)将点(m−1,1)代入抛物线解析式求出m的值，再由x>m时，y随x的增大而减小，确定具体的m值；
(3)①首先推导出A、B的坐标为A(m,−m2+2m+3)，B(4−m,−m2+6m−5)，当−1②当F点在DE左侧时，当A点与D点重合时，−m2+2m+3=m，解得m=1+ 132或m=1− 132；当A点与E点重合时，−m2+2m+3=1−m，解得m=3+ 172或m=3− 172；结合图象可知1− 132≤m≤3− 172时，△DEF与图象G有公共点；当F点在DE右侧时，可求出F(3m−1,m)，当F点在抛物线上时，m=−(3m−1)2+2(3m−1)+3，解得m=0或m=119；当B点在DF上时，m=−(4−m)2+2(4−m)+3，解得m=5− 52或m=5+ 52，当5− 52≤m≤119，△DEF与图象G有公共点．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．