高中数学竞赛标准教材04第四章 几个初等函数的性质【讲义】
展开一、基础知识
1.指数函数及其性质:形如y=ax(a>0, a1)的函数叫做指数函数,其定义域为R,值域为(0,+∞),当01时,y=ax为增函数,它的图象恒过定点(0,1)。
2.分数指数幂:。
3.对数函数及其性质:形如y=lgax(a>0, a1)的函数叫做对数函数,其定义域为(0,+∞),值域为R,图象过定点(1,0)。当01时,y=lgax为增函数。
4.对数的性质(M>0, N>0);
1)ax=Mx=lgaM(a>0, a1);
2)lga(MN)= lga M+ lga N;
3)lga()= lga M- lga N;4)lga Mn=n lga M;,
5)lga =lga M;6)alga M=M; 7) lga b=(a,b,c>0, a, c1).
5. 函数y=x+(a>0)的单调递增区间是和,单调递减区间为和。(请读者自己用定义证明)
6.连续函数的性质:若a二、方法与例题
1.构造函数解题。
例1 已知a, b, c∈(-1, 1),求证:ab+bc+ca+1>0.
【证明】 设f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1)),则f(x)是关于x的一次函数。
所以要证原不等式成立,只需证f(-1)>0且f(1)>0(因为-1因为f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0,
f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0,
所以f(a)>0,即ab+bc+ca+1>0.
例2 (柯西不等式)若a1, a2,…,an是不全为0的实数,b1, b2,…,bn∈R,则()·()≥()2,等号当且仅当存在R,使ai=, i=1, 2, …, n时成立。
【证明】 令f(x)= ()x2-2()x+=,
因为>0,且对任意x∈R, f(x)≥0,
所以△=4()-4()()≤0.
展开得()()≥()2。
等号成立等价于f(x)=0有实根,即存在,使ai=, i=1, 2, …, n。
例3 设x, y∈R+, x+y=c, c为常数且c∈(0, 2],求u=的最小值。
【解】u==xy+≥xy++2·
=xy++2.
令xy=t,则0
当x=y=时,等号成立. 所以u的最小值为++2.
2.指数和对数的运算技巧。
例4 设p, q∈R+且满足lg9p= lg12q= lg16(p+q),求的值。
【解】 令lg9p= lg12q= lg16(p+q)=t,则p=9 t , q=12 t , p+q=16t,
所以9 t +12 t =16 t,即1+
记x=,则1+x=x2,解得
又>0,所以=
例5 对于正整数a, b, c(a≤b≤c)和实数x, y, z, w,若ax=by=cz=70w,且,求证:a+b=c.
【证明】 由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.
所以lga=lg70, lgb=lg70, lgc=lg70,
相加得(lga+lgb+lgc)=lg70,由题设,
所以lga+lgb+lgc=lg70,所以lgabc=lg70.
所以abc=70=2×5×7.
若a=1,则因为xlga=wlg70,所以w=0与题设矛盾,所以a>1.
又a≤b≤c,且a, b, c为70的正约数,所以只有a=2, b=5, c=7.
所以a+b=c.
例6 已知x1, ac1, a1, c1. 且lgax+lgcx=2lgbx,求证c2=(ac)lgab.
【证明】 由题设lgax+lgcx=2lgbx,化为以a为底的对数,得
,
因为ac>0, ac1,所以lgab=lgacc2,所以c2=(ac)lgab.
注:指数与对数式互化,取对数,换元,换底公式往往是解题的桥梁。
3.指数与对数方程的解法。
解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。
例7 解方程:3x+4 x +5 x =6 x.
【解】 方程可化为=1。设f(x)= , 则f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,因为f(3)=1,所以方程只有一个解x=3.
例8 解方程组:(其中x, y∈R+).
【解】 两边取对数,则原方程组可化为 ①②
把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx,所以[(x+y)2-36]lgx=0.
由lgx=0得x=1,由(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得x+y=6,
代入①得lgx=2lgy,即x=y2,所以y2+y-6=0.
又y>0,所以y=2, x=4.
所以方程组的解为 .
例9 已知a>0, a1,试求使方程lga(x-ak)=lga2(x2-a2)有解的k的取值范围。
【解】由对数性质知,原方程的解x应满足.①②③
若①、②同时成立,则③必成立,
故只需解.
由①可得2kx=a(1+k2), ④
当k=0时,④无解;当k0时,④的解是x=,代入②得>k.
若k<0,则k2>1,所以k<-1;若k>0,则k2<1,所以0
三、基础训练题
1.命题p: “(lg23)x-(lg53)x≥(lg23)-y-(lg53)-y”是命题q:“x+y≥0”的_________条件。
2.如果x1是方程x+lgx=27的根,x2是方程x+10x=27的根,则x1+x2=_________.
3.已知f(x)是定义在R上的增函数,点A(-1,1),B(1,3)在它的图象上,y=f-1(x)是它的反函数,则不等式|f-1(lg2x)|<1的解集为_________。
4.若lg2a<0,则a 取值范围是_________。
5.命题p: 函数y=lg2在[2,+∞)上是增函数;命题q: 函数y=lg2(ax2-4x+1)的值域为R,则p是q的_________条件。
6.若00且a1,比较大小:|lga(1-b)|_________|lga(1+b).
7.已知f(x)=2+lg3x, x∈[1, 3],则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________。
8.若x=,则与x最接近的整数是_________。
9.函数的单调递增区间是_________。
10.函数f(x)=的值域为_________。
11.设f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x·a],其中n为给定正整数, n≥2, a∈R.若f(x)在x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围。
12.当a为何值时,方程=2有一解,二解,无解?
四、高考水平训练题
1.函数f(x)=+lg(x2-1)的定义域是_________.
2.已知不等式x2-lgmx<0在x∈时恒成立,则m的取值范围是_________.
3.若x∈{x|lg2x=2-x},则x2, x, 1从大到小排列是_________.
4. 若f(x)=ln,则使f(a)+f(b)=_________.
5. 命题p: 函数y=lg2在[2,+∞)上是增函数;命题q:函数y=lg2(ax2-4x+1)的值域为R,则p是q的_________条件.
6.若00且a1,比较大小:|lga(1-b)| _________|lga(1+b)|.
7.已知f(x)=2+lg3x, x∈[1, 3],则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________.
8.若x=,则与x最接近的整数是_________.
9.函数y=的单调递增区间是_________.
10.函数f(x)=的值域为_________.
11.设f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x·a],其中n为给定正整数,n≥2,a∈R。若f(x) 在x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围。
12.当a为何值时,方程=2有一解,二解,无解?
四、高考水平训练题
1.函数f(x)=+lg(x2-1)的定义域是__________.
2.已知不等式x2-lgmx<0在x∈时恒成立,则m的取值范围是 ________.
3.若x∈{x|lg2x=2-x},则x2, x, 1从大到小排列是________.
4.若f(x)=ln,则使f(a)+f(b)=成立的a, b的取值范围是________.
5.已知an=lgn(n+1),设,其中p, q为整数,且(p ,q)=1,则p·q的值为_________.
6.已知x>10, y>10, xy=1000,则(lgx)·(lgy)的取值范围是________.
7.若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解,则实数k的取值范围是________.
8.函数f(x)=的定义域为R,若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数解,则b, c应满足的充要条件是________.
(1)b<0且c>0;(2)b>0且c<0;(3)b<0且c=0;(4)b≥0且c=0。
9.已知f(x)=x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t0),则F(x)是________函数(填奇偶性).
10.已知f(x)=lg,若=1,=2,其中|a|<1, |b|<1,则f(a)+f(b)=________.
11.设a∈R,试讨论关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。
12.设f(x)=|lgx|,实数a, b满足0(1)a4+2a2-4a+1=0, b4-4b3+2b2+1=0;(2)313.设a>0且a1, f(x)=lga(x+)(x≥1),(1)求f(x)的反函数f-1(x);(2)若f-1(n)<(n∈N+),求a的取值范围。
五、联赛一试水平训练题
1.如果lg2[lg(lg2x)]= lg3[lg(lg3x)]= lg5[lg(lg5z)]=0,那么将x, y, z从小到大排列为___________.
2.设对任意实数x0> x1> x2> x3>0,都有lg1993+ lg1993+ lg1993> klg1993恒成立,则k的最大值为___________.
3.实数x, y满足4x2-5xy+4y2=5,设S=x2+y2,则的值为___________.
4.已知05.用[x]表示不超过x的最大整数,则方程lg2x-[lgx]-2=0的实根个数是___________.
6.设a=lgz+lg[x(yz)-1+1], b=lgx-1+lg[xyz+1], c=lgy+lg[(xyz)-1+1],记a, b, c中的最大数为M,则M的最小值为___________.
7.若f(x)(x∈R)是周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=,则,由小到大排列为___________.
8.不等式+2>0的解集为___________.
9.已知a>1, b>1,且lg(a+b)=lga+lgb,求lg(a-1)+lg(b-1).
10.(1)试画出由方程所确定的函数y=f(x)图象。
(2)若函数y=ax+与y=f(x)的图象恰有一个公共点,求a的取值范围。
11.对于任意n∈N+(n>1),试证明:[]+[]+…+[]=[lg2n]+[lg3n]+…+[lgnn]。
六、联赛二试水平训练题
1.设x, y, z∈R+且x+y+z=1,求u=的最小值。
2.当a为何值时,不等式lg·lg5(x2+ax+6)+lga3≥0有且只有一个解(a>1且a1)。
3.f(x)是定义在(1,+∞)上且在(1,+∞)中取值的函数,满足条件;对于任何x, y>1及u, v>0, f(xuyv)≤[f(x)][f(y)]①都成立,试确定所有这样的函数f(x).
4. 求所有函数f:R→R,使得xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)①成立。
5.设m≥14是一个整数,函数f:N→N定义如下:
f(n)=,
求出所有的m,使得f(1995)=1995.
6.求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数f:
f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)·f(y), x, y∈Q.
7.是否存在函数f(n),将自然数集N映为自身,且对每个n>1, f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1))都成立。
8.设p, q是任意自然数,求证:存在这样的f(x) ∈Z(x)(表示整系数多项式集合),使对x轴上的某个长为的开区间中的每一个数x, 有
9.设α,β为实数,求所有f: R+→R,使得对任意的x,y∈R+, f(x)f(y)=y2·f成立。
高中数学竞赛标准教材03第三章 函数【讲义】: 这是一份高中数学竞赛标准教材03第三章 函数【讲义】,共6页。学案主要包含了基础知识,方法与例题,基础训练题,高考水平训练题,联赛一试水平训练题,联赛二试水平训练题等内容,欢迎下载使用。
高中数学竞赛标准教材01第一章 集合与简易逻辑【讲义】: 这是一份高中数学竞赛标准教材01第一章 集合与简易逻辑【讲义】,共6页。学案主要包含了基础知识,方法与例题,基础训练题,高考水平训练题,联赛一试水平训练题,联赛二试水平训练题等内容,欢迎下载使用。
【学考复习】2024年高中数学学业水平(新教材专用) 04第四章 指数函数与对数函数-讲义: 这是一份【学考复习】2024年高中数学学业水平(新教材专用) 04第四章 指数函数与对数函数-讲义,文件包含学考复习2024年高中数学学业水平考试新教材专用04第四章指数函数与对数函数讲义原卷版docx、学考复习2024年高中数学学业水平考试新教材专用04第四章指数函数与对数函数讲义解析版docx等2份学案配套教学资源,其中学案共70页, 欢迎下载使用。