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2025版高考数学一轮总复习第1章集合常用逻辑用语不等式第2讲常用逻辑用语课件
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这是一份2025版高考数学一轮总复习第1章集合常用逻辑用语不等式第2讲常用逻辑用语课件，共60页。PPT课件主要包含了充分不必要，必要不充分，既不充分也不必要，判断真假，全称量词，存在量词，ABD等内容，欢迎下载使用。
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理知识点一 充分条件、必要条件与充要条件的概念
知识点二 全称量词与存在量词1．命题用语言、符号或式子表达的，可以__________的陈述句叫做命题．2．全称量词命题与存在量词命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“____”表示．含有____________的命题，叫做全称量词命题．(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“____”表示．含有___________的命题，叫做存在量词命题．
3．全称量词命题和存在量词命题的否定
归 纳 拓 展1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；(6)若A⃘B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
2．充分条件与必要条件的两个特征：(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．注意：不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．
3．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．4．对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定．5．命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假．
3．(必修1P22习题T2改编)“a>b”是“ac2>bc2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析] 当a>b时，若c2＝0，则ac2＝bc2，所以a>b ac2>bc2，当ac2>bc2时，c2≠0，则a>b，所以ac2>bc2⇒a>b，即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．
4．(必修1P23T5改编)使－20
题组三 走向高考5．(2023·天津，2,5分)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件[解析] 由a2＝b2得|a|＝|b|；由a2＋b2＝2ab，得(a－b)2＝0，∴a＝b.a＝b⇒|a|＝|b|，而由|a|＝|b|不能推出a＝b.∴“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件，故选B.
6．(2023·全国甲理，7,5分)设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sin α＋cs β＝0，则( )A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
[解析] 充分性：当sin2α＋sin2β＝1时，sin2α＝1－sin2β，即sin2α＝cs2β，∴sin α＝±cs β，即sin α＋cs β＝0或sin α－cs β＝0，所以充分性不成立；必要性：当sin α＋cs β＝0时，sin2α＝cs2β，∴sin2α＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以必要性成立．∴甲是乙的必要条件但不是充分条件，故选B.
7．(2016·浙江)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n
全称量词命题与存在量词命题——自主练透
1.(多选题)下列命题的否定中，是真命题的有( )A．某些平行四边形是菱形B．∃x∈R，x2－3x＋3<0C．∀x∈R，|x|＋x2≥0D．∀x∈R，x2－ax＋1＝0有实数解
[解析] 根据原命题和它的否定真假相反的法则判断，即可求解．对于A，某些平行四边形是菱形，是真命题；对于B，Δ＝9－12＝－3<0，则原命题是假命题；对于C，∀x∈R，|x|＋x2≥0，是真命题；对于D，只有Δ＝a2－4≥0，即a≤－2或a≥2时，x2－ax＋1＝0有实数解，是假命题；根据原命题和它的否定真假相反的法则判断，选项BD中，原命题的否定是真命题．故选BD.
2．(2023·武汉模拟)命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．∃x∈[0，＋∞)，x3＋x<0D．∃x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0[解析] 含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”，所以，命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是“∃x∈[0，＋∞)，x3＋x<0”，故选C.
3．(多选题)下列存在量词命题中，为真命题的是( )A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除C．∃x∈R，|x|<0D．有些自然数是偶数[解析] 因为方程x2－2x－3＝0的两根为3和－1，所以x∈Z，故A正确；因为6能同时被2和3整除，且6∈Z，故B正确；根据绝对值的意义可得|x|≥0恒成立，不存在x满足|x|<0，故C错误；2,4等既是自然数又是偶数，故D正确；故选ABD.
4．已知命题“∃x∈R，ax2－x＋2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是____________.
名师点拨：1．全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
2.全称量词命题与存在量词命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，若命题中无量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；(2)否定结论：对原命题的结论进行否定.
充分条件与必要条件的判断——多维探究
方法1：定义法判断 1.已知x，y为正实数，则“x＋y>4”是“ln x＋ln y>2ln 2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
当n≥2时，an－1＝a1＋2(n－2)d′，∴an－an－1＝a1＋2(n－1)d′－a1－2(n－2)d′＝2d′，∴{an}是以a1为首项，2d′为公差的等差数列，综上，甲是乙的充要条件，故选C.
方法3 等价转化法判断 1.给定两个条件p，q，若綈p是q的必要不充分条件，则p是綈q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
[解析] 因为綈p是q的必要不充分条件，则q⇒綈p，但綈p q，其等价命题为p⇒綈q，但綈q p，所以p是綈q的充分不必要条件．
[解析] 解法一(集合法)：设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cs x≠cs y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cs x＝cs y}，显然CD，所以BA，故“x≠y”是“cs x≠cs y”的必要不充分条件．解法二(等价转化法)：x＝y⇒cs x＝cs y，而cs x＝cs y x＝y，故“x＝y”是“cs x＝cs y”的充分不必要条件，故“x≠y”是“cs x≠cs y”的必要不充分条件．
名师点拨：有关充要条件的判断常用的方法1．根据定义判断：(1)弄清条件p和结论q分别是什么；(2)尝试p⇒q，q⇒p.若p⇒q，则p是q的充分条件；若q⇒p，则p是q的必要条件；若p⇒q，q p，则p是q的充分不必要条件；若p q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．
2．利用集合判断3.利用等价转化法：对于带有否定性词语的命题，常用此法，即要判断p是q的什么条件，只需判断綈q是綈p的什么条件．
【变式训练】1．设a，b∈R，则“a3>b3”是“a2>b2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析] 取特值并根据充分条件和必要条件的定义可得答案．当a＝－1，b＝－2时，a3>b3不能推出a2>b2，当a＝－1，b＝0时，a2>b2不能推出a3>b3，所以“a3>b3”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．故选D.
[解析] 选项A，当a＝1时，函数f(x)＝x2－(1－a2)x＋3是偶函数，函数f(x)＝x2－(1－a2)x＋3是偶函数，f(－x)＝f(x)⇒x2－(1－a2)(－x)＋3＝x2－(1－a2)x＋3⇒1－a2＝0，可得a＝±1，故P是Q的充分不必要条件；选项B，在△ABC中，△ABC是等边三角形，可得sin A＝sin B＝sin C，当sin A＝sin B＝sin C时，因为A，B，C∈(0，π)，A＋B＋C＝π，所以有A＝B＝C，△ABC是等边三角形，所以P和Q互为充要条件；
充分、必要条件的应用——师生共研
(1)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围是_________.(2)在(1)中若把条件“若x∈P是x∈S的必要条件”改为“若x∈P是x∈S的必要不充分条件”，则m的取值范围是__________.
名师点拨：本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题时，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．
【变式训练】1．已知p：1≤x≤2，q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充要条件，则实数a的值为______.2．已知p：4x＋m<0，q：x2－x－2>0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．
名师讲坛 · 素养提升
一、抽象命题间充要条件的判定 已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①r是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④綈p是綈s的必要不充分条件；⑤r是s的充分不必要条件，则正确命题的序号是( )A．①④⑤ B．①②④C．②③⑤ D．②④⑤
[分析] 本题涉及命题较多，关系复杂，因此采用“图解法”．[解析] 由题意得p ，显然q⇒r且r⇒s⇒q，即q⇔r，①正确；p⇒r⇒s⇒q且q p，②正确；r⇔q，③错误；由p⇒s知綈s⇒綈p，但s p，∴綈p 綈s，④正确；r⇔s，⑤错误．故选B.
名师点拨：命题较多、关系复杂时，画出各命题间关系图求解，简洁直观，一目了然．
【变式训练】若p是r的必要不充分条件，q是r的充分条件，则p是q的___________条件．[解析] 由题意可知q⇒r p，∴p是q的必要不充分条件．
二、突破双变量“存在性或任意性”问题逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达．解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质．
名师点拨：对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．
知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理知识点一 充分条件、必要条件与充要条件的概念
知识点二 全称量词与存在量词1．命题用语言、符号或式子表达的，可以__________的陈述句叫做命题．2．全称量词命题与存在量词命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“____”表示．含有____________的命题，叫做全称量词命题．(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“____”表示．含有___________的命题，叫做存在量词命题．
3．全称量词命题和存在量词命题的否定
归 纳 拓 展1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；(6)若A⃘B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
2．充分条件与必要条件的两个特征：(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．注意：不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．
3．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．4．对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定．5．命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假．
3．(必修1P22习题T2改编)“a>b”是“ac2>bc2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析] 当a>b时，若c2＝0，则ac2＝bc2，所以a>b ac2>bc2，当ac2>bc2时，c2≠0，则a>b，所以ac2>bc2⇒a>b，即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．
4．(必修1P23T5改编)使－2
题组三 走向高考5．(2023·天津，2,5分)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件[解析] 由a2＝b2得|a|＝|b|；由a2＋b2＝2ab，得(a－b)2＝0，∴a＝b.a＝b⇒|a|＝|b|，而由|a|＝|b|不能推出a＝b.∴“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件，故选B.
6．(2023·全国甲理，7,5分)设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sin α＋cs β＝0，则( )A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
[解析] 充分性：当sin2α＋sin2β＝1时，sin2α＝1－sin2β，即sin2α＝cs2β，∴sin α＝±cs β，即sin α＋cs β＝0或sin α－cs β＝0，所以充分性不成立；必要性：当sin α＋cs β＝0时，sin2α＝cs2β，∴sin2α＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以必要性成立．∴甲是乙的必要条件但不是充分条件，故选B.
7．(2016·浙江)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n
全称量词命题与存在量词命题——自主练透
1.(多选题)下列命题的否定中，是真命题的有( )A．某些平行四边形是菱形B．∃x∈R，x2－3x＋3<0C．∀x∈R，|x|＋x2≥0D．∀x∈R，x2－ax＋1＝0有实数解
[解析] 根据原命题和它的否定真假相反的法则判断，即可求解．对于A，某些平行四边形是菱形，是真命题；对于B，Δ＝9－12＝－3<0，则原命题是假命题；对于C，∀x∈R，|x|＋x2≥0，是真命题；对于D，只有Δ＝a2－4≥0，即a≤－2或a≥2时，x2－ax＋1＝0有实数解，是假命题；根据原命题和它的否定真假相反的法则判断，选项BD中，原命题的否定是真命题．故选BD.
2．(2023·武汉模拟)命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．∃x∈[0，＋∞)，x3＋x<0D．∃x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0[解析] 含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”，所以，命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是“∃x∈[0，＋∞)，x3＋x<0”，故选C.
3．(多选题)下列存在量词命题中，为真命题的是( )A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除C．∃x∈R，|x|<0D．有些自然数是偶数[解析] 因为方程x2－2x－3＝0的两根为3和－1，所以x∈Z，故A正确；因为6能同时被2和3整除，且6∈Z，故B正确；根据绝对值的意义可得|x|≥0恒成立，不存在x满足|x|<0，故C错误；2,4等既是自然数又是偶数，故D正确；故选ABD.
4．已知命题“∃x∈R，ax2－x＋2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是____________.
名师点拨：1．全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
2.全称量词命题与存在量词命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，若命题中无量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；(2)否定结论：对原命题的结论进行否定.
充分条件与必要条件的判断——多维探究
方法1：定义法判断 1.已知x，y为正实数，则“x＋y>4”是“ln x＋ln y>2ln 2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
当n≥2时，an－1＝a1＋2(n－2)d′，∴an－an－1＝a1＋2(n－1)d′－a1－2(n－2)d′＝2d′，∴{an}是以a1为首项，2d′为公差的等差数列，综上，甲是乙的充要条件，故选C.
方法3 等价转化法判断 1.给定两个条件p，q，若綈p是q的必要不充分条件，则p是綈q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
[解析] 因为綈p是q的必要不充分条件，则q⇒綈p，但綈p q，其等价命题为p⇒綈q，但綈q p，所以p是綈q的充分不必要条件．
[解析] 解法一(集合法)：设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cs x≠cs y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cs x＝cs y}，显然CD，所以BA，故“x≠y”是“cs x≠cs y”的必要不充分条件．解法二(等价转化法)：x＝y⇒cs x＝cs y，而cs x＝cs y x＝y，故“x＝y”是“cs x＝cs y”的充分不必要条件，故“x≠y”是“cs x≠cs y”的必要不充分条件．
名师点拨：有关充要条件的判断常用的方法1．根据定义判断：(1)弄清条件p和结论q分别是什么；(2)尝试p⇒q，q⇒p.若p⇒q，则p是q的充分条件；若q⇒p，则p是q的必要条件；若p⇒q，q p，则p是q的充分不必要条件；若p q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．
2．利用集合判断3.利用等价转化法：对于带有否定性词语的命题，常用此法，即要判断p是q的什么条件，只需判断綈q是綈p的什么条件．
【变式训练】1．设a，b∈R，则“a3>b3”是“a2>b2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析] 取特值并根据充分条件和必要条件的定义可得答案．当a＝－1，b＝－2时，a3>b3不能推出a2>b2，当a＝－1，b＝0时，a2>b2不能推出a3>b3，所以“a3>b3”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．故选D.
[解析] 选项A，当a＝1时，函数f(x)＝x2－(1－a2)x＋3是偶函数，函数f(x)＝x2－(1－a2)x＋3是偶函数，f(－x)＝f(x)⇒x2－(1－a2)(－x)＋3＝x2－(1－a2)x＋3⇒1－a2＝0，可得a＝±1，故P是Q的充分不必要条件；选项B，在△ABC中，△ABC是等边三角形，可得sin A＝sin B＝sin C，当sin A＝sin B＝sin C时，因为A，B，C∈(0，π)，A＋B＋C＝π，所以有A＝B＝C，△ABC是等边三角形，所以P和Q互为充要条件；
充分、必要条件的应用——师生共研
(1)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围是_________.(2)在(1)中若把条件“若x∈P是x∈S的必要条件”改为“若x∈P是x∈S的必要不充分条件”，则m的取值范围是__________.
名师点拨：本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题时，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．
【变式训练】1．已知p：1≤x≤2，q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充要条件，则实数a的值为______.2．已知p：4x＋m<0，q：x2－x－2>0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．
名师讲坛 · 素养提升
一、抽象命题间充要条件的判定 已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①r是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④綈p是綈s的必要不充分条件；⑤r是s的充分不必要条件，则正确命题的序号是( )A．①④⑤ B．①②④C．②③⑤ D．②④⑤
[分析] 本题涉及命题较多，关系复杂，因此采用“图解法”．[解析] 由题意得p ，显然q⇒r且r⇒s⇒q，即q⇔r，①正确；p⇒r⇒s⇒q且q p，②正确；r⇔q，③错误；由p⇒s知綈s⇒綈p，但s p，∴綈p 綈s，④正确；r⇔s，⑤错误．故选B.
名师点拨：命题较多、关系复杂时，画出各命题间关系图求解，简洁直观，一目了然．
【变式训练】若p是r的必要不充分条件，q是r的充分条件，则p是q的___________条件．[解析] 由题意可知q⇒r p，∴p是q的必要不充分条件．
二、突破双变量“存在性或任意性”问题逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达．解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质．
名师点拨：对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．
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